（基础数学专业论文）海气耦合方程组的性质研究.pdf

摘要 本论文研究一阶( 无粘，或n o w t o n 耗散) ，二阶( 有粘) 海一气耦合方程组初值 适定性问题初值适定性问题指的是存在连续依赖初值的唯一解本文使用分 层理论讨论这些问题分层理论属于微分几何范畴，它将偏微分方程初( 边) 值 问题转化为代数几何问题施惟慧教授等已将该理论成功地应用到流体力学 基本方程组及其初值问题适定性的研究，如l a n d a u - l i f c h i t z 方程，e u l e r 方程， n a v i e r - s t o k e s 方程等的适定性问题本文首次将分层理论应用到海气耦合方程 组中，得到了如下结果： 1 本论文证明了一阶( 无粘，或n o w t o n 耗散) 情形下二维海一气耦合方程组， 二阶有粘情形下二维海气耦合方程组都是稳定方程，存在使它们适定 的c a u c h y f 3 题 2 本论文找到和证明了一阶( 无粘，或n o w t o n 耗散) 情形下二维海一气耦合方 程组初边值问题适定的充要条件 3 本论文找到和证明了二阶( 有粘) 情形下二维海一气耦合方程组初边值问题 适定的充要条件 4 本论文证明了在超平面0 = t o ) cr 2 上，粘性海一气耦合方程组任 何c 。c a u c h y f n q 题是不适定的 关键词：海气耦合方程；c a u c h y f 司题；适定性；解析解；分层理论 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s it r yt oa n a l y z et h ew e l l - p o s e d n c s sf o ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m o fo c e a n i c - a t m o s p h e r i cc o u p l e de q u a t i o n s aw e l l - p o s e di n i t i a lv a l u ep r o b l e m m e a 璐t h a tf o rt h ep r o b l e mt h e r ee x i s t sa u n i q u es o l u t i o nw h i c hc o n t i n u o u s l y d e p e n d so nt h ei n i t i a lv a l u e h e r eiu s es t r a t i f i c a t i o nt h e o r y , w h i c hb e l o n g st o s c o p eo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , t od i s c u s st h ep r o b l e m s b yt h es t r a t i f i c a t i o n t h e o r y , as y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di t si n i t i a l ( o rb o u n d a r y ) v a l u ep r o b l e m sa l et r a n s f o r m e dt ot h ep r o b l e m so fa l g e b r a i cg e o m e t r y p r o f s h i w e ih u id h a ds u c c e s s f u l l ya p p l i e dt h et h e o r yt ot h er e s e a l c hf o rt h eb a s i c e q u a t i o n sa n dt h e i ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m si nf l u i dd y n a m i c s ，s u c ha 8 ，l a n d a u - l i f c h i t ze q u a t i o n s e u l e re q u a t i o n sa n dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s 毗t h e s i sl l s e 8 t h es t r a t i f i c a t i o nt h e o r yt od e a lw i t ho c e a n i c - a t m o s p h e r i cc o u p l e de q u a t i o n sa n d t h e i ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o