（应用数学专业论文）sinegordon方程的有限元解法.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：l 冱 日期：墅2 翌：查：堡 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：毖 导师签名：必l 至日 期：型翌：皇望 目录 中文摘要i 英文摘要1 i 第一章引言1 1 1 孤子理论的发展历史1 1 2 有限元法概述2 1 3s i n e - g o r d o n 方程的历史发展4 1 4 能量守恒性分析5 第二章半离散有限元格式8 2 1 有限元格式构造8 2 2 一维s i n e - g o r d o n 方程的半离散有限元格式及误差分析1 2 2 3 二维s i n e - g o r d o n 方程的半离散有限元格式及误差结果1 4 第三章全离散有限元格式1 5 3 1 一维s i n e - g o r d o n 方程的全离散有限元格式及误差分析1 5 3 2 二维s i n e - g o r d o n 方程的全离散有限元格式及误差结果2 0 3 ，3 三维s i n e - g o r d o n 方程的全离散格式的误差分析2 l 第四章三次样条有限元及问断有限元格式的构造2 5 4 1 三次样条有限元2 5 4 2 间断有限元格式的构造2 6 参考文献2 9 致谢3 3 c o n t e n t s d e f i n i t i o ns y m b o l m 1 it h e h i s t o r y v i e w i n g o f s o l i t o n 1 1 2t h e i n t r o d u c t i o n o f f i n i t ee l e m e n t m e t h o d 2 1 3d e v e l o p m e n t o f s i n e - g o r d o n e q u a t i o n 4 c h a p t e r 2t h es e m i d i s c r e t es c h e m e s 8 2 1t h e f o u n d a t i o no f f i n i t e e l e m e n ts c h e m e 8 2 2 t h es e m i d i s c r e t es c h e m e sa n de r o fa n a l y s i so fo n ed i m e n s i o n a ls i n e - g o r d o ne q u a t i o n 1 2 山东大学硕士学位论文 中文摘要 s i n e - g o r s o n 方程开始是在研究微分几何的表面高斯曲率中提出的，以后出现 在许多科学领域，如连接两个超导体约瑟夫森结，连接在拉伸线上的单摆运动，凝 聚态物理、非线性光学等领域中它是应用科学中重要的非线性方程之一很久以 来研究者用过很多种方法对它进行求解，有的给出了解析解，也有的用差分方法进 行数值求解，都得到了很好的结果，但是用有限元方法还没有给出很好的结果 有限元法是数值求解偏微分方程的一个很重要的数值方法它基于变分原理， 在边界条件的处理上方便，适应能力强，在物理力学和工程上一直有广泛的应用 本毕业论文共分四章在引言部分分别介绍了孤立子的历史发展进程，s i n e g o r d o n 的早期，近期的发展，并介绍了有限元方法的解题过程第二章和第三章我 们用有限元方法对方程进行求解，首先提出了半离散格式和全离散格式，然后分别 进行了误差分析第四章提出了间断有限元格式 关键词：s i n e - g o r d o n 方程；有限元；误差分析 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eo n e - d i m e n s i o n a ls i n e - g o r d o ne q u a t i o nw a sf i r s ti n t r o d u c e di nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , w h e ni tw a su s e dt od e s c n l o es u r f a c e sw i t hac o n s t a n tn e g a t i v eg a u s s i a nc u r v a t u r e b yl a t e r , i t w a si n v e s t i g a t e dt ob eu s e di nm a n yf i e l d so fs c i e n c e ，s u c ha sj o s e p h s o nj u n c t i o n sb e t w e e nt w o s u p e r c o n d u c t o r s ，t h em o t i o no fr i g i dp e n d u l a ra t t a c h e dt oas t r e t c h e dw i r e ，s o l i ds t a t ep h y s i c s ， n o n l i n e a ro p t i c sa n ds oo n i ti sr e g a r d e da so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tn o n l i n e a re q u a