定积分的计算方法研究毕业论文

学士学位论文 Bachelors Thesis 论文题目 定积分的计算方法研究 作者 姓名 施莉 学号 2009111010110 所 在 院 系 数学与统计学院 学科 专业名称 数学与应用数学 导 师 及 职 称 许绍元教授 论文答辩 时间 2013年 5 月 25日 编号 2013110110 研究类型 理论 研究 分类号 O17 湖北师范学院学士学位论文 诚信承诺书 中文题目： 定积分的计算方法研究 外文题目： Research on integration techniques 学生姓名 施莉 学 号 2009111010110 院系专业 数学与应用数学 班 级 0901 学 生 承 诺 我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文 内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。 学生（签名）： 年 月 日 指导教师承诺 我承诺在指导学生毕业论文 活动中遵 守学校有关规定，恪守学术规 范，经过本人核查，该生毕业论文 内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。 指导教师（签名）： 年 月 日 目 录 1.定积分的产生背景及定义 . 1 1.1曲边梯形面积 . 1 1.2定义 1 . 1 1.3定义 2 . 1 2.定积分的几种计算方法 . 2 2.1定义法 . 2 2.2换元法求定积分 . 2 2.3牛顿莱布尼兹公式 . 6 2.4利用对称原理求定积分 . 8 2.5利用奇偶性求函数积分 . 10 2.6利用分 部 积分法计算定积分 . 12 2.7欧拉积分在求解定积分中的应用 . 13 3.结论 . 17 4.参考文献 . 17 定积分的计算技巧研究 施莉（指导老师：许绍元） （湖北师范学 院数学与统计学院 中国 黄石 435002） 摘 要： 定积分在微积分中占有极为重要的位置，它与微分相比，难度大、方法灵活 如果单纯的按照积分的定义来计算定积分，那将是十分困难的 因此，我们 要研究定积分的计算方法 常用的方法有定义法、莱布尼兹公式法、分步积 分法、换元法以及其他的特殊方法下面我们将探讨一下定积分的计算技巧 本文主要根据定积分的定义、性质、被积函数的奇偶性和对称性、以及某些 具有特征的函数总结了牛顿莱布尼兹公式、换元法、分部积分、凑微分 目 前，对于定积 分的求法和应用的研究是比较全面和完 善的 我们要学会总结 归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法 同时，将定积分 应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的 关键词： 定积分；求法；应用 中图分类号： O17 Research on integration techniques Shi Li (Instructor： Xu Shaoyuan) (college of mathematics and statistics , Hubei Normal University, Huangshi 435002, China) Abstract: Definite integral calculus occupies a very important position, it is compared with the differential, difficult, flexible method. If you simply in accordance with the definition of the integral to calculate the definite integral, it will be very difficult, It would be very difficult. Therefore, we need to study the method of calculating the definite integral. Commonly used methods are defined in law, the Leibniz formula method, step-by-step integration method, by substitution and other special methods. Here we will explore the definite integral calculation skills. According to the definition of the definite integral, nature, the integrand parity and symmetry, as well as some function of the characteristics are summarized Newton Leibniz formula, by substitution, integration by parts, the Minato differential. At present, the method for finding the definite integral and applications is more comprehensive and perfect. We must learn to summarize the general method of finding the definite integral, and has a special characteristic function method. Meanwhile, the definite integral applied to the mathematical problem solving practical problems in physics and economics is very necessary. Key words: integration； solution； application.湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 1 定积分的计算技巧研究 1.定积分的产生背景 及定义 1.1 曲边梯形面积 设 f为闭区间上的连续函数，且由曲线直线以及轴所围成的平面图形，成为曲边梯形 11 ( ) ( )iiini x x i iiS f x x 变力做功： 11 ( ) ( )iiini x x i iiW f x x 定积分的意义： 定义 1：设闭区间上有 1n 个点，依次为：0 1 2 1nna x x x x x b ,它们把 ,ab 分成 n 个小区 间 i = 1,iixx ， 1, 2, 3, ,in 这些分点或者这些闭子区间构成 ,ab 的一个分割，记为： 0 1 1, , , ,nnT x x x x 或者 12, , , n ，小区间 i 的长度记为ix=ix-1ix，并记： T =max ix,称为 T 的模 注：由于ix T ， 1, 2, 3, ,in ，因此 T 可用来反映 ,ab 被分割的细密程度另外，分割一旦给出， T 就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却有无限多 1.2 定义 1 设 f 是定义在 ,ab 上的一个函数，对于 ,ab 的一个分割 12, , , nT ，任取ii， 1, 2, 3, ,in ，并作和式1()iin ixif ， 称此和式为 f 在上的积分和，也是黎曼和 显然积分 既和 分割 T 有关，又与所选的点集 i有关 1.3 定义 2 设 f 是定义在上的一个函数， J 是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任一分割 T ，以及在其上任选的点集，只要 T 就有1() iin ixifJ ，湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 2 则称 f 在 , ab 上可积或者黎曼可积记作 J = ()ba f x dx 其中， f 称为被积函数， x 为积分变量，为积分区间， ab为积分的下限和上限 几何意义：设 ()fx为闭区间上的连续函数，定积分的值由曲线 ()y f x 在 x 轴上方部分所有曲边梯形的证面 积和下方所有曲边梯形的负面积的代数和 2.定积分的几种计算方法 2.1 定义法 通过对积分区间作等分分割，并取适当点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分 : 1 30xdx. 解：i in 则 1 30xdx= 311lim ( )inn iinn = 23 3 3 2441 1 1l i m (1 2 ) l i m ( 1 )44nnnnnnn . 另外，在求数列极限时，有时也可根据定积分的意义 定义化成求定积分的运算。 例：3 3 341l i m (1 2 )n nn . 解：3 3 341l i m (1 2 )n nn = 311lim ( )inn iinn = 1 30xdx= 4140x=14. 2.2 换元法求定积分 利用换元法求定积分时，要注意换元的条件，要满足在积分区间上单调切具有连续导数。在做变量替换的同时，应相应替换积分的上 限和下限。被积函数 f(x)、积分上、下限 ,ab 、积分变元的微分 dx 三者同时替换。换元后不必换成原定积分的变量，直接利用牛顿莱布尼兹公式计算。 定理：设函数 ()fx在区间 ,ab 上连续，函数 ()xt ，满足条件： (1) ( ) , ( )ab ； (2) ()t 在 , 和 , 具 有 连 续 导 数 ， 且 其 值 域aR= ,ab ，则( ) ( ( ) ) ( )ba f x d x f t t d t 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 3 称为定积分的换元公式。 常用的几种代换： （ 1） 三角代换：若被积函数中含有 22ax ， 可令 x= sinat或 x= cosat；若被积函数中含有 22ax ， 则可令 x= tanat或者 x= cotat；若被积函数中含有 22xa ，则可令 x= secat或者 x= cscat根式代 换：若被积函数中含有 n ax b ， 则可令t= n ax b ； 若被积函数中含有 ax bncx d， 则可令 t= ax bncx d， 若被积函数中含有 n ax b和 max b ， 则可令 t= p ax b ， p= ,mn （ 2） 倒代换：一般用于分母次数较高的情况 如： 1711( 2 )dxxx ， 令 1tx 在具体解题时，还必须具体问题具体分析，灵活处理 例 1：求 3220a dxax 解：令 x= tana ， 30, 原式 =332200( t a n ) 1 1 .s e c 3 3d a t da a a a 例 2、求 10 1x dxx 解：令 t = x ,则 2xt 2112002()ttd t d t 1012 ( 1 )1t d tt 112 0 02 2 l n 1t t t 1 2 ln 24 例 3：计算定积分20 1 sindx x 解：令 t =tan2x，21dtdx t ， 22sin 