rt h ef i r s tt i m e i nt h et h e s i s io b t a i nt h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： 1 i ti sp r o v e dt h a tt h ef i r s to r d e r ( i n v i s c i d ，o rw i t hn o w t o n i a nd i s s i p a t i o n ) 2 - d i m e n s i o n a lo c e a n i c - a t m o s p h e r i cc o u p l e de q u a t i o n sa n dt h es e c o n do r d e rv i s c i d2 - d i m e n s i o n a lo c e u n i c - a t m o s p h e r i cc o u p l e de q u a t i o n sa r eb o t h s t a b l e ，a n dt h e r ee x i s t sw e l l - p o s e dc a u c h yp r o b l e m sf o rt h e m 2 as e to fn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rw h i c ha ni n i t i a l ( b o u n d a r y ) v a l u ep r o b l e mo ft h ef i r s to r d e r ( i n v i s c i d ，o rw i t hn o w t o n i a nd i s s i p a t i o n ) 2 - d i m e n s i o n a lo c e a n i c a t m o s p h e r i cc o u p l e de q u a t i o n si sp r o v i d e d 3 as e to fn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rw h i c ha ni n i t i a l ( b o u n d a r y ) v a l u ep r o b l e mo ft h es e c o n do r d e rv i s c i d2 - d i m e n s i o n a lo c e a n i c - a t m o s p h e r i c c o u p l e de q u a t i o n si sp r o v i d e d 4 i ti sp r o v e dt h a ta n yc 。c a u c h yp r o b l e mo fv i s c i do c e a n i c a t m o s p h e r i c c o u p l e de q u a t i o n si si l l - p o s e do i lah y p e r p l u n e = t o c r 2 第。章a b s t r a c t k e y w o r d s ：o c e a n i c - a t m o s p h e r i cc o u p l ee q u a t i o n s ；w e l l - p o s e d n e s s ；a n a l y t i cs o - l u t i o n ；s t r a t i f i c a t i o nt h e o r y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章引言 一。1 1 1国内外概况与分层理论已有结果近期的研究 由于海气耦合方程组的复杂性，目前对它的性质研究基本上还是局限于数 值计算的方法，或将其线形化后进行分析 从数值模式看，人们针对大气海洋方程的非线形和复杂性等特征，针对不 同的类型问题相应地构造了各自的保持总能量守恒的差分格式，如a r a k w a 格式， c i l l y 格式，谱模式g a l e r k i n 有限元近似由于在时间方面离散化后不真正具有完 全能量守恒，不可能保证完全的计算稳定近期发展了协调的完全能量差分格 式，总能量守恒的半l a g r a n g e 差分格式，多守恒差分格式，解正压大气原始方程 组的辛几何算法，卵坐标和保形正定平流方案，非线形地球流体力学中的低频谱 方法，多平衡理论以及大气中孤立波解与阻塞动力学等近期的研究一般集中 在数值计算方面 从理论模式看，利用分层理论已经成功地解决了流体力学中几类非线 形偏微分方程组( j a s h i h ，1 9 9 5 ；施惟慧等，1 9 9 4 ，1 9 9 5 ，1 9 9 7 ，2 0 0 1 ；陈达段 