t i o n si n a p p l i e ds c i e n c e f o ral o n gt i m e , r e s e a r c h e r sh a v et r i e dav a r i e t yo fm e t h o d st os o l v ei t , s o m e p e o p l eg a v et h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n , s o m eu s e dt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d , b o t hm e t h o d sh a v e b e e na p p l i e ds u c c e s s f u l l yt os o l v ei t , b u tt h e r ei s1 1 0m u c hg o o dr e s u l t sf o rs o l v m gs ge q u a t i o nb y m e a n so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h i sp a p e r , w ea t t e m p tt oa p p l yf n i t ee l e m e n tm e t h o dt os o l v e s g e q u a t i o n t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sav e r yi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o dt os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b a s e do nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，i ti sn o to n l yc o n v e n i e n tt op r o c e s sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，b u ta l s os h o wg r e a ta d v a n t a g ei na d a p t i v e n e s s ，s o ，i th a sb e e nu s e di nm a n yf i e l d so fp h y s i c a l m e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n g t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rp a r t s i nt h ep r e f a c ep a r ti n t r o d u c e st h eh i s t o r yv i e w i n go fs o l i t o na n dt h ed e v e l o p m e n to fs i n e - g o r d o ne q u a t i o ni ne a r l ya n dr e c e n t l ya n ds o l v i n gs t e p so f f i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h es e c o n dp a r ta n dt h et h i r dp a r tw eu s ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt os o l v es i n e g o r d o ne q u a t i o n f i r s t l yw ep r o p o s e dt h es e m i d i s c r e t es c h e m e sa n dt h ef u l l yd i s c r e t es c h e m e s s e c o n d l yg i v e nt h ee r r o ra n a l y s i s i nt h el a s tp a r tw eg e tt h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o do f e q u a t i o n k e y w o r d s ：s i n e - g o r d o ne q u a t i o n ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e r r o ra n a l y s i s 山东大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 孤子理论的发展历史 与物理学其它理论的创立和发展一样，孤子理论源于观测并随实验 工作的深入而发展1 5 0 年前，罗素( r u s e l l ) 在运河边行走时，观察到 著名的”平移波“这一机遇改变了他的一生，使他将毕生大部分精力用 于确定这种波的性质，他首先认识到，孤立波是传播的一种基本模式， 如果没有摩擦，波幅将不会衰减，波形也将不会改变但是罗素的观点 受到当时的权威们的怀疑甚至反对s t o k e s 和a i r y 就曾对形状不变的行波 能否处在水面上质疑，他们认为观察到波幅减小说明这种波本来就不是 一种永行波3 0 年以后，罗素工作的正确性和重要性才逐步为人民所认 识例如1 8 2 7 年，b o u s s i n e s q 求出了被后人冠以他名字的水波近似方程的 解并且提出了色散与非线性平衡的基本思想1 8 9 5 年k o r t e w e gd ev r i e s 试 图回答a i r y 和s t o k e s 的异议，导出了著名的单向传播波的k d v 方程，这段 时期孤子理论的主要内容是证明孤波的存在性和永行性。 