（机械电子工程专业论文）计及柔性体的机械多体系统可视化仿真研究.pdf

摘要 f 计算机仿真是研究和分析现实世界中物理模型运动学和动力学特性的一个 重要方法，科学计算的可视化则是将计算机仿真或实验所得数据进行处理和分 析的先进手段。 1 本文开发了一种新的方法用来对计及柔性体的扭撼垒馇丕统进行动力学分 析和可视化仿真。通过h u s t o n 提出的低序体阵列来描述和建立多体系统的数学 模型，三维几何模型采用工业三维图形标准o p e n g l 建立。应用计算机图形学 的相关知识，将多体系统动力学计算结果进行了可视化仿真研究。通过o p e n g l 的双缓存机制，生成可交互的实时动画，较好地描述了动力学计算结果。 基于理论建模，采用面向对象的程序设计方法，本文开发了集成化的软件系 统m d a s 1 i m u l t i b o d yd y n a m i ca n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n 艾骸软件系统可以方便 地进行多体系统动力学计算、数据处理和可视化仿真笨文对m d a si i 软件的 合理性、有效性和正确性进行了分析验证，完成了带有帆板的复杂卫星动力学 展开过程和碰撞过程中人体动力学响应的可视化仿真研究。 、， 关键词：多体系统，刚性体，柔性体，可视化仿善0 三维实体几何模型，o p e n g l ， 面向对蒙晒程序设计y 软件集成 a b s t r a c t c o m p u t e rs i m u l a t i o ni sa ni m p o r t a n tm e t h o d t os t u d yt h ek i n e m a t i ca n dd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c so f p h y s i c a ls y s t e m si nr e a ll i f e v i s u a l i z a t i o ni n s c i e n t i f i cc o m p u t i n g ( v i s c ) i sa na d v a n c e dm e a s u r et op r o c e s sa n da n a l y z ed a t ao b t a i n e df r o mc o m p u t e r s i _ m u t a t i o r to re x p e r i m e n t i nt h i sd i s s e r t a t i o n an e wm e t h o di sd e v e l o p e dt oa n a l y z ea n dv i s u a l l ys i m u l a t e t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fm e c h a n i c a lm u l t i b o d ys y s t e mi n c l u d i n gf l e x i b l eb o d i e s l o w e rn u m b e r e d a r r a y s a r eu s e dt od e s c r i b ea n dc o n s t r u c t t h e m u l t i b o d y m a t h e m a t i c a lm o d e l ，3 - dg e o m e t r ym o d e l sa r ee s t a b l i s h e db yp r o g r a m m i n gw i t h o p e n g l b ya p p l y i n gc o m p u t e rg r a p h i c st e c h n o l o g ya n d d o u b l e - b u f f e rm e c h a n i s m o fo p e n g l ，a l t e m a t i n g3 - da n i m a t i o n sa r ec r e a t e db a s e do nd y n a m i c sc o m p u t i n g d a t a o nt h eb a s i so ft h e o r i e sm e n t i o n e da b o v e ，a ni n t e g r a t e ds o f t w a r es y s t e mm d a s i i ( m u l t i b o d yd y n a m i ca n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n ) h a sb e e nd e v e l o p e db yo b j e c t o r i e n t e dp r o g r a m m i n g ( o o p ) m e 也o d nc a np r o c e s sd