等，1 9 9 6 ，2 0 0 0 ；何幼桦等，2 0 0 0 ) ，包括一般流体l a n d a u - l i f c h i t z 方程，无粘，不 可压流体e u l e r 方程以及混合流体完备方程讨论了它们的c a u c h y l h l 题；研究 了n a v i e r - s t o k e s 方程及其“变形”方程的不稳定性，并且就特殊情形，给出了方程 的准确解值得指出的是分层理论理清了以前的一个关于n a v i e r - s t o k e s 方程的 貌似正确的结果，j l e r a y c 曾证明3 维n a v i e r - s t o k e s 方程在某种情况下有适定弱 解施惟慧( 1 9 9 4 ) 给出了反例，并且得出3 维n a v i e r - s t o k e s 方程对任何初值问题 都没有适定解唐一鸣( 1 9 9 9 ) 进一步得出广义n a v i e r - s t o k e s 方程对于如何初值 问题都没有适定解但以上仅就一个系统进行研究，对于两个系统耦合情况还 未涉及本文试图应用分层理论研究耦合系统方程组的局部初值问题，给出了 海气耦合系统方程组的若干结果 1 2 本文的工作 1 本论文证明了一阶( 无粘，或n o w t o n 耗散) 情形下二维海气耦合方程 组，二阶( 有粘) 情形t - - 维海气耦合方程组都是稳定方程，存在使它们适定 第章引言2 的c a u c h y 问题 2 本论文证明了一阶( 无粘，或n o w t o n 耗散) 情形下二维海气耦合方程组初 值问题 ， 酬嘶劫 ( 1 1 ) 适定的充要条件是 i 0 艺弓u 3 ) 9 2 ( 砰硼 ( 1 2 ) i 0 、 【6 吡( d + ) 夕2 ( 砰+ 醴) 其中= 1 一矗钍1 一如砌，= 1 一以u 4 一如边值问题 l d it i ；：m t ) = u 0 ( ，t ) 适定的充要条件是： io 0 艺亏“地) ( 1 + ( 1 3 ) l 0 、 【扩g ( d + u 6 ) ( 1 + n ；) 其中a ，= l , l n 2 坳一n 3 ，= u 4 一o 2 i f 5 一o 3 边值问题 ，d 【u i f 利砧) = 护( z ，t ) 适定的充要条件是： i 0 艺考( 肌酬所+ 1 ) ( 1 4 ) l 0 、 【胪( d + ) ( 所+ 1 ) 其中= 坳一尻u 1 一岛，= 5 一胁u 4 一风 3 本论文证明y - - 阶( 有粘) 情形下二维海一气耦合方程组初值问题 f d u b 圳= u 0 ( 舢) ( 1 5 ) 【a u i 向( 础) = u 1 ( z ，轳) 第一章引言 3 适定的充要条件是 边值问题 适定的充要条件是 边值问题 适定的充要条件是 篷觐 萎磊= 二兰呈： ( u 1 一3 一砌2 ) 0 ( u 4 一3 一u 5 e 2 ) 0 d u i 卿= u o ( z ，t ) 岛u 1 月( 。，o = u 1 ( z ，t ) ( 2 一，铅一钍1 k 1 ) 0 ( u 5 一向一钍4 k 1 ) 0 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 4 本论文证明了在超平面f t = t o cr 2 上，粘性海气耦合方程组任 何c c a u c h y 问题是不适定的 粘性的存在使得在超平面 t = t o cr 2 上，粘性海气耦合方程组与无粘 海气耦合方程组解的适定性完全不同表明了粘性海一气耦合方程组d 的初 值问题在二维空间中各点的初始条件不能是在同一时刻的，即通常所遇到的 在t = 0 时给出空间中每一处的初始值，这样的初值问题是不适定的，此时研究 在t = 0 上给初始条件的方程的初值问题则应特别注意了对于上述初值问题， 一种合适的收集初始数据的方法应该是在不同的时刻得到不同平面上不同处的 数据 第二章分层理论与偏微分方程 2 1 e h r e s m a n n 空间与偏微分方程的几何表示 设对应，：r ”一r m ，对于给定u r m ，将所有七阶连续可微的对应， c 嚏及在空间p 中的一点z 构成如下集合： c 耋。， ) = ( ，。) i ，( z ) = u ；x r ”，牡r m , ，c ) 在c ( r - ，r t ”) 上定义如下关系： 在哦。，r “) 中定义关系r ：对于( ，z ) ，( g ，z ) 嚷。，r m ) ，若，。( z ) = 9 0 p ) d = 0 ，1 ，后) ，贝l j f r g 显然r 是一个等价关系，一g 定义2 1 用礁。( 鼢，r ”) 表示商集c 耋。( 融，世“) 一，其元素【( ，z ) 称为，在 点z 处的惫阶无穷小j 矗，记为j f ( z ) 称 驴( 舯，r ”) = u艺。