大约又过了6 0 年，一个最初被认为与孤波毫不相干的实验导致了孤 立子的发现为了研究固体的热传导率为何有限，f e r m i ，p a s t a 和u l a m ( f p u ) 在美国进行了一维非谐晶格的数值研究但是实际上实验没有得到预期的 结果，却对当时的物理学家的基本思想提出了挑战实验发现能量并不 像预期的那样最终驰豫到统计平衡态，而是经过在几个低级模间来回传 递之后回归到最低模这样的反常现象引起了应用数学家的重视，以此 为突破口他们发现了孤立子和个奇妙的非线性世界。在连续近似下， 他们得到的支配晶格运动的动力学方程和k d v 浅水波方程形式一致，并 到得方程的永形行波解这种解描述的脉冲波在相互作用中具有准粒子 的性质，因而被称为孤立子 山东大学硕士学位论文 孤子理论的发展一直受其实际的和可能的应用刺激，正是这种不断 的刺激促进理论的继续发展。1 9 5 0 年，g i n z b u r g - l a n d a u 导出超导电子对的 孤子方程。1 9 6 5 年j o s e p h s o n 给出描述耦合超导结的s i n e - g o r d o n 方程用孤 子理论解释某些超导点性质，成为超导理论的重要内容 1 2 有限元法概述 微分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了 弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作论动 力学中提出了特殊的偏微分方程这些著作当时没有引起多大注意 1 7 4 6 年，达朗贝尔在他的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中， 提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式这样就由对弦 振动的研究开创了偏微分方程这门学科 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研 究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应 该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。 在从事热流动的研究中，写出了热的解析理论，在文章中他提出了 三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程他的研究对偏微分方程的 发展的影响是很大的偏方程有很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方 程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。应该指出，偏微分方程的定 解虽然有各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是 不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近 似解常用的方法有变分法和有限差分法 大约在3 0 0 年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有 整体对局部的可加性虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是 不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有 2 山东大学硕士学位论文 限元技术准备好了一个理论基础在牛顿之后约一百年，著名数学家高 斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法这两项成果的前者被用 来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代 数方程组在1 8 世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析泛函分析是 将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经在1 9 世纪末及2 0 世纪初， 数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未 知函数。