振动和波动计算题及答案.doc

振动和波动计算题1.一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s，求 (1)周期T； (2)当速度是12 cm/s时的位移 解：设振动方程为，则 (1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s状态下有 解得 ， s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s的时刻为t2，则由 得 ， 解上式得 相应的位移为 cm 3分2. 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然 后由静止释放并开始计时求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力； (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2分 (1) 选平衡位置为原点，x轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x0 = 10Acosf ，v0 = 0 = -Awsinf 解以上二式得 A = 10 cm，f = 0 2分 振动方程x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 f = m(g-a )，而a = -w2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3分 (3) 设t1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即 0 = Acosw t1或cosw t1 = 0 此时物体向上运动， v 0 w t1 = p/2， t1= p/2w = 0.222 s 1分再设t2时物体在平衡位置上方5 cm处，此时x = -5，即 -5 = Acosw t1，cosw t1 =1/2 3. 一质点作简谐振动，其振动方程为 (SI) (1) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ (2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解：(1) 势能 总能量 由题意， m 2分 (2) 周期 T = 2p/w = 6 s 从平衡位置运动到的最短时间 Dt 为 T/8 Dt = 0.75 s 3分4. 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24 (SI)，试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m，v 0的状态所需最短时间Dt解：旋转矢量如图所示 图3分由振动方程可得 ， 1分 s 1分5. 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动试利用旋转矢量法求它们的相位差解：依题意画出旋转矢量图 3分 由图可知两简谐振动的位相差为 2分6. 一简谐振动的振动曲线如图所示求振动方程解：(1) 设振动方程为 由曲线可知 A = 10 cm , t = 0， 解上面两式，可得 f = 2p/3 2分由图可知质点由位移为 x0 = -5 cm和v 0 0的状态所需时间t = 2 s，代入振动方程得 (SI) 则有， w = 5 p/12 2分故所求振动方程为 (SI) 1分7. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x1 =510-2cos(4t + p/3) (SI) , x2 =310-2sin(4t - p/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程 解： x2 = 310-2 sin(4t - p/6) = 310-2cos(4t - p/6- p/2) = 310-2cos(4t - 2p/3) 作两振动的旋转矢量图，如图所示 图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为 A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3 2分合振动方程为 x = 210-2cos(4t + p/3) (SI) 1分8. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为 x1 = 410-2cos2p (SI), x2 = 310-2cos2p (SI) 求合振动方程解：由题意 x1 = 410-2cos (SI) x2 =310-2cos (SI) 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 m = 6.4810-2 m 2分 =1.12 rad 2分合振动方程为 x = 6.4810-2 cos(2pt+1.12) (SI) 1分9. 一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅为A，频率为n ，波速为u设t = t时刻的波形曲线如图所示求 (1) x = 0处质点振动方程； (2) 该波的表达式 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 由图可知，t = t时 1分 1分所以 ， 2分x = 0处的振动方程为 1分 (2) 该波的表达式为 3分10. 一列平面简谐波在媒质中以波速u = 5 m/s沿x轴正向传播，原点O处质元的振动曲线如图所示 (1) 求解并画出x = 25 m处质元的振动曲线 (2) 求解并画出t = 3 s时的波形曲线 解：(1) 原点O处质元的振动方程为 ， (SI) 2分波的表达式为 ， (SI) 2分 x = 25 m处质元的振动方程为 ， (SI) 振动曲线见图 (a) 2分 (2) t = 3 s时的波形曲线方程 ， (SI) 2分波形曲线见图 2分11. 已知一平面简谐波的表达式为 (SI) (1) 分别求x1 = 10 m，x2 = 25 m两点处质点的振动方程； (2) 求x1，x2两点间的振动相位差； (3) 求x1点在t = 4 s时的振动位移 解：(1) x1 = 10 m的振动方程为 (SI) 1分 x2 = 25 m的振动方程为 (SI) 1分 (2) x2与x1两点间相位差 Df = f2 - f1 = -5.55 rad 1分 (3) x1点在t = 4 s时的振动位移 y = 0.25cos(12543.7) m= 0.249 m 2分12. 