( 酣，r ”) ( $ 一) r “_ 忡 为耿”到r ”的k 阶e h r e s m a n n 空间 设 z = ( z 1 ，) “= ( 钍1 ，札。) f = ( ，m ) ：r n r m ，f c k 记 u i ( z ) = 五( z ) 州z ) = 鑫施小_ 1 2 ，仇 其中多重指标j 1 为： j 1 = 1 1 1 n l n a = ( a l ，a 。) ， = ，0 ，j = 1 川2 一，n j = 1 第二章分层理论与偏微分方程 5 对每一个 = 1 ，2 ，m ，将巧x 随矿按字典排列法升序排列，然后对于每一个 ( z ，仳，p 1 ，砑，p ；。，砰) r 帆【( ，z ) 】驴( 舻， ) 其中= n + m 由定义2 1 确定了驴( r - ，砸【仇) 中的一个元素【( ，z ) 】，也即得到了r 胁与( 时，r ”) 之 间的局部同胚于是将仕，u ，p ，砑，p i 2 i 一，砾) 作为【( ，z ) 】驴( r n ，r m ) 的 局部坐标，j ( r n ，r t “) 是一个维数为的流形 任意一个k 阶偏微分方程组可写成： f l0 一，钍u m ，碧， ； f mg 一而，钍m ，器， ，铅) ，静) =0 =o 改用e h r e s m a n n 空间局部坐标表示，上述方程可写成 ff l 略) = o d ： j奄 【f 仇( 叫，巧、) = o 显然，它是e h r e s m a n n 空间驴( 孵，r “) 的一个子集由可微对应f = ( 尻，b t ) 驴( ”，r f “) 一r ”的零点构成： d = f - 1 ( o ) 或者记成： d = v ( r ，f m ) = v ( f 1 ) f l n y ( f m ) 反之，给出弘( p ，r t n ) 的一个子集，也可将它对应于一个偏微分方程组d 2 2 准本方程与本方程 定义2 2 对于七，对应。备：j k ( r n ，r 一) 一驴( 鼢，r ”) 称为( r - ，r ”) 到 j ( r n ，r m ) 典则投影或典则对应，如果对任意 卢= ( z ，u ，船，砾) j ，妒) ( 2 1 ) 第二章分层理论与偏微分方程6 同时规定 q 2 ，( p ) = ( x ，u ，p 嚣，) j f ( 舻，r ”) ( 2 2 ) q 3 ( j ( r n , x m ) ) = j o ( 渺，r ”) = p r ”，k 0 a 兰l ( ，( 舻，r “) ) = j 一1 ( r “，r ”) = 础，k - 1 定义2 3 对应e ：j k + 1 ( r n , r ”) 一，1 ( 舻，( 舻，醒”) ) 称为e h r e 锄锄对应，如 果： 即= ( z ，札，p ，p 仇，p 一，孵+ 。) j m ，r m ) e ( 卢) = ( z ，钍，p i ，垛，击( z ) ，击( u ) ，击( p ；) ，差( 靠) ) i = 1 ，一，仃 定理2 1 设d = f - 1 ( o ) j 。( 酞“，皿m ) ，其中f = ( r ，f m ) ：j 畔，r m ) 一 r ”那么，e 一1 ( j 1 ( r “，d ) ) ，+ 1 ( 舯，r ”) 由下面一组关系式决定? 三：1 1 2 ，唰- 1 ，n ( 2 3 ) 驴+ 1 ( 渺，p ) j 1 ( r n ，j 2 ( x n ，x m ) ) 骂i ，1 ( 舻，r ) ：一( ，r ) 舻 唑舻 定义2 4 设一阶偏微分方程组d j b ( 舻，r _ ) ，以此出发，记 l k ( d ) = o ( d ) ， 南 l k + 1 ( d ) = e 一1 ( j 1 ( 桫，l k ( d ) ) ) ，而2 由此得到的一系列e h r e s m a n n 空间的子集( 偏微分方程组) d ：= nl k ( a ( d ) ) ，( ，r m ) ，k 一1 b 记此序列( 称为一个链) 为联，称为d 的准本方程 第二章分层理论与偏微分方程 7 定义2 5 如过珑的予链d 。d ： d 。：_ d k _ d k 一1 + _ d o _ d 一1 其中每一个d k d ：，满足 i ) a 2 1 ( d k ) = d k 一1 ，0 i i ) 任何满足a 2 一。( 西t ) = 石t 一， o ) 的d ：的子链西，必有茂以 则称d 。为d 的本方程 2 3 典则系统与分层 典则系统是建立在本方程基础上，经过精心设计的一个复杂系统首先对 于一列e h r e s m a n n 空间( 称为e h r e s m a n n 链，它们之间已建立起了典则投影关系) ： 工一j k ( x ，舻) 誓1 一i ( x - ，r m ) 一一j o ( r ，r m ) 誓j 一1 ，r m ) 相应地可以得到一列由切空间t 驴( x n ，r ”) ，( k 一1 ) 9 横截于对应。兰l 的n 一 1 维平面构成的g r a s s m a n n 流形的子流形构成的链： 喏一1 ( ) 一g l ( t j ( 舻，r m ) ) 。