（基础数学专业论文）广义virasoro超代数的自同构群及其verma模.pdf

摘要 设f 是一个特征0 的代数闭域，m 是f 的无扭加法子群，o f 满足2 a m ， m = o + m ，i = m um 本文着重研究了广义v i r a s o r o 超代数的自同构群及其v e r m a 模广义v i r a s o r o 超代数有两类：s v i r m ，0 l 和s v i r m ，口】本文完全确定了广义v i r a s o r o 超代数的自同构群；得到了两个广义超v i r a s o r o 代数同构的充分必要条件；对j 的任意一 个与群的加法相容的全序以及对任意的，hef ，研究了广义v i r a s o r o 超代数上的v e r m a 模m ( ，h ) ，分别就o t m 和a m 两种情形，研究了v e r m a 模m ( e ，h ) 的结构，得到了 v e r m a 模m ( d ，h ) 不可约的充分必要条件另外，我们还研究了v i r a s o r o 超代数上不可分 解的模的分类，证明了v i r a s o r o 超代数上不可分解的h a r i s h - c h a n d r a 模有四类：( i ) 范畴 e 模；( i i ) 范畴e 一模；( i i i ) 一致有界模；( i v ) 以v ( 0 ) 作为其复合因子的一类模 关键词：v i r a s o r o 代数自同构群v e r m a 模不可约性一致有界模范畴模 a b s t r a c t l e tfb ea a la l g e b r a e a l l ye l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i c0 ，mb eat o r s l o n - f r e ea d d i t l v e s u b g r o u po ff ，o fs a r i s f y i n g2 a m ，d e n o t e 吖= n + m ，= m t 9mi nt h i s p a p e r ，w ep a ym a i n l ya t t e n t i o nt ot h ea u t o m o r p h i s mg r o u pa n dv e r m am o d u l e so fg e n e r a l i z e d v i r a s o r oa l g e b r a st h e r ee x i s tt w oc l a s s e sg e n e r a l i z e ds u p e r - v i r a s o r oa l g e b r a s ：s v i r m ，a a n ds v i r m ，d t h ea u t o l i i o lp h i s m g r o u po fg e u e r a h z e ds u p e r v i r a s o r oa l g e b r a si sc o m p l e t e l y d e t e r n f i n e d ；s o m ea u t o m o r p h i s mc l a s s e so fg e n e r a l i z e d8 u p e r _ v i r 船o r oa l g e b r a sa r eo b t a i n e d f o ra n yg i v e nt o t a lo r d e ro i l ，w h i c hi sc o m p a t i b l ew i t ht h eg r o u pa d d i t i o n ，a n df o ra n y6 ，h f ， t h es t r u c t u r e o f a v e r m a m o d u l e ( ，h ) o v e r t h e g e n e r a i z e ds u p e r v i r a s o r o m g e b r a s v i r m j0 j i ss t u d i e d t h ei r r e d u c i b i l i t yo fv e r m am o d u l e sm ( 6 ih ) i sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e di nt h ec a b e 8 ma n da mr e s p e c t i v e l yw ec l a s s i f ya l s ot h eh a r i s h - c h a n d r am o d u l e so v e rt h es u p e r - v i r a s o r oa l g e b