y n a m i cc o m p u t i n g ，d a t a p r o c e s s ，a n dm u l t i b o d y v i s u a ls i m u l a t i o n i t sr e s p o n s i b i l i t y , v a l i d i t ya n dc o r r e c t n e s s a r ea n a l y z e da n dt e s t e d a st w oe x a m p l e s ，t h ec o m p l e xs a t e l l i t ew i t hs o l a rp a n e l sa n d h u m a nb o d ys y s t e m sa r ec o n s i d e r e d t h ed y n a m i cr e s p o n s e so fm u l t i b o d ys y s t e m s a r ed e s c r i b e db ya n i m a t i o n k e y w o r d s ：m u l t i b o d ys y s t e m ，r i g i db o d y , f l e x i b l eb o d y , v i s u a ls i m u l a t i o n ，3 - d e n t i t yg e o m e t r ym o d e l i n g ，o p e n g l ，o o p , i n t e g r a t e d s o f t w a r e 垂逢垄堂堡鎏童 董三童垫垒 第一章绪论 1 1 多体系统动力学发展概况 很多机械系统，例如机器人、链、缆、天线、人体模型或其它生物系统等， 皆可用若干刚体或柔体组成的系统模型予以有效的描述，这些系统和模型称为 “多体系统【1 2 1 。 多体系统动力学源自于1 8 世纪e u l e r 、l a g r a n g e 等人奠基的经典刚体动力学。 经典刚体动力学的主要研究对象是单个刚体，或由少数几个刚体组成的简单的 拓扑结构系统，其研究成果可以解释一些重要的力学现象。人类进入2 0 世纪5 0 年代以后，科学技术和工业生产进入了一个快速发展的新时代，以先进制造技 术中的机器人、航天工业中的太阳帆板和机械臂、车辆中应用的复杂空间机构 等为代表的多刚体系统在实际工程的各个领域得到了广泛的应用【4 j 【8 】【9 】。对于 这些拓扑结构比较复杂的多刚体系统，用传统的经典剐体动力学已经无法解决 其复杂的动力学问题，因此必须代之以一种全新的方法。多刚体动力学正是在 这种背景下诞生的。多体系统的动力学是综合了刚体力学、分析力学、计算力 学、材料力学、生物力学等学科的成就，在航天、航空、机构学、机械制造、 仿生假肢等机械工程领域经过多年应用实践逐步发展起来的一门古老而又高新 的技术学科。北大西洋公约组织在1 9 9 3 年召开的高级技术研讨会把多体系统界 定为刚性和柔性机械系统。实际上一般机械系统都是由若干物体以不同形式组 合而成的，所以多体系统是一般机械系统的高度概括【4 4 1 。 进入2 0 世纪7 0 年代，由于对高速、轻质机器人，车辆等复杂机械系统的 高性能、高精度设计要求，特别是由于航天器飞行稳定性、姿态控制、交会对 接的需求和失败的教训，使得多体系统动力学由多刚体系统拓展至多柔体系统。 多体系统中的柔性问题首先在航天器的动力学分析中被提出来。卫星天线、太 阳能帆板的伸展长度与其自身长度相比可以大到几倍甚至几十倍，弹性变形、 振动对系统的姿态稳定与控制精度的影响不可忽视。因此，众多的多体动力学 学者把研究的重点由多刚体系统转至多柔体系统【3 2 1 ，使多体系统动力学的研究 进入了一个崭新的阶段。 1 2 计算机在多体系统分析中的应用 传统力学对于自由度数目较少的多体系统可以求出精确解，而当研究的目标 多体系统较为复杂，自由度数目成倍增加时，传统的解析方法就显得无能为力 了。一般说来，如果多体系统包含3 个或3 个以上的物体，不用数值解法，几 垂鎏叁堂堡圭鎏圣基三童堡垒 乎不可能求出基本方程的解 1 2 1 。2 0 世纪7 0 年代，随着计算机技术的普及和发展， 使得多体系统的复杂运算成为可能。美国辛辛那提大学的r l h u s t o n 教授和 天津大学的刘又午教授共同创立了多体系统理论中关于体空间拓扑结构描述的 低序体阵列和求解k a n e 方程的变步长r u n g e k u t t a 数值积分方法，利用计算机 程序反演k a n e 方程并用数值积分的方法求解。与计算机科学的结合，是多体系 统理论发展史上的一次飞跃。 2 0 世纪9 0 年代以来，随着计算机技术的迅猛发展和在工程设计领域广泛应 用，科学技术的发展进入了信息化时代。多体系统的分析方法也正逐步的向自 动化和可视化方向发展。在传统的务体系统允析中，对计算机舶应用主要体现 在算法的设计和计算程式的编写上，一种算法的好坏或正确与否要经过很长的 时间去验证。同时，数值计算中产生的大量数据与缺乏有效的分析理解这些数 据手段的矛盾也日益尖锐，研究者面临着分析和解释大规模数据的艰巨任务， 客观上人们不得不去寻求一种帮助处理数据的手段【3 6 】i ”】。