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大学物理本科教学研究论文 一、引言 自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的非线性系统。自然界面对的更多的是非线性问题。而我们的大学物理教学介绍的几乎全是线性问题，即使遇到非线性问题，不是回避就是把它线性化，这是大学物理教学的一个缺点。我们在大学物理教学中引入混沌、复杂网络及自组织临界理论和分形等非线性物理知识，通过介绍理论和在课堂上用多媒体演示，使大学一年级的学生很容易理解非线性物理的知识，对物理规律的认识更加深入和全面，并取得了良好的教学效果。 二、混沌 非线性动力学中提出的混沌理论已经成为目前非线性科学研究中的热点问题。无数的无序、非平衡和随机的非线性系统存在于自然界中。美国的著名气象学家Lorenz建立了一个仿真的气象模型。Lorenz的气象模型对初始条件的微小不同是非常敏感的，他把此种现象称之为“蝴蝶效应”。也就是说：在巴西热带雨林的蝴蝶扇动翅膀，有可能在美国德克萨斯州产生一场龙卷风。这个效应告诉我们初始条件非常重要。我们尝试在大学物理课堂教学上用多媒体演示各种典型混沌系统的吸引子和功率谱，运用MATLAB编程展示系统如何进入混沌，还有混沌对初值的敏感性，许多非线性动力学系统都是通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的，系统如果处于混沌运动状态，那么它以后的运动状态将敏感依赖初值，并且具有不可预测性。我们通过这些多媒体演示，使大学一年级学生很容易理解非线性混沌的知识，并取得了较好的教学效果，对大学本科学生的物理教学具有指导意义。 三、复杂网络和自组织临界理论 （一）复杂网络 自然界和人类社会中存在的大量复杂系统都可通过各种网络来描述。至于用什么样的网络拓扑结构才能对实际系统进行准确的描述，人们研究此问题经历了三个时期：规则网络、随机网络和复杂网络。最初科学家们认为真实系统各因素间的关系可用一些规则结构表示，如欧几里德网格。后来数学家们构想，两个节点之间连边与否不再具有确定性，而是由概率确定，此网络称为随机网络。近十几年来科学家研究得出结论：很多实际网络既不是随机网络，也不是规则网络，而是具有与随机网络和规则网络都不同性质的网络，称之为复杂网络。这些工作发表在国际顶级期刊Nature和Science上，对复杂网络的研究标志着第三个时期的网络研究的来临。Watts。D。J等经过研究发现，复杂网络具有无标度特性和小世界效应，这是复杂网络与随机网络和规则网络都不同的统计特征。描述网络的基本参数有两个：网络的平均距离和网络的簇系数。在网络中，连接两个节点最短路径所包含的边的数目称为它们间的距离，网络的平均距离就是把所有节点对的距离求平均。规则网络和随机网络是两个极端。只需要在规则网络上稍作随机改动就可以同时具备大的簇系数和小的平均距离两个性质。物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个特征统称为小世界效应。我们尝试在大学物理课堂教学上用多媒体演示了复杂网络和规则网络、随机网络的不同之处，通过这些演示，可以使大学一年级的本科生对复杂网络和规则网络、随机网络有简单的了解，并取得了不错的教学效果，也对网络的认知更加全面。 （二）自组织临界理论 社会生活和自然界中存在着众多的“标度不变”行为。很多不规则复杂的分形结构存在于自然界中，例如山峦、海岸线、云雾等，它们的基本特征共同之处都是同时具有标度不变性和自相似性。在生物学、地震学、社会学、经济学和语言学里，我们也总是能找到某一个量N（S）来表示为另一个量S的幂次：N（S）S，即这个量的概率分布在双对数图上基本是一条直线，它表明对其而言无特征尺度，各种大小的量均可出现。BakP等人提出自组织临界理论来解释此现象，他们用原胞自动机模型（现在被称为“沙堆模型”）来阐述自组织临界理论，其雪崩大小概率分布服从幂指规律，表明雪崩事件是高度关联的。 复杂网络可广泛用来描述自然与社会领域的众多现象，网络是包含大量个体及个体之间相互作用的系统，“节点”代表系统的组成元素，“边”说明元素之间的关系。物理学家研究发现很多真实网络的度分布也呈现无标度特性。复杂网络的无标度特性表明它与自组织临界性存在着极其密切的关系。ArcangelisLDe等以沙堆模型为背景研究了二维小世界网络的自组织临界性，对于任意的重连概率，系统均展示自组织临界行为。网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的雪崩动力学是物理学家争论的一个焦点，周涛等对无标度网络上自组织临界沙堆模型的研究表明，沙堆模型的雪崩动力学性质对复杂网络特殊的拓扑结构非常敏感。潘贵军等研究了复杂网络上定向沙堆模型的自组织临界行为，发现网络的方向性显著影响了复杂网络上的动力学行为。孙凡等还研究了复杂网络上地震模型的自组织临界行为，发现不同的不均匀性、倒塌规则和驱动机制一定会影响系统的临界行为，改变模型的普适类。 这些工作对复杂系统研究都具有积极的意义。我们尝试在大学物理课堂教学上用计算机编程演示了自组织临界沙堆模型，通过这些演示，可以使大学一年级的学生对自组织临界理论有简单的了解。通过这些多媒体演示，使大学一年级学生很容易理解自组织临界理论的一些基本概念和基本观点，并取得了较好的教学效果。 四、分形 分形理论是非线性物理的一个重要分支。分形（Fractal）概念是由MandclbrotBB在Science上发表的一篇论文中提出的。目前分形理论已经应用于很多领域，如数学、材料学、生物学、地理学和计算机科学等。 （一）谢尔宾斯基“地毯” 谢尔宾斯基“地毯”是一种规则分形，此分型的形成方法是取一正方形，将它等分为九个正方形，我们去掉中间的正方形，随后把留下来的八个正方形彼此再均分成为更微小的九个正方形，然后我们再去掉彼此中央的正方形。我们按照这个规则一直分至无穷小，它的极限图就构成了谢尔宾斯基“地毯”。这个极限图形的面积是接近零的，但是小正方形的数量接近无穷打，作为小正方形边的线段总长度趋于无穷大。它的图形则具有严格的无标度性和自相似性，图形的空间维数处于1和2之间。 （二）科契雪花曲线 “科契雪花”曲线的构造规则是，以一个正三角形作为源多边形，即为初始元。将正三角形的每一条边三等分，舍去中间的1/3，而改变成夹角为60的两端等长的折线。从该三角形一条边出发进行演变的过程：首先将正三角形的一条边的直线部分按生成元来变形，形成折线，照这样不断继续下去，一直到无穷，它的极限图形就形成了科契曲线的一部分。再将该部分曲线顺、逆时针各旋转300，拼接组合，即形成科契曲线。因为它的形状很像雪花，所以我们称之为“科契雪花”曲线。我们在课堂上介绍了两种基本规则分形图形谢尔宾斯基“地毯”和“科契雪花”曲线的形成过程，计算了它们各自的分维值，并用MATLAB程序进行了模拟绘制。我们通过多媒体演示，使大学一年级的学生很容易掌握分形的知识，并取得了很好的教学效果。 五、结语 在大学物理课堂上引入混沌、复杂网络及自组织临界理论和