1 tx t 20 1 sindx x = 2212 101 ttdttt 0 21()2 1( ) 8dt tt t 0112 a r c t a n2 2 2 2t t 22 例 4：求 I = 1 19971 (1 ) ( )xxx x e e d x 解：令 t =-x 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 4 I = 1 19971 (1 ) ( )xxx x e e d x = 1 19971 ( ) (1 ) ( ) ( )ttt t e e d t = 1 19971 (1 ) ( ) ( )ttt t e e d t = 1 19971 (1 ) ( )xxx x e e d x =2 11 ()xxx e e dx 112 ( )xxd e e 11 11 12 ( ) 2 ( ) 4 (x x x xx e e e e d x e e ） 1 112 ( ) 8xxe e e 换元法求定积分应用广泛，但是极易出现错误 变换被积函数，自变量必须在原区间连续 例 1：计算 12111 dxx . 误解：令 1xt 21 1 12 2 2 21 1 111()1 1 1t dtd x d xx t t x 12111 dxx =0 解显然是错误的，换元设 1xt t=0 时 , x 无意义 ， 1t在 1,1 上无界，不可导，不满足换元的基本条件 故不可设 1xt 正解：根据 定积分换元法的常用公式计算，若 ()fx在 ,ab 上连续且为偶函数，则： 0( ) 2 ( )aaa f x d x f x d x 即： 112210112d x d xxx 102 a r c t a n 2x。 换元在区间上必须满足换元的条件： 例：计算 220 ( 0 )a dx ax a x 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 5 误解：设 sinx a t ， 则 cosdx a tdt 当 0x 时 0t ； xa 时2t 原式 = 20c o ss i n c o sata t a t dt 20c o ss i n c o st dttt 20c o s ( c o s s i n )( s i n c o s ) ( c o s s i n )t t t d tt t t t 201 1 c o s 2 s i n 22 c o s 2ttdtt 误因分析：被积函数中含有二次根式，通过换元法消去二次根式，设 sinx a t 虽然4t 0,2但 cos sintt 在4t 处为 0，故这样的计算是错误的 正解：令 sinx a t 原式 =20c o ss i n c o sa td ta t a t 20c o ss i n c o st dttt 201 s i n c o s c o s s i n2s i n c o st t t tdttt 2 200( s i n c o s ) 1s i n c o s 2 4d t ttt 积分区间特殊的函数积分： 例 ： 计算 24401s i n c o sn dxx x 解：原式 =2n0441s i n c o s dxxx2 2 2 2 2012 ( s i n c o s ) 2 s i n c o sn x x x x dx =0 22 11 s i n ( 2 )2dxnx220( 2 )2 2 c o s 2 s i n 2dxn xx t a n 22 ( a r c t a n ) 02 oxn 误因分析：被积函数大于 0 且积分上限大于积分下限，积分值应大于 0.原因在于 t=tan2x在 0, 上不满足积分的条件 正解：原式 =4n 12 4401s i n c o s dxxx=4n2 220( 2 )2 c o s 2 s i n 2dxxx =408 t a n 2a r c t a n22nx 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 6 =2 2 n 。 误区分析：用换元法计算定积分时，虽然反复强调计算过程中的有关细节，但是有出现一些思维上的错误，本文在定理 1的基础上通过实例进行剖析，以使学生更好的掌握利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分 的思维方向，从而避免一些思维上的错误 2.3 牛顿莱布尼兹公式 牛顿莱布尼兹公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且也在理论上把定积分和不定积分联系了起来 定理：若函数 f 在上连续，且存在原函数 F ，即 ()Fx= ()fx ,x ,ab ,则 f 在上可积，且 ()ba f x dx ( ) ( )F b F a ,此公式即为牛顿莱布尼兹公式 也写作： ( ) ( )b baa f x d x F x 注 1：在应用莱布尼兹公式时 ,F(x)可由积分法求得 注 2：定理条件可适当减弱，例如： (1) 对 F 的要求可减弱为： 在 ,ab 上连续，在 ,ab 内可导，且 ()Fx= ()fx , ,x a b ； (2) 对 f 的要求可减弱为：在 ( , )ab 上可积（不一定连续）； (3) 后来证得了连续函数均有原函数之后，本定理中对 F 的假设便是多余的。 在定积分的计算中，经常会出现像计算定积分1I= 214111x dxx，2I= 20 2 cosdx x 等类型的题目 这类题目看似容易，但学生一动手就会出错 因为： 2411x dxx= 222111x dxxx21()1( ) 2dx xx x 2 11 a r c t a n22x cx 但却不能运用牛顿 莱布尼兹公式来计算 1I= 221 1142-1112 a r c t a n 02xxdxxx x 但这是错误的 这是因为被积函数 ()gx = 2421xxx在区间 1,1 上连续且恒正 所以它在区间 1,1 上的积分应该大于 0.