高中数学 （主干知识+典例精析）7.6空间直角坐标系课件 理 新人教B版.ppt

第六节空间直角坐标系 三年4考高考指数 1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 2 会推导空间两点间的距离公式 1 本节内容是用向量法解决立体几何问题的基础 属了解内容 一般不单独命题 2 本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离 3 通过求点的坐标考查空间想象能力 通过求两点间的距离考查计算能力 1 空间直角坐标系及有关概念 1 空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立在平面直角坐标系xoy的基础上 通过原点o 再作一条数轴z 使它与 都垂直 这样它们中的任意两条都互相垂直 轴的方向通常这样选择 从z轴的 看 x轴的正半轴 能与y轴的 这时 我们说在空间建立了一个空间直角坐标系 o叫做坐标原点 x轴 y轴 正方向 沿逆时针方向转90 正半轴重合 oxyz 在空间直角坐标系中 若空间内任一点p与三个实数的有序数组 x y z 之间建立了 关系 即 2 坐标平面 每两条坐标轴分别确定的平面 叫做坐标平面 一一对应 p x y z yoz xoz xoy 三个坐标平面把空间分成 部分 每一部分都称为一个卦限 如图 在每个卦限内 点的坐标各分量的符号是 的 八 不变 z x y o 即时应用 1 xoz平面内点的坐标的特点是 解析 点在xoz平面内 故点在y轴上的射影一定是坐标原点 其纵坐标为0 横坐标 竖坐标不确定 2 在空间直角坐标系中 点m 5 3 1 关于x轴的对称点坐标为 解析 关于x轴的对称点坐标 横坐标不变 其余坐标变为相反数 答案 1 纵坐标为0 2 5 3 1 2 空间两点间的距离空间两点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 的距离公式是d a b ab 特别地 点a x y z 到原点o的距离公式是d o a 即时应用 1 思考 在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢 提示 是以定点为球心 以定长为半径的球面 2 已知空间两点a 2 0 4 b 6 2 2 则线段ab的中点到原点的距离为 解析 由中点坐标公式可得线段ab的中点为 2 1 1 故到原点的距离为答案 3 已知点p 1 1 1 其关于xoz平面的对称点为p 则 解析 由题意得p 1 1 1 答案 2 求空间点的坐标 方法点睛 1 建立恰当坐标系的原则 1 合理利用几何体中的垂直关系 特别是面面垂直 2 尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上 2 求空间中点p的坐标的方法 1 过点p作与x轴垂直的平面 垂足在x轴上对应的数即为点p的横坐标 同理可求纵坐标 竖坐标 2 从点p向三个坐标平面作垂线 所得点p到三个平面的距离等于点p的对应坐标的绝对值 再判断出对应数值的符号 进而可求得点p的坐标 例1 1 空间直角坐标系中 点p 2 3 4 在x轴上的射影的坐标为 2 已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长均为2 以a为坐标原点建立适当的空间直角坐标系 求其各顶点的坐标 解题指南 1 空间直角坐标系中 点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同 纵 竖坐标均为零 2 注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小 规范解答 1 点p 2 3 4 在x轴上的射影的横坐标与点p相同 纵坐标 竖坐标均为0 故射影坐标为 2 0 0 答案 2 0 0 2 以a点为坐标原点 ac aa1所在直线分别为y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 设ac的中点是d 连接bd 则bd y轴 且bd a 0 0 0 b 1 0 c 0 2 0 a1 0 0 2 b1 1 2 c1 0 2 2 互动探究 本例 2 中若以ac的中点d为坐标原点 以db dc所在直线分别为x轴 y轴建立适当的空间直角坐标系 试写出各顶点的坐标 解析 建立空间直角坐标系 如图所示 则a 0 1 0 b 0 0 c 0 1 0 a1 0 1 2 b1 0 2 c1 0 1 2 反思 感悟 1 建立坐标系时 常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题 特别是所给图形中的垂直关系 更要合理利用 2 对同一几何体 建立的坐标系不同 所得点的坐标也不同 为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上 变式备选 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1中 ab 3 bc 2 a1a 