（浙江专版）2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案 新人教A版选修2-1.doc

1.2预习课本p911，思考并完成以下问题1什么是充分条件、必要条件？2什么是充要条件？1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqp/_q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2充要条件(1)定义：若pq且qp，则记作pq，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的()(2)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()答案：(1)(2)(3)2已知：“a2”；：“直线xy0与圆x2(ya)22相切”，则是的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案：c3“x3”是“x29”的_条件(填“充分”或“必要”)答案：充分4“ab0”是“a0，b0”的_条件(填“充分”或“必要”)答案：必要充分条件、必要条件、充要条件的判断典例(1)在abc 中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c ，则“ab”是 “sin asin b”的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件(2)设a，br，则“ab”是“a|a|b|b|”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析(1)由正弦定理，得，故absin asin b，选a.(2)构造函数f(x)x|x|，则f(x)在定义域r上为奇函数因为f(x)所以函数f(x)在r上单调递增，所以abf(a)f(b)a|a|b|b|.选c.答案(1)a(2)c充要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用活学活用1已知函数f(x)axb(x0,1)，则“a3b0”是“f(x)0恒成立”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选b若f(x)0恒成立，则取x，可得fab0，a3b0.反之不成立，例如取f(x)x，其中a1，b，满足a3b10，但是f10”是“f(x)0恒成立”的必要不充分条件2指出下列各组命题中，p是q的什么条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)四边形的对角线相等/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形/ 四边形的对角线相等，p是q的既不充分也不必要条件(2)(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0/ (x1)2(y2)20，p是q的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用典例已知p：实数x满足x24ax3a20，其中a0；q：实数x满足x2x60.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围解由x24ax3a20且a0得3axa，所以p：3axa，即集合ax|3axa由x2x60得2x3，所以q：2x3，即集合bx|2x3因为綈q綈p，所以pq，所以ab，所以a0，所以a的取值范围是.一题多变1变条件本例中条件“a0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解：由x24ax3a20得ax3a，所以p：ax3a，即集合ax|ax3a由x2x60得2x3，所以q：2x3，即集合bx|2x3因为綈p綈q，所以qp，所以ba，所以2变条件将“q：实数x满足x2x60”改为“q：实数x满足x23x0”其他条件不变，求实数a的取值范围解：由x24ax3a20且a0得3axa.所以p：3axa，即集合ax|3axa由x23x0得3x0，所以q：3x0，即集合bx|3x0因为綈q綈p，所以pq，所以ab，所以1a0.所以a的取值范围是1,0)充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解 充要条件的证明典例试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是acy，求证：0.证明：(1)必要性：由，得0，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，0.层级一学业水平达标1设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：选d当数列an的首项a10时，若q1，则数列an是递减数列；当数列an的首项a10时，要使数列an为递增数列，则0q1，所以“q1”是“数列an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选d.2设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()a丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件b丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件c丙是甲的充要条件d丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选a因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件3设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()aabbabca2b dab且|a|b|解析：选c对于a，当ab时，；对于b，注意当ab时，与可能不相等；对于c，当a2b时，；对于d，当ab，且|a|b|时，可能有ab，此时.综上所述，使成立的充分条件是a2b.4设r，则“0”是“f(x)cos(x)(xr)为偶函数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：选a0时，函数f(x)cos(x)cos x是偶函数，而f(x)cos(x)是偶函数时，k(kz)故“0”是“函数f(x)cos(x)为偶函数”的充分不必要条件5使|x|x成立的一个必要不充分条件是()ax0 bx2xclog2(x1)0 d2x1解析：选b|x|xx0，选项a是充要条件选项c，d均不符合题意对于选项b，由x2x得x(x1)0，x0或x1.故选项b是使|x|x成立的必要不充分条件6如果命题“若a，则b”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则a是b的_条件解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即a/ b.又因否命题为真，所以逆命题为真，即ba，所以a是b的必要不充分条件答案：必要不充分7条件p：1xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：p：x1，若p是q的充分不必要条件，则pq，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a2且y3”是“xy5”的充要条件；b24ac0是一元二次不等式ax2bxc2且y3时，xy5成立，反之不一定，如x0，y6.所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件；不等式解集为r的充要条件是a0且b24ac0，y0.所以“lg xlg y0”成立，xy1必成立，反之不然因此“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：9下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件(1)p：|x|y|，q：xy；(2)p：abc是直角三角形，q：abc是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2.