《数学与艺术》.doc

数学与艺术目 录一、引 言1二、数学与艺术的关系1 数学中存在着艺术7三、数学与一些艺术形式1(一)数学与音乐1(二)数学与文学21.我国成语中的数学22.诗中的数学2(1)百羊问题 2(2丢番图的墓志铭 23.金庸小说中的数学3(三)数学与绘画 61黄金分割 62龙的画法6四、数学与艺术结合在教学中的应用12(一) 发挥艺术教学的形象性，使数学教学生动化12(二) 发挥数学教学艺术的审美性，使数学课堂充满美的气息12(三) 发挥数学教学艺术中的创造性，使数学教学更具生命力13五、结束语13参考文献14一、引 言数学抽象的思辨，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，总揽全局而又步步为营的思维方式，构造起号称为“思维的体操”的数学大厦的容基。而艺术是对哲学思想的变迁和艺术家们对多变的技术环境的反应的最直接的表现形式；艺术是浮想联翩，潇洒不羁，蔑视规律，跳跃的思维律动，弥漫出若即若离的艺术图景。咋一看，数学与艺术看作水火不容，但细细品味，艺术家们开始使用数学的语言和思想，并将其贯穿于五彩缤纷的艺术生活之中，鉴于辩证唯物论，任何事物都是辨证统一的，数学与艺术也蕴涵着内在的统一。张继平教授说：美：是人性的追求，是人类进步的一大动力。艺术是美的表达方式，数学是美的语言，数学追求美，也创造美。数学与艺术的结合使美更加简明。随着人们物质生活的日益提高，对自然精神生活的享受也会提升到更高的层次。就算我们日常生活中随处可见到的广告、海报、宣传品等实用艺术，新兴出现的现代艺术中的媒体艺术中。为吸引观众的眼球，就必须运用数学鬼斧神工的创造力来产生艺术的无穷魅力。分形，常常被称为数学与艺术的明珠，是数学和艺术结合的最佳典范。它是为了纪念法国数学家Gston Julia 发现了在数论上有名的Julia序列，通过这个序列可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小一些而已。让我们看看下面这个例子，是一棵蕨类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变的更加小了。二、数学与艺术的关系数学与艺术有什么关系？很多人表示不解，他们似乎是两个世界的东西。但是，仔细考察人类历史和现实，我们不难发现，几乎人类的一切学科领域都或多或少用到数学，艺术也不例外。其实数学既是一门科学，其本身也是一门艺术，而数学所展现的和谐美与简洁美影响了很多艺术流派。(一) 数学中存在着艺术数学与艺术一样，是人性建构自身的理性需要，抽象是高级思维的一个标志，理性思维、严密推理中同样会有灵感巧思的不期而至。思路全无时，也不妨来个浮想联翩，创造由此产生。若干痴迷于数学的人，从第一为科学献身的阿基米德，到摘取数学皇冠之珠的陈景润，征服他们的是数学中朴实纯粹的美，这是一种艺术的境界。看似凌乱繁杂的一堆符号、公式，当条分缕析后，才如同“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，发现隐藏其中的奥秘是的那种欣喜若狂的快感，非置身其中而不能领会。学了十几年的数学，虽然我的数学成绩不是很好，但我深有此感。当一道难题你冥思苦想了很久，经过你紧密的思考，找出以知的条件，摸透以知与待求之间存在着什么关系，完成这道题该用哪个公式或哪个定理才能解决，最后你终于完成了这道题，此时此刻的你不会为此而欣喜若狂吗？不会有“豁然开朗”“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的洒脱吗？这都是数学潜藏的灵气，数学的艺术魅力。三、数学与一些艺术形式(一) 数学与音乐音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗？我的回答是肯定的。数学与音乐之间有着某些相似之处，在一个音乐家的表演水平得到评判以前，首先要确认一个起码的前提：他的音是准的，仅仅是音准并不能使他成为一个音乐家。就象是对一位历史学家的著作只能评判说他没有说瞎话，也是不得要领的。数学和音乐是人类精神两种最伟大的产品。它们全然是人造的两个金碧辉煌、自己自足的世界，前者仅用了十个阿拉伯数字和若干符号就造出了一个无限的真的世界，后者仅用了五条线和一些蝌蚪状的音符就造出一个无限的美的世界。春江花月夜和肖邦小月曲的旋律也是不存在与自然界中的，在大自然中，你绝不会听到类似于人造的、另人着迷的音乐，因为它是你的心声，在数学里，n维空间、无限空间等人造的世界，甚至是“2”、“直线”、“平面”也都是人类精神最抽象的产物。