如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s沿x轴负方向传播，已知A点的振动方程为 (SI) (1) 以A点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式解：(1) 坐标为x点的振动相位为 2分波的表达式为 (SI) 2分 (2) 以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 (SI) 2分波的表达式为 (SI) 2分13. 一平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和w ，波速为u，设t = 0时的波形曲线如图所示 (1) 写出此波的表达式 (2) 求距O点分别为l / 8和3l / 8 两处质点的振动方程 (3) 求距O点分别为l / 8和3l / 8 两处质点在t = 0时的振动速度 解：(1) 以O点为坐标原点由图可知，该点振动初始条件为 ， 所以 波的表达式为 4分 (2) 处振动方程为 1分 的振动方程为 1分 (3) t = 0，处质点振动速度 1分 t = 0，处质点振动速度 1分14. 如图，一平面简谐波沿Ox轴传播，波动表达式为 (SI)，求 (1) P处质点的振动方程； (2) 该质点的速度表达式与加速度表达式解：(1) 振动方程 2分 (2) 速度表达式 2分加速度表达式 1分15. 某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求 (1) 该质点的振动方程； (2) 此振动以波速u = 2 m/s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）； (3) 该波的波长解：(1) 振动方程 (SI) 3分 (2) 波动表达式 3分 (SI) (3) 波长 m 2分16. 如图所示，一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波速大小为u，若P处介质质点的振动方程为 ，求 (1) O处质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式； (3) 与P处质点振动状态相同的那些点的位置解：(1) O处质点的振动方程为 2分 (2) 波动表达式为 2分 (3) x = -L k ( k = 1，2，3，) 1分17.如图所示，一平面简谐波沿Ox轴正向传播，波速大小为u，若P处质点的振动方程为 ，求 (1) O处质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式； (3) 与P处质点振动状态相同的那些质点的位置解：(1) O处质点振动方程 2分 (2) 波动表达式 2分 (3) (k = 0，1，2，3，) 1分18. 图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s时刻的波形图已知波速为u，求 (1) 坐标原点处介质质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s时刻波形图，可知此波向左传播在t = 0时刻，O处质点 ， ， 故 2分又t = 2 s，O处质点位移为 所以 ， n = 1/16 Hz 2分振动方程为 (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波长 l = u /n = 160 m 2分波动表达式 (SI) 3分19. 如图所示，两相干波源在x轴上的位置为S1和S2，其间距离为d = 30 m，S1位于坐标原点O设波只沿x轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变x1 = 9 m 和x2 = 12 m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点求两波的波长和两波源间最小相位差解：设S1和S2的振动相位分别为f 1和f 2在x1点两波引起的振动相位差 即 2分在x2点两波引起的振动相位差 即 3分得 m 2分由 2分当K = -2、-3时相位差最小 1分 20. 两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为： (SI) (SI)求： (1) 两波的频率、波长、波速； (2) 两波叠加后的节点位置； (3) 叠加后振幅最大的那些点的位置 解：(1) 与波动的标准表达式 对比可得： n = 4 Hz， l = 1.50 m， 各1分波速 u = ln = 6.00 m/s 1分 (2) 节点位置 m , n = 0，1，2，3, 3分 (3) 波腹位置 m , n = 0，1，2，3, 2分 21. 设入射波的表达式为 ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端设反射时无能量损失，求 (1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变p，且反射波振幅为A，因此反射波的表达式为 3分 (2) 驻波的表达式是 3分 (3) 波腹位置： , 2分 , n = 1, 2, 3, 4, 波节位置： 2分 , n = 1, 2, 3, 4, 22. 如图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面波由P点反射， = 3l /4， = l /6在t = 0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动求D点处入射波与反射波的合振动方程（设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为n） 解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为 2分则反射波的表达式是 2分合成波表达式（驻波）为 2分在t = 0时，x = 0处的质点y0 = 0， ， 故得 2分因此，D点处的合成振动方程是 2分23. 如图，一角频率为w ，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播，设在t = 0时该波在原