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与中垂线有关的问题【基础知识精讲】一条直线经过线段中点且与该线段垂直，则称该直线为线段的垂直平分线.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 1.定理：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，2.逆定理：到线段两端距离相等的点在线段中垂线上.1的证明，利用了全等三角形，2的证明利用等腰三角形的“三线合一”的性质.【重点难点解析】例1 已知ABC中，AB，B，的中垂线分别为l1,l2,l3（图1）.求证l1,l2,l3三线共点. 图1例2 若三角形三边的中垂线的交点在某一边上，则该三角形一定是( )A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 图2例3 如图3,ABC中A=120 AB=AC,AB的中垂线交AB于D，BC于F.则= .例4 如图4，AD为ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于E，BC延长线于F，求证CAF=B. 图4【难题巧解点拨】例1 A BC中，A=90,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF中垂线，求证BF=2AD(图5). 图5例2 如图6，AD为ABC的高，B=2C，BD=5，BC=20，求AB. 图6【同步达纲练习】一、 判断( )1.三角形两边的垂直平分线交在三角形一边上，该三角形为等边三角形.( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则A+C=180.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中垂线的交点2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，ADB=80, CAD=10,则ACB=( ) A.90 B.100 C.110 D.1203.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，C=34,则ABE=( )A.17 B.34 C.68 D.1364.O为ABC三边中垂线的交点，则O称为ABC的( )A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形图76.ABC中，ACB=90, A=30AC的中垂线交AC于E.交AB于D，(图7)则图中60的角共有( )A6个 B.5个 C.4个 D3个三、填空1.ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在 的中垂线上，P还在 的平分线上.2.ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，BCD周长为4cm,则BC= .3.ABC中，AB=AC，A=120,AB中垂线交BC于E，则= .4.正ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则BOC= .5. ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则A= .6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的 .四、解答1.ABC中，C=90,AB的中垂线交AB于D，AC于E.且EBC=40,求A及BED的度数.2.已知O为等边三角形三边中线交点，求证BO与CO的中垂线必三等分BC.【素质优化训练】1.AD为ABC的角平分线，DEAC,交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F(图8),求证（BAC+AFC）=90-B.2.如图9，ABC中，AB=AC，AEBC,D为直线AE上任一点.求证DB+DC2AB.【拓展训练】例1：如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.点评：此题是ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.图2变式1：如图1，在ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BEC=70，则A= .变式2：如图3，在RtABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，B =15求：AC的长。图3例2: 如图5，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =120,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.变式1:如图6，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.变式2:如图7，在ABC中， BC=12,BAC =100,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.(2) 求EAN的度数.【课后练习】1、如图，已知：AB=BC=14，DE垂直平分AB，交BC于E ，AC=8。求AEC的周长。2、如图，已知：在ABC中，C=90，B=22.5，DE垂直平分AB，BD=8。求AC的长。3、如图，已知AD是BAC的平分线，DEAC于E，DFAB于F。求证：ADEF。4、如图，已知ABC中，C=90，AD平分BAC，BC=20，BD:CD=5:3，求点D到AB的距离。5、如图，已知：ABCD，BE、CF分别是ABC、BCD的平分线，EF垂直平分BC。求证：BE=CF。7、如图，已知ABC中，ABC的平分线与AC的中垂线相交于点N， NDAB于D