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第三章流体动力学基础 1 拉格朗日法 随体法 t0时 初始坐标a b c作为该质点的标志x x a b c t y y a b c t z z a b c t 速度 加速度 物理概念清晰 但处理问题十分困难 3 1研究流体运动的两种方法 2 欧拉法 局部法 当地法 某瞬时 整个流场各空间点处的状态 以固定空间 固定断面或固定点为对象 应采用欧拉法 a 流体质点的加速度 同理 b 质点导数 对质点的运动要素A 时变导数 位变导数 时变加速度 位变加速度 1 恒定流与非恒定流 1 恒定流 2 非恒定流 所有运动要素A都满足 2 均匀流与非均匀流 1 均匀流 2 非均匀流 3 2流体运动的基本概念 例 速度场求 1 t 2s时 在 2 4 点的加速度 2 是恒定流还是非恒定流 3 是均匀流还是非均匀流 1 将t 2 x 2 y 4代入得同理 解 2 3 是非恒定流 是均匀流 3 流线与迹线 1 流线 某瞬时在流场中所作的一条空间曲线 曲线上各点速度矢量与曲线相切 流线微分方程 流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致 性质 一般情况下不相交 不折转 流线微分方程 2 迹线 质点运动的轨迹 迹线微分方程 对任一质点 迹线微分方程 流线的特性 1 流线除驻点 奇点等特殊点 在一般情况下不能相交 也不能是折线 而是光滑的曲线或直线 2 不可压缩流体中 流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小 流线越密 流速越大 流线越稀 流速越小 3 恒定流动中 流线的形状不随时间而改变 流线与迹线重合 非恒定流动中 一般情况下 流线的形状随时间而变化 流线与迹线不重合 例 速度场vx a vy bt vz 0 a b为常数 求 1 流线方程及t 0 1 2时流线图 2 迹线方程及t 0时过 0 0 点的迹线 解 1 流线 积分 o y x c 0 c 2 c 1 t 0时流线 o y x c 0 c 2 c 1 t 1时流线 o y x c 0 c 2 c 1 T 2时流线 流线方程 2 迹线 即 迹线方程 抛物线 o y x 注意 流线与迹线不重合 例 已知速度vx x t vy y t求 在t 0时过 1 1 点的流线和迹线方程 解 1 流线 积分 t 0时 x 1 y 1c 0 流线方程 双曲线 2 迹线 由t 0时 x 1 y 1得c1 c2 1 迹线方程 直线 3 若恒定流 vx x vy y流线迹线 注意 恒定流中流线与迹线重合 4 流管与流束 流管 在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线 过曲线上各点作流线 所构成的管状表面 5 过流断面 在流束上作出与流线正交的横断面 1 2 注意 只有均匀流的过流断面才是平面 例 1 2 1处过流断面 2处过流断面 流束 流管内的流体 6 元流与总流 元流 过流断面无限小的流束总流 过流断面为有限大小的流束 它由无数元流构成 按周界性质 总流四周全部被固体边界限制 有压流 如自来水管 矿井排水管 液压管道 总流周界一部分为固体限制 一部分与气体接触 无压流 如河流 明渠 总流四周不与固体接触 射流 如孔口 管嘴出流 7流量 断面平均流速a 流量 单位时间通过某一过流断面的流体量 流量可以用体积流量Qv m3 s 质量流量Qm kg s 表示 显然 对于均质不可压缩流体有元流体积流量总流的体积流量 b 断面平均流速 总流过流断面上各点的流速v一般不相等 为了便于计算 设过流断面上各点的速度都相等 大小均为断面平均流速v 以v计算所得的流量与实际流量相同 8均匀流与非均匀流流场中所有流线是平行直线的流动 称为均匀流 否则称为非均匀流 按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流 凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为渐变流 否则称为急变流 显然 渐变流是一种近似的均匀流 因此 渐变流有如下性质 1 渐变流的流线近于平行直线 过流断面近于平面 2 渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同 即 实质 质量守恒 1 连续性方程的微分形式 o y x z dmx dmx dx dy dz dt时间内x方向 流入质量流出质量净流出质量 3 3连续性方程 同理 dt时间内 控制体总净流出质量 由质量守恒 控制体总净流出质量 必等于控制体内由于密度变化而减少的质量 即 连续性方程的微分形式 不可压缩流体即 例 已知速度场此流动是否可能出现 解 由连续性方程 满足连续性方程 此流动可能出现 例 已知不可压缩流场ux 2x2 y uy 2y2 z 且在z 0处uz 0 求uz 解 由得 积分 由z 0 uz 0得c 0 2 连续性方程的积分形式 A1 A2 1 2 v1 v2 在dt时间内 流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量 则 连续性方程的积分形式 不可压缩流体 分流时 合流时 刚体 平移 旋转流体 平移 旋转 变形 线变形 角变形 平移 线变形 旋转 角变形 3 4流体微元的运动分析 流体微元的速度 1 平移速度 ux uy uz 2 线变形速度 x方向线变形 是单位时间微团沿x方向相对线变形量 线变形速度 同理 存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因 3 旋转角速度 角平分线的旋转角速度 逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负 是微团绕平行于oz轴的旋转角速度 同理 微团的旋转 4 角变形速度 直角边与角平分线夹角的变化速度 微团的角变形 存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因 是微团在xoy平面上的角变形速度 同理 例 平面流场ux ky uy 0 k为大于0的常数 分析流场运动特征 解 流线方程 线变形 角变形 旋转角速度 x y o 流线是平行与x轴的直线族 无线变形 有角变形 顺时针方向为负 例 平面流场ux ky uy kx k为大于0的常数 分析流场运动特征 解 流线方程 流线是同心圆族 线变形 无线变形 角变形 无角变形 旋转角速度 逆时针的旋转 刚体旋转流动 1 有旋流动 2 无旋流动 即 有旋流动和无旋流动 例 速度场ux ay a为常数 uy 0 流线是平行于x轴的直线 此流动是有旋流动还是无旋流动 解 是有旋流 x y o ux 相当于微元绕瞬心运动 例 速度场ur 0 u b r b为常数 流线是以原点为中心的同心圆 此流场是有旋流动还是无旋流动 解 用直角坐标 x y o r ux uy u p 是无旋流 微元平动 小结 流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转 与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关 无旋有势 1 速度势函数 类比 重力场 静电场 作功与路径无关 势能无旋条件 由全微分理论 无旋条件是某空间位置函数 x y z 存在的充要条件函数 称为速度势函数 无旋流动必然是有势流动 速度势函数 由函数 的全微分 得 的梯度 2 拉普拉斯方程 由不可压缩流体的连续性方程将代入得即 拉普拉斯方程 为拉普拉斯算子 称为调和函数 不可压缩流体无旋流动的连续性方程 注意 只有无旋流动才有速度势函数 它满足拉普拉斯方程 3 极坐标形式 二维 不可压缩平面流场满足连续性方程 即 由全微分理论 此条件是某位置函数 x y 存在的充要条件 函数 称为流函数 有旋 无旋流动都有流函数 流函数 由函数 的全微分 得 流函数的主要性质 1 流函数的等值线是流线 证明 流线方程 2 两条流线间通过的流量等于两流函数之差 证明 3 流线族与等势线族正交 斜率 斜率 等流线 等势线 利用 2 3 可作流网 4 只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程 证明 则 将 代入 也是调和函数 得 在无旋流动中 例 不可压缩流体 ux x2 y2 uy 2xy 是否满足连续性方程 是否无旋流 有无速度势函数 是否是调和函数 并写出流函数 解 1 满足连续性方程 