其错误原因在于函数 ()Gx = 2 12 a rc ta n2xx 在区间湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 7 1,1 上不连续， x =0 为 ()Gx的第一类间断点 不难求得： G （ 0-0） = 201l i m a r c t a n2 2 2xxx G （ 0+0） = 201l i m a r c t a n2 2 2xxx 从而在点 x =0 处 ()Gx g(x) G (x)并不是 ()gx在 1,1 上的一个原函数，我们称这种函数为分段原函数。 再如函数 ()hx = 12 cos x 2 cosdx x 2 22 a r c t a n ( )3 33d t t ct 21a r c t a n ( t a n )233 x c 函数 ()Hx= 21a r c t a n ( t a n )233 x在 x 有第一类间断点， 即 ( 0)H = 21l i m a r c t a n ( t a n )23 3 3x x ( 0)H = 21l i m a r c t a n ( t a n )23 3 3x x ()Hx是被积函数 ()hx 的一个分段原函数 对于积分 22 0 2 c o sdxI x 我们也不能简单应用牛顿莱布尼兹公式求值 为了利用分段函数求原函数来计算定积分，必须推广牛顿莱布尼兹公式 定理：若 ()Fx为连续函数 ()fx在区间 ,ac 和 ,cb 上的分段原函数，为其第一类间断点，则： ( ) ( ) ( )b c ba a cf x d x f x d x f x d x = ( 0)Fc - ()Fa + ()Fb - ( 0)Fc = ()Fb - ()Fa + ( 0)Fc - ( 0)Fc 广义牛顿莱布尼兹公式 . 证：有定积分的可加性知： ( ) ( ) ( )b c ba a cf x d x f x d x f x d x = l i m ( 0 ) ( ) l i m ( ) ( 0 )x c x cF c F a F b F c =+ ( ) ( 0 )F b F c = ( ) ( )F b F a + ( 0)Fc (0Fc） 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 8 利用公式 计算1I和2I 211 42-1 1 (1 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) 2xI d x G G G Gxx 22 0 ( 2 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )2 c o sdxI H H H Hx =0-0+3 -（ -3 ） =23 。 例： ()fx = 23( 1) ( 1)( 2 )xxxx,求 34 21()1 ( )fxI d xfx 。 解： 4 ( 3 ) ( 1 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 2 0 ) ( 2 0 )I F F F F F F 32a r c t a n 227 。 2.4 利用对称原理求定积分 对于对称区间上的定积分和一类费对称 区间上的定积分，均可用对称原理进行简便计算 1、 结论：设 ()fx在 ,ab 上连续，求证： ()ba f x dx ()ba f a b x d x 证明：令 t a b x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a b ba b a af x d x f a b t d a b t f a b t d t f x d a b x d x 进而： ()ba f x dx 1 ( ) ( )2ba f x f a b x d x 例 1：求 I = 236c o s( 2 )x dxxx 解：6a ，3b ()fx = 2cos( 2 )xxx 在 ,63上连续 2s i n()2 ( 2 )xfxxx 2236c o s s i n112 ( 2 ) ( 2 ) 2xxI d xx x x x 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 9 336 61 2 1 2 l n 2( ) ( l n )2 2 2dxx x x 对于 式，若将积分区间 ,ab 用对称区间 ,aa 代入 则有： 1( ) ( ) ( )2aaf x d x f x f x d x 2、 利用这个结论计算对称区间上的非奇非偶函数的定积分，只要 ()fx比 ()fx + ()fx的定积分简单即可 。 例 2：求 I = 211 1 xx dxe 解： 22( ) , ( )11xxxxf x f xee I = 2 3 111 1 1 1( ) ( )2 2 6 3f x f x d x x d x x 例 3、求 I =32s i n a r c t a n 2 xx d x 解： ()fx = sinx arctan 2 x dx 1a r c t a n 2 a r c t a n 2x x 1a r c t a n 2 a r c t a n s i n2x xx 从而 I =321 s i n2 2 2x d x 3、 若 ()fx为奇函数，则 ( ) 0aa f x dx ； 若 ()fx为偶函数，则0( ) 2 ( )aaa f x d x f x d x 利用上面的性质并结合定积分的分项运算与分段运算可以简化计算过程。