科学计算的可视化方 法应运而生。借助计算机技术，把数值模拟中涉及和产生的数字信息转变为直 观的、易于理解的以图形或图像形式表示的静态或动态的画面，以加快和加深 研究人员对被模拟对象的认识 5 1 1 3 6 1 。这种高度信息化的结果表达方式较之以往的 数字结果表达方式的进步是显而易见的。利用计算机建立多体系统几何模型， 把对分析多体系统运动过程得到的数据直接在计算机屏幕上进行演示。它仅需 要通过修改软件上视景图像有关参数的设置，就可以模拟现实世乔中物理参数 的改变，所以十分灵活、方便。另外，使用计算机辅助多体系统的设计可以节 省大量的人力和财力，在计算机上便可进行实际问题的分析和试验，争取了大 量的时间。多体系统的科学计算可视化，是多体系统理论发展史上的又一次飞 跃。 1 3 机械多体系统分析中的可视化仿真研究现状 科学计算可视化( v i s u a l i z a t i o ni ns c i e n t i f i cc o m p u t i n g ) 这一术语正式出现在 1 9 8 7 年2 月美国国家科学基金会召开的一个研讨会上。次年，美国国家科学基 金会正式把科学计算可视化列为重点资助项目。科学计算可视化一经提出，很 快就在计算机图形学的基础上发展为一门新兴的学科方向，它融合了计算机图 形技术、工作站技术、计算机辅助设计和交互技术、网络技术、视频技术【3 ”。 短短几年时间，科学计算可视化已经成功的运用到天体研究、地震预测、航空 航天、机械系统等诸多领域。当今可视化仿真技术已经引起愈来愈多的学科研 究人员的广泛重视，尤其是用三维实体模型的显示技术来描述仿真结果，更有 重要意义。可视化仿真技术的发展使多体系统理论的应用前景显得更加光明， 垂逢叁堂丝：k 量堑 堇三童：鸶笪 不仅在传统的航天领域，现在又被运用到了汽车碰撞、机器人等复杂系统领域， 其强大的功能正在被众多的研究人员认识到。 1 3 1 国际机械多体系统动力学分析软件发展概况 国际上尤其是欧美国家在计算机硬件和软件系统的开发上始终位于世界前 列。8 0 年代以来，基于多体系统动力学理论，开发出了许多著名的多体系统商 业软件包，比较知名的有a d a m s 、d a d s 、m a d y m o 等。 a d a m s ( a u t o m a t i c d y n a m i ca n a l y s i sm e c h a n i c a ls y s t e m ) 是世界上应用最 广泛的最具权威的机械系统动力学仿真分析软件。利用a d a m s 软件可以建立 和测试虚拟样机，实现在计算机上仿真分析复杂机械系统的运动性能。利用 a d a m s 软件，可以快速、方便地创建完全参数化的机械系统几何模型。该模型 既可以是在a d a m s 软件中直接建造的简化的几何模型，也可以是从其它c a d 软件中传过来的造型逼真的几何模型，然后在几何模型上施加力力矩和运动激 励，就可以执行一组与实际状况十分接近的运动仿真测试。利用a d a m s 软件， 能够快速地对各种设计方案进行研究。最重要的是，a d a m s 的仿真结果具有极 高的精度和正确性，用户完全可以用此结果来指导机械系统的设计和优化。过 去需要数星期、数月才能完成的建造和测试物理样机的工作，现在利用a d a m s 软件仅需几个小时就够了。但是，该软件对计算机硬件的要求较高；并且作为 商业软件，它没有提供软件的二次开发环境，因此对于最新的理论研究成果不 能及时有效反映。 d a d s ( d y n a m i c a n a l y s i sa n d d e s i g ns y s t e m ) 是由比利时l m sc a d s i 公司 出品，适于对高级机械多体动力学系统进行建模仿真与设计的优秀商业软件。 d a d s 对许多的商业软件如c a t i a 、p r o e n g i n e e r 、m a t l a b s i m u l i n k 都提 供了接口，可以直接利用专业的造型软件进行造型，用d a d s 进行动力学分析。 d a d s 作为动力学仿真软件，一方面需要实验测试为它提供一些基本数据( 如零 件表面的摩擦系数、弹簧的刚度以及振动源的振动力等) 作为仿真模型的输入。 另一方面，d a d s 仿真得到的机械系统及其各零件上的动态响应、零件之间力的 传递等结果，可以作为振动、噪音和零件疲劳仿真软件的原始输入数据。 m a d y m o ( m a t h e m a t i c a ld y n a m i cm o d e l ) 软件是由荷兰t n o 公路汽车研 究所开发的，现在已经普遍应用于汽车碰撞中乘员约束系统的设计和优化工作。 它是图形界面操作的软件包，能够以很高的精度来模拟碰撞过程，从而减小碰 撞发生时乘员所受伤害。尽管它是针对汽车碰撞环境开发的，但是它也同样适 用于像火车、飞机、摩托车，甚至是自行车的碰撞过程分析；它还可以应用在 对座椅安全带和气囊这些制动设备可靠性的评估上面。