与1g ：一1 ( t j k _ 1 ( 黔，r ”) ) 一 其中的对应a 2 1 ：g ：一1 ( t 驴( 舻，r ”) ) 一g ：一1 ( t 以( 甜，r ”) ) 是a 一l 的诱 导对应 记厶( r n ，r m ) 为v h j k ( r n ，世n ) 的如下p f a f f 形式生成的微分理想子代数： = 妣一露奶 j = l q - = 嘲- 一如- d x ，i = 1 川2 一，仇；k 一1 并称i k ( r ，r 一) ( 在不引起混淆的时候，简记成厶) 为驴( 呼，r m ) 的c a n a n - e h r e s - m a n n 理想子代数现考虑g ：一1 ( t j 。( 舻，r ) ) 的子空间e 一1 ( t 驴( 鼢，r ”) ) ： 鬈一1 ( t j 。( r “，x m ) ) = 7 g ：一1 ( t j ( 舯，r ”) ) i ( u ，p ) ；o ，甘o 厶，c r ) 于是就得到了g ：一1 ( t j “( 鼢，r t “) ) 的一个子链： 一l ( 山) ：一一1 ( t j ( r n ，r m ) ) 三鬈一1 ( t j ( r n ，r m ) ) 一 第二章分层理论与偏微分方程8 其中= a 2 1 i 瑶一。( - ( r 。，r m ) ) ，再记 p k ：露一l ( t j 。( r “，r ”) ) 一鬈一l ( t j ( 甜，x m ) ) x j h 一- ( r 。，r m ) 驴( 时，r m ) 定义2 6 设 取1 ( r ”，r 一) = i ；+ 1xp k + 1 ( i i l ( z 沪+ 1 ( 舯，r ”) ) ) g 一1 ( z 沪( r n r 一) ) 一渺r m ) j k + 1 ( x - ，r m ) - 一z ， ( r ”，r m ) = i ；+ 1 ( e 一1 ( t ，+ 1 ( 甜，r ”) ) ) g ：一1 ( t j ( x - ，p ) ) 点_ ( r - ，r ”) 与_ l k ( r ”，r ”) 之间存在自然投影： 肪一1 k ：磊一1 ( r “，r m ) _ 一1 ，k ，r m ) 将两个链品- 1 ，。( 础，r ”) 和研乞 。( 舯，p ) 联系起来所构成的系统： 取一1 ，( r “，p ) ：_ 最一1 ，( 舻，p ) _ 晶一1 ，k ( r ”，r ) l 肌一1 +l 加一1 ，k + ll 办一1 ，女 眠w 1 ( x - ，r m ) ：一一1 ，川( r “，r m ) 一眠一1 ，k ， ) 称为瞅n r 的典则系统 对于方程组d ，设其本方程为 d 。：_ d k + 1 _ d k _ _ d o _ d 一1 定义d 的典则系统如下： 定义2 7 设 e - 1 , k ( d ) = 鼠一1 ， ( ”， ) n ( g 一1 ( t d k ) j k + l ( r n 渺) d 1 ) 0 1 。k ( d ) = 肌一1 ，( 鼠一1 ， ( d ) ) 称 取一1 ，。( d ) ：一磊一1 ，k + l ( d ) 一日一1 ，k ( d ) _ ip n 一1 ，jp n 一1 ，k + l ip n 一1 ， - 一1 ，( d ) ：一w n 一1 舯1 ( d ) 一w n 一1 ， ( d ) 一 为d 的典则系统 第二章分层理论与偏微分方程 9 对上述典则系统进行分层，所得到的结果将直接显示方程d 的拓扑学性质 下列定义将指出什么是分层以及如何对典则系统分层 定义2 8 设x ，y 是两个拓扑空间，是x 至t y 的连续映射，将y 分解成若干个互 不相交的子空间之和：y = y ouku 称为y 按，分层，假如分解是按如下规则 进行的： k 是使得( ，- 1 ( 碥) ，y o ，f i - * ( y o ) ) 成为一个局部平凡纤维空问的y 的最大开 集一般地，k 是使得( ，- 1 ( k ) ，k ，f l f - - ( y k ) ) 成为一个局部平凡纤维空间的y um 的最大开集 现考察d 的典则系统根据分层定义2 8 对 一1 ，：玩一1 ，k ( d ) 一- 一1 ， ( d ) 分 层如下： w j t ，( d ) = u 霞一1 ，k ( d ) 口 记霹- 1 , k ( d ) = 耽- - 1 i ( 霹- 1 , k ( d ) ) ，则正k “k ( d ) = u 霹- 1 , k ( d ) 口是纤维空间的 q 维数 穰- 1 k2 风- 1 乩臻l 。