1 9 1 5 年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金 法，该方法被广泛地用于有限元1 9 4 3 年，数学家库朗德第一次提出了 可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数这实际上就 是有限元的做法所以，到这时为止，实现有限元技术的第二个理论基础 也已确立2 0 世纪5 0 年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分 析飞机的应力、应变等问题波音公司的一个技术小组，首先将连续体 的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得 前述的两个离散的成功2 0 世纪5 0 年代，大型电子计算机投入了解算大 型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1 9 6 0 年 前后，美国的wc l o u g h 教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提 出了“有限单元，这样的名词此后，这样的叫法被大家接受，有限元 技术从此正式诞生，并很快风靡世界。【 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把 计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的 节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其 导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理 或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形 式，便构成不同的有限元方法有限元方法最早应用于结构力学，后来随 着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟在有限元方法中，把计 3 山东大学硕士学位论文 算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择 基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上 总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解 可以看作是由所有单元上的近似解构成在河道数值模拟中，常见的有 限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、 最j 、- - 乘法等根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也 分为多种计算格式从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘 法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网 格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高 次插值函数等不同的组合同样构成不同的有限元计算格式对于权函 数，伽辽金( g a l e r k i n ) 法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法 是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差 最小；在配置法中，先在计算域内选取n 个配置点令近似解在选定的n 个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0 插值函数 一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的 乘积表示，但最常用的多项式插值函数有限元插值函数分为两大类，一 类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日( l a g r a n g e ) 多 项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值 点取已知值，称为哈密特( h e r m i t e ) 多项式插值 1 3s i n e - g o r d o n 方程的出现及发展 s i n e g o r d o n 方程的是在研究微分几何的表面高斯曲率中出现的近年 来，s i n e - g o r d o n 方程的数值近似解已经引起了人们的关注。它是应用科学 中重要的非线性方程之一s i n e - g o r d o n 方程出现在许多科学领域，如连接 两个超导体的约瑟夫森结【8 】，连接在拉伸线上的单摆运动等它在凝聚 4 山东大学硕士学位论文 态物理、非线性光学、生物物理、离子物理和非线性晶格等物理领域中 有着广泛的应用 s i n e g o r d o n 方程，包括阻尼的s i n e - g o r d o n 方程，已经有很多有关它的文 章发表它的弱形式解也被考虑用了多种方法进行求解。然而有些结果 是不完全的。这篇文章的目的就是要研究用有限元法解s i n e - g o r d o n 方程 1 4 能量守恒性 本论文首先研究了一维情形下的s i n e - g o r d o n 方程【8 】 u a + 励f = l k s i n u a 0 ( 1 ) - ， 、 ( 2 ) 其中区域q = “力，_ 口 j 口一b y b 我们假设口是充分可微的函数卢 是实数卢0 ，它被称为损耗系数 近年来人们找到很多种方法来近似求解s i n e - g o r d o n 型方程。