现在m a d y m o 软件有 垂鋈查耋堡主鎏耋 薹三童辇婆 2 d 和3 d 版本，分别适用于对模型的2 d 和3 d 仿真。m a d y m o 将多体系统的 体和有限元技术有机的结合在一起，形成了一个统一的仿真程序，在进行仿真 分析期间，选择的模型可以是包含两者，也可以只包含其中一种类型。多体系 统主要用于模型整体响应( 如碰撞假人、汽车悬架、机械系统等) ，有限元用于 模拟结构大变形( 如气囊、安全带、碰撞假人局部结构、汽车车身结构部件等) 。 1 3 2 国内机械多体系统研究发展概况 国内一些大学的力学系和机械系于十多年前就开始跟踪国际前沿的研究， 在基础理论和方法上取得了许多重要的进展和成果。但较之国外，在应用和软 件的产业化方面还存在很大的差距，而这正是我国当前所急需的m j 。有鉴于此， 国内的一些大学在这方面作了许多有益的尝试和研究。 机器人运动( 动力) 学图形仿真 机器人作为一种典型的机械多体系统，广泛应用到各个领域，因此对机器人 运动( 动力学) 可视化仿真研究也比较广泛。清华大学在国家自然科学基金及 国家高技术计划自动化领域智能机器人主题的支持下，开发了t h r o b s m 大型 机器人仿真系统。可以分别对单个机械手和两个机械手的运动学、轨迹规划、 动力学及各种控制方法进行仿真【35 1 。哈尔滨工业大学在国防科工委和航天部的 课题“空间机器人智能控制系统”的资助下，开发了“空间机器人计算机仿真 系统”。为机器人及机器人工作空间中的物体建立几何、运动学及动力学模型， 以辅助空间机器人的设计与安装【3 引。天津大学在天津市自然科学基金项目课题 “机器人动态过程集成视觉化系统的研究”支持下，也对以机器人为代表的多 体系统可视化仿真系统进行过研制和开发，并取得了一定的成果【2 9 1 。 汽车与人体碰撞动力学可视化仿真 湖南大学的钟志华教授领导成功开发了汽车安全碰撞仿真软件，可用于仿真 模拟汽车整车碰撞。目前，此软件系统仅可运行于巨型计算机上。吉林工业大 学的学者以碰撞动力学和多体系统动力学中的r w 方法为理论依据，建立了汽 车乘员三维多体系统碰撞模型。在此基础上，开发了汽车碰撞计算机仿真软 件s v c 3 d 】。南京理工大学的学者应用拉格朗日一欧拉法建立动力学方程，开 发了汽车碰撞人体动力学仿真软件d a h v c 。此软件可对汽车碰撞中的人体二 维、三维动力学问题进行仿真计算1 4 。 一般多体系统动力学可视化仿真软件m d a s m d a s 是天津大学机电教研室开发的多刚体系统动力学可视化仿真软件p “。 它通过h u s t o n 提出的低序体阵列来描述和建立多刚体的数学模型，三维几何模 型采用a u t o d e s k 公司的产品m e c h a n i c a ld e s k t o p ( m d t ) 建立；应用计算机图形学 4 垦逢叁兰丝土垒薹 星三墼望鱼 和数字图像处理相关知识，将多体系统动力学计算结果进行了可视化仿真，采 用a v i 数字视频压缩技术对运动过程进行了可视化处理，作为一种数值仿真方 法，它较好地描述了多刚体动力学计算结果。 由于可视化技术本身是在一定的计算机硬件平台和操作系统软件平台上开 发的，可视化系统的实现具有明显的平台依赖性：加之我国的可视化仿真应用 起步较晚，可视化系统水平基本上还停留在各个单位为辅助项目设计而临时开 发这一原始阶段上，难以完成国外软件的多种功能，实现上以后处理型居多， 图形工具多是三维非真实处理。但是，随着计算机技术的不断发展和提高，以 及基于信息世界对信息理解工具的必然要求，我们可以预见，我国的可视化仿 真技术必然会在科学技术的各个领域获得全方位的引用。反过来，可视化技术 的发展和应用，也必将在很大程度上起到推动我国科技全面发展的作用【4 2 】。 1 4 本文的研究内容 本章简要介绍了多体系统理论发展概况，展望了国内外机械多体系统可视化 仿真软件开发情况。多体系统的可视化仿真研究现在正处在发展阶段。从传统 意义上将把多体系统理论、科学计算的可视化，以及计算机仿真联系起来，构 建一个集成化的软件环境，从而达到计算和仿真同步的目的，这一直就是许多 研究人员梦寐以求的事。本课题正是出于这个目的，实现计及柔性体的机械多 体系统动力学可视化仿真集成软件的开发。 具体来讲，本课题的任务就是探索把经典的多体系统理论与计算机仿真技 术、软件集成技术和计算机图形学的最新成果相结合的理论和方法，并摸索出 一条切实可行的道路，再进一步用分析的结果开发一个实用的机械多体系统三 维实体参数化造型和可视化仿真软件包。