2 是无旋流 3 无旋流存在势函数 取 x0 y0 为 0 0 4 满足拉普拉斯方程 是调和函数 5 流函数 取 x0 y0 为 0 0 1 均匀平行流速度场 a b为常数 速度势函数等势线流函数流线 u x y o 1 1 2 3 2 3 几种简单的平面势流 当流动方向平行于x轴 当流动方向平行于y轴 如用极坐标表示 1 1 2 2 1 1 2 2 2 源流与汇流 用极坐标 1 源流 1 1 2 2 o 3 4 ur 源点o是奇点r 0ur 速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标 2 汇流流量 1 1 2 2 o 3 4 汇点o是奇点r 0ur 3 环流 势涡流 用极坐标 注意 环流是无旋流 速度势函数 流函数 速度场 环流强度 逆时针为正 1 1 2 2 o 3 4 u 也满足同理 对无旋流 势流叠加原理 势流叠加原理 1 半无限物体的绕流 用极坐标 模型 水平匀速直线流与源流的叠加 河水流过桥墩 流函数 速度势函数 即视作水平流与源点o的源流叠加 u0 S 几个常见的势流叠加的例子 作流线步骤 找驻点S 将代入 舍去 将代入得驻点 的坐标 u0 S o rs 1 2 由 2 由 1 将驻点坐标代入流函数 得 则通过驻点的流线方程为 给出各 值 即可由上式画出通过驻点的流线 流线以为渐进线 外区 均匀来流区 内区 源的流区 固化 半体 2 等强源汇流 用极坐标 直角坐标 模型 源流与汇流叠加 电偶极子 x y o a a r r1 r2 P x y 1 2 q q 势函数 流函数 源流和汇流的叠加 当a 0 q 2qa 常数M 偶极流 利用三角函数恒等式 级数展开 化简 a 0 偶极流 3 等强源流 用极坐标 直角坐标 x y o a a r r1 r2 P x y 模型 两个源流叠加 两个同性电荷 Q Q 1 2 势函数 流函数 C C 源流和源流的叠加 4 源环流 螺旋流 用极坐标 模型 源流与环流叠加 水泵蜗壳内的扩压流动 势函数 流函数 等势线 流线 流线和等势线是相互正交的对数螺旋线 源流和环流的叠加 流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族 离心泵的叶片形状 3 6伯努利方程及其应用3 6 1理想流体元流的伯努利方程为了推导方便 将理想流体运动微分方程式写成该方程为非线性偏微分方程 只有特定条件下才能求得其解 这些特定条件为 恒定流动 有 沿流线积分 将流线上的dx dy dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式 然后相加得对于恒定流动 流线与迹线重合 所以沿流线下列关系式成立 即 质量力只有重力 则 根据以上积分条件 有 不可压缩均质流体 常数 上式可写为积分得对同一流线上的任意两点1 2 有 上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式 称为伯努利方程 由于元流的过流断面面积无限小 所以沿流线的伯努利方程也适用于元流 理想流体元流 流线 伯努利方程的应用条件 1 理想流体 2 恒定流动 3 质量力只有重力 4 沿元流 流线 积分 5 不可压缩流体 单位重量流体对某一基准面具有的位置势能 又称位置高度或位置水头 3 6 2理想流体元流伯努利方程的意义 单位重量流体具有的压强势能 又称测压管高度或压强水头 单位重量流体具有的总势能 又称测压管水头 单位重量流体具有的动能 又称流速高度或速度水头 单位重量流体具有的机械能 又称总水头 解释伯努利方程的物理意义和几何意义 3 6 3理想流体元流伯努利方程的应用说明毕托管的测速原理 如图 现欲测定均匀管流过流断面上A点的流速u 可在A点所在断面设置测压管 测出该点的压强p 称为静压 另在A点同一流线下游取相距很近的O点 在该点放置一根两端开口的L型细管 使一端管口正对来流方向 另一端垂直向上 此管称为测速管 测出的压强称为总压或全压 以AO所在流线为基准 忽略水头损失 对A O两点应用理想流体元流伯努利方程则A点的流速为考虑到粘性存在等因素的影响 引入修正系数c 则将测速管和测压管组合成测量点流速的仪器称为毕托管 水 水银 c 流速系数 1 1 04 气 液 3 6 4实际流体元流的伯努利方程实际流体具有粘性 