( d ) ：群_ l ( d ) 一群一l ( d ) 定义2 9 称 肌- 1 ，k = u 穰吐k ：及- 1 ， ( d ) = ue ：- 1 ，k ( d ) 一u 畿_ 1 k ( d ) = w 名- 1 k ( d ) 口q口 为d 的( n 一1 ，后) 阶典则分层 露一1 k ( d ) = 一1 ，女( r “，r m ) 一眠一1 ， ( d ) 称为d 的一1 ，七) 阶陷阱 设d 弘，p ) ，记或“b 一1 ( d ) g 晶一1 ，一1 ，r ”) 使p n 一1 ，幻一1 的纤维 横截于空间嚷一1 ( t d b 一1 ) j b 一- j m ) d b ，则称 s ：一1 b 一1 ( d ) = j 9 h 一1 ，b 一1 ( 最一1 ，b 一1 ( d ) ) 仉名一1 ，幻一l ( d ) 为d 的一1 ，一1 ) 阶横截层 第二章分层理论与偏微分方程1 0 2 4 c a u c h y 问题及其求解 2 4 1 分层理论中关于c a u c h y 问题的提法 分层理论以其特有的方式给出偏微分方程( 组) c a u c h y f 司题的最一般的 定义设d ，( r ”，豫”) 为阶偏微分方程，为一c 。微分流形，7 ：一 t ，b 一1 ( ”，醒“) 与盯：一时均为c ”嵌入 定义2 1 0 满足 口譬107=盯 7 + = 0讪一l ( 舯，r “)( 2 4 ) ，y ( e ) d k o 一1 的一对c 。嵌入( 盯，- y ) 为d 的c a u c h y 问题在盯( e ) p 上的一组初始条件 对于偏微分方程d t ，b ( 舯，r ”) ，如果其本方程已经确定，对于一切k 一1 ，p a - l , k ：最。一1 ，k ( d ) _ - 一1 ，k ( 渺，r ”) 也已分层： w 名- l ，t ( r ”，r ”) = u 霞 ( d ) u 瓦吐 ( d ) ( 2 5 ) g 记( 2 4 ) 中的，y 为加，称饥：e 一驴+ 知一1 ( r ”，豫“) 为伽的提升，它满足q 2 冀- 1 。饥= 1 b 而 饥：一g ：一1 ( t + 知一1 ( r “，”) ) 为饥的诱导对应 定义2 1 1 若( 2 5 ) 中的每一个 s ：一1 ( d ) w 名一1 ，k ( d ) g ：一1 ( t ，( p ，r ”) ) 存在唯一的偏微分方程组 e ( 醒一1 ( d ) ) j 1 ( ，( r - ，x - ) ) ( 2 6 ) 使得讯一b + 1 ：一驴( 辩，p ) 是e ( 霞- 1 k ( d ) ) 的解，并且满足饥一幻十1 ( e ) 畿- 1 ( d ) ，则称为e ( 器吐k ( d ) ) 的末方程 第二章分层理论与偏微分方程 1 1 分层理论的基本定理给出了一个c a u c h y 是否适定的充要条件，由分层理论 对于所有流体力学，大气运动方程的研究结果( 参考文献：分层理论与非线形偏微 分方程基础( m ) 施惟慧陈达段何幼桦著上海大学出版社) 都是基于这个定理 定理2 2 偿本定理j 偏微分方程偿l ，d 弘( 础，) 的仇钍c 幻问题是适定的 充分必要条件是其所对应的初始条件( 仃，y ) 满足 2 4 2 解析解与形式解 ； ( e ) 冬s ，tl ，知一l ( d ) ( 2 7 ) 对于d j b ( 舻，p ) 的适定的c a u 吐l y 问题，从初始条件( 盯，1 b ) 出发，逐步 对7 0 ：一j k o - 1 ( 舯，r r “) 作提升： 一般地得到讹：一j + 幻( r - ，p ) 时，它满足： o e 。k ，+ k o 一- ：o 佻 口譬1o 讥 讥( ) 饥( ) 蓬- = 1 一l ：盯 ( 2 8 ) d k + k o 一1 。 或 + b l ( d ) 由序列 讹) 即可得到此适定c a u c h y 问题的解析解 若偏微分方程组d t ，b ( 黔，r 一) 的一个c a u c h y l ；- j 题，其初始条件( 叽饷) 中 的伽满足彳0 ( ) 畿_ l k + 硒一1 ( d ) ，并且由此出发，逐步对伽：一j 钿- 1 ( 舻，r t “) 作 第二章分层理论与偏微分方程 提升若一般地可得到饥：一，+ b ( r n ，r “) 始终满足 q 膏k + + b k o 一- ；。饥 = ，件一1 q 譬。翟：盯 ( 2 9 ) 饥( ) d k + k o 一1 、 饥( ) gs ：1 ，k + b 一1 ( d ) 由序列 饥) 同样可以得到此c a u d l y 问题的一个解，此解称为形式解之所以称 其为形式解是因为其收敛性、唯一性以及稳定性均得不到保证，事实上它不能 作为所研究问题真正意义上的解 第三章二维海一气耦合方程一阶情形 3 1幂见阳衙气耦笛万栏候瓦 a 大气模式 等+ u 。等+ 等一几+ 夕尝= 比 鲁+ u 。警+ 面o v a + 旭+ g 等= 比 ( 3 1 ) 鲁+ 鲁+ + 旧+ k 泌等+ 等) = 一q r 簋：芏馗吉 这里下标a 的量表示大气，s 的量表示海洋；h ，d 为常数，分别表示大气的厚度和 海洋的深度；，勺为大气给海洋的驱动力，q 为海洋给大气的热力强迫项这里 所有应变量仅为t ，z ，可的函数而与z 无关，两模式都取浅水模式 c 。