（基础数学专业论文）偏微分方程在数字图像inpainting中的应用.pdf

摘要 5 基于偏微分方程的数字图像处理是个新颖的课题。其在实际操作中的有效性 使得越来越多的数学家们关注它。如今，偏微分方程已应用于图像处理和计算机视 觉中的许多方面，包括图像分割、运动物体的追踪、物体边缘的探测、图像恢复、图 像量化等且都取得了很好的结果。 用偏微分方程及几何变分原理进行图像处理的基本思想是将图像信息加入建立 的模型中，通过求解该模型的最优解得到期望的结果。 本文就是针对其在图像修复和填充方面中的应用模型进行介绍并分析不同模型 典适用性以及对于特定的问题应该采用何种模型。事实上，若采用单一模型处理问 题其效果就不能达到理想状态。因为许多图像都是纹理和结构的融合，所以不能用 单 的纹理合成法或偏微分模型进行处理。 在本文中，详细介绍基于偏微分方程的i n p a i n t i n g 模型，包括：t v - i n p a i n t i n g 模 型 h e l a s t i c a - i n p a i n t i n g 模型，并且简要介绍了在m u m f o r d s h a h 边缘探测模型基础上 改进而来的m u m f o r d - s h a h - i n p a i n t i n g 模型和m u m f o r d s h a h e u l e ri n p a i n t i n g 模型的 能量泛函的定义方式。由于此类模型不适用于具有强纹理特性的图像，从而介绍了 一种结合上述两类方法并能有效处理自然风景图像的修复问题的基于样本合成的图 像修复方法。但是，值得注意的是，i n p a i n t i n g 模型对于图像的修复基本上都是由已 知信息通过扩散等方式得来的，因此，如果填补的关键信息未知，则就无法都得理 想的效果了。 关键词：偏微分方程、几何变分法、全变分、欧拉弹性、纹理分析、图像修复、有 界变著函数。 a b s t r a c t p d e b a s e dd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gi san e wr e s e a r c ht o p i c b e c a u s eo fi t se f f i c i e n c y h ie x p e r i e m e n t i n o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sb e g i nt on o t i c ei tn o w p d e sh a v eb e e n w i d e l yu s e di nm a n ya s p e c t so fi m a g ep r o c e s s i n ga n dc o m p u t e rv i s u a l ，i n c l u d i n gi m a g e e g l n e t l t a t i o l l ，t r a c k i n gm o v i n go b j e c t s ，o b j e c te d g e sd e t e c t i o n ，i m a g ei n t e r p o l a t i o na n d s o0 1 1w h i c hh a v eb e e no b t a i n e dm a n ye x p e c t e dr e s u l t s t h eb a s i ci d e ao fa n a l y s i s i n gi m a g ep r o c e s s i n gp r o b l e m st h r o t l 曲p d e si sp u t t i n g t h ei m a g ei n f o r m a t i o ni n t ot h ep d em o d e ls ot h a tw ecang e tt h ee x p e c t e dr e s u l t sb y s o l v i n gt h ee q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nt h ea p p l i e dm o d e l si nd e m i n gt h ei m a g ei n p a i n t i n gp r o b l e mf m t h e r m o i e ，w ew i l ls h o wt h e i rd i f f e r e n ta p p l i c a t i o n ss u c ha ss c r a t c hr e m o v a li n d i g i t a lp h o t o sa n do l df i l m s ，t e x te r a s i n g ，d i s o c c l u s i o ni m a g ei n p a i n t i n gi sa ni n v e r s e p r o b l e m ，w h i c hi ss o l v e db yc o n s t r u c t i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，g e t t i n gt h ee n e r g yf u u c t i o nt h e ns o l v i n gt h ep r o b l e mb yu s i n gv a r i a t i o nc a l c u l u sm e t h o d s m ? h a ti l o ti c e du si st h a tt h ei m a g ei n p a i n t i n gm o d e lc o u l d n 。