r a sr i i sp r o v e dt h a te v e r yi n d e c o m p o s i b l em o d u l e so v e l - s u p e r - v i r a s o r oa l g e b r a s i so i l eo f t h e f o l l o w i n g ：( i ) t h e m o d u l e so fc a t e g o r y o ：( i i t h e m o d u l e so fc a t e g o r y - 0 一；( i i i ) t b e m o d u l e so fu n i f o r m l yb o u n d e d ；( i v ) t h e ：n o d u l e sw i t hv ( 0 ) a si t st o pc o m p o s i t i o nf a c t o r k e y w o r d s ：v i r a s o r oa l g e b r a ，a u t o m o r p h i s mg r o u p ，v e r m am o d u l e ，i r r e d u e i b i l i t y | t h e m o d u l eo fu n i f o r m l yb o u n d e d 、t h em o d u l eu fc a t e g o r y 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：逝日期：9 丝! ： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理。 签名：三邋导师签名：龃嗍：。兰：! ：! f ： f + z ： ： a ： m ： m ： v i r ： s v i t ： s v i r m ，】： h ： a u t ( s v i r m ，o | ) u ( s v i r m ，o 】) ： u ( s v i r ) ： m ( d ，m ： 常用符号 特征零代数闭域 f = f o ) 是域f 的乘法子群 整数集 自然数集 集合 + z 或集合z f 的一个加法子群 o c f 满足2 a m m = o + m ，= m u m 是f 的加法子群 v i r a s o r o 李代数 v i r a s o r o 超代数 广义v i 7 a s o r o 超代数 v i r a s o t o 超代数，广义v i r a s o r o 超代数的c a r t a n 子代数 广义v i r a s o r o 超代数的自同构群 广义v i r a s o r o 超代数的普遍络代数 v i r a s o r o 超代数的普遍络代数 广义v i r a s o r o 超代数的v e r m a 模 第一章引言 1 1本文研究的主要问题 v i r a s o r o 超代数是复数域上具有基： 厶 i z ) u c ) u g 。iu a ) 和下面方括号 运算的一类李超代数； 工。，c 】= 0 = g 。，c 】 l ：，弓】= ( j i ) l l + ，+ 1 i 3 - - r i 蠡，一j c l 。，g 。1 = ( u 一；) g 件。 g 。，g 。】= 2 l 。+ 。一屯十q 。 ( 2 一 ) c 在特征零的代数闭域f 上，广义v i r a s o r o 超代数有两类，分别记为s v i r 【m 、1 和 s v i r f m ，d 1 s v i r m ，。 是这样一个李超代数，它的一组基是 l 。，g 。i 。m ，u m 7 ) ，方括号运 算是： 【l 。，c = g 。，c = 0 【上z ，l = ( y x ) l z + v + 6 x , - y 5 挚c 【l 。，g “ - ( u 一) g 计u g 。，g 。 = 2 l 。+ 。一6 。+ 。，o ( “2 一 ) c s v i r f m ，“1 是这样一个李超代数，它的一组基是 k ，g 。【m ，u m ，方括号运 算是： l 。，c = g 。，c = 0 【l 。，l ：扫一x ) l ”+ 6 m , - u 5 苦5 c l 。，g u 】_ ( “一) g n “ g 。g 。 _ 乱地o c 本文着重研究广义v i r a s o r o 超代数和v i r a s o r o 超代数的自同构群及它们的表示，我 们考虑的主要问题有： ( 1 ) 广义v t r a s o r o 超代数的自同构群； ( 2 ) 广义v i r m s o r o 超代数的分类； ( 3 ) 广义v i r a s o r o 超代数上v e r m a 模的结构及v e r m a 模不可约的充分必要条件； ( 4 ) v i r a s o r o 超代数的不可分解h a r i s h c h a n d r a 模的分类 1 2 本文的主要结果 关于广义v i r a s o r o 超代数的自同构群，我们的结果是 奎堕查兰堡圭兰篁堕奎 塞三塞! ! 