勾股定理全章导学案.doc

汤原一中八年级数学导学案课题：勾股定理（一）备课时间主备教师参与教师审核人学习目标：1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程：（一）、课前预习1、直角ABC的主要性质是：C=90（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系： （2）若D为斜边中点，则斜边中线 （3）若B=30，则B的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长。（2）、再画一个两直角边为5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的长问题：你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，3、完成65页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2由此我们可以得出什么结论？可猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 。（二）、勾股定理的证明1、已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。求证： 证明：4S+S小正=S大正=根据的等量关系：由此我们得出：勾股定理的内容是： 。 （三）随堂练习 1、在RtABC中， ，（1）如果a=3，b=4，则c=_；（2）如果a=6，b=8，则c=_；（3）如果a=5，b=12，则c=_；第4题图S1S2S3(4) 如果a=15，b=20，则c=_. 2、下列说法正确的是（）A.若、是ABC的三边，则B.若、是RtABC的三边，则C.若、是RtABC的三边， 则D.若、是RtABC的三边， ，则3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A斜边长为25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S125，S2144，则另一个的面积S3为_ 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形（四）当堂检测：1在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_。2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。 4、已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积课后练习：1、在RtABC，C=90（1）已知a=b=5,求c。（2）已知a=1,c=2, 求b。北南A东第4题图（3）已知c=17,b=8, 求a。（4）已知a：b=1：2,c=5, 求a。（5）已知b=15，A=30，求a，c。2、已知，AB=17 AC=10,BC边上高AD=8，则BC长为 。3、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是6和3.则斜边长是 。4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 。5、若直角三角形三边存在关系，则最长边是 。6、在，C90AB=34,并且AC:BC=8:15,则AC= BC= 7、直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为 8、已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙俩人相距 9、一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为 10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_11、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做_？12、已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是_13、如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为,且 ；14、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为 15、在RtABC中，C90，B45,c10，则a的长为 16、如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出A=40B50，AB5公里，BC4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？17、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?18、如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9。CABD(1)求DC的长。(2)求AB的长。利用列方程求线段的长19、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ADEBC20、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？汤原一中八年级数学导学案课题：勾股定理（二）备课时间主备教师参与教师审核人学习目标：1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。学习重点：勾股定理的简单计算。学习难点：勾股定理的灵活运用。学习过程：例1分析：注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。在RtABC中，根据勾股定理AC = + 因为 AC=2.236因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过课堂练习1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。第3题2小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，B=60，则江面的宽度为 。3有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。第4题4一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RPPQ，则RQ= 厘米。当堂检测1一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 2山坡上两株树木之间的坡面距离是4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。2题图 3题图 5题图3、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度5、如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？6、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？CAB8km6km课后作业1、ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为 2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 3、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m；第3题第2题4、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 5、已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC， ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的长。6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观测点120907、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.第4题OAB8、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？9、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.10402040出发点70终止点10、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行多少cm？汤原一中八年级数学导学案课题：勾股定理（三）备课时间主备教师参与教师审核人学习目标：1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。学习重点：勾股定理的综合应用。学习难点：勾股定理的综合应用。学习过程：（一）、课前预习：复习勾股定理的内容。（二）、例题讲解例1：已知：在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD= ，求线段AB的长。解答过程：例2：已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。解答过程：小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例3（教材探究3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB， (1)说出数轴上点A所表示的数（2）在数轴上作出对应的点课堂练习：1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）ABCD7cmABCA. 0 B. 1 C. 2 D. 3第4题图第2题图第2题图第1题图第4题图2. 如图所示，在ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）A.abc B. cab C. cba D. bac3等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_当堂检测：1、如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（ ）（A）-10 （B） -10 （C） 8 （D） -122ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，SABC= 。3ABC中，若A=B=C，AC=10 cm，则A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，SABC= 。4ABC中，C=90，AB=4，BC= ，CDAB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。