（应用数学专业论文）线性模型参数估计的实证分析及相对效率研究.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 线性模型回归分析可以说是统计分析中应用最广泛的一个分支，它起源于1 9 世纪高斯的最小二乘法，2 0 世纪初形成了回归分析。线性模型参数估计是一种基 本的统计推断形式，也是统计学的一个重要分支研究领域，广泛地应用于生物、化 工、医药、气象、金融、管理、工业技术、农业生产、经济规划、国防科技等领 域。上世纪二十年代，英国著名统计学家r a f i s h e r 奠定了参数估计的理论基础； 到本世纪初的今天，这个分支有了很大的发展。一方面是由于a w a l d 的统计决策 理论的影响，给参数估计理论提出了许多新的研究课题；另一方面是由于极限理 论的发展，为估计的大样本理论的深入发展创造了条件。 常见的参数估计方法有：最小二乘估计，b a y e s 估计，岭估计，广义岭估计， j a m e s s t e i n 压缩估计等等。众所周知，最近十多年来，金融市场的运行日趋复杂， 因而借用数学方法对投资的风险和收益进行分析与控制成为一种必须。当我们在 做参数估计实证分析的时候，往往存在理论分析结果与实际情况有出入，这就有 必要对参数估计进行适当的修正，以便得到更准确可信的结果。 在参数估计的一些实际应用中，有时候会遇到计算很复杂的情况，从而造成 可执行程度不高；有时候我们的估计里还包含一些未知参数，这就会导致两步估 计，而我们对两步估计的统计性质、特别是小样本性质知之甚少。因此我们往往 会用一些其它的估计来代替我们所真正需要的估计来进行统计推断。因此我们就 必须知道这种取代的损失，也就是新估计相对于原估计的效率。这就引出了统计 又- d , 分支：线性模型中参数估计的相对效率。而相对效率的下界是研究的关键 点，因为它的大小反映了这种取代的损失程度。b l o o m f i e l d 和w a t s o n 、刘爱义和 王松桂、黄元亮和陈桂景分别给出了常见的几类相对效率的及相应的下界。 论文的第一、二章分别给出本文的绪论和文章用到的一些基本知识。 文章的第三部分，借助s p s s l 2 0 软件，利用线性模型的回归分析方法对资本 资产定价模型( c a p 在深圳股市的应用进行了实证研究，得出一些结果。 论文的第四章介绍各种常见的相对效率，并讨论了其下界。同时给出了一类 新的相对效率，并研究了新的相对效率的下界。 论文的第五章从计算的灵敏度和估计的效率两个角度比较了常见的几类相对 效率的优劣，同时把新的相对效率与其它相对效率作了比较。 关键词：线性模型，参数估计，相对效率，回归分析，资本资产定价模型。 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t l i n e a rr e g r e s s i o na n a l y s i sm a yb et h em o s tw i d e l yu s e db r a n c hi nt h es t a t i s t i c a l a n a l y s i s i tc a nb a c kt r a c kt ot h el e a s ts q u a r e st e c h n i q u e sp r o p o s e db yg a u s si nt h e1 9 。 c e n t u r y , a n dy i e l d e dt h er e g r e s s i o na n a l y s i si nt h eb e g i n n i n go ft h e2 0 “c e n t u r y p a r a m e t e l e s t i m a t i o ni nl i n e a rm o d e li so n eo ft h eb a s i cs t a t i s t i c a li n f e r e n c ef o t i n sa s w e l la so n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si ns t a t i s t i c s i th a se n j o y e dm a n y a p p l i c a t i o n si nt h ef i e l d ss u c ha sb i o l o g y , c h e m i c a li n d u s t r y , m e d i c i n e ，m e t e o r o l o g i c a l p h e n o m e n a ,f i n a n c e ,m a n a g e m e n t ， i n d u s t r i a l t e c h n o l o g y ,a g r i c u l t u r e , e c o n o m i c p l a n n i n ga n d n a t i o n a ld e f e n c et e c h n o l o g y t h ef a m o u se n g l i s hs t a t i s t i c i a nr a f i s hh a s l a i daf o u n d a t i o nf o r t h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nt h e o r yi nt h e1 9 2 0 s ，a n di th a sm a d eg r e a t p r o g r e s su n t i lt o d a y ，i n f l u e n c e db yt h ea w a l d ss t a t