（应用数学专业论文）左定sturmliouville算子的特征函数的振荡问题.pdf

摘要 本文研究了定义在有限区间( 0 ，c ) 上的具有一般分离型边条件的左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题利用p r f i f e r 变换，给出了上述s t u r m l i - o u v i l l e 算子特征值的符号指标的具体形式；得到了特征值的符号指标与w e y l 函数以及 p r i i f e r 角在该特征值处的罗朗展式( 泰勒展式) 的首项系数的符号之间的关系；这 两个结果在形式上比p b i n d i n g 研究的具有一种特殊分离型边条件的左定s t u r m l i o u v i u e 算子得到的结果要复杂，p b i n d i n g 得到的结果是本文的一种特例最后， 在上述两个结果的基础上给出了上述s t u r m - l i o u v i l l e 算子的第礼个正( 负) 特征值 所对应的特征函数在f o ，f 1 内的零点个数的计算公式。这是对p b i n d i n g 研究的具 有一种特殊分离型边条件的左定s t u r m - l i o u v i l l e 问题得到的计算特征函数零点个 数的公式的推广 关键词ts t u r m - l i o u v i l l e 算子，左定，振荡问题，w c y i 函数，p r f i f e r 角，特征值的 符号指标 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o n so ft h ec i g e n f u n c t i o no fs t u r m - l i o u v i l l c p r o b l e mw i t hi n d e f i n i t ec o e f f i c i e n t sa n dg e n e r a ls c p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s0 n ( 0 ，f ) u s i n gp r f i f e rt r a n s f o r m ，w eg i v ead e s c r i p t i o no ft h es i g n a t u r eo fa ne i g e n v a l u e ，a n dg i v et h er e l a t i o nb e t w e e nt h es i g n a t u r eo fa ne i g e n v a l u ea n dt h es i g n s o ft h ec o r r e s p o n d i n gl e a d i n gc o e f f i c i e n t so fw e y lf u n c t i o na n dt h ep r f i f e ra n g l ea t t h i se i g e n v a l u e f i n a l l yw eo b t a i naf o r m u l aw h i c hc a nb eu s e dt oc a l c u l a t et h e n u m b e r so fo s c i l l a t i o np o i n t si n 【o ，l 】o ft h ee i g e n f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h en t h e i g e n v a l u e t h er e s u l t si nt h i sp a p e ra r et h ee x t e n d a b i l i t yo ft h er e s u l t so b t a i n e d b yp b i n d i n ga b o u ts t u r m l i o u v i l l ep r o b l e mw i t hi n d e f i n i t ec o e f f i c i e n t sa n ds o m e s p e c i a ls e p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n k e yw o r d s ：s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r ，i n d e f i n i t e ，o s c i l l a t i o np r o b l e m s ，w c y lf u n c t i o n ，p r i i f e ra n g l e ，s i g n a t u r eo fa l le i g e n v a l u e 2 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名： 多年月幻日 学位论文使用授权声明 南京理丁大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：蕴拖霞加。