在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散 根据能量守恒原理 实际流体元流的伯努利方程为式中 为实际流体元流单位重量流体从1 1过流断面流到2 2过流断面的机械能损失 称为元流的水头损失 3 6 5总流的伯努利方程图示为实际流体恒定总流 过流断面1 1 2 2为渐变流断面 面积为A1 A2 在总流中任取元流 其过流断面的微元面积 位置高度 压强及流速分别为dA1 z1 p1 u1 dA2 z2 p2 u2 将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量得单位时间通过元流两过流断面的能量方程对上式积分 可得单位时间通过总流两过流断面的能量方程下面分别确定上式中三种类型的积分 1 2 式中 为动能修正系数 修正用断面平均流速代替实际流速计算动能时引起的误差 即 3 式中表示单位重量流体从过流断面1 1流到2 2的平均机械能损失 称为总流的水头损失 将以上积分结果代入前式 得因两断面间无分流及汇流 得上式即为实际流体总流的伯努利方程 若式中的hw 0 则上式即为理想流体总流的伯努利方程 3 6 6总流伯努利方程的应用条件和注意事项总流伯努利方程的应用条件 恒定流动 质量力只有重力 不可压缩流体 所取过流断面为渐变流或均匀流断面 但两断面间允许存在急变流 两过流断面间无分流或汇流 两过流断面间无其它机械能输入输出 总流伯努利方程的注意事项 过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外 一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面 过流断面上的计算点原则上可以任意选取 但若计算点选取恰当 可使计算大为简化 例如 管流的计算点通常选在管轴线上 明渠的计算点通常选在自由液面上 基准面是任意选取的水平面 但一般使z为正值 方程中的压强p1与p2可用绝对压强或相对压强 但同一方程必须采用同种压强来度量 总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别 1 z1 z2 总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程 2 p1 p2 对应z1 z2点的压强 同为绝对压强或同为相对压强 3 v1 v2 断面的平均流速 3 6 7沿程有分流或汇流的伯努利方程在分流处作分流面 将分流划分为两支总流 每支总流的流量是沿程不变的 根据能量守恒原理 可建立分流伯努利方程 3 6 8水头线和水力坡度总水头线是沿程各断面总水头的连线 理想流体的总水头线是水平线 实际流体的总水头线沿程却单调下降 下降的快慢用水力坡度J表示测压管水头线是沿程各断面测压管水头的连线 测压管水头线沿程可升 可降 可水平 其变化快慢用测压管水头线坡度Jp表示 例3 2 用直径d 100mm的水管从水箱引水 水管水面与管道出口断面中心高差H 4m 水位保持恒定 水头损失hw 3m水柱 试求水管流量 并作出水头线 解 以0 0为基准面 列1 1 2 2断面的伯努利方程 作水头线 H 1 1 2 2 0 0 总水头线 测压管水头线 伯努里方程的应用 连续性方程 能量方程 忽略损失 文丘里流量计 仪器常数K 流量系数 0 96 0 98 注意 水 水银 气 液 例3 4如图 水池通过直径有改变的有压管道泄水 已知管道直径d1 125mm d2 100mm 喷嘴出口直径d3 80mm 水银压差计中的读数 h 180mm 不计水头损失 求管道的泄水流量Q和喷嘴前端压力表读数p 解 以出口管段中心轴为基准 列1 1 2 2断面的伯努利方程因代入上式 得由总流连续性方程联解两式 得 列压力表所在断面及3 3断面的伯努利方程因压力表所在断面的管径与2 2断面的管径相同 故则压力表读数 例3 5如图 已知离心泵的提水高度z 20m 抽水流量Q 35L s 效率 1 0 82 若吸水管路和压水管路总水头损失hw 1 5mH2O 电动机的效率 2 0 95 试求 电动机的功率P 解 以吸水池面为基准 列1 1 2 2断面的伯努利方程由于1 1 2 2过流断面面积很大 故v1 0 v2 0 并且p1 p2 0 则故电动机的功率 