如配置法广 差分法等a b l o w i t z 等人【2 】研究了双离散的数值性质，证明了离散化的 s i n e - g o r d o n 方程是完全可积并且给出了数值算例w e i 2 4 采用的是用卷积 对积分后的s i n e - g o r d o n 方程进行处理s h e n g 等人【2 3 】给出了分割的余弦格 式，并利用此格式对方程进行了求解。本毕业论文研究了用有限元方法 对s i n e - g o r d o n 方程进行求解的过程 方程( 1 ) 的边界条件 l b = p ( v ，) ， x = 一口，z = 儡 - b y 0 1 9 = 9 0 ，f ) ， y = 一b ，y = 色 一口 j 0 ( 3 ) ( 4 ) 5 山东大学硕士学位论文 初始条件是 u ( x , y , o ) = 八五力，u t 化t , o ) = 如”，“力q 其中q = f “州一口 工 口，一b y 0 离散g r o n w a l l 引理 令“七) 和妒是非负的网格函数如果c 0 ，袱) 是非递减函数，并 且满足下式 量一l 妒( d + c r 叫( o ， - - 0 那么对所有的k 有 础) 妒( 妒 7 山东大学硕士学位论文 第二章半离散有限元格式 2 1 有限元格式构造 有限元法早在1 9 6 0 年就被工程师们广泛应用，在过去的几十年中逐 渐成为可能是重要求解椭圆型方程，抛物型方程和双曲型方程中更是常 用的方法经过半个多世纪的发展有限元分析方法从弹性力学平面问题 扩展到空间问题、板壳问题；从线性问题扩展到非线性问题，从固体力学 领域扩展到流体力学，电磁学等其他连续介质领域，从单一物理场计算 扩展到多物理场的耦合计算，它经历了从低级到高级，从简单到复杂的 发展过程，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法而且从理论上 也已经证明，只要用于离散求解对象的单元足够小，所得的解就可足够 逼近于精确值它的精确解精度依赖于逼近的分段多项式函数的次数， 这种方法比有限差分法更能适应复杂的几何区域。在以下讨论过程中， 用表示通常的s o b o l c v 空间，1 1 i i j ，i 为相应范数，空间上的范数与内 积分别记为| i i i 和( ，) 设x 是一个b a n a c h 空间，定义空间： ， 土、 扩( o ，r ；x ) = u ( t ) ；i i “i l u , = ri l u ( o t 心x a t ) o o ，ls p ， ， 我们对区域，进行以下剖分： - a = 工l x 2 0 ( 1 5 ) 要想对上面方程进行求解就要去找一个u h ( x , t ) s 一，满足 ( 锄，v ) + 觑l ，d + 反蝴，d 一“蝴，d + ( s i n u h ，d = 0y v s h ，t 0 ( 1 6 ) u h ( x ，o ) = r h f ( x ) u h j ( x ，0 ) = r h g ( x ) ，x ( - a ，口) ( 1 7 ) 因为我们只在空间上进行了离散，所以称之为半离散问题，下一节会讨 论在时间上的离散化，即全离散格式。为方便讨论，下文中用c 来表示 任意正常数，在不同地方取值可以不同。 在基底 q 筠1 下找系数町( f ) ，其中叼( f ) 在下面的方程中 + i 蝴( 丘，) = 町( ，) 州 j = l 于是有 1 0 n+i+i ( f ) ( q ，吼) + 卢嘭( f ) ( q ，吼) j = tj = i + 艺a j ( t ) a ( m j ，r y p k ) - - y 肌1o t j ( t ) ( j 删+ ( s i n ( 川ee t j ( t ) e p j ( x ) ) ：o ， o8 + ， ，呶) + ( s ，吼) = o ， 卅 j = ij = lj = t 山东大学硕士学位论文 其中q ( 0 ) = ”，= l ，+ 1 于是方程可表示为 彳0 7 ( f ) + p , 4 a 7 ( ，) 一7 口( f ) + a d ( f ) ) = 0( 1 9 ) 当中a = ( 叼) ，并且其中的项a k j = ( q ，o k ) ，b = ( b k j ) ，其中的项= ( ，) ， c ( 口( f ) ) = 似) ，其中的项c k = ( s i n u h ，呶) 下面我们讨论一下此格式的能量守恒性，在方程( 1 8 ) 的两边同时乘以 嘭( f ) 则有 r + i 哆( f 蟛( f ) 竹，嘶) + 卢 卢l + i + 1 啄f 蟛( f ) h ，饥) j = l + i+ l + 町( 弼( f ) ( ，) 一) ，q ( 蟛( f ) ( 哆，呶) + ( s i n ( j = l户lj = i k = l ，。+ 1 整理得 ld 2 西 + l+ l 【哆( r ) 】2 ( q ，饥) + 卢蟛( ，) 】2 ( q ，呶) j = lj = l 町( 蚂) ，吼州：o ，( 2 0 ) + 兰象n 荟+ i c q ，2 烈q ，吼，一三三芸t 吁，2 c q ，呶，+ 历d c t c o s c k = l ，+ 1 于是有 挣 i v + l j = i + 2 ( 1 一 ，+ 1 + l 即( f 脚o ) ) ，吼) = 0 ， ( 2 1 ) 【哆( f ，】2 ( q ，吼) + 【啄f ) 】2 ( ， j = l c o s ( n + iq ( f ) q o ) ) 。吼) i + p n + i 【哆( f ) 】2 ( e j ，魄) ：o ( 2 2 ) c o s ( q ( f ) q o ) ) 。