并且，肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。我国伟大的思想家孔子曾提过六艺“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”就是指音乐，“数”就是指数学，这样，孔子就已经把音乐和数学并列在一起了。1952年12月在武汉召开的全国聂耳、冼星海作品研讨会上，武汉音乐学院院长曾宣读了一篇引人注目的论文论义勇军进行曲的数列结构，该文整个建立在数学基础上，从而提出了一种突破传统式结构理论的观点，论文的新颖不仅引起了轰动，而且引起了音乐工作者的思考，都认为数学和音乐之间可能有一种深奥的内在联系。(二)数学与文学 文学和数学看似风马牛不相及的两条道上跑的车，但是其实数学和文学有着奇妙的同一性。文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验，两者的同一性在于归根结底在符号上的统一。下面我将简略介绍一下在我国文学中的数学。1.我国成语中的数学中国成语中包含着大量的数字，犹如嵌在其中的珠玉，为世界上任何其他文字所不及。如能把成语的范围再扩大到民间俗语、谚语和歇后语，那么题材就更丰富了。例如：406 = ？谜底是“陆续不断”。它就同循环小数挂上了钩。也可以用成语、俗语通过算式反映一个数学关系。中国有很多的咏物诗、怀古诗可以为我们所鉴赏。（三天打鱼）（两天晒网）=（一事无成） 3 2 = 1（十八般武艺）+（三十六计）=（五湖四海） 18 + 36 = 54（五颜六色）（七窍生烟）=（八面玲珑） 56 7 = 8以上这些成语算式就成功的把文学和数学联系在一起，也成功的在中国文学里添加了一些“调料”，使人在了解是不禁莞尔一笑，感叹其中的妙处。2.我国诗中的数学数学入诗，使人情趣盎然。如“一去二三里，烟村四五家，楼台六七座，八九十枝花。”宋人邵康的这首诗生动地描写了自然朴实的乡村景象，宛如一幅淡雅的水墨画，然而它却有一半是用数字写出的，诗意的美隐含在数的和谐之中。 下面分别是一至十起头的唐诗名家诗句，颇有韵味： 一片冰心在玉壶（王昌龄），两臣开济老臣心（杜甫）， 三军大呼阴山动（岑 参 ），四座无言星欲稀（李顺）， 五湖烟水独忘机（温庭筠），六年西顾空吟哦（韩愈）， 七月七日长生殿（白居易），八骏日行八万里（李商隐）， 九重谁省谏书函（李商隐），十鼓只载数骆驼（韩愈）。 古今中外都有一些数学问题，是以诗歌的形式叙述的，是诗人和数学家的和谐的统一，形成诗歌海洋中别具风格的浪花，也是数学天空中闪烁的繁星。（1） 百羊问题我国明代的程大位的算法统宗一书中，有一道所谓的“百羊问题”： 甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后， 戏问甲及一百否？甲云所说无差谬， 若得这般一群凑，于添半群小半群， 得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透。（注：小半即四分之一）此题题目并不难，但是以诗歌的形式出现，就有别一番滋味了。现在用方程解一下：设原有羊x只，则根据题意有x+x+0.5x+0.25x+1=100得x=36，故原有羊36只。（2） 丢番图的墓志铭（希腊）数学家丢番图的生平事迹现几无据可寻，但是可以在他的墓志铭上略知一二，因为他的墓志铭十分特殊，铭文是一首诗谜：过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算一下下面的数目，便可知道他多少岁时寿终正寝。他的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子只活到父亲一半的年龄，竟先其父四年而终。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年！请你算一算，丢番图活了多大年龄？设丢番图活了x岁，则根据题意有解得x=84,故知丢番图活了84岁。有没有纯粹的“数学诗”呢？一些学者作了肯定的回答。他们认为所谓诗，从某种意义上是说，就是既有丰富的思想内涵，又有和谐、简洁和对称美的形式，凡是具有这些性质的事物都可以称为诗，或称有诗的意境。好的诗可以惊天地、泣鬼神，可以将人带到“此中有真意，欲辨已忘言”的艺术境界。以这样的观点来看数学，许多的抽象的公式、法则、定理，都是能够给人的理智以极大的美感享受的数学诗，例如泰勒级数展开式：各种不同的函数不管有多复杂，只要满足一定的条件都能表示成如上的统一形式。这意味着凡是这样的函数都具有右端级数所显示的那种排列整齐的无穷层次结构。