20发散思维是培养学生数学创新精神的突破口_数学分析习题课教学感悟.pdf

第 21 卷第 4 期 数 学 教 育 学 报 Vol 21 No 4 2012 年 8 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Aug 2012 收稿日期 2012 04 01 基金项目 国家自然科学基金项目 Faith 猜测与余环的同调理论 10571026 作者简介 王雪琴 1962 女 陕西大荔人 副教授 主要从事数学分析课程的教学研究 发散思维是培养学生数学创新精神的突破口发散思维是培养学生数学创新精神的突破口 数学分析习题课教学感悟 王雪琴 渭南师范学院 数学与信息科学学院 陕西 渭南 714000 摘要 培养学生创新精神是学校教育教学的重要任务之一 数学分析习题课的教学也不例外 培养学生的数学创新精神 应着力从发散思维训练入手 不仅要唤起学生浓厚的学习兴趣 促使其勇于探索 积极参与 还要注重培养学生创新思维 教师精选习题 精讲习题等 培养学生的创新精神 教师不仅要具备过硬的专业知识与技能 更要具有创新意识 只有师生 共同探索 共生共长 才能把培养学生数学创新精神放在可靠的基点上 关键词 发散思维 创新精神 习题课 中图分类号 G642 4 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2012 04 0083 04 1 前 言 数学分析 是师范院校数学专业最主要的基础课程之 一 对于学生提高专业水平 提升专业素质 培养学生数学 创新品质具有重要的意义 数学分析习题课正是实现这一目 的的重要手段 它既可以引导学生深刻理解所学数学的基础 知识 又可以培养学生的数学创新思维 启发学生深入思考 分析习题 的奥妙 掌握科学的思维方法 增强创新意识 逐渐形成学生的创新精神 正如一位数学专家所言 学生 学习的目的 不仅是掌握数学知识 而更重要的是掌握数学 的思想方法和精神实质 也就是要在教学中将数学知识理论 转化为学生可接受的形式 并通过学生的主体建构内化到自 己的知识结构中 1 近年来 不少学者把研究发散思维的重点放在了中学数 学教学中 如文献 2 就从具体的教学层面对发散思维进行 了探讨 而忽略了对大学数学的指导作用 研究者结合自己 长期担任数学分析习题课的教学实际 并通过具体实例阐释 了在这门课中注重训练学生的发散思维 培养学生创新品质 的点滴体会 数学习题课的任务是引导学生掌握数学基础知 识 激发数学兴趣 培养数学思维能力 提高数学解题技 能 发散思维则既是实现数学习题课目标的重要途径 又是 培养学生的数学创新精神的突破口 2 唤起兴趣与激发动力是培养学生创新精神的必 要前提 兴趣是人们力求认识某种事物和从事某项活动的意识 倾向 表现为人们对某件事物 某项活动的选择性态度和积 极的情绪反应 兴趣是人们从事活动的强大动力 凡是符 合个体兴趣的活动 就能提高人们的积极性 使人积极愉快 地从事某种活动 兴趣对智力发展起促进作用 是开发智 力的钥匙 3 概括地说 兴趣具有定向与动力功能 一方 面 兴趣可以奠定一个人事业的基础和进取方向 另一方面 兴趣可以转化为动机 成为激励人们进行某种活动的推动 力 如果学生对数学习题课产生了浓厚的兴趣 喜欢上了这 门课 必然激发学习的积极性与自主性 同时会形成积极参 与教学的动力 动力又可以激发和维持个体进行活动并使该 活动朝向某一目标的心理倾向 同时 他们必然会满怀乐趣 克服困难投入数学解题的钻研活动中去 提高学习效率 为 此 教学中教师首先必须有意识地发展和培养学生学习这门 课的兴趣 并善于唤起和组织学生的兴趣 