H 4cmL 24cm 虹吸管出流 等直径虹吸管出流 忽略粘性影响 求 1 出口断面流速 2 管内最大真空度 1 1 在缓变流截面1 2列伯努利方程 解 已知 得 p z用统一的基准度量 2 在缓变流截面1 A列伯努利方程 得 由 安装虹吸管的限制 管内最高点压强高于液体汽化压强 真空度 H 4cmL 24cm 关于气蚀 低压区产生汽化 高压区气泡破灭空化 它造成流量减小 机械壁面造成疲劳破坏 这种有害作用称气蚀 空蚀 关于计算气蚀的例子 大气压强97 3kPa 粗管径d 150mm 水温40 收缩管直径应限制在什么条件下 才能保证不出现空化 不考虑损失 10m 解 水温40 汽化压强为7 38kPa 大气压强 汽化压强 列1 1 2 2断面的能量方程 必须用绝对压强 列1 1 3 3断面的能量方程 可用相对压强 1 1 2 2 3 3 10m 连续性方程 例 定性作水头线 p p 总水头线 总水头线 测压管水头线 测压管水头线 p 总水头线 测压管水头线 p 总水头线 测压管水头线 气体的伯努利方程 1 气体的伯努利方程 1 用绝对压强 m 常用压强表示 Pa v1 v2 p1 p2 z1 z2 0 0 a 1 1 2 2 2 用相对压强 用相对压强计算的气体伯努利方程 v1 v2 p1 p2 z1 z2 0 0 a 1 1 2 2 用相对压强计算的气体伯努利方程 p 静压 v2 2 动压 a g z2 z1 位压 注意 z2 z1 下游断面高度减上游断面高度 a 外界大气密度减管内气体密度 z2 z1或 a 位压为零 2 压力线 总压线 势压线 位压线 零压线 动压 静压 位压 静压 动压 全压 静压 动压 位压 总压 例3 6如图 气体由相对压强为的气罐 经直径d 100mm的管道流入大气 管道进 出口高差h 40m 管路的压强损失 试求 1 罐内气体为与大气密度相等的空气 时 管内气体的速度v和流量Q 2 罐内气体为密度的煤气时 管内气体的速度v和流量Q 解 1 罐内气体为空气时 列气罐内1 1断面和管道出口断面2 2的伯努利方程因 上式简化为即故管内气体的速度管内气体的速度流量 2 罐内气体为煤气时 列气罐内1 1断面和管道出口断面2 2的伯努利方程即故管内气体的速度管内气体的速度流量 3 例 气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm 长为100m的管子流出大气中 高差为40m 沿管子均匀作用的压强损失为pw 9 v2 2 大气密度 a 1 2kg m3 a 当管内气体为与大气温度相同的空气时 b 当管内为 0 8kg m3燃气时 分别求管中流量 作出压力线 标出管中点B的压强 A B 100m 40m C 解 a 管内为空气时 取A C断面列能量方程 作压力线 117 6 B 总压线 势压线 p A A B 100m 40m C b 管内为燃气时 取A C断面列能量方程 即 作压力线 276 B 总压线 势压线 158 位压线 p 例 空气由炉口a流入 通过燃烧 经b c d后流出烟囱 空气 a 1 2kg m3 烟气 0 6kg m3 损失压强pw 29 v2 2 求出口流速 作出压力线 并标出c处的各种压强 解 取a b断面列能量方程 a b c d 0m 5m 50m 作压力线 c点 294 c3 c2 c1 c 总压线 势压线 位压线 零压线 a b d 控制体内流体经dt时间 由 运动到 元流经dt时间 由1 2运动到1 2 元流动量方程 1 1 2 2 3 7动量方程 总流动量方程 动量修正系数 层流 1 33 紊流 1 05 1 02 1 不可压缩流体 分量式 适用范围 恒定流 不可压缩流体 例1 一水平放置的弯管 管内流体密度 流量Q 进出口管径为d1 d2 d1处压强为p1 弯管旋转角 不计流动损失 求弯管所受流体作用力 解 a 取1 1 2 2断面间内的流体为控制体 b 画控制体的受力图 c 连续性方程 d 能量方程 z1 z2 0 p1A1 p2A2 F Fx Fy v1A1 v2A2 v1 v2 p1 p2 1 1 2 2 Fx Fy F 动量方程的应用 f 解出Fx Fy g 由牛顿第三定律 弯管受力F 与F大小相等 方向相反 e 动量方程 v1 v2 p1 p2 1 1 2 2 Fx Fy F 注意 1 如考虑水头损失 只要在能