（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题04 函数及其表示（含解析）理.doc

考点04 函数及其表示（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.一、函数的概念1函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念函数映射两个集合a、b设a、b是两个非空数集设a、b是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：ab为从集合a到集合b的一个函数称f：ab为从集合a到集合b的一个映射记法yf(x)，xaf：ab注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xa中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xa叫做函数的值域(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.2必记结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合a中有m个元素，集合b中有n个元素，则从集合a到集合b的映射共有个二、函数的三要素1函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.学，科(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为r.(4)yx0的定义域是x|x0.(5)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx的定义域均为r.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，).(7)ytanx的定义域为.2函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是yf(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数ykxb(k为常数且k0)的值域为r.(2)反比例函数(k为常数且k0)的值域为(，0)(0，)(3)二次函数yax2bxc(a，b，c为常数且a0)，当a0时，二次函数的值域为；当a0，b0)求最值若“和定”，则“积最大”，即已知abs，则，ab有最大值，当ab时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知abt，则，ab有最小值，当ab时取等号应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”9判别式法：将函数转化为二次方程：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x，y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，由此确定函数的值域利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.10有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.11导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.典例3 求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.故的值域为.3函数的值域为 .考向三 求函数的解析式求函数解析式常用的方法1换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；2配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；3待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；4方程组法：已知关于f(x)与或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).典例4 已知，则abcd【答案】a【名师点睛】在方法二中，用替换后，要注意的取值范围为，忽略了这一点，在求时就会出错.4已知，则的表达式为a b c d考向四 分段函数分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：1求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算2求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小3求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式4解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提5求奇偶性、周期性：利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.典例5 已知，则a2b3c4d5【答案】a 5已知函数f(x)，若f(1)f(1)，则实数a的值等于a1b2c3d4典例6 （2017年高考新课标卷）设函数，则满足的x的取值范围是_.【答案】写成分段函数的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且，可知x的取值范围是.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.6已知函数，则下列结论正确的是af(x)是偶函数 bf(x)是增函数cf(x)是周期函数 df(x)的值域为bcd8函数的值域为_9已知函数，则_10若函数的定义域为，则的定义域为_1（2017年高考山东卷）设函数的定义域为，函数的定义域为,则a（1,2） b c（2,1） d，故选d.8【答案】【解析】令，则，故yt24t1(t0)，由二次函数的性质易知y5.9【答案】 【解析】故填10【答案】 【解析】由题意可知当时，则，所以函数的定义域为.1直通高考1【答案】d【解析】由得，由得，故，选d.2【答案】a又（当时取等号）