高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第3课时空间向量与空间距离（选学）学案.docx

第3课时空间向量与空间距离(选学)1.了解点到直线、平面距离的概念2.会用空间向量求点到直线、平面的距离 学生用书P69空间距离的向量求法分类向量求法两点间的距离设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则d|点到平面的距离设平面的法向量为n，B，A，则B点到平面的距离d点到平面的距离：一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度()(2)直线l平面，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()(3)若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离()答案：(1)(2)(3) 空间内有三点A(2，1，3)，B(0，2，5)，C(3，7，0)，则点B到AC的中点P的距离为()A. B5C. D.3答案：C 已知直线l过点A(1，1，2)，和l垂直的一个向量为n(3，0，4)，则P(3，5，0)到l的距离为()A5 B14C. D.答案：C 已知直线l与平面相交于点O，Al，B为线段OA的中点，若点A到平面的距离为10，则点B到平面的距离为_答案：5探究点1点到直线的距离学生用书P70如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，求点B到直线AC的距离【解】因为AB1，BC2，AA3，所以A(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线AC的方向向量(1，2，3)又(0，2，0)，所以在上的投影长为 .所以点B到直线AC的距离d) .用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系(2)求直线的方向向量(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长(4)利用勾股定理求解另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则(1，2，1)，(1，0，2)|，110(2)(2)11，在上的投影长为 .所以点A到EF的距离d.探究点2点到平面的距离学生用书P70如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离【解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F.设DH平面PEF，垂足为H，则xyz，(xyz1)，.所以xyzxyz0.同理，xyz0，又xyz1，所以可解得xy，z.所以(2，2，3)所以|.因此，点D到平面PEF的距离为.(2)连接AC，设AH平面PEF，垂足为H，则，设(2，2，3)(2，2，3)(0)，则(2，2，3).所以4242920，即.所以(2，2，3)，|，又AC平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为.用向量法求点面距的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标(3)求向量：求出相关向量的坐标(，内两不共线向量，平面的法向量n)(4)求距离d. 如图所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高解：设正四棱柱的高为h(h0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)，则(1，0，h)，(0，1，h)，(1，1，0)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得n(h，h，1)，所以点C到平面AB1D1的距离为d，解得h2.故正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为2.1若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是()A. B.C. D.解析：选D.分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)可以求得平面ABC的一个法向量为n(1，1，1)，则d.2已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n(1，0，1)所在直线与l垂直，则点P(4，3，2)到l的距离为_解析：因为(2，0，1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为.答案：3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离解：建系如图，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以(0，1，0)，(2，1，1)，(1，1，2)设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则，所以所以所以n(z，z，z)，令z1，此时n(1，1，1)，所以d，即点A到平面EFG的距离为. 学生用书P71知识结构深化拓展点面距、线面距、面面距的求解思路线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.学生用书P141(单独成册)A基础达标1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()A1 B.C. D.解析：选C.以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F，所以EF，故选C.2已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在平面内，则点P(2，1，4)到的距离为()A10 B3C. D.解析：选D.由已知得(1，2，4)，故点P到平面的距离d.3已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A. B.C. D.解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，则(0，2，0)，(0，1，2)，设ABE，则cos ，sin .故A到直线BE的距离d|sin 2.4如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A5，AB12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A5 B8C. D.解析：选C.法一：因为B1C1BC，所以B1C1平面A1BCD1，从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求如图，过点B1作B1EA1B于点E.因为BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，所以BCB1E.又BCA1BB，所以B1E平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离在RtA1B1B中，B1E，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.法二：以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x0)设平面A1BCD1的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得n(a，b，c)(x，0，0)ax0，n(a，b，c)(0，12，5)12b5c0，所以a0，bc，所以可取n(0，5，12)又(0，0，5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为.因为B1C1平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.5正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.解析：选B.以，为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，平面ABC1D1的一个法向量(1，0，1)，点O到平面ABC1D1的距离d.故选B.6在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离由已知可知AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则(2，0，2)，(0，2，0)设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即取a1，得n(1，0，1)，又(2，0，0)，所以d.答案：7(2018北京通州潞河中学高二(上)期中考试)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为_解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有(1，1，1)，(0，2，1)，所以，|，所以点D1到直线GF的距离为.答案：8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，0，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则所以令z1，得y1，x1，所以n(1，1，1)所以点D1到平面A1BD的距离d.因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.9在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，M为BB1的中点，N为BC的中点(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0，(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d.(2)设平面MA1C1的法向量为n(x，y，z)，则n0且n0，即(x，y，z)(0，2，0)0且(x，y，z)(2，0，1)0，即y0且2xz0，取x1，得z2，故n(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0.因为N(1，1，0)，所以(1，1，1)，故点N到平面MA1C1的距离d|n0|.B能力提升10如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为()A. B.C. D.解析：选C.如图，分别以AB、AD、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，、可作为x、y、z轴方向上的单位向量，(1，0，0)，所以P点到AB的距离d .11(2018陕西西安一中高二(上)期末考试)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)，则，(0，1，0)，(0，1，1)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，1)，则有解得n，则所求距离为.法二：连接AB1，VB1ABC1VA BB1C1，VA BB1C1SBB1C1AB.设点B1到平面ABC1的距离为h，则VB1ABC1SABC1h，SABC1AB，所以h.答案：12(选做题)在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD(如图)(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，又因为AB平面ABD，所以CDAB.(2)以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(