解：(1)|x|y|xy，但xy|x|y|，p是q的必要不充分条件(2)abc是直角三角形abc是等腰三角形，abc是等腰三角形abc是直角三角形，p是q的既不充分也不必要条件(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要不充分条件(4)若圆x2y2r2与直线axbyc0相切，则圆心到直线axbyc0的距离等于r，即r，所以c2(a2b2)r2；反过来，若c2(a2b2)r2，则r成立，说明x2y2r2的圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于r，即圆x2y2r2与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件10已知数列an的前n项和snpnq(p0且p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.证明：(1)充分性：当q1时，a1p1.当n2时，ansnsn1pn1(p1)当n1时，上式也成立于是p，即数列an为等比数列(2)必要性：当n1时，a1s1pq.当n2时，ansnsn1pn1(p1)p0且p1，p.因为an为等比数列，所以p，q1.即数列an为等比数列的充要条件为q1.层级二应试能力达标1“0ab”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a当0ab成立，所以是充分条件；当ab时，有ab，不能推出0ab，所以不是必要条件，故选a.2已知p：x2x0，那么命题p的一个必要不充分条件是()a0x1b1x1c.x d.x2解析：选b由x2x00x1，运用集合的知识易知：a中0x1是p的充要条件；b中1x1是p的必要不充分条件；c中x是p的充分不必要条件；d中x0”是“x1”的必要条件b已知向量m，n，则“mn”是“mn”的充分条件c“a4b4”是“ab”的必要条件d在abc中，“ab”不是“ab”的充分条件解析：选aa中，当x1时，有x0，所以a正确；b中，当mn时，mn不一定成立，所以b不正确；c中，当ab时，a4b4不一定成立，所以c不正确；d中，当ab时，有ab，所以“ab”是“ab”的充分条件，所以d不正确故选a.4设p：x1；q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()a. b.c. d.解析：选bq：axa1，p是q的充分不必要条件，解得0a.故选b.5已知关于x的方程(1a)x2(a2)x40(ar)，则该方程有两个正根的充要条件是_解析：方程(1a)x2(a2)x40有两个实根的充要条件是即设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是1a2或a10.答案：(1,210，)6已知“1k0，解得1k1，所以10，q：x22x1a20.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围解：不等式x28x200的解集为ax|x10或x0的解集为bx|x1a或x0依题意pq，所以ab.于是有解得0a3.所以正实数a的取值范围是(0,38求二次函数yx2mx1的图象与两端点为a(0,3)，b(3,0)的线段ab有两个不同的交点的充要条件解：线段ab的方程为xy3，由题意得方程组在0,3上有两组实数解，将代入，得x2(m1)x40(0x3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)x2(m1)x4，则二次函数f(x)在x0,3上有两个实根，故有：解得3m，故m的取值范围是.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()a若x21，则x1，或x1b若1x1，则x21，或x1d若x1，或x1，则x21解析：选d命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”2已知命题若ab，则，若2x0，则(x2)(x3)0，则下列说法正确的是()a的逆命题为真b的逆命题为真c的逆否命题为真d的逆否命题为真解析：选d的逆命题为b，若a2，b3，则不成立故a错；的逆命题为若(x2)(x3)0，则2x0是假命题，故b错；为假命题，其逆否命题也为假命题，故c错；为真命题，其逆否命题也为真命题，d正确3设集合mx|x2，px|x3，那么“xm，或xp”是“xmp”的()a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选a“xm，或xp”不能推出“xmp”，反之可以4设原命题：若ab2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()a原命题真，逆命题假b原命题假，逆命题真c原命题与逆命题均为真命题d原命题与逆命题均为假命题解析：选a因为原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则ab2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则ab2”，是假命题，反例为a1.2，b0.3，则ab1.5b，则ab”b命题“若“ab，则|a|b|”的逆命题c命题“当x2时，x25x60”的否命题d命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”解析：选d原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选d.7“a0”是“方程ax210至少有一个负根”的()a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选c方程ax210至少有一个负根等价于x2，故a30”是sin a的_条件，“sin a”是“a30”的_条件解析：a30不一定推出sin a，但在abc中，sin a30a30.答案：必要不充分充分不必要11给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限它的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的为_，假命题的为_解析：逆命题和否命题是假命题，逆否命题为真命题答案：逆否命题逆命题、否命题12有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是r”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中真命题是_，假命题是_(填序号)解析：的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为若“mx22(m1)xm30的解集为r，则m1”当m0时，解集不是r，应有 即m1.是假命题；原命题为真，逆否命题也为真答案：13已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b无公共点；命题q：，则p是q的_条件，q是p的_条件解析：qp，p/ q，p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件答案：必要不充分充分不必要14命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得3a0，3a0.答案：3,015若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x的取值范围是_解析：由x2,5或xx|x4，得x1或x2.此命题是假命题，1x2.答案：1,2)三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假(1)能被6整除的数一定是偶数；(2)当|b2|0时，a1，b2；(3)已知x，y为正整数，当yx2时，y1，x1.解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题(2)若|b2|0，则a1且b2，真命题(3)已知x，y为正整数，若yx2，则y1且x1，假命题17(本小题满分15分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数解：(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)18(本小题满分15分)已知命题：“所有xx|1x1，都有不等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合b；(2)设不等式(x3a)(xa2)0的解集为a，若xa是xb的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)命题：“所有xx|1x1，都有不等