该软件将具有以下的功能： 1 、三维参数化实体造型方法具有通用性，能满足绝大多数目标多体系统动力学 仿真过程中的真实感要求 2 、能对目标多体进行参数化造型，以便进行参数可变模型的多体系统分析，满 足用户对模型几何参数可变的要求 3 、具有很强的数据处理能力，可以将多体系统动力学计算结果通过适当变换转 化为仿真驱动数据 4 、能在三维空间中以场景的方式仿真模拟目标多体系统的动态响应过程，并且 可以精确的显示目标多体系统任意时刻的运动状态 5 、可视化仿真过程的可调整性，即可以实时的调整仿真动画的比例、视角、速 度，从而使用户可以选择适宜的观察角度和速度 6 、根据仿真数据实时生成动画，也可以选择生成动画文件，以达到节省磁盘空 垂逢叁堂堡土鎏錾 篓三童堡垒 间的目的 7 、具有强大的适用性和开放性，即仿真的目标多体系统的基本体数、体间连接 方式以及分支体链数不受限制 8 、软件集成和优化，使初始数据输入模块、多体系统动力学计算模块、可视化 仿真模块，以及应用程序操作平台紧密结合在一起，达到系统间的无缝和可 靠连接；同时保证软件的易操作性和可扩展性 在本课题的研究后期应用柔性机械臂模型、带有太阳能帆板卫星模型以及汽 车碰撞中人体动力学模型对所开发的软件系统进行了整体测试。仿真结果很好 地反映了动力学计算的结果，从而验证了该系统的有效性、准确性和先进性。 6 第二章多体系统基础理论 2 1 引言 多体系统理论包括运动学和动力学两个方面。运动学研究和分析运动，而 不考虑产生运动的原因，它是研究动力学的基础。多体系统动力学是近十年来 发展起来的力学新分支，在航天、机械和生物力学领域得到了应用，取得的效 果十分显著。对于机构、机器人、车辆和航天器等机械或机电结合的系统，以 及人体模型，均可归结为多体系统的抽象模型。本文研究的出发点即是把个 复杂的机械系统视为多体系统，而对这样一个典型的多体系统进行动力学分析 计算、运动学仿真建模、三维实体几何建模、实时动画显示等可视化仿真的前 后处理工作。 2 2 多体系统运动学基本理论 2 2 1 多体系统拓扑结构描述 多体系统形式多种多样，特别是当系统体数较多时，多体系统的结构千变万 化，对多体系统拓扑结构进行描述，是多体系统理论的基本问题。也是形成通 用性理论方法的关键问题。合理的拓扑结构可以简化计算过程，达到事半功倍 图2 1 一般多体系统 的作用。迄今对拓扑结构的描述比较成功和应用广泛的方法主要有两种：一是 6 0 年代末罗伯森( r o b e r s o n ) 和维滕堡( w i t t e n b u r g ) 首先提出的关联矩阵和通路矩 阵的描述方法：二是7 0 年代后期由休斯敦( h u s t o n ) 发现并成功应用的较低序号 体联阵列的描述方法【4 5 】。在本文中我们使用的是由休斯敦创立的较低序号体联 垂壅叁堂堡耋堡塞星三茎重垡至丝蕉壁堡垒 阵列( 简称低序体阵列) 的方法，这种方法是多体系统数值计算应用计算机强 大功能的基础。 考察图2 1 所示的一般多体系统，休斯敦提出的低序体阵列的标定原则是这 样的：任选一个物体1 ( 或e ) 。然后沿远离e 的方向，依增长数列标定每个物体 的序号，从系统的一个分支到另一个分支，直到全部物体标定完毕。图2 1 所示 是一个开环多体系统的低序体阵列的标定结果，对于闭环多体系统，可以将其 转化为带有特定约束的开环多体系统来处理，故以下仅以开环多体系统为例说 明低序体阵列的建立方法。 对于两个相邻典型体来说，我们把较低序号的物体称为低序体，而把较高序 号的物体称为高序体。考察图2 1 所示的多体系统，除且外，每个物体都有个 相邻的低序体，令r 为待研究系统所在的参考系，把r 看作b l 的低序体，则r 的 序号应为0 。将各典型体的相邻低序体的序号按典型体的顺序排成列，用三 阵列表示，同时还要定义r ( o ) = 0 0 0 ) ，这样对于图2 1 所示的典型多体系统。 其各体的各阶低序体可排成表2 1 所示阵列。 表2 1 较低序号物体阵列列表 r ( k ) 1234567891 01 1 r ( 七) 0l233l677l1 0 三2 任) o0122o1660l f o0011oo11o0 l 4 ( 七) 000000000o0 系统中每个物体的低序体序号，用l ( k ) 表示，三表示求低序体的算子，k 表 示该物体的序号，且补充定义p ) = 七，三( 0 ) = 0 ，它满足： f ) = “以) )0 ，女为正整数) ( 2 1 ) 低序体阵列( t ) 描述了开环多体系统的拓扑结构特点，同时，它又具有明显 的数字特征： 在l 1 ( t ) 这一行中未列出的体序号即为系统中的末端体，如 毋，岛，岛，岛，且。体 在忙) 中重复出现序号的即为分支体，如b ，b ，b ，体 在f ( 七) 中仅出现一次的即为中间体，如b ：，b 6 ，b 1 。体 对任一典型体b 。，其低序体阵列必唯一 垂壅占堂堡圭垒塞蕉三墼 耄堡垂堑垂堡堡重 也就是说：多体系统的任何一个物体，都可以通过其低序体阵列追溯到它 与惯性参考系的关系。这是十分重要的，因为在对系统进行动画仿真处理时， 需要各个体相对于惯性参考系的运动学参数，例如，坐标位置、方位角度、速 度、角速度等。 2 2 2 多体系统运动学特征量的描述 多体系统运动学的特征量包括描述系统中各体的位置和姿态、速度和角速 度、加速度和角加速度三大类。在用于描述这些特征量的数学工具中，最基本 的是矢量( 描述移动) 和矩阵( 描述转动) ，其次有方位角( 如欧拉角、广义欧 拉角) 、伪坐标、四元数、旋量、齐次坐标等( 45 1 。这些数学工具都有其各自的特 点，在本质上又有内在的联系。 方位角具有直观的物理意义。