激励他们积极主 动地投入这门课的学习中去 此外 教师还要努力创造条件 从感性到理性 从具体到直观 让兴趣贯穿课堂 让兴趣吸 引学生学习这门课的注意力 数学的趣味性体现在以下 3 个方面 4 数学深刻揭示了自然规律 在千奇百怪的数学符 号中 在深邃而严密的数学推理中蕴涵着深刻的自然规律 而数学语言 或符号 正是实现这一功能的工具 思维是数 学的灵魂 数学是思维的体操 无处不在的数学 它渗透到 日常生活的各个方面 在习题课中也完全能够体现出数学的 趣味性 例如在学完 闭区间上连续函数性质 后 可以讨 论这样一个实际问题 一个煎饼 不论形状如何 必可切一 刀 使面积二等分 这个来自于生活中的典型实例立即激发 了学生浓厚的兴趣 大家踊跃参与其中 争相发言讨论起 来 在综合学生讨论情况的基础上 给出实例的解答过程 并以结构图的形式反映 实际 问题 几何 图形 问题 解决 转换 构造 函数 y s x x 0 r 面积函数 介值 定理 84 数 学 教 育 学 报 第 21 卷 问题解决了 但教学活动并不以此终结 接下来引导学 生讨论 两个煎饼 不论形状如何 相对位置如何 必可切 一刀 使面积二等分 三个煎饼 不论形状如何 相对位置 如何 能否切一刀 使面积二等分 一个煎饼 不论形状如 何 是否能以相互垂直的方式切两刀 使面积二等分等一系 列问题 让学生在愉悦轻松的气氛中 在充满激情的思维中 在对现实生活的浓厚兴趣中得到数学知识 得到解题的思路 和方法 得到生活中的常识 当然通过这个激情实例也进一 步提高了学生发散思维的能力 3 强化预设和精选习题是找准发散思维培养的着 力点 美国心理学家吉尔福特把思维分为辐合思维和发散思 维 并认为发散思维是创造性的主要成分 所谓发散思维是 指从问题出发 沿着不同途径寻求各种答案的思维 具有流 畅性 变通性和独特性 流畅性是指单位时间内发散项目的 数量 变通性指发散项目的范围或维度 独特性是对问题能 提出超出寻常的独特新颖的见解 眼下正在进行的基础教育课程改革 强调为促进学生的 发展服务 特别要求教师上课前做好预设工作 这对学生的 发展十分重要 数学分析习题课是数学分析教学中不可逾越 的重要环节 是对学生进行数学思维培养的基本着力点 精 心选择习题是上好这门课的关键 习题的选取不是随意地找 出几个 而是根据教学大纲和所采用的具体教材 课堂进展 情况和教学内容 学生的学习状态等情况 选择具有普遍性 针对性 示范性等特征的习题 特别是作业批改中出现的具 有大众性 典型性和特殊性的习题 既要把握教学的基本原 则 坚持从实际出发 又要有发散思维培养训练以及创新精 神培养的渗透 使学生学到解题思路 又学到思维方法 强 化能力 力求使学生能够举一反三 由小见大 由表及里 较快掌握数学的思维与解题方法 级数理论是数学分析的主 要理论之一 而级数的求和运算也是数学分析中的主要运 算 它既可以把级数 函数级数 幂级数与傅里叶级数的知 识点串联起来 又可以实现极限运算无法实现的部分功能 还可以培养学生类比与归纳的技能 例如 求级数 1 2 1 n n 方 法很多 但习题课上选择了Bernoulli的解法 因为该解法 堪称发散思维的典范 值得师生共同学习 开始的运算是在 常规的思维中进行 然后开始发散思维引进幂级数 自然 而然联想到函数 x x xf sin 将其展开成Taylor级数 结果得到 6 1 2 1 2 n n 太精彩啦 连Euler都惊叹计算 过程的神奇 并从方法上和计算上对其进行验证 得出方法 上为合情推理 计算结果完全正确 通过选择该题 让学生 亲身经历发散思维的过程 学习科学大师们发现和创造知识 的过程以及他们所用的科学思维方法 