物理学院1005-2010231279-刘航.doc

学院_ 物理学院_专业_物理学_班级_1005_本专 学号_20102312739_姓名_刘航_ 鲁东大学 20112012学年第一学期 数学史 课程论文课程号：2191010任课教师 范永顺 成绩 论文题目：微积分的起源和发展 论文要求：（对论文题目、内容、行文、字数等作出判分规定。）格式要求参考毕业论文要求。字数3000左右。选题与学术水平占40分，论证能力占25分，论文撰写质量占25分、学习态度与论文字数占10分。教师评语： 教师签字： 年 月 日第一章微积分的思想萌芽 现代成熟的一整套微积分理论，其基本思想在几千年前的古代就已经萌发，其中以古希腊和中国两个文明古国为代表。第一节古希腊微积分思想简介 古希腊哲学家芝诺一擅长提出不可思议的悖论而著称。这类悖论和人们的经验明显背道而驰，但又让人难以反驳。比如，他曾经提出了飞矢不动悖论。他认为任何人一个物体处在时空中的一点，那么这个物体是静止不动的，及速度为零。然而，飞出去的箭正好满足他的理论，故飞箭不动就理所当然的成立了。他还提出了阿基里斯悖。阿基里斯是荷马史诗中的飞毛腿，然而他却连一只小乌龟也追不上。他是折磨人思考的：乌龟在前面爬，阿吉在后面追赶。为了追上它，他应跑到他们距离的中点。当跑到终点后，乌龟又爬行了一段距离，故他必须到达一个新的中点如此下去，他永远也追不上那只小乌龟。这两个妙趣横生的悖论已经包含了古希腊人对时空，连续和无限的认识。德谟克利特，古希腊原子论的代表人物。他在思考分隔物质时得到启发：“物质不能无限的分割下去，存在一个最小物质单元，叫做原子”，原子及不可分割的意思。他认为数学中的点，线，面都是原子组成的，这种思想叫做数学原子论。原子即点，而点是无穷小的。问题由此产生-什么是无穷小？是零吗？如果是零，则无穷多的零仍然是零！如果不是零，则无穷多的原子将组成的无限长线，这是显然错误的！第二节中国的微积分思想 这方面的代表人物有惠施。“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，“至大无外为之大一，至小无内为之小 ”。这里就已经有了关于无穷的思索。中国名家也有论断“飞鸟之影未尝动也”，这另人不由得的想起了芝诺，他们观点如此之吻合，异曲同工之妙！这或许是人类发展到这一阶段的必然结果。墨家也有自己的微积分思想。 他们认为，如果将一根线无限的分割下去，你最后得到的将是一个点，而这种思想与德谟克利特的原子论相吻合！第二章微积分的酝酿就像是一坛好酒，从最初的酿造到最后能够进入我们的嘴中必须经过长时间的酝酿。当然，微积分这坛好酒也决不能缺少这个环节。而这个阶段还是退出了中国“市场”，由西方数学家完成。到了17世纪，数学家们需要求出曲线的长度和围城的面积以及各种几何体的体积大小。虽然数学必须是严谨的建立在坚实的基础上的一门学科，但是出于当时迫切的需要，于是数学家们采取了一种粗糙的理论基础不完善的方法，但是去是非常的实用。第一节积分学的发展开普勒是使用这种方法的第一人。他在研究行星运动规律是遇到的一个求椭圆弧长和面积的问题。他处理这种问题的方法如下：把一个圆分成无穷多个一圆心为顶点，半径为要的三角形。因为三角形的数量无穷，故他们的底就是圆的周长。则圆的面积S=。他用类似的方法计算出了球的体积公式。把球看成是由无穷多的棱锥组成，其顶点在球心，球面是其底面。由棱锥的体积公式得到球的体积公式为V=。这种方法的粗糙我们一目了然。就算把圆分割成了无数的三角形，圆的弧长永远也不能和三角形的底边划等号，虽然此时他们十分接近。虽然得到了正确的结果，这种方法为微积分的发展做出了积极的影响。此后的费马，帕斯卡等人都从不同的角度对这一时期做出了贡献。第二节微分学的发展微分学里有两个基本问题，就是极值和切线的问题。费马对此做出了贡献。他思考了一问题：把长度为b的线段划分为两个线段 x和b-x，使最大。接下来他用代替，写出虚拟等式：。除去，得，舍掉，把换成，得到，这就是使最大值的x值。但他对切线的研究不是很成功。这部分工作由牛顿的老实巴罗完成。设有曲线，作处的切线。考虑附近的任意小弧段，N点坐标为，有。他舍掉包含a和e的幂和积得项。求求的切线。 。舍掉的高次项，得，解得。第三章微积分的发现 牛顿是微积分的发明者之一。他以运动学的观点建立了微积分。1665年1月，他发明了流数术（微分法），同年5月，建立了反流数术（积分法），他引入了无穷小的概念。用他的方法解笛卡尔问题是这样的：把中的和分别换成和，得到。展开后得消去和为零的项并除去，在略去含的无穷小量，得到。他发现了微积分基本定理，于是将积分和微分统一了起来，明确了他们之间互逆的内在关系。莱布尼茨从几何学观点出发而独自发明了微积分，并且相当成功的发明了积分符号和微分符号d.他把微分看成是相邻两值无限小的差，而积分则是有变量分成无穷多个微分的和。在莱布尼茨这里，积分和微分之间的互逆关系是显然的。用莱布尼茨的观点求解给定曲线所围成的面积：y是已知曲线的纵坐标，假如存在曲线z，使得则给出曲线围成的面积为。而区间上得面积=。第四章危机的降临第二次数学危机席卷了整个世界。这个危机却是英国一为著名的唯心主义哲学家为了维护宗教而发起的，他就是大名鼎鼎的贝克莱。我们知道，在微积分建立之初，牛顿就模棱两可的使用无穷小这个概念。他一会而把它当做不为零的数去除其他数，一会儿当做0直接略去。贝克莱正是抓住了这个漏洞才对微积分发起了猛烈的攻击！由于当时的绝大多数数学家都十分信赖微积分，又对贝克莱的难以反驳，故称之为贝克莱悖论。这一悖论揭示了微积分的逻辑矛盾，于是一场数学危机由此爆发。第五章最后的完善泰勒，伯努利家族以及欧拉柯西和维尔斯特拉斯对这场风波的终结做出了贡献。本章只简要讨论后两位的工作，当然其他人的工作也是十分出色的。柯西是法国数学家。从19世纪20年代起，他就致力于分析得严格化。他看出极限是微积分混乱的关键所在。他是这样对极限下定义的：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定的值，最终与这个固定的值之差要多小就有多小，该值就称为其值的极限”。他对无穷小的定义：当同一变量逐次取得的的绝对值无限减小，以致比任何给定的值还小，这个变量就成为无穷小量，以零为其极限。他的无限小不再是一个固定的值，而是一个以零为极限值的极限。这样一来，困扰人类2000年的无穷小量终于被澄清，在此基础上，他又定义了连续导数微分积分的概念。而这些概念正是我们今天仍在使用的。在这之后，维尔斯特拉斯给出了著名的“”定义，以消除柯西定义使人们把无穷小量与时间和运动联系起来，从而摆脱了对集合和运动的依赖。然后再是自然数理论的建立，最终平息了这场数学危机，同时也标志着微