藕合方案 假定加热函数正比海表温度的距平，而海表温度的距平又正比温跃层的距 平，则有 q = a h ， 设风应力与风速成正比，则有 ( ，q ) = 7 ( 1 , a ，) ( 3 3 ) 仇 勺八扣机丝甜 仉 m h。 “丝如 毪帆茁 ) 几凡 堕密一锐面 s 5 即 + + 饥面舰瓦讥瓦 ； + + 饥瓦饥瓦弧瓦 第三章二维海一气耦合方程一阶情形 以上两式将大气模式与海洋模式藕合起来，成为一个常见的海一气耦合方程组 = d h a q = d h a 1 4 ( 3 4 ) 我们可研究其适定性问题为了便于讨论，先考虑海气耦合方程的一般模 式的适定问题 设毗( i = 1 6 ) 分别代替，v a ，k ，虬，( x l ，x 2 ，x 3 ) = ( z ，y ，t ) 一 般模式的海气耦合方程可写为： d ( 3 5 ) 记( z ，y ，t ) = ( 霉1 ，。2 ，。3 ) 酞3 ，( “口，v a ，h a ，t 正5 ，t ，h ，) = = ( u l ，u 2 ，u 3 ，u 4 ，u 5 ，u e ) 。 饥一曲怕 怕引一饥= 裂鞴枷蓉嚣 伽几 邗几儿 丝墼觐酉西一凯面胁呖瓤啄呖挑哳挑啄哳 瓦饥瓦钆瓦钆瓦舰瓦讥瓦 咖 咖 伽 伽 咖 伽 + + + + + + 札瓦舰瓦弧百札瓦讥瓦眠瓦 讹一曲 眠一曲素纂虿难 2 l 5 4 几m 凡凡p 堕毙夏夏夏磊百 们 彻 彬 仍 _ 仍 c砉瓦讹瓦讹面饥瓦c瓦万 m m m 似 似 m c砉瓦讹瓦瓦眦瓦饥瓦瓦 第三章二维海一气耦合方程一阶情形 1 5 r 6 d 作为空间，1 ( 孵，r 6 ) 的子集，使用t ，1 ( r 3 ，r 6 ) 的局部坐标将方程组d 写为 + u l p i + 2 砖+ 卯i 一，啦= 6 1 + u l p i + “2 建+ 鳓+ ，u 1 = 6 2 + u 1 衍+ u 2 p 2 + ( 日+ “3 ) 0 + p ；) = b s ( 3 6 ) + 蛳p + 5 硝+ 硝一f u 5 = b 4 、7 + “4 p 2 + t 5 鹂+ 捌+ f u 4 = b 5 + 地p 6 + 缸5 建+ ( d + ) 研+ 鹂) = b 6 将( 3 6 ) 的左侧分别记成f 1 ，而，f 3 ，丑，r 和晶，则d = y ( f 1 ，f 2 ，f 3 ，只，屁) ，将其 向j 1 ( 瞅，a o ) ，一( 瞅，甜) ，j - 1 ( r 3 ，r 6 ) 投影，易得： d 1 1 ( d ) = d a 0 1 ( d ) = 一( r 3 ，r 6 ) = 孵x r 6 ( 3 7 ) 0 1 1 ( d ) = a 0 1 ( a 6 ( d ) ) = j - 1 ( r 3 ，呼) = r 3 根据准本方程的构造方式：d = nl k ( n ，( d ) ) 驴( r “，r ”) ，k 一1 得 b d 2 1 = l - 1 ( r 3 ) nl 一1 ( r 3x 珏p ) nl i ( d ) = l i ( d ) = r 3 玩= l o ( r 3 ) l o ( r 3 r 6 ) n l o ( d ) = l o ( d ) = r 3 xr 6 d i = l 1 ( r 3 ) n i l ( r 3 r 6 ) 1 3 5 1 ( d ) = l 1 ( d ) = d ( 3 8 ) 呸= l 2 ( p ) nl 2 ( r 3 r 6 ) nl 2 ( d ) = l 2 ( d ) = y ( e ，e j ( f i ) ) i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ；j = 1 ，2 ，3 一般地 d ：；y ( 只，e a f , ) ，e i j ，( 只) ，9 饥一血一- ( 只) ) ( 3 9 ) i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ；1sjs j l 靠一1 3 定理3 1 海气耦合方程组d 的本方程d 与准本方程或重合 证明根据本方程的定义，需要证明对一切后o 都有o l 1 ( 磁) = 磁一l ，即可知 道风满足第一章定义2 5 中的i ) 和i i ) 由上式的结论，显然成立 o ! ，( 瑶) 口6 ( d i ) 矿l 珥 ( 3 1 0 ) 砖壤砖砖砖斌日足乃只b 昂 第三章二维海气耦合方程一阶情形1 6 而d ：为： 其中 f 1 ：露+ “1 硝+ u 2 谚+ 硝一，地= 5 1 f 2 ：砖+ “1 研+ 坳癌+ g p 2 + u , = b 2 f 3 ：砖+ t 1 硝+ u 2 旌+ ( 日+ u 3 ) ( p + 定) = 5 3 f 4 ：p 4 + 4 p 4 + u 5 硝+ 硝一f u 5 = b 4 r ：p 昱+ 札4 p i + 钍5 鹂+ 硝+ f u , = b 5 未嚣嚣u 枷l p ；5 j 孳麓：掣嚣砘 e j ( f 1 ) ：p 岛+ 抛砖+ 鲫己= 垂1 j ”7 e j ( f 2 ) ：确+ u l p ；l j + 砌砖+ 蝻= 垂2 j e j ( f 3 ) ：砖+ u l p 己+ 坳磅+ ( 日+ 蝴) p b + p 玉) = 垂3 j 勺( f 4 ) ：为+ u 4 确+ 钍5 西+ 9 吃= 圣4 j e j ( r ) ：磕+ u 4 p i j + u 5 呜+ 绑) 易= 垂5 j e j ( 晶) ：砖+ u , p ? j + 仳5 鸥+ ( d + ) 0 乞+ 呜) = 圣6 j 圣1 j = 一p ；p 一嘲- i - ，碍- i - e 口1 t p ； 圣。