岁年f ；月劢日 硕士论文 垄塞坠! ! 堡：生翌! ! ! ! ! ! 篁至塑壁堡墅塑堕堡蔓塑望 一引言 数学物理方程所遇到的波动方程，热传导方程，及拉普拉斯方程，采用分离变量 法求解定解问题时，总要遇到一个二阶常微分方程在某种齐次边界条件下的特征值问 题，这就是所谓的s t u r m l i o u v i l l e 问题 1 1s t u r m - l i o u v i l l e 问题的物理背景及研究意义 我们以一维波动方程为例，介绍一下s t u r m - l i o u v i l l e 问题的物理背景一均匀的 细弦( 密度为常数) ，我们研究两端固定的弦的自由振动，在一定的初始条件和边条件 下，弦上具有横坐标z 的点，在时刻t 的位移u ( z ，t ) 满足方程1 8 l f 貉= 0 2 殍0 2 u 0 0 ( 1 1 2 ) 【训k o = z 2 2 l x ，象1 b o = 00 。s f ( 1 13 ) 对方程( 1 ，1 1 ) 利用变量分离法，令 q ( t ) = x 扛) ? ( ) 则得到两个常微分方程 t ”( ) + a n 2 t ( t ) = 0( 1 14 ) x ”( 。) + x ( ) = 0( 11 5 ) 由边条件( 1 1 2 ) 得 x ( o ) = x 。( 0 = 0( 1 16 ) 解( 1 1 4 ) ( 1 ，1 5 ) ( 1 1 6 ) 得 心，归一等薹南c o s 避产硒n 学z 若令 u 。( 州) = ( gc o s 竿h d 捌n 罕t ) s i n 罕z 其中d 。= 0 ，c k = 一面雨3 2 1 2 ，则u n ( z ，) 表示这样一个振动波： ( 1 ) 在考察的弦上各点以同样的角频率作简谐振动，各点处的初位相也相同，而 各点的振幅随点的位置变化而变化且此振动波在任一时刻的外形是一正弦曲线 ( 2 ) 在【0 f 范围内这一振动没有n + 1 个点( 包括两个端点) 永远保持不动，这 些点物理上称为节点( 振荡点) ，这种包含节点的波称之为驻波 1 硕士论文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 而u ( z ，) 是由“，( x ，) ，“。( z ，t ) ，这样一列驻波叠加而成的，因而要研究 u ( x ，) 的波形首先要研究u 。( ，t ) ，u 。( z ，t ) ，的波形，而每个驻波的波形由特征 函数确定，频率由特征值确定，因而就要研究( 115 ) ( 1 16 ) 的特征值及特征函数，以 及特征函数零点( 振荡点) ，这就是s t u r m 1 i o u v i l l e 问题所研究的内容 撇开物理背景，由上述求解过程可知，用分离变量法得到的定解问题的解，其实 就是将所求的解按特征函数进行f o u r i e r 展开由于上述的特征函数系恰好是三角函 数系，因而f o u r i e r 展开是合理的但是当特征函数系不是三角函数系时，这种展开是 否合理呢? 这也是s t u r m - l i o u v i l l e 问题所研究的内容 = 阶常微分方程在常微分算子谱论中称之为微分算式，给定定义域称之为微分算 子，而微分算子加上一定的边条件在某个空间上就可以生成某个自伴算子，因而s t u r m l i o u v i l l e 问题也就成为常微分算子理论研究的对象 练上所述，在常微分算子谱论中研究s t u r m 1 i o u v i l l e 问题就是要研究由 熬箍三? ( a ，b ) 0 q 7 r o 口 7 r 生成的自伴算子的谱的特点，谱分解，特征函数零点问题及按特征展开问题，这里p ，q ，r 满足的条件是随着s t u r m - l i o u v i u e 问题的发展而变化的，下面会具体交待 对s t u r m - l i o u v i l l e 问题研究到现在已经有了很多结果。由于本文要研究特征函数 零点问题，下面我们只介绍有关特征值和特征函数零点方面的结果 1 2s t u r m l i o u v i l l e 问题的发展史及研究现状 1 2 1 最早的s t u r m - l i o u v i l l e 问题 为 最早在1 8 3 6 年s t u r m 。1 8 3 7 年l i o u v i l l e 所研究的s t u r m l i o u v i l l e 问题2 2 脚) ；- 曷y 三+ q ；y 二= 箩a y 搿塞孑二x ? e ? a , 妻b ；耋? ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 12 3 ) 令m y = 一y ”+ q y ，z f a ，6 】，由常微分算子理论知识知m 是l 2 ( ( n ，b ) ，d x ) 空 间中的对称微分算式且若令 t y = m y 口m ( m ) ) = f f l ，f a c a ，b 】，m f l 2 2 硕士论文 左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 v ( t ) = f d ( n ( 彳) ) | ，( n ) c o s o r 一a ) s i n d = 0f ( b ) c o s ，一，( 6 ) s i n 卢= 0 其中0 d ”，0s 卢 7 r ，则t 是l 2 ( ( n ，6 ) ，如) 空间中由m 生成的自伴算子 s t u r m 的主要贡献 2 】 2 8 1 是得到如下结果： ( 1 ) 自伴算子丁的特征值是实的，且为可数多个，形如 a 1 a 2 - - - n 0 像上述这样的s t u r m l i o u v i l l e 问题可归结为如下形式； f 一( p y ) + q y = a r z 【，6 1( 1 2 4 ) y ( a ) c o s c r y ( o ) s i n n = 00 茎q 0n a ，t p ，q 是【a , b 1 上的连续函数这时称上述问题为右定 情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题卿f 2 b j f 冽1 3 2 】 4 0 ) 令 m = 二( 一y ”+ q y ) 3 硕士论文左定s t u r m l i o u v i l l e 算于的特征函数的振荡问题 由于r 不是常数，此时在l 2 ( ( n ，6 ) ，d x ) 空间中m 不能生成对称算子，因而我们要在 加权空间l 2 ( ( o ，6 ) ，r d x ) 中考虑该问题在l 2 ( ( o ，6 ) ，r d x ) 中由分部积分得 ( ，9 ) = z 6 1 ( 一，”+ 口) 虿r d z = z 6 ，；( 一i i 十q 可) r d 。= ( ， f 9 ) 即m 在工2 ( ( o ，6 ) ，r d x ) 中是对称算子令 t y = m yd ( 噩( f ) ) = ，l 2 i ，f e a c a ，6 】，m f l 2 d ( t ) = ，口( 正( ，) ) l ，( 口) c o s o t 一，4 ( o ) s i n n = 0f ( b ) c o s f l f ( b ) s i n 卢= 0 ) 其中0 o 7 r ，0s 卢 7 r ，则丁是驴( ( o ，6 ) ，r d x ) 空间中由m 生成的自伴算子关 于右定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题在文献 9 1 3 1 1 3 4 】中得到如下结论 ( 1 ) t 有可数个特征值，形如 l 2 a n 0a e 。即r ( z ) 在【a b 】上变号，且r 1q l i 【n ，6 | 是实函数的情况， 我们称之为左定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题后来h w e y l 将有限区间上的s t u r m - l i o u v i l l e 问题推广到了无穷区间上，我们现在研究的左定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题 1 8 1 1 0 m 1 1 2 0 i t 4 1 j 如下 赫三弛三? ze ( a ，b ) o d 丌 0 0a , e ，r ，p ，qel 1 ( n ，b ) 是实值函数， 一o 。a b o 。在 文献【1 0 1 5 2 0 】中得到如下结论t ( 1 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 的实特征值形如 k 坷 a i 对 磅 0a e ，r ，q l 1 ( o ，1 ) 是实值函数 令 1 a y = 三( 一圹+ q y ) ，r ，q l 1 ( o ，f ) ，川 0 。e f l k = l 2 ( ( o ，f ) ，i r l ) ，【，g 】= f y r d x j 0 v ( a ) = y k l y ，y a , c 在【0 ，吼a y k n ( 1 3 2 1 ( 1 3 3 ) 成立) 则a 是k r e i n 空间( k ，【：】) 中的自伴算子，文中有详细介绍我们就是要讨论自伴算 子a 的对应于第n 个特征值a 。