塞 2 定理2 2 1 ( i ) 对任意的) h o m ( i ，f + ) ，映射吼：s v i r m ，a _ s v i r m ，n ： 妒x ( c ) = c ，妒x ( j k ) = x ( 茁) ，( z ，) 是s v i r m ，n 】的一个自同构这里若z m 则忍= k ；若。m 则玩= g 。 ( i i ) 对任意的o s ( m ) ：= o fla m = m ，映射o a ：s v i r m ，卅叶s v i r m ，0 1 c - + o c 工z o 一1 工。z 一6 。，o 鱼= i 手三c g - - + p g a v 是s v i r m ，d 1 的一个自同构这里p 2 = a 一 ( i i i ) a u t ( s v i r i m , o j ) = i 】d 胃。m ( ，f - ) 妒；r m l 关于广义v i r a s o r o 超代数的分类问题，我们有下面的结果： 定理2 3 1s v i r m ，a 和s v i r n ，明同构的充分必要条件是存在o f + 使得a m = n a i = 。i 。 关于广义v i r a s o r o 超代数上v e r m a 模的结构及v e r m a 模不可约的充分必要条件，我 们的结果有： 定理3 2 1 关于，的任一个稠密序”卜”，相应的v e r m a 模m ( e ，h ) 是一个不可约的 s v i 7 m 艘 - 模当且仅当h ) ( 0 ，o ) 定理3 2 3 关于，的任一个稠密序”卜”，m ( 0 ，0 ) = “e i + f e i 。e v 0 是 m ( 0 ，0 ) 的一个不可约的子模当且仅当对任意的。，y + ，总存在正整数n ，使得n z 卜”， 定理3 2 5 关于j 的任一个离散的序” ”，相应的v e r r n a 模m ( e ，h ) 是不可约的 s v i r m ，0 1 一模当且仅当m 。( ，h ) 是不可约的s v i r 2 a z ，o 卜模 关于v i r a s o r o 超代数的不可分解h a x i s h c h a n d r a 模的分类，我们的结果是= 定理4 1 3v i r a s o r o 超代数的不可分解h a r i s h - c h a n d r a 模一定是下述模之一：( i ) 一 致有界模；( i ，) 范畴0 的模；( i i j ) 范畴 一的模；( i v ) 具有平凡模v ( o ) 作为其复合因子 的一类模。 1 3 问题的背景 c a r t a n 型李代数在李代数研究中起非常重要的作用最重要的c a f t a n 型李代数是秩 为1 的w i t t 型李代数，即，复数域上具有基： 如 i z ) 和换位子运算： 如，l j = ( j i ) l i + j 的无限维单代数为数学家和数学物理学家们广泛研究的v i r a s o r o 代数是这个w i t t 型代 数的一维中心扩张具体地讲，v i r a s o r o 代数是具有基： = s v i r i m ，叫，这是不可能的因而9 ( j ) d j ，因此，口( j ) = f 这样，我们证明了断言 ( 8 ) 贝0 最隹 - o ) ，j 一= iejl 。_ o ) ，那么，= 4u o ) l jl 且l = 一4 相应于 此，s v i r m ，o t 就有个三角分解 如果。隹m ，s v i v m ，o t 的三角分锯是： s v i r m ，0 l = s v i r os v i r oos v i r + 如果a m ，s v i r m ，0 1 的三角分解是 s v i r m ，a = s v i r os v i r oos v i r + of g o ( 1 2 ) 这里， s v i r 一= o t ，一f e i ，s v i r o = f l o 0 f c ，s v i r + = o l “f 置 这两种情况所对应的普遍包络代数分别是： u ( s v i r m ，a ) = u ( s v i r 一) u ( s v i r o ) u ( s y i r + ) ，( a 岳m ) u ( s v i r m ，0 1 ) = u ( s v i r 一) u ( s v i r o ) u ( f g o ) u ( s v i r + ) ，( o t m ) ( 1 ，1 ) ( 1 2 ) 为方便起见，我们记s v i r m ，叫的向氨空间的一组基为( 最) 钳，使得这组基满足 当i m 时置= 厶( 此时称蜀为偶的) ；当i m 时助= g ；( 此时称凰为奇的) 又记 e = ( i l ，i 2 ，一，i ，) i v r n ，i j ，j = 1 ，2 ，一，r ，4 l ! i 2 三i r i p i p + li f i p ，i p + l m ) 那么我们得到s v i r m ，a 1 的普遍包络代数的一组基： 毋。