华师版 4 垂径定理的推论新.ppt

垂径定理推论 学习目标 掌握垂径定理及其推论 并能解答 实际问题 自学导纲 1 垂径定理及推论的题设和结论各有几条 你知 知二得三 的含义吗 自学课本 P37 2 结合右图用符号语言表达出垂径定理及推论 O A C B N M D 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 回顾 O A C B N M D 或 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 任意一条直径都是圆的对称轴 M O A C B N 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 M O A C B N 直线MN过圆心O MN AB AC BC 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 垂径定理 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句 会有一些什么样的结论呢 直线MN过圆心O MN AB AC BC 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 垂径定理 课题 垂直于弦的直径 2 垂径定理的推论 M O A C B N 直线MN过圆心 AC BC MN AB 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 探索一 结论 AC BCOA OB MN AB弧AM 弧BM弧AN 弧BN 连接OA OB 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 O A B M N 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但是它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论就不一定成立 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 C D M O A C B N MN AB AC BC 直线MN过圆心O 弧AM 弧BM 弧AN 弧BN 探索二 推论1 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 这里的弦可以是直径吗 M O A C B N MN AB AC BC 弧AM 弧BM 直线MN过圆心O 弧AN 弧BN 探索三 推论1 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 驶向胜利的彼岸 挑战自我填一填 1 判断 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 2 在半径为5 的 O中 弦AB 8 则O到AB的距离 OAB的余弦值 0 8 3mm C D A B E 推论1 2 应用 例1 平分已知弧AB 已知 弧AB 作法 连结AB 作AB的垂直平分线CD 交弧AB于点E 点E就是所求弧AB的中点 求作 弧AB的中点 C D A B E F G 变式一 求弧AB的四等分点 m n C D A B M T E F G H N P 错在哪里 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线 作AB的垂直平分线CD 作AT BT的垂直平分线EF GH C A B E 变式二 你能确定弧AB的圆心吗 m n D C A B E m n O 你能破镜重圆吗 A B A C m n O 作弦AB AC及它们的垂直平分线m n 交于O点 以O为圆心 OA为半径作圆 破镜重圆 A B C m n O 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 作图依据 垂径定理的应用 例1如图 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE CD垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解 连接OC 老师提示 注意闪烁的三角形的特点 赵州石拱桥 1 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2m 求桥拱的半径 精确到0 1m 你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗 赵州石拱桥 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 由题设 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 赵州石拱桥的桥拱半径约为27 9m 船能过拱桥吗 2 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 相信自己能独立完成解答 船能过拱桥吗 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 由题设得 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 3 9 m 在Rt ONH中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 垂径定理三角形 在a d r h中 已知其中任意两个量 可以求出其它两个量 d h r 已知 如图 直径CD AB 垂足为E 若半径R 2 AB 求OE DE的长 若半径R 2 OE 1 求AB DE的长 由 两题的启发 你还能编出什么其他问题 达标测试 1 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 D C 2 在 O半径为10 弦AB 12 CD 16 且AB CD 求AB与CD之间的离 分析 本题目属于 图形不明确型 题目 应分类求解 如右图 1 当弦AB与CD在圆心O的两侧时 如图23 1 8 所示 作OG AB 垂足为G 延长GO交CD于H 连结OA OC AB CD GH AB GH CD OG AB AB 12 同理 Rt AOG中 Rt COH中 GH OG OH 14 2 当弦AB与CD位于圆心O的同侧时 如图23 1 8 所示 GH OG OH 8 6 2 回味引伸垂径定理及其推论1的实质是把 1 直线MN过圆心 2 直线MN垂直AB 3 直线MN平分AB 4 直线MN平分弧AMB 5 直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合 分别推出了其余的三个结论 这样的组合还有六种 由于时间有限 课堂上未作进一步的推导 同学们课下不妨试一试 作业 1 O的半径为6 弦AB的长为方程x2 5x 6 0的一根 求 圆心O到弦AB的距离及AB所对的圆心角为多少 2 如图所示 残破的轮片上弓形的弦AB 5