成贤教材-高数B下§9.1二重积分的的概念与质.doc

9.1二重积分的的概念与性质9.1.1 曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是面上的有界闭区，侧面是以边界曲线为准线而母线平行于的柱面，它的顶是曲面，且在连续。这种立体称为曲顶柱体。试求该曲顶柱体的体积。 当(为常数,)时，即为平顶柱体，其体积 ，其中是有界闭区域的面积。 若柱体的顶是曲面，它的高在上是变量，其体积就不能用上面的公式 来计算。我们可仿照求曲边梯形面积的思路，把分成许多小区域，由于在上连续，它在每个小区域上的变化很小，因而相应每个小区域上的小曲顶柱体的体积就可用平顶柱体的体积来近似代替，且区域分割得愈细，近似值的精度就愈高。于是通过求和、取极限就能算得整个曲顶柱体的体积。具体作法如下： （1）分割。将任意分成子域：，。并以表示第子域的面积。然后以每个子域的边界曲线为准线，作母线于平行的柱面，这些柱面就把原来的曲顶柱体分成n个小的曲顶柱体。（2）近似。，用以为高，为底的平顶柱体的体积近似代替第小曲顶柱体的体积，即。（3）求和。将这n个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体体积的近似值，即 （4）取极限设，当时上面和式的极限就是曲顶柱体的体积，即 。2.平面薄片的质量。 设有一平面薄片在平面上占有区域，其面密度为上的连续函数，求该平面薄片的质量。 当时，均匀薄片的质量面密度薄片面积，即。 当薄片的面密度在上是变量时，它的质量就不能用上面的公式计算，可仿照求曲顶柱体体积的思想方法，通过“分割、近似、求和、取极限” 这四个步骤，求得非均匀分布的平面薄片的质量。（1）分割将薄片(即区域D)任意分成个子域：，并以表示第个子域的面积。（2）近似由于在上连续，因此当的直径很小时，这个子域上的面密度变化也很小，即其质量可以看作是均匀分布的。，第块薄片的质量的近似值为。（3）求和将这个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到整个平面薄片质量的近似值，即。（4）取极限当个子域的最大直径时，上述和式的极限就是所求薄片的质量，即 。9。1。2二重积分的概念定义 设是有界闭区域上的有界函数。将闭区域任意分成个小闭区域:，并以表示第个小闭区域的面积。，作和式 。若当各小闭区域的最大直径时，和式的极限存在，则称此极限为在闭区域上的二重积分，记作，即 。 （1）其中称为二重积分号，称为积分区域，称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分变量，称为积分和。 若函数在有界闭区域D上连续，则二重积分必定存在。 由二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是柱体的高在底面区域上的二重积分，即。 非均匀分布的平面薄片的质量，就是它的面密度在薄片所占有的区域上的二重积分，即 。二重积分的几何意义 当时， 的几何意义就是图中所示的曲顶柱体的体积； 当时，柱体在平面的下方，表示曲顶柱体体积的相反值，即二重积分才是该曲顶柱体的体积。 当在D上有正有负时，若规定在面上方的柱体体积取正号，在面下方的柱体体积取负号，则的值就是这些上下方柱体体积的代数和。9.1.3 二重积分的性质性质1 （为常数）。及。性质2若，则。若在上，且的面积为，则。 性质3 若在上，则。 ， ，即得性质4 。性质5（二重积分中值定理） 设在有界闭区域上连续，记为的面积，则在上至少存在一点，使得。证明：显然时，由性质6中不等式， 得， 根据闭区域上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得 ，从而。 通常称为在区域上的平均值。估值定理 若和分别为在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则。例试用二重积分表示由椭圆抛物面，抛物柱面及平面，所围成的曲顶柱体的体积，并用不等式组表示曲顶柱体在面上的底。解： ：；或： 。9.2二重积分的计算9.21 直角坐标系中二重积分的计算 当时，的值等于以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。而平行截面面积为已知的立体的体积又可以用定积分来计算。这就启示我们可以用二重积分的几何意义来寻求二重积分的计算方法。1积分区域D为X型区域 设D： 其中，。 如图所示的积分区域称为X型区域。 下面用切片法来计算二重积分所表示的柱体的体积。 