凰，局。霸，c ( i l ，i ，) 亩) 设，h f ，k 是f 上一个一维的向量空间，它的一个基是定义l o 和c 在一维向 量空间k 上的作用如下：l o v h = h v a ，c = 面h 那么坛成为一维s v i r o 模定义 6 ：= s v i r o4 - s v i r + 在上的作用为b v h = s v i r o ，那么成为一个* 模 定义3 1 1 诱导模 m ( ，h ) = i n d , ”州” 。1 = u ( s y i 7 ， m ，叫) 。u ( b ) k 1 3 ：垦：里：兰兰! ：坠圭堂堡篁塞 篁兰塞兰兰堡! ! ! 竺塑垡竺圭塑鎏! 竺! 堡1 4 称为s v i t 【m ，o 上的v e r m a 模 关于m ( e ，h ) ，我们有以下基本事实： ( i ) m ( j ，h ) 是个不可分解模，因为若存在y ，使得 肘 ) = v o 彬 则由文献 1 7 引理1 2 ，生成元v h v 或蜥w 若ev ，则m ( d ，h ) = v ，从而w ：0 同理，若v h w ，则m ( e ，h ) = w ，从而v = 0 这说明m ( e ，h ) 是不可分解的 ( i i ) 若m ( j ，h ) 是可约的，则m ( e ，h ；有唯一最大真子模因为m ( 6 ，h ) 的任意一个真 子模不含有生成元v h ，因此，所有真子模的和仍然不含有生成元且是真子模，因此是 最大真子模当m ( e ，h ) 可约时，设其最大真子模为，( ， ) ，则v ( e ，h ) = m ( ， ) j ( ，h ) 是 具有最高权( e ，h ) 的不可约最高权模 ( i l i ) c 作用在m ( e ，h ) 上是一个常数倍e ，而且m 池h ) 是u ( s v i r 一) 上的自由模，因 此，m ( e ，h ) 具有一组基： e z 。e 一e 一” i ( 一i t ，一i 2 ，一，一i ，) 豆，i j 三0 ，j = 1 ，2 一，r ) ， ( 1 3 ) 若我们记m h ) 的权为a 的权空间为 u = u m h ) jl o v = 抽c = ) ， 则 盯( e ， ) = o a c h + m u o h 引理3 1 2 若o m ，则g o ” = 0 证明：如果o m ，则i = m ，我们定义m ( ，h ) 的历- 阶化为m ( ， ) = m oo m i ，其 中，是由： 皿n “v hfy r o ，w ，i ie 阻，( i 引廖，且有偶数个旺q 是奇的 张成的空间m i 是由： n 矿e y hjy r 三o ，w ，弓且4 ，( i “露) 重且有奇数个n o 是奇的) 张成的空间则 m o n m i = o ) ( 1 4 ) 记咐= 蝓nu ，聊= 慨nu ，由( 1 4 ) 我们有 咐n 聊= o ) ，v a f 由等式l o ( g 。v h ) = g o ( l o v h ) = h ( e o v h ) 可得 g o u h 肼 东南大学硕士学位论文第三章 广义v i r a s o r o 超代数上的v e r r a a 模 1 5 又由= 增。畔足一维空间且m o = f v 。我们得 g o v h 聊= 0 ) 引理( 3 1 2 ) 证毕 对任意的z 4 ，设m 。( e ，h ) 是s v i r 2 x z ，z 上的由m ( a ，h ) 的一个固定的最高权向 量生成的m ( ，h ) 的一个子模由推论2 3 2 ，我们立即得下列结论： 推论3 1 3 若我们定义s v i r z ， 在m ：( e ，h ) 上的作用为 c v h = 2 x c v h g ! h v h = p g 。v h - l 。： h = ( 2 z ) 一1 l 2 。；一5 i , o 垫：= ：l ；生= c ， 则 ( ，a ) 成为一个s v i r z ，挣模，并且作为s v i r z ，挣模，尬( e ， ) 同构于 坤巩( 2 x ) - 1 h 一掣 这里p 2 = ( 2 x ) 注3 1 4 由文献 2 我们知道对，的任意一个全序”卜”， 或者 ( i ) v x 4 ，5 ，10 _ y - dz ) = 。 