教学中长期坚持这种 训练 逐步提升和培养了学生思维的水平 逐渐体现了发散 思维的特性 4 精讲习题与学会分析使学生形成多元化数学解 题思维 人常说 教学有法 但无定法 贵在得法 如同其它学 科的教学一样 数学教学方法也很多 但是如何突出培养学 生勇于探索 不断钻研的多元化思维方法呢 实践证明 教 师精讲习题 点到为止 有利于形成学生勇于创新的数学解 题思维 在这里 精选习题只是手段 目的之一是要形成学 生多元化数学解题思维 培养科学的数学思维与解题方 法 在具体的教学中可从以下几个方面做起 4 1 分析矛盾研讨发现以培养学生数学辩证思维 阿塞姆说过 事实上 无论人们的意愿如何 一切数 学教学法都出自于某一文学哲学 即便是很不规范的教学法 也如此 5 唯物辨证思想是微积分理论的一大理论支柱 微积分和辩证法是紧密相连的 辩证法为微积分的学习研究 提供了良好的世界观与方法论 微积分理论就是辩证法在数 学中的具体应用 在数学分析习题中充满了各种各样的矛 盾 其中包括有界与无界 有限与无限 离散与连续 静态 与动态等 正是这些矛盾的运动和转化构成了数学分析的理 论体系 巧妙地利用这些矛盾中的内在联系及相互转化解决 所研讨的问题 课后习题中蕴含着丰富的唯物辩证思想 在 习题课上运用唯物辩证法及其基本规律 从辩证法的角度去 介绍解题方法 使学生的思路更开阔 方法更灵活 分析问 题 解决问题的能力得到提高 如求极限 n k n kn1 2 1 lim 对于此题 大多数学生搞不清题目所含的意义 错误地认为 是有限个无穷小量的和 利用四则运算法则计算仍为无穷小 量 而此题实质上是一个动态的过程 是潜无限 四则运算 只对有限成立 不能在此应用 而解决无限问题离不开有限 因为无限是通过有限来实现的 通过有限来度量 无限和的 问题可以转化为有限问题来处理 而迫敛性定理正是实现这 一性能的重要工具之一 通过辩证思维分析 解题思路活了 解决问题的新思路 新方法有了 即先利用不等式的性质将 无限和问题转化为有限的两个变量 并有相同的极限 然后 利用迫敛性定理求出该数列的极限 从研讨该题的过程中还 可以引导学生认识到无限个无穷小量的和不一定为无穷小 量 从而得出了有限和与无限和的不同之处 量变到一定程 度就引起了质变 量变质变规律在数学分析习题中得到了具 体体现 通过该题 学生既学到了知识 又掌握了矛盾处理 的方法 总之 数学解题过程处处蕴涵着辩证法的思想 在习题 课上 数学教师应将辩证思维的观点融入教学 用唯物辩证 法的观点 全面 联系地看待所选习题 学生可以通过前后 习题之间的联系 激发联想能力 利用对习题的归纳 类比 第 4 期 王雪琴 发散思维是培养学生数学创新精神的突破口 85 等形式唤醒自己解题的思路 促使学生学会用已有的解题方 法来解决其它问题 解题虽无法 但有道可循 引导学生 将所学知识应用于实践 使抽象枯燥的数学变得具体生动 使学生在学习数学知识的同时 掌握辩证的思维方法 逐渐 为形成创新精神打下良好基础 4 2 敞开思路各抒己见以培养学生数学解题的求异思维 解题离不开科学的思维方法 科学思维方法是解题的灵 魂 6 为此 教育学生不能满足书上的解题方法 不被教材 上的方法所左右 敞开思路 大胆尝试 在和教师 同学解 题方法的讨论中 善于发现 精益求精 形成在方法比对中 讲究效率 大胆求异 勇于创新的数学思维精神 为此 教 师一方面要树立现代教育教学理念 同时 教师要有真知灼 见和广博见识 使学生得到远比教材更多的东西 7 教师应 克服传统教学中一味让学生生吞活剥背定理 背公式的做 法 这样下去只会本末倒置 解析几何的创始人笛卡儿就从数学解题过程中总结出 一般思想方法及法则 