1 试写出 1 长方体的所有顶点的坐标 2 棱a1b1的中点m的坐标 解析 1 依题意知 各顶点的坐标分别为d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 3 0 c 0 3 0 d1 0 0 1 a1 2 0 1 b1 2 3 1 c1 0 3 1 2 a1b1的中点m的坐标为 即m 2 1 空间中点的对称问题 方法点睛 空间直角坐标系中点的对称规律已知点p x y z 则点p关于点 线 面的对称点坐标为 例2 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1的对称中心在坐标原点 交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 顶点a 2 3 1 求其他七个顶点的坐标 解题指南 由题意知 长方体的各顶点关于原点o和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性 据此可写出其他七个顶点的坐标 规范解答 由题意得 点b与点a关于xoz面对称 故点b的坐标为 2 3 1 点d与点a关于yoz面对称 故点d的坐标为 2 3 1 点c与点a关于z轴对称 故点c的坐标为 2 3 1 由于点a1 b1 c1 d1分别与点a b c d关于xoy面对称 故点a1 b1 c1 d1的坐标分别为a1 2 3 1 b1 2 3 1 c1 2 3 1 d1 2 3 1 反思 感悟 1 求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称 明确哪些坐标发生了变化 哪些没变 一定要记清变化的规律 2 记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键 变式训练 点a 10 4 2 关于点m 0 3 5 对称的点的坐标为 解析 设点a 10 4 2 关于点m 0 3 5 对称的点的坐标是 x y z 则答案 10 2 8 空间两点间的距离 方法点睛 1 求空间两点间距离的步骤 1 建立坐标系 写出相关点的坐标 2 利用公式求出两点间的距离 2 两点间距离公式的应用 1 求两点间的距离或线段的长度 2 已知两点间距离 确定坐标中参数的值 3 根据已知条件探求满足条件的点的存在性 例3 1 已知点b是点a 3 7 4 在xoz平面上的射影 则 ob 等于 a 9 0 16 b 25 c 5 d 13 2 如图所示 以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系 点p在正方体的体对角线ab上 点q在棱cd上 当点p为对角线ab的中点 点q在棱cd上运动时 探究 pq 的最小值 解题指南 1 根据空间点在xoz平面上的射影的特点及距离公式求解 2 确定点p q的坐标 利用两点间的距离公式得到 pq 然后利用函数知识解决 规范解答 1 选c 由题意得点b的坐标为 3 0 4 故 ob 2 因为b 0 0 a a a a 0 p为ab的中点 所以又点q在棱cd上运动 所以可设q 0 a z0 其中z0 0 a 故因此当z0 时 pq 的最小值为 互动探究 本例 2 中 若将 点p为对角线ab的中点 改为 当点p在对角线ab上运动时 其余条件不变 则结果如何 解析 显然 当点p在ab上运动时 点p到坐标平面xoz yoz的距离相等 所以可设p t t a t t 0 a 又q在cd上运动 所以可设q 0 a z0 z0 0 a 所以 pq 故当z0 t 时 pq 有最小值为 反思 感悟 1 解此类问题的关键是确定点的坐标 常出现的错误是将坐标求错 2 利用空间两点间的距离公式 可以求两点间的距离或某线段的长度 只要建立恰当的坐标系 通过简单的坐标运算即可解决 变式备选 已知点a 1 a 5 b 2a 7 2 a r 则ab的最小值是 a b c d 解析 选b 当a 1时 ab 取最小值 易错误区 求点的坐标时忽略解的讨论致误 典例 2012 临沂模拟 已知点p在z轴上 且满足 op 1 o为坐标原点 则点p到点a 1 1 1 的距离为 解题指南 先确定点p的坐标 然后利用两点间的距离公式求解即可 规范解答 设点p的坐标为 0 0 z 由 op 1得 z 1 故z 1 当z 1时 点p的坐标为 0 0 1 当z 1时 点p的坐标为 0 0 1 答案 或 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 合肥模拟 已知点a 3 0 4 点a关于原点的对称点为b 则 ab 等于 a 12 b 9 c 25 d 10 解析 选d 由题意知点b的坐标为 3 0 4 故 2 2012 东莞模拟 在坐标平面xoy上 到点a 3 2 5 b 3 5 1 距离相等的点有 a 1个 b 2个 c 不存在 d 无数个 解析 选d 在坐标平面xoy内 可设点p x y 0 由题意得解得x r 所以符合条件的点有无数个 3 2012 锦州模拟 正方体不在同一表面上的两个顶点为a 1 2 1 b 3 2 3 则正方体的体积为 a 8 b 27 c