i s t i c a ld e c i s i o nt h e o r yw h i c hp u t f o r w a r dm a n yn e wr e s e a r c ht o p i c sf o rt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nt h e o r yo nt h eo n eh a n d ； o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed e v e l o p m e n to fl i m i tt h e o r yh a sp r o v i d e dt h en e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h ed e v e l o p m e n to f t h el a r g es a m p l et h e o r yf o re s t i m a t i o n n o w a d a y s ，p a r a m e t e re s t i m a t i o ni ss t i l la l i v eb r a n c hi ns t a t i s t i c s ，a n dt h e r ee x i s t m a n yi m p o r t a n te s t i m a t o r ss u c ha st h el e a s ts q u a r e se s t i m a t o r , b a y e se s t i m a t o r ，r i d g e e s t i m a t o r , g e n e r a lr i d g ee s t i m a t o ra n dj a m e s s t e i ns h r i n k a g ee s t i m a t o r i t sw e l lk n o w n t h a tt h er u n n i n go ft h ef i n a n c i a lm a r k e th a sb e c o m em o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e di nt h e l a s td e c a d e s ，s oi t sq u i t en e c e s s a r yt oa p p l yt h em a t h e m a t i cm e t h o d st oa n a l y s i sa n d c o n t r o lt h er i s ka n di n c o m eo ni n v e s t m e n t i t saq u i t ep h e n o m e n o nt h a tt h e r ea r e d i f f e r e n c e sb e t w e e nt h et h e o r yr e s u l t sa n dt h ep r a c t i c e sw h e nd e a l i n gw i t ht h e e s t i m a t i o nd e m o n s t r a t i o n s w h i c hr e q u i r e su st om a k ep r o p e ra d j u s t m e n t st op a r a m e t e r e s t i m a t i o n i ns o m ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n so fp a r a m e t e re s t i m a t i o n , w ea r eo f t e nf a c e dt h e c o m p l i c a t e dc a l c u l a t i o n s ，w h i c hl e a d st ol o w e re f f i c i e n c y f u r t h e r m o r e ，i t sq u i t eo f t e n t h a tt h e r ea r es t i l la n k n o w np a r a m e t e r si nt h ee s t i m a t o r sw h i c hm a yl e a dt ot h e t w o s t a g ee s t i m a t o r s h o w e v e r , w es t i l lh a v eg o tl i t t l ea b o u tt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s ， e s p e c i a l l yf o rt h es m a l ls a m p l ep r o p e r t i e sa b o u tt h et w o s t a g ee s t i m a t o r s s os o m e t i m e s w en e e dt oc a l t yo u ts t a t i s t i c a li n f e r e n c et h r o u g hr e p l a c i n gt h et r u ee s t i m a t o r sb ys o m e o t h e re s t i m a t o r s an a t u r a lp r o b l e mi st h a tw ea r et of i n do u tt h ee f f i c i e n c yo fs u