基与正交基,特征值与特征向量PPT课件.ppt

1 班级 时间 年月日 星期 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 2 友情提示 本次课讲第五章第一 二节 向量组的内积与正交 特征值概念下次课讲第五章第二三节 特征值 相似矩阵与对角化下次上课时交作业P41 42 3 2 结论1 任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn的一个基 由此可知Rn的维数为n 分析 因为任意n 1个n维向量线性相关 所以按照线性相关的线性表示定理 任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示 显然 n个无关向量可自身表示 故以上结论成立 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 4 4 向量由基线性表示的系数 坐标 3 过渡矩阵概念 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 5 例4 设 验证是R3的一个基 并求在这个基中的坐标 解 第十二讲 方程组解的解构与向量空间 6 且 第十二讲 方程组解的解构与向量空间 7 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 8 ii iii 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 9 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 10 2 齐次性 3 三角不等式 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 11 1 正交向量组的概念的引入 由此可得 向量的内积满足施瓦茨不等式 特殊地 零向量与任何向量都正交 2 正交向量组定义 如果向量组向量两两正交 则称为正交向量组 三 向量的正交与正交基 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 12 2 正交向量组的性质 无关性 即 同理可得 因此向量组线性无关 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 13 3 如何求与已知向量组正交的向量 组 4 正交基 1 正交基的定义 用正交向量组作向量空间的基 称为向量空间的正交基 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 14 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 2020 1 8 15 16 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 17 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 18 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 而且 由正交化过程 显然A B两组向量可互相线性表示 19 再把单位化 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 20 例2已知求一组非零向量使两两正交 解 都应满足方程 即 得基础解系 取 及 及 把基础解系正交化 取 即为所求 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 21 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 22 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 23 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 24 亦即 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 25 正交矩阵的性质 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量 26 四 特征值与特征向量的概念1 定义 设A是n阶矩阵 如果 和n维非零列向量x使关系式 1 成立 那么称数 为方阵A的特征值 非零向量x称为A对应于特征值 的特征向量 注意 定义的几个要点 1 A是n阶矩阵 即方阵 2 特征值 是数 3 特征向量x是非零向量 2 如何求特征值与特征向量 1 特征值的求法 第十二讲 基与正交基 特征值与特征向量