正比例函数的概念.doc

初中函数知识点总复习姓名 正比例函数的概念 一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数） 当K0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大 当K0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k0时，图象位于 象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？ 以上各种商都是一定的，那么被除数和除数 所表示的两种相关联的量，成正比例关系 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成ykx (k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-。编辑本段反比例函数表达式 ykx 其中X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k1/x xy=k y=kx-1 y=kx(k为常数(k0），x不等于0）反比例函数的自变量的取值范围 k 0; 一般情况下 , 自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数 ; 函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .编辑本段反比例函数图象 反比例函数的图象属于双曲线, 曲线越来越接近X和Y轴但不会 （K0）。反比例函数性质 1.当k0时，图象分别位于 象限；当k0时.在同一个象限内，y随x的增大而 ；当k0时，函数在x0上同为 函数；k0时，函数在x0上同为 函数。 定义域为x0；值域为y0。 3.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是 对称图形，又是 对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b+4km（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。反比例函数的应用 【例1】反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式 【例2】直线 与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求： （1）直线与双曲线的解析式； （2）点A、A1的坐标.一次函数 【解释】函数的基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为yKxb（其中b为任意常数,k不等于0），当b0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx编辑本段基本定义 变量：变化的量 常量：不变的量 自变量x和X的一次函数y有如下关系： y=kx+b （k为任意不为零常数，b为任意常数） 当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。 x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。 特别的，当b=0时，y是x的 函数。即：y=kx （k为常量，但K0）正比例函数图像经过 。 定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。函数性质 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b（k0) （k不等于0，且k，b为常数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b). 3 为一次函数y=kx+b的斜率,k=tan(角为一次函数图象与x轴正方向夹角,90) 形、取、象、交、减。 4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为 函数， 是特殊的一次函数. 5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像 ；当k不同，且b相等，图像 ；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。图像性质1作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表 （2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理； （3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b） 2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 3函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 4k，b与函数图像所在象限： y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k0时，直线必通过 象限，y随x的增大而 ； 当k0时，直线必通过 象限，y随x的增大而 。 y=kx+b时： 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过 象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过 象限。 当 k0, 这时此函数的图象经过 象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象经过 象限。 当b0时，直线必通过 象限； 当b0时，直线必通过 象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过 象限，不会通过 象限。当k0时，直线只通过 象限，不会通过 象限。 4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）解析式类型 一般式 斜截式 （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0） 点斜式 （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点） ) 两点式 （x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点） 截距式 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 解析式表达局限性： 所需条件较多（3个）； 、不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）； 参数较多，计算过于烦琐； 不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)常用公式 1.求函数图像的k值： 2.求与x轴平行线段的中点： 3.求与y轴平行线段的中点： 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意2点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) x y + + 在第一象限 + - 在第四象限 - + 在第二象限 - - 在第三象限 8.若两条直线 y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b2 9.如两条直线 y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1k2=-1 10.y=k（x-n）+b就是向 平移n个单位 y=k（x+n）+b就是向 平移n个单位 口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变k） y=kx+b+n就是向 平移n个单位 y=kx+b-n就是向 平移n个单位 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）数学问题一、确定字母系数的取值范围 例1 已知正比例函数 ，则当ky2，则x1与x2的大小关系是（ ） A. x1x2 B. x10，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限典型例题例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围. 例2 某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？ 例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2x6，相应的函数值的范围是-11y9.求此函数的的解析式。二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：1：y=ax2;+bx+c(a0，a、b、c为常数)， 则称y为x的二次函 数。顶点坐标 2：顶点式：y=a(x-h）2+k或y=a(x+m)2+k (两个式子实质一样, 但初中课本上都是第一个式子) 3：交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=-b根号下(b2-4ac)/2a (即一元二次方程求根公式） 求根的方法还有十字相乘法和配方法二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意：草图要有 1本身图像，旁边注名函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是 轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴 侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时 （即ab 0 ），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac0时，抛物线与x轴有 个交点。 = b2-4ac=0时，抛物线与x轴有 个交点。 = b2-4ac0时，抛物线与x轴 。 当a0时，函数在x= -b/2a处取得最 值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y4ac-b2/4a相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0) 7.特殊值的形式 当x=1时 y=a+b+c 当x=-1时 y=a-b+c 当x=2时 y=4a+2b+c 当x=-2时 y=4a-2b+c 8.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）(4ac-b2)/4a， 正无穷）；t，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax2; (0，K) x=0 y=ax2+K (h，0) x=0 y=a(x-h)2; (0，0) x=h y=a(x-h)2+k (h，k) x=h y=ax2+bx+c (-b/2a，4ac-b2/4a) x=-b/2a 当h0时，y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向 平行移动 个单位得到， 当h0,k0时，将抛物线y=ax2;向 平行移动 个单位，再向 移动 个单位，就