c h s u b s t i t u t i o n s ，w h i c hl e a d st oa n o t h e rb r a n c hi ns t a t i s t i c s ，n a m e l yt h er e l a t i v ee f f i c i e n c y o fp a r a m e t e re s t i m a t i o ni nl i n e a rm o d e l ，w h e r et h es t u d yo nt h eu p p e rb o u n do ft h e 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 r e l a t i v ee f f i c i e n c yi sah o tp r o b l e ms i n c ei tr e f l e c t st h el o s sd e g r e eo ft h er e p l a c e m e n t b l o o m f i l e da n dw a t s o n , “u ，a ya n dw a n g , s g ，h u a n g , y la n dc h e r t , j gh a s p r o p o s e ds o m ek i n d so fr e l a t i v ee f f i c i e n c yw i t ht h e i rc o r r e s p o n d i n gl o w e rb o u n d s r e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r , w ef n ：s f l yg i v et h ei n t r o d u c t i o na n ds o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e si n t h e1 “a n d2 埘s e c t i o n , r e s p e c t i v e l y ，t h e ni nt h e3 嵋p a r t ，w em a k ead e m o n s t r a t i o na b o u t t h ec a p m sa p p l i c a t i o ni nt h es h e nz h e ns t o c km a r k e tw i t l lt h el i n e a rr e g r e s s i o n a n a l y s i sm e t h o d su t i l i z i n gt h es p s s1 2 0s o f t w a r e a f t e rt h a t , w ed i s c u s ss o m ec o n l n l o n r e l a t i v ee 伍c i e n c ya n dt h e i rl o w e rb o u n d si nt h e4 也s e c t i o n i nt h i sp a r t w ea l s o p r o p o s e dan e w k i n do f r e l a t i v ee f f i c i e n c ya n ds t u d yi t sl o w e rb o u n d i nt h e5 “s e c t i o n , w ec o m p a r es o m ec o m m o nr e l a t i v ee f f i c i e n c yf r o mb o t ht h ec o m p u t a t i o ns e n s i t i v i t y a n dt h ee f f i c i e n c yp o i n t so fv i e w ，a n ds t u d yt h es u p e r i o r i t yb e t w e e n0 1 1 1 n e wr e l a t i v e e f f i c i e n c ya n do t h e rc o m n l o n r e l a t i v ee f f i c i e n c y k e yw o r d s ：l i n e a rm o d e l ，e s t i m a t i o n , r e l a t i v ee f f i c i e n c y , r e g r e s s i o na n a l y s i s ，c a p m i i i 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t l i n e a rr e g r e s s i o na n a l y s i sm a yb et h em o s tw i d e l yu s e db r a n c hi nt h es t a t i s t i c a l a n a l y s i s i tc a nb a c kt r a c kt ot h el e a s ts q u a r e st e c h n i q u e sp r o p o s e db yg a u s si nt h e1 9 。 