面嚏) i + p 【哆( f ) 】2 ，魄) = o u 纠 j = t k = l ，+ 1 1 l 川 户 山东大学硕士学位论文 两端对f 从0 到r 积分 圭 【嘭( f ) 】2 竹，吼) + 【吩( f ) 】2 ( ，) + 2 ( - 一c o s 甾啪n 蚴，岳+ r 卢n 蔷+ i 啄州2 c q ，饥，一o ， ( 2 3 ) 七= l ，+ 1 当卢= 0 时，有 e 似乃) = e ( o ) ) = 三【啄f ) 】2 ( q ，呶) + 【町( f ) 】2 ( , p j x ，毗。) + 2 ( 1 一c o s ( q ( f ) q ( 曲) ，呶) ( 2 4 ) 2 2 一维s i n e - g o r d o n 方程的半离散有限元格式及误差分析 上一节中我们给出了方程的格式并讨论了格式的能量守恒性，在这一 节中我们讨论此格式的误差估计，我们首先对一维方程进行误差分析， 在下一节我们会对二维方程进行简单的说明关于一维方程的误差估计， 我们有下面的定理 定理2 假设z ，是( 1 2 ) - ( 1 4 ) 的精确解，蝴是0 6 ) - ( 1 7 ) 的解， l l 蝴一圳l + 蝴f u , i i c k 2 定理2 的证明：误差p = u k 一“可分解为p = 蝴一r k u + r k u 一“= o + p ，则方程0 5 ) 和( 1 6 ) 相减得 ，d + 罔b ，d + a ( o ，力一旭v ) = 一( p ，v ) 一p h ，d + y ( p ，v ) 一( s i n u h s i n u ，v ) ，ve s h ( 2 5 ) 取v = 岛，则 三d l l o ，1 1 2 + 6 1 1 0 t l l 2 + 芝l 历d 纠2 l i i p i ii l o t l l + p l l o , i i1 1 0 , 1 1 + y l l p l l 1 1 0 , 1 1 + | | s i n u k s i n “i i1 1 6 , 1 1 ( 2 6 ) 由不等式a b s ；孑+ 6 2 ， 三d ( 1 l o ，1 1 2 + i 孵) 1 - 1 1 p 1 1 2 + 笔枷+ 扣2 + 1 1 s i n u h s i n 训2 + c l l o , 1 1 2( 2 7 ) 1 2 山东大学硕士学位论文 恻1 2 + 1 0 1 i i o , ( o ) 1 1 2 + i o ( o ) 1 + 上2 ( i t o , , 1 1 2 + p l l o r i l 2 十三删2 + i i s i n u 矗一s i n u l t 2 矽+ 2 c 上211岛1100 2 研 2 + + f 2 f2 + 吾i 纠1 2 + 一2 矽+ f 2 研 j 上 j s i l o t ( o ) 1 1 2 + i o ( o ) i + 1 7 ( i l o “1 1 2 + l ，l l o , 1 1 2 + 扣2 + | | 蝴一u l l 2 瑚+ 2 c1 7llotll2dt0 s 2 + + f “2 2 + ；脚+ 一2 瑚+f 2 j 上 j o 2 + + 1 7 2 2+2 2 肌, 【r iio,iillet(o)lli o ( o ) i ( i l o 1 l + 鼻i l o , l li 1 0 1 1 + c l l p l l c i i o , i i h d t 00 2 + + f 2 2 + 2 2 冲+ 2 j 假设五= r 柝劭= 尺壕那么有即) = 0 ，a t ( o ) = o 2 + + 例训| 2 +2 渺+ f 2 2 ( 2 8 )2 + + 例训| 2 +2 渺+ f 2 ( 2 8 v , r ( i l o 1 1 2 i 1 0 1 1 2i o l i j llo,llile,iii o l ( 1 l p i i1 1 0 1 1 + c l o l l c l l o , l la rt0 0 方程两边都加上i 1 0 1 1 2 b i l 2 + i 诉+ i 吲1 2 r ( i l o 1 1 2 + 同h l l 2 + 又伏f ) = 战o ) + 晒所以 i l p l l 2 ) 出+ 上fl i 纠1 2 毋+ 2i r i i 研1 1 2 出+ 研1 2 ( 2 9 ) 肌l i r w ( r ol l o l l d s ) 2 ( 小2 c 小班 ( 3 0 ) i o t l l 2 + ；+ 2s 上7 ”2 + 刚| 2 + w 肌rilollio,ii 1 0 11 1 0 1 1 ( i t oi i 2 出+ cr r l l 6 , 1 1 0 0j o 2 破( 3 1 ) ；+ 2 sf ”2 + 例h 2 + i 捌1 2 ) 西+ 2 出+ f 2 破 ( 3 l j 因此由g r o n w a l l s 引理有 于是有 其中 b 2 + i i 纠1 2 c ( t ) f o r ( 1 l o 1 1 2 + 矧l 。2 + i 扣2 瑚 a f ) 矿上7 ( 酽+ 同1 1 2 + 1 1 2 渺 i t 0 1 1 2 c ( u t ) h 4 c ( 州) = c ( f ) i r ( 蜥| 1 2 + 同1 2 + | l 训2 渺 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 山东大学硕士学位论文 2 3 二维s i n e g o r d o n 方程的半离散有限元格式及误差结果 二维s i n e - g o r d o n 方程 + f l u t = u x x + 呦一s i n u ,“只f ) q ( 0 ，丁) ， 赛“只f ) = o ( _ 只f ) m 【o ，7 1 ， ( 3 4 ) ( 3 5 ) u ( x , y 。