当被积分中含有奇偶函数或者积分区间含有对称区间时，可以考虑直接用上面的结论化简定积分 例 4、求 11 ()xx x e d x 解：原式 = 11 xxe dx+ 11 xxe dx=2012 (1 )xx e d x e 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 10 例 5、求 21 xxe dx 解：原式 = 11 xxe dx+ 21 xxe dx= 1223ee 4、 如果把 ,ab 换成 0,2 ，于是有： ()fx在 0,2 上连续，则001( ) ( ) ( ) 2aaf x d x f x f a x d x 例 6、求 I =20s i ns i n c o sx dxxx 解： ()fx = sinsin cosxxx ， ()2fx = cossin cosxxx ()fx + ()fx =1 I = 20 4dx 更一般的，2200s i n c o s4s i n c o s s i n c o snnn n n nxxd x d xx x x x 例 7、求 I =401 l n (1 t a n )2 x dx 解： I =4 401 ( l n (1 t a n ) l n (1 t a n ( ) ) l n 228x x d x 2.5 利用奇偶性求函数积分 定理 1：函数的奇偶性在定积分的 计算中有如下结论： 若 ()fx在 ,aa 上连续，当 ()fx为奇函数时， ( ) 0aa f x dx ；当 ()fx为偶函数时，0( ) 2 ( )aaa f x d x f x d x 例：计算积分 I = 321 2621s i n ( 2 )31xx x x d xxx 解： I 321621s in31xx dx 1 21 ( 2 )xxdx 定理 2、当被积函数无奇偶性时，0( ) ( ) | ( ) aaa f x d x f x f x d x 或者对分析被积函数，对其进行变形时、拆项，化成奇函数或者偶函数 当被积函数不具有奇偶性或者积分区间不为对称区间时 ， 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 11 定理 3、设函数 f 在 ,ab 上可积，则 ( ) ( )bbaaf x d x f a b x d x 类型 1：直接利用奇偶性求定积分： 例 1、 计算 I =22 2c o s 2 s i n 21 x x d xx 解： 被积函数是关于原点对称的奇函数 I =22 2c o s 2 s i n 21 x x d xx =0 例 2、2s in1 c o sx dxx 解：2s in1 c o sx dxx 2200s i n s i n221 c o s 1 c o sx xd x d xxx 20 12 ( c o s )1 c o s dxx 02 a r c t a n ( c o s )x 类型 2：间接利用奇偶性来求定积分： 1、 区间对称，函数不是奇函数或偶函数 例 3、计算 3 ln (1 )a xa x e d x 解 ：原式 = 3 ln (1 )a xa x e d x 330 l n (1 ) l n (1 )a xxx e x e d x 33001 (1 )l n l n1 (1 )x x xaax x xe e ex d x x d xe e e 55400a axax d x 2、 函数是奇函数或者偶函数但是区间不对称 当函数是奇函数或者偶函数，但区间不对称时，可以通过变量代换的方法变换成对称区间 例 4、求 I = 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （之值 分析：观察可知，积分区间不对称 ，被积函数既不是奇函数也不是偶函数，也不是偶函数，所以此题可以将被积函数展开然后再求积分，但是这种求法比较繁琐。由观察可以发现，若令 2tx，原积分就转化成了区间对称的定积分，也可以用定理 3 求解。 解法 1： I = 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （ 令 2tx 0x 时 ， 2t ； 4x 时 ， dx dt 则 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （= 2 52 ( s in )t t dt 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 12 5 sintt 是奇函数 0I 解法 2： I = 4 20 2 ) s i n ( 2 )x x d x （ = 4 50 4 2 ) s i n 4 ( 2 ) x x d x （ = 445500) s i n ) 2 ) s i n ( 2 ) x x d x x x d x I （ 2 （ 2 （ 0I 例 5、求 I =23 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx 之值 分析：观察可知该定积分的积分 区间不对称，但函数是奇函数，所以拆分区间使该定积分比较容易计算 解： I =23 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx = 33 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx + 23 21 2 3 s i n 44 c o s 2xxdxx =0+2233223 3 s i n 4c o s 2 4 c o s 2xx dx =2233 12223 3 s i n 4c o s 2 4 c o s 2xx d x I Ixx 2331 23 ( t a n 2 ) t a n 2 t a n 2 2I x d x x x x d x dx 22332 23 s i n 4 3 t a n 24 c o s 2 2xI d x x d xx I = 12II = 32 2.6 利用分 部 积分法计算定积分 分部积分公式 设函数 )(xu 、 )(xv 在区间 ba, 上具有连续导数，则有 bababa vduuvudv.