他指出 我所解决的每个问题都成 为以后解决其它问题的规则 许多著名的数学家都分别发 表过关于数学方法论的精辟见解 日本数学家米山国藏说 过 学生进入社会后 几乎没有机会应用他们所学到的数 学知识 因而这种作为知识的数学 通常在学生走出校门后 一两年就忘掉了 然而不管人们从事什么业务工作 那种铭 刻于头脑中的数学精神和思想方法 都长期地在他们的生活 和工作中发挥着重要作用 7 因此对学生来说 只有掌握 了科学的思维方法 才能深刻理解所学的基本内容 使所学 的抽象理论活灵活现 在解题的过程中发挥其应有的作用 例 已知 在 0 a 上连续 f二阶可导 f x 0 8 证明 a ttf a 0 d 1 d 1 0 a tt a f 1 首先要弄清题目的类型及含义 这是一般的不等式证明 题 其含义为复合函数在 0 a 上的平均值不会小于外函数 在 0 a 上的平均值 然后抓住题目的核心部分 理解 条 件 和 结论 的关系及作用 从条件f x 0可以看出 f是下凸函数 如此一来 此题的解法就昭然显现 即与曲 线的凹凸性有关 联想所学凹凸性的性质就可以看出只要把 要证明的部分利用凸函数的性质转化为函数f在已知点的不 等式表达式 f x f c f c x c 其中 a tt a c 0 d 1 然后代入x t 两边积分即可 问题得到了解决 课堂上 给学生发言的机会与权力 创造条件 让他们进一步去发现 新的解题途径 就这道题而言 还有什么方法呢 经过讨论 各抒己见 从激烈的辩论中发现 该题还可以考虑利用转化 法的思维模式来解决 从其简单形式考虑 取 t x 1 式被化简为 a xxf a 0 d 1 2 af 该式又赋予了新的含 义 凸函数在中点的值不会超过其平均值 它就是参考文 献 7 中220页的习题 它们就是一般与特殊的关系 给出 了新的解题模式就是一切复杂问题的解决都必须从最简单 的模式开始 还可以利用发散思维的模式 把该不等式推广为Jensen 不等式 a a xxp xxf 0 0 d d d d 0 0 a a xxp xxfxp f对不同的f及特殊 的p x 又可以得到许多重要的不等式 例如参考文献 9 中 2 3 8页 的 习 题 八 它 就 是 取f为 对 数 函 数l n a xxp 0 1d 所得的不等式 又可以与离散形式的各种平均 值不等式相类比 深入浅出 找出它们的共同点 把相近的 知识联系起来 开辟另一种新的解题思路 总之 解题的方法多种多样 对于不同问题 采用不同 的方法处理和解决 教师应给学生创造条件 使他们大胆而 灵活地思维 经常进行数学思维中的反思 一般在提出解决 方案之前 常常要对复杂问题进行尽可能的简化 转化以便 达到化难为易 化繁为简的目的 通过对解题过程的详细解 读 可以达到对学生思维的训练 获取所学的知识 建立不 同知识体系之间的联系 将知识融会贯通 从而获得个人的 见解 找到解决问题的好方法 达到培养创新思维的目的 特别要指出的是 教学中教师切不可包办代替 只给问 题结论而忽视思维培养的传统教育做法是错误的 教师应该 给学生自我思维的空间 让学生自我思考 自我探究 自我 发现 自我创造 同时教师应注意捕捉偶然 把握直觉的触 发时机 让学生充分展现自己的聪明才智 进而转化为集体 智慧 达到资源共享 共同提高 4 3 挖掘美学价值在审美中培养学生的发散思维 著名数学教授徐利治指出 数学作为一种科学的语 言 具有一般语言与艺术所共有的美的特点 数学的美表现 在数学的内容 结构和方法上 实践证明 只要在发散思 维教学中有机进行审美情趣教育 就可以形成这门课教学效 果的更大价值 客观地说 在数学分析习题这门课中处处体 现着美的元素 