或者 ( i i ) 3 a i ，s t6 j10 2 ，( 因此a = h e 2 ) ，则断言1 成立 如果r 1 ，我们可记 u t ) j h ，m ) e ea i e i 】e i ，v h ( m o d v ，- 一1 ) ( 2 2 ) 2 l - ，r t o 其中! = ( i h - ，矗) 设j = ( i h 一，辞) la i o ) ，据假设j 0 对，i l ，定义 i 甘j s 4 ，1 s r ，s t i s 卜i 。t ，i = i ：f o rt s 第一步设! = ( j ，矗) 雷是j 中最大的元素因为”卜”是稠密序，我们总能找 到某一帕帆鬻制洲 l 氐 。e ，in e 1 z j ，) n i 。l1 ssr ，i j ) = 回 由第二蕈( 11 ) ，( 1 2 ) 我们有： “l = e j r - - e l u o 三h m ，矗小丘。卜咱e 一，一，吖 ( m d d w 1 )(23)e l m i 1 、。， l l ，r e i + 显然弘) = ( ( e 。，i i ”，i 矬。) 1 。 1 o ) d 在运算过程中，( 2 2 ) 式的和项 a i e 。丑一。la i o ) 中只有那些满足i r = 如的项 产生了( 2 3 ) 式中的和项，另外的项被作用到w 一1 中 东南大学硕士学位论文第兰章广义v i r a s o r o 超代数上的v e r m a 模 1 7 第二步记，( 1 ) 的最大元素为! ( 1 ) = ( e 。，j ”，j 婴1 ) 与第一步同理，我们总能找 到2 4 满足e 2 e l 和 。，i 鼻至1 一e 2 z 0 芏1 ) n0 1 1 i1 s 茎r 一1 ，i ( 1 ) = ( e 。，掣，掣。) 弘) 一o 那么： “2 = e ，一u l 兰( 曙吣小帅一。) 。露o ：2 l 一：l 一。e 曼e 翌一： ( m d d w 一1 ) ( 2 4 ) o r 一1 5 2 】，1 ，t r 一2 4 一 在等式的右边中，和项 。i ”l e 一。 ”，见；坦。i 。5 1 o ) 中只有那些满足i r 一- 2 矗一1 的 项产生( 2 4 ) 式中的和项，其余的项被作用到w 一1 中去 递推地，我们可以一步一步重复这一过程，经过s 步我们得到： u 8 ：妻基：篡，。小。ll 。础州翌一。v h ( m o d v ，川 亿s ， 三( 屯一1 ，吣吣。) 雷n ：引一如一如一1 e 鼍e 譬一。 一1 ) p u7 令s = r 我们得到 “：“ria l 一，一l e l ( m o d 诈一1 ) 这里n 是一个非零的系数不失一般性可设n = 1 ，从而断言1 成立 断言2 ：存在某个e 4 使得e 一。u ( s v i r m ，o ) t o 而且对所有的z b ( ) ：2 z + 一s p a n y 4ly ! e 都有e 一。v h u ( s v i r m ，o ) u o ， 事实上，由断言1 ，存在权向量“u ( s v i f l m ，a ) u o 使得 “= l 自l v h + o ! m 一6 声1 ，： 等 设e 4 使得e 1 ，d e 9 矗( 。) _ d e 9 鲤( 。) sr ，合适地选 择e 4 ，使得 f ( h 一 一e ) + h ( h a e ) 0 ( c o n 2 ) 因此 l 一。”n + 7 - i 二i ! ； ；i ! ：；i ；= i = 可g e ”n 2 l e ”n + d g e ”n ( s y i r ) 。 如果d ：0 ，由情形( i ) 定理3 2 1 的充分性成立，因此在下面我们总是假设d 0 - 由第二章【1 1 ) 和引理312 ，我们有 埘川加硼：也地+ ! 嘶川( 一一扣毗= ( - 2 e h + 等咖n t 如果( j ， ) ( o ，o ) ，考虑到，卜”是一个稠密序，我们能够选择4 使其满足一2 e h + 鲁0 以及( c o n l ) ，( c o n 2 ) 曼坠篁= 堂= 堡圭= 冀! ! 堕塞 篓三塞 ! 兰兰堡呈! 呈竺塑垡墼圭墼兰! 望呈堡 2 0 所以 v h u ( s v i , ) u o 由情形( i ) 和情形( i i ) ，定理3 2 5 的充分性得到证明 接下来我们证明必要性假若m ( j ， ) 是不可约的，那么( e ，h ) ( o ，o ) 否则，我们 很容易找到m ( e ，h ) 的一个真子模，例如，m ( o ，o ) = 。帖，+ f e 一 1 e 至此定理3 2 1 证毕 女) u 命题3 2 2m ( o ，o ) 。m ? 菪f e l n “ 。