c e n t u r y , a n dy i e l d e dt h er e g r e s s i o na n a l y s i si nt h eb e g i n n i n go ft h e2 0 “c e n t u r y p a r a m e t e l e s t i m a t i o ni nl i n e a rm o d e li so n eo ft h eb a s i cs t a t i s t i c a li n f e r e n c ef o t i n sa s w e l la so n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si ns t a t i s t i c s i th a se n j o y e dm a n y a p p l i c a t i o n si nt h ef i e l d ss u c ha sb i o l o g y , c h e m i c a li n d u s t r y , m e d i c i n e ，m e t e o r o l o g i c a l p h e n o m e n a ,f i n a n c e ,m a n a g e m e n t ， i n d u s t r i a l t e c h n o l o g y ,a g r i c u l t u r e , e c o n o m i c p l a n n i n ga n d n a t i o n a ld e f e n c et e c h n o l o g y t h ef a m o u se n g l i s hs t a t i s t i c i a nr a f i s hh a s l a i daf o u n d a t i o nf o r t h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nt h e o r yi nt h e1 9 2 0 s ，a n di th a sm a d eg r e a t p r o g r e s su n t i lt o d a y ，i n f l u e n c e db yt h ea w a l d ss t a t i s t i c a ld e c i s i o nt h e o r yw h i c hp u t f o r w a r dm a n yn e wr e s e a r c ht o p i c sf o rt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nt h e o r yo nt h eo n eh a n d ； o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed e v e l o p m e n to fl i m i tt h e o r yh a sp r o v i d e dt h en e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h ed e v e l o p m e n to f t h el a r g es a m p l et h e o r yf o re s t i m a t i o n n o w a d a y s ，p a r a m e t e re s t i m a t i o ni ss t i l la l i v eb r a n c hi ns t a t i s t i c s ，a n dt h e r ee x i s t m a n yi m p o r t a n te s t i m a t o r ss u c ha st h el e a s ts q u a r e se s t i m a t o r , b a y e se s t i m a t o r ，r i d g e e s t i m a t o r , g e n e r a lr i d g ee s t i m a t o ra n dj a m e s s t e i ns h r i n k a g ee s t i m a t o r i t sw e l lk n o w n t h a tt h er u n n i n go ft h ef i n a n c i a lm a r k e th a sb e c o m em o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e di nt h e l a s td e c a d e s ，s oi t sq u i t en e c e s s a r yt oa p p l yt h em a t h e m a t i cm e t h o d st oa n a l y s i sa n d c o n t r o lt h er i s ka n di n c o m eo ni n v e s t m e n t i t saq u i t ep h e n o m e n o nt h a tt h e r ea r e d i f f e r e n c e sb e t w e e nt h et h e o r yr e s u l t sa n dt h ep r a c t i c e sw h e nd e a l i n gw i t ht h e e s t i m a t i o nd e m o n s t r a t i o n s w h i c hr e q u i r e su st om a k ep r o p e ra d j u s t m e n t st op a r a m e t e r e s t i m a t i o n i ns o m ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n so fp a r a m e t e re s t i m a t i