用方位角描述多体系统运动学的特征量时，方 位角的导数可写为： l 吐= q s p k b c ：一0 ) 2 & ) c p 夕= 吼g + q & ( 2 2 ) i ，= 慨q 一曲2 & ) c p 式中，口、，为系统中相邻体的方位角，q ( k = 1 ，2 ，3 ) 为相邻体间的 相对角速度分量，咒= s i n a ，= 妒，巴= c o s a ，c p = c o s p 。根据式由数值 积分可求得相应方位角。但是，当c n = 0 ，即= 9 0 0 时，方程会出现奇点。这 种奇点会妨碍有效的求解多体系统基本动力学方程的数值解。采用归一化的四 元数即欧拉参数法可以避免奇点的出现。 欧拉参数定义如下： 瑚 ，z ，s ，亿。， 虽然欧拉参数有4 个，但是独立的只有3 个，因为存在下面的等式： 占l2 + 占2 2 + 占3 2 + s 2 = 1 所以系统中各体的角速度可用欧拉参数表示为 ( 2 4 ) 9 ， 2 c 0 3 -毛降 涨 = z 陋料 ( 2 5 ) 其中的系数矩阵【e 】是正交矩阵，峨( = 1 ，2 ，3 ) 为相邻体问的相对角速度分 量，而= 0 ，因此又有： 杰= 1 ( 占4 0 - ) l + 岛一岛毡) 岛= 圭( - 鹕+ 日吐+ 毛鸭) 岛= 三也旷+ 丘q ) 六= 圭( - 毛q 一岛：一岛屿) ( 2 6 ) 由式( 2 6 ) 可知，采用欧拉参数描述体间相对方位不会出现奇点问题，对2 6 式进 行数值积分即可求得相应的欧拉参数。 2 2 3 多体系统中约束问题的处理 多体系统理论的休斯敦方法将约束总结为下述三种：接点约束、构造约束、 外部约束。接点约束取决于接点的物理性质，限制了相邻物体间的相对运动。 当多体系统中具有闭环或当两个非相邻物体间有特定的相对运动时，即出现构 造约束。对于一个或多个物体具有系统以外的某个参考系中的特定运动的情况， 可以用外部约束进行描述。构造约束和外部约束是对系统运动限制的更为普遍 的形式。这三种约束形式基本上析覆盖了实际机械多体系统的约束形式。 2 2 4 多体系统中典型体的几何描述 多体系统运动学研究分析多体系统中各个典型体的运动，而不需要考虑产生 运动的原因，它是研究动力学的基础。对于多体系统中典型体的运动过程分析 是在多体系统理论的指导下，采用矩阵变换的方法，得到典型体的空间状念。 休斯敦在对多体系统运动学进行分析时，针对运动学参量采用了相对参量体 系( 相对位移、相对速度和相对加速度) 。这样对于多体系统中任何一个典型体 风的局部运动学特性的描述都是基于与其相邻的唯一低序体而言的。这也暗示， 0 垂望叁堂堡土鎏塞堡三童 耋丝墨堑垂些堡丝 要想知道典型体的运动学特性就必须知道该典型体的低序体相关运动学特性。 考察如图2 2 所示的典型相邻体b j 和b k ，( ，= 忙) ) 。r j 为低序体b ，的局 二户6 ；，；。e “+ 6 ；，；。：j ；时6 ；，二。，舅。( 其中f ：1 ，2 ，3 ) ( 2 7 ) 刚s 1 2s33嘲jtt，,3 亿s ， 一 押t i 叶 n k 2 一 九1 3 = s 一1 训m 捌= 刚i ，z 1 pj 【n 口 也即 ；t ：s 。# ，j 或 ；。j = s 7 ；， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 同理，对于如图2 1 所示的典型多体系统，由式( 2 7 ) 可以建立相邻体间的局 部坐标系关系，沿着多体系统某一分支由惯性参考系r 出发一直递推到该分支 的末端体，即有如下的关系成立： s o j = s o i s 0 2 = s o i s i 2 s 0 3 = s o j s j 2 s 2 3 s 0 4 = s 0 1 8 1 2 s 2 3 $ 3 4 s 0 5 = s o l s l 2 s 2 3 s 3 5 重逢叁耋堡圭笙塞 望三重童笪墨丝叁些堡堡 s 0 6 = s 0 1 s 1 6 s 0 7 = s 0 i s l 6 s 6 7 s 0 8 = s o l s j 6 s 6 7 s 7 8 s 0 9 = s 0 l s l 6 s 6 7 s 7 9 s 0 1 0 = s o l s l l o s 0 1 1 = s o i s l l 0 s 1 0 1 1( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 描述出了图2 1 所示的多体系统各典型体相对于惯性参考系的变换 矩阵。在求解过程中只要知道其相邻低序体相对于惯性参考系的变换矩阵和其 相对于该低序体的变换矩阵，就可以得到最终的结果，可见低序体阵列在多体 系统运动学求解中起到了决定的作用。 2 3 多体系统动力学基本理论 考察如图2 1 所示的多体系统，具有以广义坐标y ，( j = 1 ，n ) 表征的厅个自 由度。描述本系统的凯恩动力学方程为： e + e = 0( z = 1 ，2 ，凡) ( 2 1 2 ) 广义惯性力e 可表示为 耳= 一a l r i 。一妈 ( 2 1 3 ) 式中a 。和啊为 a l p = + k 0 ) h 枷 ( 2 1 4 ) 和 吩= y h 肿v 枷x p + ，椭蜘枷x p l e r s m l k s n o j “，竹。) 