的特征函数妒( 聋，a 。) 在【0 ，日内的零点个数问题这 里所用的方法与文献l 1 0 1 1 1 5 1 类似 本文得到的主要结论： ( 1 ) 给出自伴算予a 的特征值的符号指标的具体形式 设a o 是a 的实特征值，代数重数为p ( a o ) ，a o 对应的特征函数为t j ( z ，a o ) ， 驺= 女型铁掣，0 = 0 ，l ，芦( ) 一1 ) ，巴( 糊一= ，轧 一- 1 ，s ( b ) 表示a 。 的符号指标，则珈，p ( 0 ) 一1 构成a 在 o 处的j o r d a n 链，且 s ( a o ) = s i g nq l ( o ) = s i g n ( c o t轧( 。) ( f ) 一吐( 蛔) ( j ) ) 蜘( f ) ，( o 卢 ”) 5 妯 “ 铿唧。嚣油“一叫墨唧。叫蝌姗 硕士论文 左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 ( 2 ) 给出特征值的符号指标与w e y l 函数以及p r f i f e r 角在该特征值处的罗朗展式 ( 泰勒展式) 的首项系数的符号之间的关系 设e ( m ， o ) ，g ( 钆( a ) ，a o ) 表示w e y l 函数和p r f i f e r 角在a o 处的罗朗展式( 泰 勒展式) 的首项系数，则 c ( m ，a o ) = 一q ( o ) 一1 ( a o ) 。 g ( 乩( u = 而丙f 丽。) - l ( s i g nc ( m ，a o ) = 一s i g nq ( 如) 一l ( a o ) _ 。= 一s ( a o ) s i g ne ( 屯( 柚，如) = s i g n 糊一l ( o ) = s ( a o ) 这两个结果在形式上比p b i n d i n g 在文献【1 5 】中研究的左定s t u r m - l i o u v i l l e 问题 ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) 时用到的结果要复杂，文献【1 5 】用到的结果是上述两个结果的一种特 例，相当于o = 卢= ；的情形，而且文献【1 5 】中没有给出严格证明这两个结果是为 下面第三个结论作准备的，在此基础上得到t ( 3 ) 设a 。是a 的正特征值，k 对应的特征函数为妒。( z ，a ) s j = s ( ) 是 的符号指标，脚是知0 = 0 ，l ，) 的代数重数 定义 引炉协襄撼萋c ，z ， 表示 ，”在【0 ，日内零点的个数， 限) ，则 t t - - 1 k 表示r = 1 时a 的负特征值的个数( 有 u 。= 一+ 岛一 特别地，当所育正特征值a l a 2 是简单的，0 不是a 的特征值，且= 。= s ( h ) = + 1 时，有 t u n = 一+ s ， j = 1 对负特征值a 一。m = 1 ，2 ) ，一。表示妒一。( ，a ) 在【0 ，目内零点的个数，则 n 一1 u 一。= ，c 一一，一；( 1 + s - n ) 这是本文的最终结果给出了自伴算子a 的第n 个特征值a 。对应的特征函数 妒( 。，h ) 在f 0 ，目上零点的个数的计算公式，是对文献 1 5 】中结论的推广文献【1 5 】中 6 硕士论文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 的结果是对具一种特殊边条件( 0 ) = ( f ) = 0 的左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子成立，我 们这里是对具一般分离型边条件的左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子都成立，这对研究特征函 数的振荡性质有重要意义 二基本知识 2 1h i l b e r t 空间算子理论有关知识 定义2 1 1 i 1 1 3 1 1 4 1 1 2 3 3 0 t 为稠定算子 注t 稠定算子不一定有界 定义2 1 2 1 1 i 3 1 1 4 2 3 驯 称定义在h i l b e r t 空间h 的稠子空间v ( t ) 上的线性算子 设t 为稠定线性算子，令 d ( t + ) = h i3 z h ，使得( t y ，x ) = ( 9 ，z ) ，v y 口( t ) t z = z ，v 。