概率论与随机过程课程论文.docx

浅析二阶模糊随机过程均方HenstockStieltjes积分摘要:定义了二阶模糊随机过程均方HenstockStiehjes积分，并探究了其部分性质。同时对二阶二阶模糊随机过程均方HenstockStiehjes积分的一个收敛定理和可导性做了简单研究。关键词：二阶模糊随机过程；Henstock积分；均方Henstock积分1引言在现实生活中存在大量既具有随机性又具有模糊性的不确定性现象，这些现象被称为模糊随机现象许多人们感兴趣的模糊随机现象往往是通过积分、导数和微积分方程等数学形式出现的，这就为研究描述模糊随机现象的模糊随机过程以及模糊随机微积分提供了实际背景文献1比较系统地研究了一类模糊随机过程的均方微积分如同实值过程的均方微积分，模糊随机过程的均方微积分重要性在于简单实用，不涉及很深的随机分析理论众所周知，经典牛顿积分与黎曼积分互不包含，虽然勒贝格积分包含了黎曼积分，但也不包含牛顿积分。Henstock积分不仅包含牛顿积分、黎曼积分和勒贝格积分，而且不需要测度理论支持，便于应用科学工作者和工程研究人员很快地掌握并应用到他们的实际研究中去本文讨论一类模糊随机过程的均方Henstock积分及其基本性质，使文献1中的结果为本文的特例，推广了其结果文中第一部分对实值Henstock积分、模糊数空间以及关于模糊随机变量的L2空间等预备知识作了介绍，第二部分给出了二阶模糊随机过程均方Henstock积分的定义并对其基本性质等进行了讨论，第三部分则对二阶模糊随机过程均方Henstock积分的收敛定理和可导性做了简单讨论。2预备知识定义1(参阅文献1)设是区间a,b上一实值，a,b的一个划分称为细分（细的划分，简称细分），如果下列条件成立：（1）；（2），其中称为分点，称为的关联点。引理1（1）给定a,b上函数，那么a,b的细分P总是存在的。（2）设，则a,b的任意细分也是细分。（3）设是定义在a,c上的正实值函数，是定义在c,b上的正实值函数，令对于任意细分，如果c不是关联点，那么c总是一个分点。证明：（1）的证明见文献2的引理2.1.（2）设a,b上任意细分，则对有，所以有，因此细分也是细分。（3）设是a,b的任意细分，设c不是一个分点，则必存在D中某个区间包含c，不妨设。C不是关联点，所以。若，则，另由定义知此时，又由，得，矛盾。若，类似可证得，矛盾。所以，c点一定是分点。定义2 （参阅文献2）实值函数称为a,b上Henstock可积的（简称H可积），如果存在常数A，对每个，都存在一个函数，对a,b的任意细分，有。注：如果上述定义中的为常值函数，那么H积分即为黎曼积分。由牛顿积分的定义，易证牛顿可积的实值函数也是H可积的（见文献3中定理2）。由文献2中定理5.7知如果实值函数在a,b上勒贝格可积，则其在a,b上H可积。模糊数空间：（1）u是正规模糊集；（2）u是模糊凸的；（3）u是上半连续的；（4）是紧集。设，u的r一水平集定义为，在上定义距离。是一完备度量空间。设是一完备的概率空间。Borel可测函数称为模糊随机变量（简记为f.r.v.）。如果，则X的期望值EX存在，且对所有成立。设。对任意，定义上的距离如下：。对任何，有定理1设是L2中序列，则下列条件等价：（1），并且，即；（2）是L2中一个柯西序列，即当时，有；（3）一致可积且，即Xn以概率收敛到f.r.v.X.由定理1可见，是一完备的距离空间。2二阶模糊随机过程均方HenstockStiehjes积分的定义及部分性质以下给出二阶模糊随机过程均方HenstockStiehjes积分的定义定义3 设是定义在a,b上的二阶模糊随机过程，是a,b上的实值函数，若对，使得对a,b上的任意精细划分，有,其中，则称在a,b上关于均方Henstock-Stieltjes可积。均方Henstock积分的性质：定理2是均方H可积的，则积分值是唯一的。证明：设有两个积分值，由定义知，任意给定的，存在和，对任意细分和细分，有和，其中分别细分和细分上的黎曼和。令，对任意细分D，由引理1知，D既是细分也是细分。因此对细分D的黎曼和，有由的任意性可知积分值唯一。定理3是均方H可积德当且仅当对任意，存在实值函数，对任意细分和，有，其中证明：设，所以有取一列单调下降到0的序列，对每个，存在，使对任意两个细分，有，其中和是和上的黎曼和。可设单调递减，对每个细分作黎曼和当时，由于，由引理1知细分也是细分，因而有，即为中柯西序列，由的完备性可知存在，使得。对任意，存在n，使，同时有成立，对此的任意细分P，有所以是均方H可积的。定理4如果在区间a,c，c,b上都是均方H可积的，则在a,b上是均方H可积的，并且有。证明：设。在a,c与c,b上均方H可积，因而，对给定的，存在和，对a,c的任意细分和c,b的任意细分有，。令为式（1）所定义，则对a,b的任意细分，有引理1的（3），可设c总是一个分点。（如果c是某个关联点，可将c增加为分点，此时，细分的黎曼和保持不变。）又由引理1的（2）知a,c上细分也是细分，c,b上细分也是细分。对a,b的任意细分，其上黎曼和可表示为两部分，不妨设，其中表示a,c上的和，表示c,b上的和。因此，即是均方H可积的，且有。4二阶模糊随机过程均方HenstockStiehjes积分的收敛定理及可导性定理5设是a,b上的增实函数，二阶模糊随机过程序列关于在a,b上均方Henstock-Stieltjes可积，且一致收敛于二阶模糊随机过程，则在a,b上关于是均方Henstock-Stieltjes可积的，并且证明：一致收敛于，对任意，当时，有由于关于在a,b上均方Henstock-Stieltjes可积，则对存在尺度函数，使得当是a,b的任意精细划分时，有，其中。现令，使得对区间a,b上的任意精细划分，有和式，则因此在a,b上关于是均方Henstock-Stieltjes可积的。即定理6设二阶模糊随机过程在a,b上连续，是a,b上的实值增函数，为在a,b上均方HS积分的原函数，则在a,b上均方可导，且对任意的，有。证明：由二阶模糊随机过程在a,b上连续，则在a,b上关于均方HS可积，对任意给定的，有关于均方RS可积，对任何区间r,s满足，有由二阶模糊随机过程在a,b上连续，则在上均方可导，由的任意性可得，在a,b上均方可导。参 考 文 献1 FENG YH.Meansquare Integral and Differe