咖x p x q ( 2 1 5 ) 定义z 为石皇e 一向，再用广义速率乃( ，= 1 ，n ) 取代毫表征系统运动，则运动 力学方程可写为 a m y 。= 石 ( 2 1 6 ) 注意到，四个阵列。、d ) 。、v 。与广义速率y t 一起决定了系统的运动 学特性。四个阵列是基本运动力学方程的“组合模块”，它们在多体动力学分析 中起了中心作用。下面将对多体系统的运动学理论及其数值解的解算步骤进行 论述。因为如果多体系统中包含3 个以上的物体，不用数值解法，几乎无法求 垄壅奎堂堡圭堡塞篁三塞量堡垒垒垂墅堡堕 出其基本方程的解。首先推导多体系统的四个基本运动学阵列 o , ) k l m 、”、“女。 令为鼠系统的一个典型体，嘎在惯性系r 中的角速度可表示为 o ) k = m n 式中，0 3 1 t i m ( k = 1 ，；，= 1 ，2 ；m = l ，2 ，3 ) 为偏角速度阵列 的分量：”为广义速率：曩，为固定在惯性参考系r 中的正交单位向量：n 为系 统中的物体数，n 为整个多体系统的自由度数，对于无约束的多体系统n ：6 n 。 在多体系统运动学中通常如下定义广义速率： r“ l ( f = 3 ( k - 1 ) + m ；1 f 3 n ) y t2 ( 2 1 7 ) 【s h ( ，= 3 ( 七一1 ) + m + 3 n ；3 n + i ，s 6 ) 有了上述广义速度的定义，就可以推导出多体系统运动学的四个基本阵列和 角速度、角加速度、质心速度、质心加速度等运动学参数。 典型体风的角速度：彩i = c o y ，二。( 2 1 8 ) 其中偏角速度为 i 国 。= t , o i o j 0 ( ，= 1 ，2 , - - - , 3 ( k - 1 ) ；j = 三( t ) ) l - - - - 3 k - 2 , 3 k - l , 3 k ；m = 1 ，2 ，3 ；p = 1 3 ( 七一1 ) ( 2 1 9 ) ( 3 k + l - l 6 n ) 典型体b 的角加速度为：o c k = t 二o t = ( 捌。”n 栅) ：= ( 材。；，+ o 蜘m ) 五。m ( 2 2 。) 上式中偏角速度分量的导数二。又可以表示为 0 ) t2 ，“ ( 1 = l ，2 ，3 ( k 一1 ) ；= 工( t ) ) s b j ” 7 = 3 。一p 2 , ：3 k ，一- ，1 ；( 3 七k 一；m 。) 2 1 2 3 ； c z z t ， 0 ( 3 k + l l 6 n ) 典型体尾的质心速度为：；t = v 。_ y ，n 。 而其偏速度分量v 。为 。2 r 2 2 2 ) c o 岬脚 ( 3 n + l - 1 - 6 n ) 善 m 蹶一( ”) ( 1 - l - 3 k ) ( 22 3 ) + e t h 。f o 。h ( s = s ，k = k ，v = o ( 七) ，r ( 七) = 1 ) 0 ( 3 k + l z s3 n ) 典型体b 的质心加速度二t 为 赢= ( 乃；一) i o , ，m ” ；。 而其偏速度分量的导数 v k h = 窆。也sos。(qt=0l。+ ) - i 1 。m。+ ) l +窆。sos-t=0l( ”) - i + i 。( + ) l +窆。sosethmo)soss-0lm a + l 。 m i ， ( s o k n r k n + o ) k h 焱岷 0 0 ) 女f ，一3 n ) m f 2 2 4 ) ( s = s ，k = k ，v = r ( k ) ，s = ( k ) ) f ( k ) = ，1 s ， 3 k ，s w = y ， p = 3 f v 1 ) + n + 3 n ( 3 k + l ，3 n ) ( 3 n + l ，6 n ) r 2 2 5 ) 以上是多体系统运动学的四个基本阵列，由凯恩方程( z 1 6 ) 求解y 。，就可以 得到一组能直接使用微分方程数值解法的方程。即 4 y p = “石( ，p = 1 ，6 n ) ( 2 2 6 ) 再引入4 n 个欧拉参数方程： e k l = 圭( e 。会“+ e 。，盎k 2 - - e k 2 。”) ”2 亨5 一”。“+ 4 盆n + t 1 盎| ：) 。：， ；t ，= = 圭( 。：盎t - 。，盎t ：- 。念t s ) 。 e 。k 4 = 圭( - e 。盒- t - e 。：；，k 2 - - e k 3 盎t ，) 将式( 2 1 7 ) 、( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 组合起来，由此可以求出( 3 n + 6 n + 4 n ) 共1 3 个未 知运动变量，包括3 n 个位移变量似= 1 , 2 ，n ；n = 1 , 2 ，3 ) 和6 n 个广义速率 y t ( f = 1 2 ，6 ) 及4 个欧拉参数( 七= l 一2 ，；i = 1 , 2 ，3 ，4 ) 。