过上一点，作与平面平行的平面，此平面与曲顶柱体相交所得的截面是一个以区间为底，曲线为曲边的曲边梯形，其截面面积为 。 一般地，过区间a,b上任一点x且平行于平面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为。 应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为 ， 故 上式右端的积分叫做先对y后对x的二次积分，就是先把看作常数，把只看作的函数，并对计算从到的定积分；然后把算得的结果（是的函数）再对计算在区间上的定积分。公式常记作 。 这就是把二重积分化为先对后对的二次积分的公式。记忆口诀：“先积一条线，再扫一个面”。 应用公式时，必须是X型区域。X型区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交不多于两点。2积分区域D为Y型区域 设D： 其中、。 如图所示的积分区域称为Y型区域。 类似可得，二重积分 上式右端的积分称为先对x后对y的二次积分公式。 用公式时，必须是Y型区域。Y型区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与D的边界相交不多于两点。3积分区域既不是X型区域也不是Y型区域。 当平行于坐标轴的直线与的边界曲线的交点多于两点时，一般可把分成几个子区域，分别按X型或Y型区域计算，然后再根据区域可加性得到在整个区域上的二重积分。例如在图中，把分成三部分，它们都是X型区域。4积分区域D既是X型区域又是Y型区域。 D是X型的，可表示为：； D又是Y型的，可表示为：，则有 。 二重积分化为二次积分时，确定积分限是关键。其定限方法如下：（1）在平面上画出积分区域的图形；（2）若区域D为X型的，则把D为投影到x轴上，得投影区间，a和b就是对x积分的下限和上限。， 过点x画一条与y轴平行的直线，假如它与边界曲线交点的纵坐标分别为和，且，则就是对y积分的下限和上限。 为了准确起见，建议同学们解题时必须画出草图，算出并在图上标出交点，必须搞清哪条线在哪条线的上方，哪个点在哪个点的左方。 定限原则：（1）上限一定要大于下限， （2）最外层的限不允许有积分变量。 讨论二重积分时，有三种类型的题目：置限、换序和计算。例1计算，其中是由直线，及所围成的闭区域。解法1：是X型的，：， 解法2：是型的，：。 注：化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序与积分顺序相反。 在计算内积分时，外积分变量是常数。B(1，-1)A(4，2)2例2计算，其中由和所围成。解：既是X型区域，又是Y型区域。（方法1）先积x后积y： 。（方法2）先积y后积x， ：，：。 。（1，1）1例3，其中是由直线，和y轴所围成。解：若先积后积，得，因为的原函数不是初等函数，则无法计算积分的值，故只能用先积x后积y的次序进行计算。 。积分次序的选择原则：（1） 第一原则函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出。（2） 第二原则区域原则：若积分区域是X型（或Y型）则先对y(或x)积分。（3） 第三原则分块原则：若积分区域既是X型又是Y型且满足第一原则时， 要使积分分块最少。例4交换二次积分的积分次序。（1）-224 交换二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历 “由限画图”和“由图定限”两个过程。解：先积x后积y， 则D：， 先积y后积x，则， ：，：， 。1（2） 解：先积后积，则， ：，：， 先积后积， D：，。例5设是平面上以，和为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分，若，试问下列等式是否成立？（1）； （2）；（3）。解：将区域分为四个子区域：、。显然与关于轴对称，与关于轴对称，将分为两个二重积分，记 ，。 关于和关于都是奇函数， ，。 是关于的奇函数，关于的偶函数， ， ， 从而，故等式（1）、（3）不成立；等式（2）成立。 5利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化重积分的计算： 设在有界闭区域上的可积，（1）若关于对称，则 （2）若关于对称，则 （3）若关于原点对称，则（4）若积分区域直线对称时，即， 则。 又若，且关于直线对称，则 。6求，其中。解：抛物线把分为两个子区域： ， 。 被积函数在上是关于的偶函数，积分区域关于轴对称， 、也关于轴对