j = 磅p i 一碍胡一纠+ e o 。t 巧 币3 j = 一p j l y l 一心2 3 2 一碍( 西+ 定) + 乳巧 圣4 j = 一巧4 y 4 1 一巧5 耽4 + ，礴+ 三6 。4 彩 ( 3 1 2 ) 圣5 j = 一巧4 y 5 1 一巧5 心5 一，磅+ n 5 鹤 峨j = 一p j 4 p 6 1 一巧5 6 2 一巧6l 一4 1 + 琏) + 巧 ( j = 1 ，2 ，3 ) 若在上述1 2 个方程中给定了一阶坐标露后，可以存在二阶坐标巧t 使整个方程组 成立，则可说明口i ( 碰) = 研注意到e 中后9 个方程对应二阶坐标p 3 ，豌3 ，p j ：， p 毛，吃，建：，吨，p 毛，建。的系数矩阵为： m = 易) 第三章二维海气耦合方程一阶情形 1 7 其中 必= m ：= 1oo o00oo0 01o o0o o 00 u 1抛10 00 g 00 0o0 1oo 000 00o01o000 000u 1 坳 10 g 0 00o o001o0 o000o0 0l0 日+ u 3000h + 坳0 缸1t 2 1 10o o0o000 o100o0o00 地也10 00 g 0 0 0 0o10o00o 00o o10 o00 000u 4 1 090 0o00o01o0 ooo00oo 10 d + 讹00 0d + 0u 4 u 5 1 显然行列式i i = i m 耋，i = 1 0 ，故l 如i = i m ；i i 髫l = 1 0 说明踢中后1 8 个 方程可解，即口i ( y ( 勺( 最) ) ) = ，1 ( 酞3 ，r 3 ) 故：o i ( d ；) = d i 一般地，对于d ：中后! 丛笋个方程对应阶坐标的系数矩阵中对应于鸡- ， 砖x ，吗- ，坞- ，屿x ，坞x ，= k 一1 ) 的一个型笋阶子矩阵为： 其中 慨= ( 警品) m 氛 肛嵫 、 峨磁蛾伊堍峨 第三章二维海一气耦合方程一阶情形 心o 。峨 蝉l0 磁峨i 嘴蛾峨 其中各子块均为避竽! 学矩阵，并且对于i = 2 ，3 ，k ，j = 2 ，3 ，i 毗，峨和峨的对角线元素为1 ，第掣+ j 行止垮丝+ j 一1 列元素为钍1 ， 第坐尹十j 行坐+ j 一1 列元素为砌，其余元素均为o 0 是业笋阶零矩阵 峨的对角线元素为g ，以及第竿+ 3 t j “- 1 、2 止型+ 歹一1 列元素也为g ，其 余元素均为0 峨的对角线元素为g ，以及第掣+ j t = ( - 2 1 ) + j 一1 列元素也为g ，其余元 素均为0 蛾中仅第笔业+ 歹行止萼丝+ 歹一l 列元素也为何+ 抛，其余元素均为o 嵫中仅第掣产+ j 行掣尹+ j 一1 列元素也为日+ 坳，其余元素均为o 为了证明 的行列式不等于零，对肘z 施行行变换首先依次将( 磁，峨，峨) 中的第蛙垮型+ j 一1 行乘上一者坛加到第掣+ j 行，第掣+ j 一1 行乘 上一百鞔i 加到第生手+ j 行，最终使得憾成为! 等尘阶单位阵而磁，峨子 阵仍然保持仅下三角部分有非零元素接下来依次将峨的第掣+ j 行减 去嘭的第七( 七+ 1 ) + 生萼业+ j 一1 行g ，再将蟛的第业笋+ 掣+ j f f i t t 去峨n k ( k + 1 ) + 生产+ j 一1 行g ，使得毗和 绣变换成零予矩阵注意 到掣+ j 生萼丝+ j 一1 以及掣+ j 掣+ j 一1 ，而磁和心又是 仅有下三角部分有非零元素，于是经过这样的行交换之后， 磕，境仍保持除 对角线元素为1 外，仅是下三角部分有非零元素所以得到l 慨l = 1 0 ，同理 可得i l i = 1 0 i 慨i = l m z ii 肘：i = 1 o 说明d 2 中后! 丛笋个方程可解， 由此证得0 2 1 ( d ：) = d ：一1 从而我们得到了正压原始方程组d 的本方程风就 是或 口 在用分层理论研究偏微分方程的整个过程中，本方程占有特别重要的位置 可以这么说，无论是研究偏微分方程的解空间构造，还是求解偏微分方程定解问 题的解析解( 或形式解) ，都是以求得本方程为前提的另外，准本方程与本方程 是否重合与偏微分方程的稳定性有着密切的关系 第三章二维海气耦合方程一阶情形 1 9 3 3 典则系统与分层 定理3 2 海气耦合方程组d 的( 2 ，k 一1 ) 阶陋1 ) 典则分层为? “