o n , w ea r eo f t e nf a c e dt h e c o m p l i c a t e dc a l c u l a t i o n s ，w h i c hl e a d st ol o w e re f f i c i e n c y f u r t h e r m o r e ，i t sq u i t eo f t e n t h a tt h e r ea r es t i l la n k n o w np a r a m e t e r si nt h ee s t i m a t o r sw h i c hm a yl e a dt ot h e t w o s t a g ee s t i m a t o r s h o w e v e r , w es t i l lh a v eg o tl i t t l ea b o u tt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s ， e s p e c i a l l yf o rt h es m a l ls a m p l ep r o p e r t i e sa b o u tt h et w o s t a g ee s t i m a t o r s s os o m e t i m e s w en e e dt oc a l t yo u ts t a t i s t i c a li n f e r e n c et h r o u g hr e p l a c i n gt h et r u ee s t i m a t o r sb ys o m e o t h e re s t i m a t o r s an a t u r a lp r o b l e mi st h a tw ea r et of i n do u tt h ee f f i c i e n c yo fs u c h s u b s t i t u t i o n s ，w h i c hl e a d st oa n o t h e rb r a n c hi ns t a t i s t i c s ，n a m e l yt h er e l a t i v ee f f i c i e n c y o fp a r a m e t e re s t i m a t i o ni nl i n e a rm o d e l ，w h e r et h es t u d yo nt h eu p p e rb o u n do ft h e 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 r e l a t i v ee f f i c i e n c yi sah o tp r o b l e ms i n c ei tr e f l e c t st h el o s sd e g r e eo ft h er e p l a c e m e n t b l o o m f i l e da n dw a t s o n , “u ，a ya n dw a n g , s g ，h u a n g , y la n dc h e r t , j gh a s p r o p o s e ds o m ek i n d so fr e l a t i v ee f f i c i e n c yw i t ht h e i rc o r r e s p o n d i n gl o w e rb o u n d s r e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r , w ef n ：s f l yg i v et h ei n t r o d u c t i o na n ds o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e si n t h e1 “a n d2 埘s e c t i o n , r e s p e c t i v e l y ，t h e ni nt h e3 嵋p a r t ，w em a k ead e m o n s t r a t i o na b o u t t h ec a p m sa p p l i c a t i o ni nt h es h e nz h e ns t o c km a r k e tw i t l lt h el i n e a rr e g r e s s i o n a n a l y s i sm e t h o d su t i l i z i n gt h es p s s1 2 0s o f t w a r e a f t e rt h a t , w ed i s c u s ss o m ec o n l n l o n r e l a t i v ee 伍c i e n c ya n dt h e i rl o w e rb o u n d si nt h e4 也s e c t i o n i nt h i sp a r t w ea l s o p r o p o s e dan e w k i n do f r e l a t i v ee f f i c i e n c ya n ds t u d yi t sl o w e rb o u n d i nt h e5 “s e c t i o n , w ec o m p a r es o m ec o m m o nr e l a t i v ee f f i c i e n c yf r o mb o t ht h ec o m p u t a t i o ns e n s i t i v i t y a n dt h