课后作业：1.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边上的高为 .2三角形的两边长分别为3和5要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是 .3ABC中，AB=10，BC=16BC边上的中线AD=6则AC= .4如图所示，一个梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为1米，则梯子顶端A下落了 米.5如图将一根长24的筷子，置于底面直径为5，高为12的圆柱形水杯中设筷子露在杯子外面的长度是为。则的取值范围是 .6在ABC中，C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要_分的时间.7.若ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是 .8、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ； 9. 如图四边形中，AB=3,BC=4, CD=12, DA=13,且ABC=90，则四边形的面积是( )A.84 B.36 C. D.无法确定.10. 如图，已知矩形沿着直线BD折叠使点C落在C处,BC交AD于E，AD=8，AB=4则DE的长为( )A3 B. 4 C. 5 D. 611有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.CDAB第12题图12已知，如图，在RtABC中，C=90，1=2， CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.13有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm在A点处有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少汤原一中八年级数学导学案课题：勾股定理逆定理（一）备课时间主备教师参与教师审核人姜秋李玉华 钱秀范李春焱 杜成铭李玉华学习目标：1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。学习难点：勾股定理的逆定理的证明。学习过程：课前预习问题一：1、怎样判定一个三角形是直角三角形？2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c5、12、13 7、24、25 8、15、17（1）这三组数满足吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？猜想命题2：如果三角形的三边长、，满足，那么这个三角形是 三角形问题二：命题1： 命题2： 命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做 由此得到勾股定理逆定理： 例题讲解例1 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。例2 已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c， （n1）求证：C=90。课堂练习1判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。（ ） 命题：“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。（ ）勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（ ）ABC的三边之比是1：1： ，则ABC是直角三角形。（ ）2ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）A如果CB=A，则ABC是直角三角形。B如果，则ABC是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=，则ABC是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca= ，b= ，c= Da：b：c=2：3：44已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ （ ）(A)、a= ，b= ，c= ； （B）、a=5， b=7， c=9；（C）、a=2， b= ，c= ； （D）、a=5，b= ，c=1。当堂检测：1、任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。2、“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。3、一个三角形的三边之比为3；4：5，这个三角形的形状是_.4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是_.5、适合下列条件的ABC中, 直角三角形的个数为( )A=450;A=320, B=580; A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.6、三角形的三边长为,则这个三角形是( )A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 课后练习：1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果0，那么0；（ ）如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；（ ）如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；（ ）关于某条直线对称的两条线段一定相等。（ ）2在ABC中，b=2mn，则ABC是 三角形。3若三角形的三边是 1、2； ；32，42，52 9，40，41； （mn）21，2（mn），（mn）21；则构成的是直角三角形的有（ ）A2个 B3个4个5个4已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6；a=2，b=，c=4； a=5k，b=12k，c=13k（k0）。5. 已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.6. .阅读下列解题过程：已知、为ABC的三边且满足，试判断ABC的形状解：， ABC为直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号 ；(2)错误的原因是 ；(3)本题正确的结论是 。7、如图，在ABD中，A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，DBC是直角三角形吗？8、三角形的三边长分别为，（都是正整数），试判断三角形的形状 汤原一中八年级数学导学案课题：勾股定理逆定理（二）备课时间主备教师参与教师审核人姜秋李玉华 钱秀范李春焱 杜成铭李玉华学习目标：1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习过程：（一）、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。（二）、例题讲解例1 阅读课本分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 （三）课堂练习1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2. 三角形的三边长分别为a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定3如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b25五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） A B C D6、下列定理中,没有逆定理的是（ ）A：两直线平行，内错角相等 B：直角三角形两锐角互余C：对顶角相等 D：同位角相等，两直线平行7、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）A：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C：钝角三角形 D：直角三角形 FEACBD8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由. 当堂检测：1一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。2小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 3. 在ABC中,若AB2+BC2=AC2,则A+C= 0 .4如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？课后练习：1如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏 西 40，问：甲巡逻艇的航向？2如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。3、已知在ABD中，AB=13， BC=10，BC 边上的中线AD=12，求证：AB= AC4、已知，如图，在RtABC中，C=90，1=2， CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.CDAB第4题图汤原一中八年级数学导学案课题：勾股定理逆定理（三）备课时间主备教师参与教师审核人姜秋李玉华 钱秀范李春焱 杜成铭李玉华学习目标：1应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型2应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习过程：例1、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）ABC是什么类型的三角形？AMENCB（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？ 例2、已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断ABC的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，则都为0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例3 已知：如图，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD。求证：ABC是直角三角形。 课堂练习：1若ABC的三边a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则A