在这个两个无穷展开式中，取得项数越多，得到的e值和值也就越精确，只要对e和的深刻性有所了解，你会发现这种数学现象确实透漏出一种绵长的诗的意象，那略带神秘色彩的奇异美的光芒就像秋夜的星空引发的美的遐想。因此，傅立叶级数理论被喻为伟大的“数学诗”。3.金庸小说中的数学金庸是武侠小说的一代宗师，他的武侠小说具有很大的吸引力，他对诸子百家、佛经道藏、诗词歌赋、医卜星相等等都了然于胸，因而他下笔挥洒自如，时时变化，他的作品被认为是中国文化的瑰宝，好多海外华侨把武侠小说看作学习中文的一种特殊的课本，他们在阅读中不知不觉就提高了中文水平。评论家认为，射雕英雄传、天龙八部、鹿鼎记是他的三部代表作。在射雕英雄传中，写了不少不可思议的中国古代术数怪题。例如“九宫土”、“五五图”、“百子图”以及“鬼谷算”、“立方招兵”等五花八门的难题。着实令数学爱好者们动心，恨不得立即拿来研究一番。令人惊讶的是，我国当代大数学家华罗庚先生也在敬佩者之列，他曾风趣的把武侠小说称为成人的童话。在射雕英雄传这部杰出的作品中，他把男女主角郭靖和黄蓉以及洪七公等人物写的活灵活现，使读者如闻其声，如见其人。而其中的九阴真经又穿插着韩信点兵、大衍求一术，以及天元、地元，人元、物元（实际上是四元一次联立方程组）等相当过硬的古算内容，让人击节称赞，为之叹服。(三)数学与绘画在欧洲艺术创作领域公认有两次最大的创新，一次是文艺复兴，另一次是本世纪初兴起的现代艺术。两次大的变革都与几何学的变革有关。前者与三维透视几何有关，后者与N维几何和非欧几何有关。 其实在更早之前，数学中的黄金分割以及几何图形的对称性就开始用于指导绘画创作。几何学与艺术的关系源远流长，每一种艺术、每个艺术流派都无法回避几何学。问题不在于是否接受几何学，是否受几何学影响，而在于接受哪一种几何学，主动或者被动吸收哪一种几何学给出的空间观念。 曾经有一篇极有趣的文章，指出每一时代的主流绘画艺术背后都隐藏着一种深层数学结构几何学，在达芬奇那里是讲求透视关系的射影几何学；在毕加索那里是非欧几何学；在后现代主义、纯粹主义那里也许是现在说的分形几何学，虽然艺术家们本身也许并未意识到。可以看出，西方文化的传承一直与数学密不可分。2龙的画法不仅是欧洲文艺的绘画与数学有联系，我国的绘画也和数学有联系。其中有个例子可以证明这一点：龙的画法。龙是我国神话和传说中的形象化和民族化的动物。华夏儿女被誉为“龙的传人”；生气勃勃被赞为“生龙活虎”；神采奕奕被叹为“龙章凤姿”；甚至字写的好也被赞为“龙蛇飞动”。所以，龙是中华民族悠久文化的象征。作为神话和图腾崇拜的综合形象，美国一位人类学家认为，龙应该是天上的鹰和地上的蛇的“合体”。其实生物界其中根本就没有龙，它是一个多种动物的集合体。中国的画家倒是一语到破了它的真相。原来画龙有个秘诀：“一画鹿角二虾目，三画狗鼻四牛嘴，五画狮鬃六画鳞，七画蛇身八虎眼，九画鸡脚十锦全。”你看一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，再加上“集合”这就把龙的画法和数学挂上了钩。四、数学与艺术结合在教学中的应用（一）、发挥艺术教学的形象性，使数学教学生动化。万物皆有形，形象性是艺术的外显特征。数学教学艺术的形象性主要表现在以下几方面：形象化的语言。课堂上可采用比喻、拟人等艺术手法使抽象的概念形象化，如在教学约数和倍数两者间相互依存的关系时，可引用女儿和妈妈之间的关系帮助学生理解；形象化的教学方法。教学时可通过数形结合、类比等方法，化抽象为形象。如在教学图形认识时，教师要引导学生对事物进行观察、触摸、描绘，调动各种感官，增加学生对图形的直观感受。形象化的教学手段。教学时可充分发挥多媒体的优势，把抽象的数学知识与生动形象的多媒体情景有机结合,使学生形象感知知识产生和形成过程。总之，在教学中，教师要善于把教学内容及其形象融为一体，引导学生在具体可感的形象中完成从生动直观向抽象思维的转变，使课堂教学生动化。（二）、发挥数学教学艺术的审美性，使数学课堂充满美的气息。教学过程必须融进美的创造和追求，才能达到艺术境界。数学学科本身就蕴含着丰富的内在之美，比如：数学语言的简约美、抽象美；数学知识的严谨美、公式美、符号美；数学形体的对称美、和谐美等。教师在教学时要善于发现这些美，并引导学生体验这些美。另外，在教学中还要充分发挥其外在之美，如：教师端庄大方的体态、亲切和谐的表情、自然得体的服饰、科学美观的板书以及善良诚实的品格等，都会给学生以美的享受；引导学生欣赏色彩艳丽的课件，指导学生绘制漂亮正确的图形，要求学生完成规范整洁的作业，让学生在美妙动听的音乐中进行数学活动等，都可培养学生的审美情调。让我们发现美、欣