ee f f i c i e n c yp o i n t so fv i e w ，a n ds t u d yt h es u p e r i o r i t yb e t w e e n0 1 1 1 n e wr e l a t i v e e f f i c i e n c ya n do t h e rc o m n l o n r e l a t i v ee f f i c i e n c y k e yw o r d s ：l i n e a rm o d e l ，e s t i m a t i o n , r e l a t i v ee f f i c i e n c y , r e g r e s s i o na n a l y s i s ，c a p m i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位敝储签名莎马签字晚叩年月) 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庞太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重麽态堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密( v ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位黻储签名够娓白聊繇寸 签字嗍1 年6 月歹日签钠期：夕年g 月? 日 重庆大学硕士学位论文i 绪论 1 绪论 线性模型是现代统计学中应用最为广泛的模型之一，它在许多个领域，如生 物、医学、经济、管理、工业、农业、地质、气象、工程技术、国防科技等等， 都有应用。这些领域的一些现象均可用线性模型来描述，尤其是随着计算机的日 益普及与数字计算能力的不断提高，线性模型也越来越发挥出重要的作用。 线性模型是一类统计模型的总称，它包括了通常的线性回归模型、方差分析 模型、协方差分析模型和方差分量模型等等。本文主要涉及到的是线性回归模型， 它是指用一个数学模型来确定所研究的自变量和因变量之间的线性关系。在人们 所见的大量实际问题中，线性回归模型的设计阵总是列满秩的。基于这一点，我 们在讨论线性回归模型时，如没有特别声明，总是假设设计阵是列满秩的。 近几十年来，统计学家们已经对线性回归模型进行了深入细致的研究，出现 了不少研究分支。而自上个世纪二十年代，英国著名统计学家r a f i s h e r 奠定了参 数估计的理论基础之后，参数估计一直是统计学中的一个非常活跃的分支。并且， 最小二乘法在参数估计理论中占有中心的基础地位，最小二乘估计( l s e ) 也是最经 典的一个估计之一。但是，随着回归分析研究的深入，统计学家们渐渐发现在理 论分析和实际应用中l s 估计的性质不够理想。于是，统计学家们提出了很多新的 估计试图改进l s 估计，其中有许多著名的有偏估计，如j a m e s s t e i n 压缩估计、 蛉估计、主成份估计、l i u 估计等等。另一方面，很多的情况下最小二乘估计并不 是最佳线性无偏估计。但是一些理论在实际应用中，我们需要用最小二乘估计来 替代最佳线性无偏估计，这样就导致线性模型相对效率这一研究分支的诞生。 线性模型参数估计的相对效率种类繁多，本节就几类常用的相对效率展开讨 论，并尝试对一些经典的线性回归模型的参数估计进行实证设计，并联系当前中 国金融市场的数据作出实证研究。 1 1 线性模型参数估计的简单介绍及实证分析 提到线性模型，其中参数估计就是我们首先要面临的问题，当然，最小二乘 估计( l s e ) 是最基本、最常见的估计。高斯一直被公认为是l s e 的发明者，这种方 法为学者们所知已有1 0 0 多年的历史了。然而，随着统计学在近代的迅速发展， 我们所熟知的l s e 在很多的情况下并不是最优的估计，这使得参数估计得到了迅 猛的发展。涌现出了岭估计【i 】【2 】、广义岭估计o ”、贝页斯估计、j a m e s s t e i n 压 缩估计【3 1 、l i u 估计吲等等。 我们考虑如下线性模型： 重庆大学硕士学位论文1 绪论 其中y = 咒 儿 ： y n ，x = y = x 8 + s 1 五l 1 而i 1 1； 【1 1 t 毛i ： ，口= 屈 岛 ： 瓯 毛 乞 ： g h ，l r 为n 维观测向量， z 为 p 列满秩设计矩阵，口为参数向量，占为n 维随机误差向量，满足 占n ( o ，仃2 i ) ，盯2 为已知常数。 口的l s e 为： = ( x x ) 。石y( 1 2 ) 口的岭估计与广义蛉估计为： f l ( k ) = ( 石j + 灯) 1 石y ，k 0 ( 1 3 ) f l ( k ) = ( 名x + 足) “x 。y ，k = d i a g ( 毛，七，) ，毛 0 ，i = l ，p ( 1 4 ) 设回归系数正确的先验分布应该满足下列条件： e ( f 1 ) = 口，c o v ( f 1 ) = o r 2 ( 1 5 ) 此处0 为常数向量，为已知的正定矩阵。 由文献吲知，在模型( 1 1 ) 和先验假定( 1 5 ) 下回归系数的b a y e s 估计为： 声= ( x x + e 一1 ) 一1 ( z x 夕+ 一1 口) = q 一1 ( x z 夕+ 一1 口) ( 1 6 ) 这里q = z z + 一。 口的j a m e s s t e i n 估计为： 触2 【卜焉户刚 ( 1 7 ) 其中子2 为盯2 的估计。 