（ 定积分的分部积分公式） 例 1、 计算 120 arcsin xdx 解：令 ,arcsin xu 则 ,1 2xdxdu 210 arcsin xdx 210arcsin xx 210 21 xxdx 621 )1(1 121 20 221 xdx 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 13 12 21021 x 3 112 2 例 2、 计算40 1 cos 2xdx x 解 ,cos22cos1 2 xx 40 2cos1 xxdx 40 2cos2 xxdx xdx tan240 40tan21 xx xdxtan21 40 40secln218 x ln 284 。 例 3、 计算 120ln (1 )( 2 )x dxx 。 解： 10 2)2()1ln( dxx x 10 21)1ln( xdx 102)1ln( xx 10 )1ln(21 xdx 32ln dxxx 10 1 12 1 （ xx 1 12 1 xx 2 11 1） 10)2ln ()1ln (3 2ln xx = 5 ln 2 ln 33 。 例 4、 设 21 ,sin)( x dtt txf 求 10 ()xf x dx 。 解：因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出 )(xf ，所以采用分部积分法 10 )( dxxxf 10 2 )()(21 xdxf 102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 21 ,s in)( x dtt txf ,0s in)1( 11 dtt tf ,s in22s in)( 22 2 x xxx xxf 10 )( dxxxf )1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 10 2sin221 dxxx 1022sin21 dxx 102cos21 x = 1 (cos1 1)2 2.7 欧 拉积分在求解定积分中的应用 求解定积分在是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 14 能。求解定积分的方法一般来说是求出原函数，然后根据牛顿莱布尼兹公式代入上下限进行计算。这种方法一般比较实用 在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么问题就得到了很好的解决。欧拉积分恰恰是我们解决这样问题的一个有效工具 2.7.1 欧拉积分定义 10() xx e d x （ 0a ）我们称之为 函数 令 2xt 是，代入上式得： 2210( ) 2 tt e d t （ 0a ） 令 1lnxt时，代入上式得： 11 10011( ) ( l n ) ( l n ) dttt （ 0a ） 2.7.2 性质 （ 1） 函数的定义域区间为 (0, ) ，在 ( 0, ) 內闭一致收敛。 () 在区间 (0, ) 上连续，求导在积分号下进行： ( ) 10( ) ( l n )n x nx e x d x （ 2）递推公式 0a 有： ( 1 ) ( ) 这个性质可由分部积分公式得到。 00( 1 ) ( )xxx e d x x d e 100 ()x e x e d x 特别是，当 ,n n N，有： ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ! (1 )n n n n n n n 0(1 ) 1xe d x ，即： ( 1)n = !n =0 nxx e dx （ 3）余元公式： ( ) (1 ) s i n （ 01a 2.7.3 B 函数（第一型欧拉积分） （ 1）定义： ( , )B p q = 1 110 (1 ) ( ,pqx x d x p q 0),我们称之为 B 函数。 湖北师范学院数学与统计学院 2013届学士学位论文 15 令 2cosx 时，代入上式得： ( , )B p q =2 2 2 1 2 10 c o s s i npq d 令1ux u 时，同理得： ( , )B p q = 10 (1 )ppqu duu。 （ 2）性质 1 2 1 2: ； : ( 0 , ； 0 , )p p q q ， B 函数在 1 2 1 2: ； :p p q q上一致连续，有连续的各阶偏导数。 对称性： ( , ) ( , )B p q B q p 递推公式： ( , )Bpq = 1 ( , 1 )1q B p qpq = 1 ( 1 , )1p B p qpq 特别对正整数 ,mn有 ( , )B mn = ( 1) !( 1) !( 1) !nmmn 余元公式： 0 ( ,1 )B p p = sinp （ 01p） 特别是： 11( , )22B= Dirchlet 公式： ( ) ( )( , )()pqB p q p