v ( t + ) 称t + 为丁的共轭算子 定义2 13 3 1 【4 】【2 q 稠定算子t 称为对称的，若 t ct + ，h p z ) ( t ) cd ( r + ) 且t + i v ( t ) = t 或 而_ _ h 且( t x ，y ) = ( z ，t y ) ，y 2 9 ( t ) 定义2 1 4 1 1 l a 4 】【2 3 】稠定算子t 称为自伴的，若丁是对称算子，且 t = t + ( 口( r ) = v ( t ) ) 定义2 1 5 1 1 1 a 1 1 4 2 4 1 ”l 设t 是闭稠定线性算予， v a c ( 1 ) 若( f t ) 一1 存在，且v ( ( a 1 一丁) 一1 ) = h ，则称a 为t 的正则点，所有这 样的a 的集合记为p ( t ) ，称为t 的豫解集 ( 2 ) 若( ，一了1 ) 一1 不存在，即j $ 0 ，s t ( 1 i t ) x = 0 ，则称 为t 的特征 值，所有这样的a 的集合记为a p ( t ) ，称为丁的点谱 ( 3 ) 若( a 一t ) 。存在，且d ( ( a ，一r ) “) h ，但口( ( a ，一t ) - 1 ) = h 这样的a 的集合记为一。( t ) ，称为t 的连续谱 所有 ( 4 ) 若( a ，一t ) 一1 存在，但万雨了二了可= 巧h ，所有这样的a 的集合记为o r ( t ) 称为r 的剩余谱 所以 c = p ( t ) t 3 a v ( t ) t j 吼( t ) u ( y r 口) 7 硕士论文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 称a ( t ) = c p ( t ) = a p ( t ) u o 。( r ) u ( t r ( 丁) 为t 的谱集 定义2 1 6 3 1 1 4 】1 2 3 1 设t 为h 上线性算子，hxh 的予空间 g ( t ) = l xe 口( t ) 称为t 的图若g ( t ) 为hxh 上闭子空间，则称丁为闭算子 定理2 1 1 1 1 l i a l 4 1 t 为日上闭算子的充分必要条件为v x 。) cd ( ? ) ，若l i m o 。= z 且l i m 。t x 。= y ，贝0o 口( t ) 且j k = y 定义2 1 7 1 t l i a ) 4 】设p 是h 上线性算予，若p 2 = p 且p 4 = p ，则称p 是正交 投影算子 定义2 1 8 【2 5 j i 冽设t 是b a n a c h 空间x 上闭算子，a o 是r 的孤立谱点，r 知 是包含 o 的简单闭曲线，r h 不包含t 的其它谱点。称 耻熹小删- 为t 和a o 的r i e s z 积分 性质t 设尸 。是t 和 o 的r i e s z 积分，则有 ( 1 ) r 。是投影算子，即咣= 尸 。； ( 2 ) k e r ( t a o ) cr a n 氏； ( 3 ) 若x 是一个h i l b e r t 空间，t 是自伴算子，则r 。是k e r ( t a o ) 上的正交 投影算子 定义2 1 9 嘲设7 是闭算子rcp ( a ) 是简单闭曲线a 是? 的特征值，r 是丁和a 的r i e s z 积分，则称d i m ( p a z n r ) 为a 的代数重数称d i m ( k e r ( t a ) ) 为a 的几何重数。 注； ( 1 ) 一般情况下几何重数代数重数( 因为k e r ( t a ) r a n 尸 ) ； ( 2 ) 令n = d i m ( r a n p ) ，v r a n p z 有( a 一 ) “咖= 0 ，曲称为r 的广义特征向 量； ( 3 ) 若t 是自伴算子。则凡何重数= 代数重数，即k e r ( t 一 ) = r a n r 22 二阶常微分算子理论有关知识 定义2 2 1 1 ：1 1 3 1 i 设，是r 上的区间，设p c 2 ( 巩q c ( i ) 是实函数，称二阶 对称微分算式m = 一d p d + g 为s t u r m l i o u v i l l e 算式，且是正则的特剐地，我们 考虑p = 1 的情况 定义2 2 ，2 【2 1 1 3 1 】设m = 一d 2 + q 是，上的微分算式，称 ，9 i ( z ) = w ( f ，可) ( z ) = ，( 。) 歹两一，7 ( z ) 歹两 8 硕士论文 左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 为m 的l a g r a n g e 双线性型 定义2 2 3 3 1 1 区间，上的二阶正则微分算式m = 一d 2 + q 在l 2 ( ，) 上生成的 最大算子定义如下 d ( 丑( 。 f ) ) = f l 2 ( ，) if ，f a g 。