td e a lw i t ht h ei m a g e s w h i c hh a v e1 0 s tt h e i rc r u e l a li n f o r m a t i o n w ew i l ls h o wi t sl i m i t a t i o ni nt h ee x a m p l e s k e y w o r d s ：p d e ，g e o m e t r i c a lv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，t o t a lv a r i a t i o n ，e u c l i d e a ae l a s c l r n t ；e x t l l r ea n a l y s i s i m a g ei n t e r p o l a t i o nb o u n d e dv a r i a t i o n 王婵娟硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位各注 脚湃教援例矿荡婵 主席 谣害氟黝旋华删 亥糯诳援铷劂谐 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名 e t 期：塑：女：2 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：跨磙 日期：迎：! ：1 导师签名：v 浙七仡 日期：埘0 7 - 第一章引言 1 1 问题的提出 i n p a i n t i n g 是艺术专业名词，指的是艺术家们根据画像创作者的原始意图对馆藏 在博物馆中的旧名画进行手动修复的过程。在此它与图像修复，填充是同义词。图l ， 给出了此问题的一个数学描述。 图1 典型的i n p a i n t i n g 问题，区域d 为所需填补的区域，通常可以不连通 礼o i d c 为已知信息区域可以包含噪声。 如今，科技的发展使得图像能够被扫描到计算机中进行处理。毫无疑问，数字 图像修复为那些具有艺术，珍藏价值的名画的保存提供了一个安全的方法，不再需 要担心在人工修复中会对原始画像产生破坏的风险。简单的用计算机编码和软件就 可以进行复制，从而数字图像修复为此提供了允许发生错误的产生的可能，并且能 对图像进行进一步改进，以达到人们的预期效果。 同样，数字图像处理可以更为自由，不会受到对于一幅画在帆布上的画像中的 物体，场景只能加入却不能由我们的喜好随意的去除且不使原画招受破坏。然而数 字图像处理就为我们提供了这样的可能胜。 数字图像修复工作在图像处理，视觉分析和电影工业中得到广泛的应用，可以 用于： ( 1 ) 对具有收藏价值的旧名画的数字修复： ( 2 ) 对已产生了划痕和缺损的旧照片和底片做修复： ( 3 ) 在计算机视图中去除遮蔽( d i s o c c l u s i o n ) ； ( 4 ) 基于特效目的的图像中的文字和物体的移除； ( 5 ) 数字放大等。 并且，图像修复方法非常众多，包括非线性滤波法，小波，光谱方法统计方法( 特 别钊对纹理) 和变分法等。 图像修复方法大致可以分为两大类： ( 1 ) 基于纹理分析和合成的图像修复方法，其理论依据是统计原理； ( 2 ) 基于偏微分方程模型的结构修复方法。 1 2 预备知识 1 活动轮廓模型 在曲线演化理论的肩发下，c a s e l l e s 和m a l l a d i 引入了包含内部和外部几何测度 的几何流。给定一初始曲线c 0 ，几何流可由平面曲线的演化方程b = g ( c ) ( k u ) z r 给出。其中， 曲线的法向； k 曲率向量； 口 任意常量； 9 ( )边界指示函数。 这是一个几何流，从而不依赖于参数的选取。然而，只要g 沿边界不消失则曲线 仍然会继续演化，这样就可能会跳过边界位置。为了克服这一问题，可以在曲线演 化过程中加入控制进程使得其在靠近边界时定义9 = 0 。 测地活动轮廓模型，参见 2 2 1 ，将任意参量p 替换成弧长变量s ，则d s = l c p l 。 能量泛函形式如下， e c l = 詹( 。+ ( c ) ) l g i d p = 片。互( c ) d s + a l ( c ) ， 其中l ( c ) 为曲线的欧拉长度 = 片们g ( c ) d s ，g ) t g ( z ，可) = 雪( z ，! ，) 十 从而得到沿梯度下降方向的e u l e r - l a g r a n g e 方程： 面d c = ( 删一( 劢) 刀， ( 1 驯 也可以加入面积极小化项，使得轮廓线更靠近实际边界。