题型的丰富多彩 题目的简洁与概括 图形 的对称与和谐 题解过程的创造激情 题解结果的奇异与新 颖 无处不有美 处处充满了美感 在习题课上 有意识创 造条件将审美因素引入数学教学 利用各种方法引导学生发 现隐藏在数学理论背后的丰富的情感内容 引导他们感悟数 学的美 鼓励他们大胆想象 独立探索 在数学教学中不断 磨练他们的意志 使原本抽象的数学理论具有了丰富的情感 色彩 活跃了课堂气氛 激发了学习热情 例如 证明 8 f为区间I上凸函数的充要条件是对于I 上任意3点x1 x2 x3 恒有 1 1 1 33 22 11 xfx xfx xfx 0 首先题目本身就富含美的因素 行列式本身被喻为一座 美丽的花园 它体现出了结构美 用行列式的性质来刻画抽 象的凸概念体现出简洁美 把代数知识与函数知识联系在一 86 数 学 教 育 学 报 第 21 卷 起体现出了统一美 证明过程中的行列式运算 1313 1212 xfxfxx xfxfxx 可以看成是对花园的重构 把 0转化为不等式 13 13 xx xfxf 12 12 xx xfxf 奇迹就出现了 这就是f为凸函数的充要条件的数学表达 式 证明过程的简单美和结果的新颖美 解题过程不再是痛 苦的 而是在欣赏美 在进行美的表演 如此师生的兴趣有 了 思维活跃了 解题自然而然就得心应手 事实说明 习 题课上的美可以激发师生心智 促进求知欲 提升创造欲 5 总 结 综上所述 培养学生数学创新精神绝非易事 从培养学 生的发散思维入手 既需唤起学生浓厚的数学解题兴趣 促 使其勇于探索 积极参与 又要教师具备过硬的专业知识与 技能 更要教师具有创新意识等 课堂上做到所给数学习题 的答案不必唯一 条件可以冗余 教学过程应注重的是学生 探究思维培养的价值 而不要一味追求问题结论的正确与 否 长期努力 坚持实践 研中教 教中研 教研结合 探 究发现 只有这样 才能把培养学生数学创新精神放在可靠 的基点上 10 15 参 考 文 献 1 张守波 朱成科 高师数学教育专业课程改革初探 J 教育研究 2006 2 69 73 2 杨雪男 中学生数学发散思维能力研究 D 南京师范大学 2001 2 叶奕乾 普通心理学 M 上海 华东师范大学出版社 2005 3 英 Paul Emest 数学教育哲学 M 齐建华 张松之译 上海 上海教育出版社 1998 4 陈鼎兴 数学思维与方法 研究式教学 M 南京 东南大学出版社 2008 5 刘影 程晓亮 数学教学论 M 北京 北京大学出版社 2009 6 余文森 新课程背景下的公共教育学教程 M 北京 高等教育出版社 2005 7 日 米山国藏 数学的精神 思想和方法 M 成都 四川教育出版社 1986 8 袁中学 杨之 元认知 与数学教学 J 数学教育学报 2002 11 2 33 35 9 华东师范大学数学系 数学分析 上 M 北京 高等教育出版社 2001 10 武锡环 连四清 宋宏伟 学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响 J 数学教育学报 2009 18 1 31 11 肖春梅 喻平 李渺 实习数学教师知识对数学教学的影响研究 J 数学教育学报 2009 18 1 34 12 谢琳 战玲 极限概念的意义与数学发展的语言转向 J 数学教育学报 2010 19 5 34 13 乔希民 李军庄 杜卫洁 等 基于促进学生高效学习的数学课堂教学行为研究 J 数学教育学报 2010 19 5 84 14 张福保 大学数学文化课中文化性的思考 J 数学教育学报 2011 20 5 14 15 史宁中 漫谈数学的基本思想 J 数学教育