高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积教案 新人教B版必修4.doc

3.3 三角函数的积化和差与和差化积教学分析本节主要包括利用已有的公式进行推导发现本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式在推导了公式sinsin2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”高考在该部分内容上的难度是一降再降三维目标1通过类比推导出积化和差与和差化积公式体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力2通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力课时安排1课时导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinsin，sinsin，coscos，coscos的形式，那么，我们能否运用角、的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题思路2.(类比导入)我们知道logamloganloga(mn)，那么sinsin等于什么呢？推进新课活动：考察公式cos()coscossinsin；cos()coscossinsin；sin()sincoscossin；sin()sincoscossin.从公式结构上看，把coscos，sinsin，sincos，cossin分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：coscoscos()cos()；sinsincos()cos()；sincossin()sin()；cossinsin()sin()从上面这四个公式，又可以得出sin()sin()2sincos；sin()sin()2cossin；cos()cos()2coscos；cos()cos()2sinsin.设x，y，则，.这样，上面得出的四个式子可以写成sinxsiny2sincos；sinxsiny2cossin；cosxcosy2coscos；cosxcosy2sinsin.利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式如图1所示作单位圆，并任作两个向量图1(cos，sin)，(cos，sin)取的中点m，则m(cos，sin)连接pq，om，设它们相交于点n，则点n为线段pq的中点且onpq.xom和moq分别为，.探索三个向量，之间的关系，并用两种形式表达点n的坐标，以此导出和差化积公式coscos2coscos；sinsin2sincos.讨论结果：略例 1已知sinxcosx，求sin3xcos3x的值活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解由于(ab)3a33a2b3ab2b3a3b33ab(ab)，a3b3(ab)33ab(ab)解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinxcosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想本题也可直接应用上述公式求之，即sin3xcos3x(sinxcosx)33sinxcosx(sinxcosx).此方法往往适用于sin3xcos3x的化简问题之中解：由sinxcosx，得(sinxcosx)2，即12sinxcosx，sinxcosx.sin3xcos3x(sinxcosx)(sin2xsinxcosxcos2x)(1).变式训练把cos3cos化成积的形式解：cos3cos2coscos2cos2cos.例 2已知1，求证：1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将a、b的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有a、b角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类从结构上看，已知条件是a2b21的形式，可利用三角代换证法一：1，cos4asin2bsin4acos2bsin2bcos2b.cos4a(1cos2b)sin4acos2b(1cos2b)cos2b，即cos4acos2b(cos4asin4a)cos2bcos4b.cos4a2cos2acos2bcos4b0.(cos2acos2b)20.cos2acos2b.sin2asin2b.cos2bsin2b1.证法二：令cos，sin，则cos2acosbcos，sin2asinbsin.两式相加得1cosbcossinbsin，即cos(b)1.b2k(kz)，即b2k(kz)coscosb，sinsinb.cos2acosbcoscos2b，sin2asinbsinsin2b.cos2bsin2b1.变式训练已知abc180，求证：sinasinbsinc4coscoscos.解：因为abc180，所以c180(ab)，90.因此，sinasinbsinc2sincossin(ab)2sincos2sincos2sin(coscos)2sin2coscos2cos2coscos4coscoscos.例3 证明tan()活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：左边右边；右边左边；左边中间条件右边教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切证法一：从右边入手，切化弦，得tan()，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cossin，得.证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得tan().变式训练求证：.分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于，此式右边就是tan2.证明：原等式等价于tan2.而上式左边tan2右边上式成立，即原等式得证.1先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明2教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段课本本节习题33a组14，b组14.1本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等2在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用一、一道给值求角类问题错解点击解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解例题：若sin，sin，、均为锐角，求的值错解：为锐角，cos.又为锐角，cos.sin()sincoscossin.，均为锐角，0180.45或135.点评：上述解法欠严密，仅由sin()，0180而得到45或135是正确的但题设中sin，sin，使得060，故上述结论是错误的事实上，由0180，应选择求cos()(余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos()，则45，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值二、如何进行三角恒等变式的证明三角恒等式证明的基本方法：(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同(6)可采用比较法，即“1”或“左边右边0”证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化二、备用习题1已知tanx3，则sin2x_，cos2x_.2已知tan2，则cos2等于()a bc d3下列各式化成和差的形式分别是：(1)sin(2x)cos(2x)；(2)cossin.4设、k(kz)，且cos2sin