以上多体系统运动 学方程组是基于无约束的凯恩方程组，但一般多体系统的运动学分析中都会碰 到某些特定的运动约束，这些运动约束通常可表达为如下的形式： b , py 口= g 。 0 = 1 , 2 ，m ；p = 1 , 2 ，n ；m n )( 2 2 8 ) 写成矩阵的形式为： b y = gr 2 2 9 ) 其中b 为运动约束矩阵，而由此运动约束引起的广义约束力为： f = b 7 九 r 2 3 0 ) 由此可得到带有运动学约束的非完整多体系统的动力学方程： a y = f + 口。五( 2 _ 3 1 ) 设矩阵c 为运动约束矩阵b 的正交补矩阵，则有： b c = 0 或c 7 8 7 = 0( 2 3 2 ) 式( 2 3 1 ) 两边同乘以正交补矩阵c 的转置矩阵c 7 ，可得 c 7 a y = c 7 厂( 2 3 3 ) 该方程消去了运动约束的影响，对式( 2 2 9 ) 取导并联立式( 2 3 3 ) 即可得运动约束多 体系统的完整方程组： 阱= 矧 4 ， 由上式所述方程组可以解出n + 2 r n g y 。= 1 , 2 ，棚) ，并进而求出带有运动 约束的非完整多体系统的各运动力学及运动学相关参数。 2 4 柔性多体系统理论 一、系统结构和运动学描述 y 三， o j - i 图2 , 3 典型段的几何描述 设典型体瞰离散为肌个有限段，令钟表示其中的第i 个有限段。将描述系 统的广义坐标分为两组z = 1 ，6 奶和t l ( k = l ，朋五= 1 ，6 ，x ，表示体间相 对方位角( f _ l ，3 肋和体间相对位移( ，_ 3 + l ，6 n ) ，广义速率y ，是南的线性组 合；班表示段间相对方位角( 五= 1 ，3 帆) 和段间相对位移( 五= 3 p 1 ，6 m ) ，段 r 10 0 ，l 0 一玎+ ， s k s = o1 o 蚓籼) + 3 ” l 0 0 1 j7 2 l 一叩i ，一。) + ：叩i ，一。) + 。 甄s ：。= 巧。+ g 碱f _ 1 ) + p 咖+ r 2 3 5 ) 6 1j 2 卜 p 。；o 城唧 式中，m 扩a 氏。2 怯：i ： 若鼠与惯性参考系的坐标变换为s o k ，那么酽与惯性参考系的坐标变换 s o s 为：s o s = s o k s k s ( 2 3 6 ) 即 s 傩二= s o k 。+ s o k 叩；r - i 卜k p 咖+ r - i s o s l = s 越。+ s 酞w 破r - i h - h p 咖+ s o k w 破r - i ) + h p 咖+ r - ir - 1 = p 疗，廿y i s o k 。+ e ，狮h ，y i s o k 昭1 7 k ( r - 1 ) + h p 罟 。 r - i + s o k 破r - 1 ) + h e 咖+ ( 历，n , g , h ，严1 ，2 ，3 )( 2 3 7 ) s 相对于段的角速度霹为 丕= n k ，7 7 2 k n - - h( 五= l ，6 f ，m ，甩= 1 ，2 ，3 )( 2 3 8 ) 式中，再。为鼠上的右旋正交单位矢量组。 珏 鬈= 旯蕊叫- 1 ，f 删，2 ，3 s 。， 若风的绝对角速度为瓯，根据角速度加法定理，彤的绝对角速度面? 为 = ( c 0 1 a , y ，+ ，k 抽7 7 z kj n - 州( f - 1 , - - - , 3 n , m = l ，2 ，3 )( 2 4 0 ) 式中，厅。为惯性坐标系上右旋单位矢量组。 西k = s o k 。面乱 ( 朋，g = l ，2 ，3 )( 2 4 1 ) y ；r j ( 2 4 0 ) 式求导，得到s ? 的绝对角加速度丘! 为： a ：= 硷。y t + 国b 。爹 + 出乙跌+ 。k h 玎k h - 唧 式中西为u 卅k 对时间的导数，通过式( 2 4 1 ) ，参照( 2 3 7 ) 求得。 s ? 的质心位置矢量茸，可由下式确定： _l p ；= ( 牙，+ i ，) + ( 于，+ 厅，) + 芦 r 2 4 2 ) r 2 4 3 ) 式中，靠) = 1 ，丘”= y ；牙，和瓦分别为体b ，在其低序体上的参考点位置矢 量和体间相对位移矢量：五和矛，分别为甜段在其低序段坐标上的参考点位置矢 量和段间相对位移矢量：a 为舛的质心在本段坐标系上的位置矢量。将上式用 各矢量的标分量表示，形式如下： ” j ? = 【s o u 。( q 。+ s 。) + s o s ：- 1 ( 厶+ 盯。) + s d s ：。p 。】再。 ( 2 4 4 ) 式中弘屯( 吐m ，n = l ，2 ，3 对式( 2 4 4 ) 求导，得到g 质心的绝对速度寸： 矿= v u y f + v n 卅k 玑, kj n - 。 式中v 。和v n 卅k 参照式( 2 4 0 ) 可求得。 对式( 2 4 5 ) 求导，得到s j 质心的绝对加速度科 影= 【i 。y ，+ v 。岁，+ t 基旌+ v 乞旌 元。 式中i 。，卅和v - 。k 分别为v 和v ，k 。对时间的导数，参照式( 2 4 0 ) 可求得。 设系统的广义速率匕及导数圪为 f 2 4 5 ) f 2 4 6 ) l = ， = 1