o ) = ( x ，力，u t “只o ) = g ( x ，力瓴力q ( 3 6 ) 其中q cr 2 是多边形区域，边界是施，疗是其外法向，函数f g 在五上光 滑。 在五上我们取一个三角剖分死：五= uk ，令h = s u p r e r ( d i a m ( k ) ) 山东大学硕士学位论文 第三章全离散有限元格式 3 1 一维s i n e - g o r d o n 方程的全离散有限元格式及误差分析 在这一章中我们给出全离散有限元格式，全离散有限元格式是在时 间 o ，刀上进行剖分，取正的常数n ，则时间间隔k = t i n ，岛= n k 全离散 格式就是要找出扩s 是在，= 岛= 放上的近似解，其中前两层初值条 件u o ，u t 由前面的已知条件z g 来给出，即。 u o = r h f ( x ) 。u = r h g l ( 曲， 其中 9 1 = 八曲+ k g ( x ) + 譬砌“。) = 以曲+ k g ( x ) + 譬( “o ) - s i n u - # u f ) i ，：o 双线性形式舐砺d 和椭圆投影算子如如前引入，即 口( 尺以岛) 。v ) = 口( 玑d ， l ，s h ，t 【o ，明 为表述方便，我们定义 痂= u n * 1 1 _ 2 u 厂n + 一u n - i 则全离散有限元格式为 ( 面扩，肼+ 烈华，们+ a ( 2 1 - ( u + l + 扩- i ) ，神一畎兰( 扩+ l + 旷1 ) ，们+ ( s i n u n , x ) = 。 ( 3 9 ) 我们将c ，l 一地) 写成沪一r h u ( t ) + 如“( 岛) 一“( 岛) = 矿+ 矿，令方程0 5 ) 中的 v = x 再将方程( 3 9 ) 和方程( 1 5 ) 在，= k ，和t = t n + l 的平均相减得 ( 面扩一三( 竹1 + 蚶1 ) 们+ 烈华一兰( 矿- + 矿1 ) ，神 + d 三( 扩1 + 旷1 ) 一三( 纩1 + ) ，柏 ( 柏) 一认三( 扩+ 1 + 扩- 1 ) 一三( 矿1 + 矿) ，疋) + ( s i i l 扩一j 1 ( s i n u , , - i + s i n u n ) ，z ) = o 1s 山东大学硕士学位论文 方程前两项可整理为 氟矿一互1 簖1 + 1 ) = 面扩一面矿+ 劫一三( 疗- + 蚶- ) = 面缈+ 矿) + 面矿一三( 盯1 + 谨1 ) u n + l 瓦_ u n - ! 一三，+ 矿，) ：tun+l_un-i一掣un+l_un-14- 一三( 砰- i + 蚋 (41)2k2 u t= i t ，o1 1 ，、l l 放 放 ”f = 去( 矿+ 1 一矿q ) + 去旷1 一q ) + u n + l 矿_ u n - i 一三( 钟一t + 留+ - ) 则方程( 加) 可整理得 蕊渺，脚+ 觑去1 一矿- 1 ) 曲+ “三缈+ 1 + 旷1 ) ，力 = 一衙一毒( 靠1 + ) ，力一咖，劢+ 畎昙1 + 广1 ) ，z ) + 7 ( 三( 矿+ t + 旷1 ) 力一晏矿一矿，舯一觑亟去芝一三( 砰一- + 肌) 心 - ( s i n u 一三( s i n u _ l + s i i i ) 定理4 假设以岛) 是( 1 2 ) 0 4 ) 的精确解，( ，l 是( 3 9 ) 的解， 扩一u ( t ) l l c ( u ，t x f + 萨) 证明：取彤= 去缈一矿一1 ) = ；( a ，矿+ 珈) ，则方程h 2 ) 左端的估计依次为 1 6 咖= 去( 西矿一砂，+ 矽) = 1 ( 1 1 0 ，矿1 1 2 一i 瓯矿1 1 2 ) = 三厉i p ，矿1 1 2 烈去缈+ 1 一矿- 1 ) ，力= 觑去缈一矿。) ，去( 矿，旷1 ) ) = 是妙一旷- 1 1 2 = 和+ g o i l ： d 三( 矿+ i + 旷1 ) ，去( 矿“一旷i ) ) = 去( i 旷1 1 2 一i 旷t 斤) 山东大学硕士学位论文 根据上面的分析有下面的不等式 利用 反l 协矿1 1 2 + 2 壁 l o t o n + 荔俨酽+ 去( i 矿+ 1i ；一l 旷i ) ；i i a 瓦矿一 ( q r l + l 护1 ) 2 + a 5 茹i ，l i l 2 + 砍地矿+ 11 1 2 + l 矿一i1 1 2 ) + b , f l l o , o i t 2 + i i a i n + 去“矿+ 11 1 2 一i 妒一11 1 2 ) + “妒1 1 2 卅i 砂1 1 2 ) + 用l 学1 1 2 + 用l 争一 ( t r 1 + 叼+ 1 ) 2 + s i n 驴一 ( s i n1 + s i n u + 1 ) 2 + ；l l o , a + 瓦矿1 1 2 + g l l o , o + 5 妒1 1 2 ， is i n u ”一 ( s i n 矿- 1 + s i i l 矿+ 1 w s i n u - s i n d l + i s i n一 ( s i n d 一1 + s i ns + 1 ) l s i 矿一1 f ，i + c 铲矿i + l 俨i + c