调整后的能量泛函为， 粥= i o l ( c ) g g ( c ) d s + 。上曲 e f =+ 口g d n 2 ( 1 2 2 ) 其中，d 0 为面移 元，n 是轮廓线c 所围成的内部区域。则其e u l e r l a g r a n g e 方程为 面d c = ( 9 ( c ) 斥一( v g ，力) 一9 ( c ) ) 刀， ( 1 2 3 ) 2 水平集方法 水平集方法起初是作为研究界面( i n t e r f a c e ) 在速度场中演化的一种方法。通常融 介图像信息构造速度函数，图像处理和计算机视觉中的许多问题可以转化到水平集 框架下解决。近年来，水平集方法在该领域的应用研究非常活跃。因为其可以改变 演化曲线的拓扑性质，因而其实用性很强。水平集方法将二维闭合曲线( 三维闭合 曲面) 或孤立点集隐含的表示为三维( 四维) 的水平集函数。它具有跟踪拓扑结构变 化，对奇异点不敏感等有点，但是维数的提高必然导致计算量的增加，计算速度慢 是其主要缺点。 为简便起见，此处仅介绍两维情形，对于1 2 维情形可以类似的讨论。 水平集方法将闭合闸线c 隐含地表示为l i p s c h i t z 连续的水平集函数曲的零水平集 ( 磬图2 所示) ， 定义如下： 图2 闭合曲线c 嵌入到水平集函数u 的零水平集。 3 z 在c 的内部 z 在c 上 z 在c 的外部 为了理论上分析的便利引入如下函数 f 1 ) h e a v i s i d e 函数： 即，= ： f 2 ) d i r a c 区l 数： z0 z 0 ( ”( + 1 ，) 一u ( i l ，j ) ) ( “( 1 ，j ) 一? 2 0 ，( f l ) 0 ( u “j + 1 ) 一u o j 1 ) ) “j ) 一t o ，“，卜1 ) ) 0 离散化f ( “( ) ) = v 暖蚶) 记矿i ( v t ，v 2 ) 疗= ( n 1 ，n 2 ) = ( 南，旦1 w 1 ) 江( t i , t 2 ) 斗尚，南) y l = ( 。+ 卢一2 ) 札1 一筋( 1 d 。( 一f v i ) + t 2 d ，( 一f v 仳 ) ) t 2 ( 。+ 所2 商d+ 专争( 一玩“d 。( 一f v “f ) + 眈岛( 一f v “f ) ) 岛乱 口 口 p 叫 “ 一 一 口 + 札 u l，、【 则 v 2 = ( 。+ p 舻) 礼2 一f 号备0 1 上l ( k l v u i ) + t 2 d v ( k i v u i ) ) t 2 = ( 。+ 胪) 高二尚( 一即以叩如+ 眈玩( 巾“1 ) ) 础 f 心( e ，) )= v 最 ，j ) = d 。v 。, i j ) + d v 螺j ) = + 扪一一扣+ 丹 ，一唿。 曲率：用m m m o d n # 图1 7 ) 定义 。啬- ；斧每鳓 ： ： 。- - - 4 一揖 盎了覃 i 6 括r 竹i 卫j ) ，i 干l j 面i i 卜_ - 今f og r i d t 压州 h l f 删蛔t 口 p 。h h 雠d 岛鲰n 6 “口，】) p a i n m 嘲d h 街虬斛l n j ) n 1 7 使用m i n m o d 法计算半点时用到的象素点，以o + ，j ) n n 。 m 打z r n o d ( 口，卢) = ! ! 型型主堕掣m i n ( 。，f 卢f ) d 。用中心差分，则 “。+ 如2m 协m 。d ( 唧删，饰川) ( 一如2 俐n m o d ( k ( j ) ， “( 滑 ) 5 ”m m 耐( ) ，“( 册1 ) ) “j 一 ) 。仇饥”州( 托( j 玖u ( i + 如2 知扎圹“，) ) 见“ 现u ( 1 j + 善) ；( “( ：j ) 一u ( i “，) ) 玩u 一 1 = 知扩吣t ，) 。( 一l v u ) ( 件 ，力= = ；( 一( 计t ，) l w l ( t + z j ) 一一( ；，l v “i ( z ，) m x ( 一l v u 忆：川2i ( ) ) 一“一l ，j ) 1 w t ( 一l ，j ) ) 。( k i v u i ) ( 。+ ) = 互1 ( k ( ，j + ”1 v u i ( t j 十1 ) 一k “j ) v “ ( 。，) ) 。z ( 一i v u 【) “j 一 ) = 互1 ( k ( t ，扪i v 札1 ( 1 ) - - 片( i , j - i ) l v “l ( ，一1 ) ) d 。用m i n l 0 d 法，则 岛如2 m i n m o d ( ；( u ( 叫+ 1 )u 水+ l j 一1 ) ) ，i ( 仳o j + 1 ) 一钍( t j 1 ) ) ) 玩“( 。一毒加= m 机m d d ( j 1 ( 札( i j + 1 ) 一一1 ) ) ，i 1 ( “( j + 1 ) 即化，+ 犷侧一d ( 知升。，咱枞知删- u ( 幻叫) ) d v u ( i , j _ 女) = m i n m o d ( ；( u ( i , j + i ) - u ( i 4 - 1 ) ) ，知扩“坤) ) ) 。，c l v 让i ，。件a 。，= m