( ，) ，m l 2 ( ，) ) 噩( m ) ，= u f ，f 口m ( m ) ) 定义2 2 4 n 3 1 l区间j 上的二阶正则微分算式m = 一d 2 + q 在l 2 ( ，) 上生成的 最小算子t o ( m ) 定义如下 t o ( m ) = a ( m ) i 卵( ) 即 口( ( m ) ) = ，l 2 ( 驯j ，nce g o ( j ) ，s t 1 i r a = f ，l i r am a = g 死( m ) ，= g ，口( t o ( m ) ) 定理2 2 1 1 7 | 设m = 一d 2 + 口，z 【a ，6 】，提h6 】上实函数，口( ( m ) ) 的自 伴延拓定义域为 2 2 口( t ) = ，口( 孔( m ) ) l a j k f “1 ( o ) + & k f “1 ( b ) = 0 ，j = l ，2 ) = 1k = 1 其中a 一( a j k ) ，b = ( 岛k ) 满足 ( 1 ) r a n k ( a b ) = 2 ( 2 ) a 脚) - 1 a * = b f ( b ) 咖+ ，其中脚) = f ： 则系数矩阵( ab ) 可以和下面两种标准形式之一等价 。- = c o s “。s i n 。羔。卢：。p ) 耻( 髫拶b e i o 。1 ；) 其中a ，b ，c ，d ，o l ，卢均为实数，且a d b c = 1 若( ab ) 与d ，等价，则边条件可化为 称为分离型边条件 9 o 0 = | | n 口 洫 n s 吼 ， 一 一 n p 黜 叻“ ，j、l、 硕士论文左定s t u r m - l i o u v i l l c 箅子的特征函数的拯蔓塑墅 若( ab ) 与d 2 等价，则边条件可化为 。a。：。8，y。(。a，)一-。be。i。y，。(a。，)4一-y，(。b。)，二00 - y + q = y = a y , x 引0 州 妒( z ，a ) = s i n o e z c o s o + ( g ( 丁) 一a ) ( z r ) 妒( r ，a ) d r j o 且对每个固定的z 【0 ，7 r 】，妒( 。，a ) 是a 的整函数 2 3w e y l 函数与p r i i f e r 变换 由于w e y l 函数与p r i i f e r 变换对本文结论的证明起重要作用，因而要详细介绍一 下，为了后面证明的需要，我们这里定义的w e y l 函数与文献【2 中定义的有所区别， 两者相差一个符号 设t f ，( z ，a ) ，妒( z ，a ) 是( 1 3 1 ) ( 1 ，3 2 ) ( 1 3 3 ) 的满足如下初始条件 涮一= s i n c r l 妒( 0 ，a ) = 一c o s i( o ，a ) = s i n o 的解，由于 i 矿( 妒，妒) ( z ) = h 7 ( 妒，妒) ( o ) = 1 所以妒( 。，a ) ，妒( z ， ) 是( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 的两个线性无关解 显然妒( 。，a ) 满足y ( o ) c o s a g ( 0 ) s i n a = 0 ，所以a o 是( 1 3 1 ) ( 13 2 ) ( 1 - 3 ，3 ) 的 特征值的充分必要条件是 妒( f ，a o ) c o s f l 一妒( f ，a o ) s i n 启一0 ( o 卢 0 ，则口( z ， ) 关于入是单 调增的 ( 该结论在文献【2 1 中有，但没有证明。下面给出证明) 证明：设 l 0 ，所以 q l ( x ) = a i r q a 2 r q = 口2 ( z ) 由定理2 3 1 得0 1 ( x ) 8 ( x o ，a ) ：k n ( z o 茁 x 0 + 占) ( 2 ) 当z 。o 时，令妒= k n 一目，则咖( z o ) = 0 ，仍有 i 庐( 。) 一“g l h e 。h g ( 。) ：( 。sx o )i 庐( z ) 一l 2 “g ( 。) 2 ( 。s) j 所以 ( 。) ，“一h e 2 ”g ( z ) z ：( 。一一he2hg z o ) 1 1 h e ( z z 。) 】 ( 茁) 一 日g ( z ) 2 = ( z 一 一 ( z z o ) 】 j 取6 = 百1 甘，则当$ ( 。o 一占，z o ) 时，有 h e 2 ”( z o z ) 0 即 p ( z ，a ) 8 ( x o ，a ) = 砖7 r ( x o d z z o ) 由( 1 ) ( 2 ) 知o ( x ，a ) 关于x 单调埯穿过k r 口 引理2 3 3 n 1 0 1 1 15 1 1 1 q 2 0 1 1 2 1 】 o 是( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 的特征值锌o ( 1 ，k o ) 一 p + u ”其中u 为非负整数 定理2 3 ，3 1 1 q 若a o 是( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 33 ) 的特征值，妒( 。