口的l i u 估计为： 尼= ( 石石+ ，) - 1 ( x y + d f l ) ，d 0 ( 1 8 ) 参数估计的方法广泛应用于线性模型的回归分析之中，资本资产定价模型 ( c a p m ) 是一个比较著名的经济模型，它基于线性回归理论的基础之上，可表示为： e ( r ) = r ，+ 屈 e ( 民) 一r ，】 屈是股票i 收益和市场组合收益间的协方差与市场组合收益方差盯2 的比值， 即：屈= a 杉：，常被称为“系数( 可以看成某种股票收益变动对市场组合收益 变动的敏感度) 。c a p m 认为在预期收益层( 如) 和无风险收益r ，一定的情况下，资产 组合的收益与其所分担的市场风险屈成正比。 因此，对“口系数”的估计设计显得尤其重要，本文利用深圳股市采集到的数据 对该模型进行实证研究。首先采用单指数模型估计了个股的“卢系数”，然后利用 b j s 方法进行时间序列回归，并进行了假设检验。为了消除单个股票的的非系统性 2 重庆大学硕士学位论文 l 绪论 风险，进一步构造股票投资组合对c a p m 模型进行修正检验。 1 2 常用的几类相对效率的发展及研究重点 考虑线性模型： r = x p + e ， e ( n ) = o ，c o v ( e ) = o r 2 ( 1 9 ) 其中y 是n x l 的观察向量，x 是n x p 的已知矩阵，r a n k ( x ) p ，这里p 为x 的列 数，占为咒l 的随机向量。 o 为n 阶已知矩阵，p r p , o 0 为c o v ( p ) 的奇异值，五龟吒 0 为c o y ( h ) 的奇 异值。并相应给出了新的相对效率的下界。 2 ) 对于线性模型( 1 9 ) ，当r a n k ( x ) = ， p 时，记夕= ) 一x 4 l ， 卢= ( x e _ 1 j ) 一x y 。对于任一可估函数c 侈，称c 谚和c + 分别为c p 的l s e 和b l u e 。于是： e 、m a g n e s sa n dm c g u i r e 嘲，h a n n a n t l ”定义了： 洒= 嚣格 ( 1 1 7 ) 并对r a n k ( x ) = ，= p 的情况得到了它的下界。王松桂在文献“”中把这个结果推广 至l j r a n k ( x ) = ， p 的情况下。w a n g 和c h o w 又给出了一个简洁的证明。 考虑线性模型( 1 9 ) ，的最佳线性无偏估计( b e s tl i n e a ru n b a i s ee s t i m a t e ，简 记为b l u e ) 为 矿= ( x e 。x ) - 1 盖“y 其相应的协方差为： c o k p ) = 仃2 ( z 1 工) “ 如果n 很大时，。的计算很复杂；而且往往还可能包含一些未知参数，这 些参数一般来自于误差向量占，记为p 。对于这种情况，我们要用目的某种估计舀来 代替口中的口，这就导致了二步估计，而我们对两步估计的统计性质、特别是小 样本性质知之甚少。这使人们往往回过头来用最小- - 乘估计p ( l e a s ts q u a r e s e s t i m a t e ，简记为l s e ) 来代替口。这样就产生两个问题： 1 ) 相对效率的定义方法 矽代替p 后会产生一定的损失，而相对效率就是来度量这种损失的，所以相 对效率的形式就应该是c o v ( a ) 和c o v ( p ) 的某种形式的函数； 2 1 相对效率的上、下界 因为相对效率是度量卢代替p 后会产生的损失，当r a n k ( x ) = p 时，我们定义 了式( 1 1 3 ) 、( 1 1 4 ) 、( 1 1 5 ) 、( 1 1 6 ) 四种相对效率；当r a n k ( x ) = ， 0 为n 阶已知矩阵，口r v ，0 0 为c o v c p ) 的奇异值。并相应得出了该相对效率的下界。 本文第五章就新的相对效率表达式的定义形式上和下界的大小关系上与 其它常见的相对效率作了比较，得出了一些结果。 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 2 预备知识 这里将本文中需要用到的一些定义及结论，简单的介绍一下，具体的证明过 程请参考文献【l l j 0 3 1 d 4 j 【同。 2 1 数学符号 下面是本文中所用到的一些数学符号所表示的意思； m 行n 列的矩阵a 记为4 或以，。；当研= n 时，称_ 为一阶方阵； l 。或l ； 矩阵4 的转置，记为彳； 矩阵a 的共轭转鹭，记为爿+ ； 如果n 阶方阵a 可逆，其逆记为f 1 ； 矩阵4 的广义逆记为彳一 栉阶方阵彳的迹，记为矿( 彳1 ； 矩阵a 的秩，记为r k ( a ) ； 如果4 一b 0 ，记为a b ； 如果a b 0 ，记为a b ； 用c ”和彤分别表示全体n 维复向量和实向量组成的线性空间； 用0 表示全体参数空间； p x x l 表示概率； f 口，盯21 表示服从参数为o ，方差为o r 2 的正态分布； 以维向量a 写为4 = ，6 2 ，玩) ，其中岛，f = l ，栉为口的元素； 如果n 阶方阵a 为对角矩阵，其对角元素依次为o l 。， d i a g ( a i i ，啦2 ，a n n ) ； n x n 单位阵记为 ，a 。，记为 2 2 矩阵论的预备知识 2 2 1 奇异值分解和同时对角化 设a 为? ? i x 秩为t 的复矩阵，则存在两个酉阵【o 。和吃。，使得 ( 矿 称之为矩阵a 的奇异值分解，其中z = d i a g ( 仃z ，吒，q ) ，q 0 ，i = l ，f ， = 彳，五= 砰为a + a 的非零特征值。 对两个矩阵同时对角化是指，设a ，b 为两个n 阶h e r m i t c 阵，则存在酉阵u ， 6 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 使得u * a u 和u * b u 同时为对角阵，当且仅当a b = b a 。 2 2 2 广义逆 定义设4 为m l , l 矩阵，任意n