是v e r m a m ( o ，o ) 的最大真子模， 进而y ( o ) = m ( o ，o ) m ( o ，0 ) 是m ( 0 ，o ) 的平凡的顶部复合因子 证明：显然m ( o ，o ) 是m ( 0 ，o ) 的一个子模，由( 1 ，3 ) 知m ( 0 ，o ) 的组基为 e i i e i ? + 一e i ，v 0l ( 一i 1 ，一i 2 ，- 一，一i r ) 亩，i j 三0 ，j = 1 ，2 一，r ) 在这组基向量中，除了向量v 0 外，其余的基向量都在m ( o ，o ) 中，所以命题3 2 2 成立 定理3 2 3 关于稠密序”卜”，m ( o ，o ) = m “叽f e _ l l e 咖是m ( o ，o ) 的一 个不可约的s v i r m ，卅子模当且仅当对任意的。，y 4 ，总存在正整数n ，使得n 。 _ 证明：充分性：假若m 4 ( o ，o ) 是m ( o ，0 ) 的任意一个子模，我们需要证明：对任意的 y 4 ，有丘l 钌o m ( 0 ，o ) 情形( i ) a 硭m 设“。足一个权为a 的权向量，不失一般性，我们设 “o = e i i e 一。e 一：k v o m + ( o ，o ) ，( i j 4 ，j = 1 ，- 一，k ) 对任意的0 e r n i n i 1 ，2 k ) ，用b 。+ 机一。作用在u o 上，我们能够推出e 一。加 m + ( o ，o ) ，那么对任意的0 5 e ， e 一。，v o = t ( e ，e7 ) 暖一。，e 一。 o m + ( o ，o ) ， 从而 e e _ j v o = s 1 ( e ，。) e e e 一，+ 岛( e ，e ) e ，e 一v o m + ( o ，o ) ， 其中，t ( e ，7 ) ，s i ( ，) ，岛( ，) f 都是系数 利用归纳法，我们能够证明对任意的。b ( e ) ：= z + 一s p a n e 4i ! ) ，e 一。 m + ( o ，0 ) 成立特别的， e 一。f m + ( o ，o ) ，v n z 根据我们的假设，v y ，+ ，j ? l z + ，使得眦卜y ，从而 e f v o = p ( 礼，掣) e 一+ 。e n o m + ( 0 ，o ) ， 叁：童：奎：堂：墅二兰坠：! ! ：尘塞 塞三塞妄兰兰堡! ! ! 竺垫垡墼圭墼兰! 呈! 堡2 i 也就是说m 4 ( o ，o ) = m ( o ，o ) ，这表明m ( o ，o ) 是不可约的 情形( i i ) o m 设 * d o = 1 2 魄n ；，e 1 n “v 0 m + ( o ，o ) ，心4 ，j = i ，) 是任意一个权向量，其权为 对任意的o e _ m i n i h 一，t ki 魄o ) ，若使e 一 一。作用 在u o 上，我们能够推出 a le u o 十b g 一。m + ( 0 ，0 ) 其中，。，b 是不同时为零的系数 如果o = 0 ，b 0 或n 0 ，b = 0 ，则对任意4 ，由情形( i ) ，我们就可以得到： 丑一9 口o m ( 0 ，o ) 现在我们假设o 0 ，b 0 ，不失一般性，我们可假设o = l | 由第二章( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，我 们得： l ( l r ”o + b g e - o ) = 一等工一 o + b ( - 譬) g 一 甜o ( 0 1 ) 和 g ；( 三一u 0 + b g e v o ) = 2 b l 一； o e g 一；v o ， ( a 2 ) 则 ( 一慕) ( 0 1 ) + ( a 2 ) ( 等_ e ) 眯州叩) ， 从而由情形( i ) ，我们有4 ，e - 。v 0 m + ( o ，o ) 必要性：假若存在z ，o 使得n ：c ，记 m + ( o ，0 ) 2u ( s w 巾正0 1 ) e _ v 0 明显地，m + ( o ，o ) 是m 7 ( o ，o ) 的一个子模既然e - 孝v o 隹m + ( o ，o ) ，那么m + ( o ，o ) 是 m ( o ，o ) 的一个真子模，这与m 7 ( o ，o ) 的不可约性相矛- 盾 下面讨论相应于离散序的v e r m a 模的结构，我们有： 引理3 2 4 关于一个离散的序，最小正元n 一定属于m 证明：设6 是m 的最小正元下面我们证明n = b 假设n 6 ，那么n m 并且由 。的定义，n 0 ，这与1 7 , 是j 的最小正 元矛盾因此o = b ，也即口m 定理3 2 5 关于一个离散的序”卜”，v e r r n c z 模m ( e ， ) 是不可约的s v i r m ，叫一模 当且仅当且矗( e ，h ) 是不可约的s v i r 2 a z ，o - 模 证明：对z i ，如果对任意的n z 都有。卜n o ，我们记为z 卜a z ；如果对任意的 n z 都有z _ 礼。，我们记为。_ - o z ) ，h 一 z jl o z ) ，我 们有断言：，= h u a z u 巩并且h 一= 一且 坠塞：奎：兰