，a o ) 是k o 对应的特 征函数设妒( z ，a o ) 在【0 ，口内的零点个数为w ( a o ) ，则 口( f ，a o ) = 卢+ u ( a o ) ( 该结论在文献 1o 中有，但没有证明，下面给出证明) 证明：由p r f i f e r 变换知，当o ( z ，a o ) = k n 时， 妒( z ， o ) = p ( 。，a o ) s i n 0 ( z ，a o ) = 0 1 3 硕士论文 左定s t u r m - l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 即使得p ( 。，a o ) = ”的z 一定是特征函数妒( z ，a o ) 的零点由引理3 2 3 ，若a o 是 ( 1 31 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 的特征使，则有 o ( 1 ，a ) = 卢+ u ”这里u 是非负整数 又有定理2 3 2 知，o ( x ，a o ) 关于单调增穿过k t r ( = 1 ，2 ，) ，即p ( z ，a o ) 只能一 次穿过7 r ( = 1 ，2 ，) 所以在【0 ，q 上0 ( x ， o ) 单调增且只能一次穿过”，2 ”，u ，r 所以 u ( a o ) = u 即日( f ，a o ) = 卢4 - u ( a o ) 7 r 口 由定理2 3 3 知，若k 是( 1 3 1 ) ( 1 ，3 2 ) ( 1 3 3 ) 的特征值，妒( ，k ) 是k 对应的 特征函数，则9 ( z ，k ) 可以用来计算c f x ，k ) 在 0 ，目内的零点个数，这一结论对本文 结果的证明起重要作用 三左定s t u r m 。l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 3 1 k r e i n 空间中的自伴算子 由于左定情形的s t u r m - l i o u v i l l e 问题( 1 3 1 ) ( 1 32 ) ( 1 3 3 ) 在h i l b e r t 空间( ( o ，f ) ，) 中不能生成自伴算子，于是我们就要引进一个新的空间使得左定情形的s t u r m l i o u v i l l e 问题( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 在其上能生成自伴算子在此基础上我们才可以研究该自伴 算子的谱及特征函数零点问题我们引进的这个新空间是k r e i n 空间，下面其体介绍 一下相关内容 定义3 1 1 | 1 l l l l 2 】设是一个线性空间，赋内积h ，称( k ，卜】) 是一个k r e i n 空间，若存在分懈k = 虬o k 一使得( k ，土b 1 ) 是h i l b e r t 空间，且【a ，一1 = 0 ，v ，士k 定理3 ，1 1 | 1 1 j 设( ，卜】) 是一个k r e i n 空间，v ，k ，有，= ，+ + 1 - ，士 k ，定义算子- p t ：k _ k p t | = i t q k 、 令，= 只一n ，定义内积( ，g ) = 【j i ，g 】( f ，g k ) ，则( k ，( ) ) 是h i l b e r t 空 间其中算子j 称为是k r e i n 空间( ，土【】) 的一个基本对称算子，并且k r e i n 空间 ( 耳，士【，1 ) 中的拓扑结构与h i t b e r t 空间( k ，( - ，- ) ) 中的拓扑结构相同 k r e i n 空间中对称算子。共轭算子，自伴算子的定义与h i l b e r t 空间中的类似，这 里就不再重复下面给出k r e i n 空间中的自伴算子与h i l b e r t 空间中的自伴算子之间 的关系 定理3 12 1 1 1 1 “3 0 l 稠定线性算子月是k r e i n 空间( k ，卜 ) 中的自伴算子铮j a 是h i l b e r t 空间( k ，( ，) ) 中的自伴算子 1 4 硕士论文左定s t u r m l i o u v i l l e 算子的特征函数的振荡问题 下面说明s t u r m l i o u v i l l e 问题( 1 31 ) ( 1 32 ) ( 1 3 3 ) 在某个k r e i n 空间能生成自伴 算子，并进一步介绍该自伴算子的谱的特点。及特征函数零点问题 定理3 1 3 定义【f ，g 】= j ；：f - g r d x ，令 州 k = l 2 ( ( o ，2 ) ，) = f l f 是 0 ，f ) 上可测函数，且i f ( x ) 1 2 i r ( x ) l d z o ) a 一= z ( 0 ，f )