高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版选修2-2.doc

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标1熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识链接在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题预习导引1复数加法与减法的运算法则(1)设z1abi，z2cdi是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)对任意z1，z2，z3c，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形oz1zz2为平行四边形，向量与复数z1z2对应，向量与复数z1z2对应要点一复数加减法的运算例1(1)计算(24i)(34i)；(2)计算(34i)(2i)(15i)解(1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.规律方法复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪演练1计算：(1)(56i)(2i)(34i)；(2)1(ii2)(12i)(12i)解(1)原式(523)(614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.要点二复数加减法的几何意义例2复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为a，b，c，正方形的第四个顶点d对应的复数为xyi(x，yr)，如图则(x，y)(1,2)(x1，y2)(1，2)(2,1)(1，3)，解得，故点d对应的复数为2i.规律方法复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪演练2如图所示，平行四边形oabc的顶点o，a，c分别表示0,32i，24i.求：(1)表示的复数；(2)对角线表示的复数；(3)对角线表示的复数解(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.要点三复数加减法的综合应用例3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21由得2ac2bd1，|z1z2|.法二设o为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为a，b，c.|z1|z2|z1z2|1，oab是边长为1的正三角形，四边形oacb是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线oc的长，|z1z2|.规律方法(1)设出复数zxyi(x，yr)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用(2)在复平面内，z1，z2对应的点为a，b，z1z2对应的点为c，o为坐标原点，则四边形oacb：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形oacb为矩形；若|z1|z2|，则四边形oacb为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形oacb为正方形跟踪演练3本例中，若条件变成|z1|z2|1，|z1z2|.求|z1z2|.解由|z1|z2|1，|z1z2|，知z1，z2，z1z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1z2|.1若复数z满足zi33i，则z等于()a0 b2i c6 d62i答案d解析z3i(i3)62i.2复数ii2在复平面内表示的点在()a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限答案b解析ii21i，对应的点在第二象限3在复平面内，o是原点，表示的复数分别为2i,32i,15i，则表示的复数为()a28i b66i c44i d42i答案c解析()(4，4)表示的复数为44i.4若|z1|z1|，则复数z对应的点在()a实轴上 b虚轴上 c第一象限 d第二象限答案b解析|z1|z1|，点z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上5已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(ar)，且z1z2为纯虚数，则a_.答案1解析z1z2(a2a2)(a4a22)i(ar)为纯虚数，解得a1.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1复数z12i，z22i，则z1z2等于()a0b.i ci di答案c解析z1z2ii.2若z32i4i，则z等于()a1i b13i c1i d13i答案b解析z4i(32i)13i.3复数z13i，z21i，则z1z2等于()a2 b22i c42i d42i答案c4设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()a1i b2i c3 d2i答案d解析由，得，abi2i.5若复数z11，z22i分别对应复平面上的点p、q，则向量对应的复数是_答案3i解析p(1,0)，q(2,1)，(3,1)，对应的复数为3i.6若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离|z1|min1.7计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)(2i).(3)已知z123i，z212i，求z1z2，z1z2.解(1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)(2i)i2iii1i.(3)z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i.二、能力提升8已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z等于()a3i b3i c3i d4i答案b解析设zabi(a、br)，则z3iabi3ia(b3)i为纯虚数，a0，b30，又|b|3，b3，z3i.9复平面内点a，b，c对应的复数分别为i,1,42i，由abcd按逆时针顺序作abcd，则|等于()a5 b c d答案b解析如图，设d(x，y)，f为abcd的对角线的交点，则点f的坐标为，所以，即所以点d对应的复数为z33i，所以(3,3)(1,0)(2,3)，所以|.10如果一个复数与它的模的和为5i，那么这个复数是_答案i解析设这个复数为xyi(x，yr)xyi5i，xyii.11复平面内有a，b，c三点，点a对应的复数是2i，向量对应的复数是12i，向量对应的复数是3i，求c点在复平面内的坐标解，对应的复数为(3i)(12i)23i，设c(x，y)，则(xyi)(2i)23i，xyi(2i)(23i)42i，故x4，y2.c点在复平面内的坐标为(4，2)12已知abcd是复平面内的平行四边形，且a，b，c三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点d对应的复数解法一设d点对应的复数为xyi(x，yr)，则d(x，y)，又由已知a(1,3)，b(0，1)，c(2,1)ac中点为，bd中点为.平行四边形对角线互相平分，.即点d对应的复数为35i.法二设d点对应的复数为xyi(x，yr)则对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又对应的复数为(2i)(i)22i，由于.(x1)(y3)i22i.，.