（概率论与数理统计专业论文）本原几乎可约矩阵的广义指数.pdf

摘要 本文主要研究本原几乎可约矩阵的后顶点指数我们采用图论的 语言来描述、用图论的技巧和方法来研究我们的问题。研究本原几乎 可约矩阵的k 指数等价于研究本原极小强连通有向图的j | 指数。1 9 8 2 年，j a r o s sl 1 1 刻划了围长为g 的玎阶本原极小强连通有向图的本原 指数( n 一指数) 最大值e x p ( 脚。，n ) 和极图赢x p ( p m s d ，h ) 1 9 9 1 年，邵 嘉裕等【2 1 刻划了靠阶本原极小强连通有向图的本原指数集( ”。指数 集) 茹x p ( p m s d ，聍) 1 9 9 9 年，柳柏濂口1 刻划了最大值e x p ( 脚。， ) ，2 0 0 2 年周波川刻划了极图赢x p ( p m s d ，后) ，但后- 指数集赢x p ( p m s d ，t ) ( 1 k n 1 ) 还没有被研究2 0 0 0 年，苗正科嘲在其博士论文中将刻划 后指数集品x p ( p m s d ，| ) ( 1 膏玎一1 ) 列为没有解决的公开问题，2 0 0 2 年 周波【4 1 也指出这是一个有意义而困难的问题本文将j a r o s s 在【1 】中 的结果推广到了| | 顶点指数，并完全地刻划了品x p ( p m s d ，1 ) 在第一章，我们介绍了一些最基本的概念和广义本原指数的研究 进展 在第二章，我们研究了围长为g 的胛阶本原极小强连通有向图的 “指数我们得到了这类图的缸指数的最大值e x p ( p 懈峨，后) ，同时也 刻划了极图赢x p ( p m s d , 。，| 】 ) 利用这个结果，我们还可以很简便地得到 e x p ( p m s d ，| ) 和赢x p ( p m s d ，詹) 在第三章，我们研究了本原极小强连通有向图的1 指数并得到 了如下一些结果： ( 1 ) 在3 1 节，我们研究了含三个以上圈长的- 阶本原极小强连 通有向图1 一指数的上界，证明了：当”1 4 且l 五( d ) 陋3 时， e x p 。( 1 ) ：1 ( 拧2 7 n + 1 6 ) ( 2 ) 在3 2 节，我们建立了连续p - 圈、连续p 一圈覆盖和连续p 一 圈链等一系列新概念，通过研究其性质以及本原极小强连通有向图的 一些新性质，我们得到了i l ( d ) l = 协们( 3 p n ) 时的n 阶本原 极小强连通有向图l 一指数的下界 ( 3 ) 在3 3 节，我们刻划了l 五( d ) b ng ) ( 3 p c 毋p + g ) 时的，2 阶本原极小强连通有向图1 一指数集 ( 4 ) 在3 4 节，我们证明了：当 1 4 时， 4 ，妻( 疗2 7 n + 1 6 ) 中的 任一个数是某个恰含两圈长的力阶本原极小强连通有向图的卜指数 ( 5 ) 在3 5 节，我们给出了一阶本原极小强连通有向图的l 一指数 下界e x p 。( 1 ) 4 并完全刻划了力阶本原极小强连通有向图的l 一指数集 面。( p m s d ，1 ) 和恰含两个圈长的月阶本原极小强连通有向图的1 一指数 集面。( p m s d ”，1 ) ：赢x p ( p m s d ，1 ) = 面( p 恻”，1 ) = s u 最u 墨，其中 s = 4 ，妄( n 2 7 n + 1 6 ) ， 最=u 【( p 一1 x g 1 ) + l ， 一1 ) ( g 1 ) + 聍一p 】， 6 篆；嚣1 。十f 萄s 。 与=u p ( q 1 ) 一( 以一g ) ( p 一2 ) ，( p - 1 ) ( q 1 ) + 以一p 6 苔：青1 。_ j 蓦| ) 一 关键词本原矩阵，几乎可约矩阵，极小强连通有向图，j i 指数 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h e k - e x p o n e n to fp r i m i t i v e ， n e a r l yr e d u c i b l em a t r i c e s w eu s eg r a p h t h e o r e t i cv e r s i o nt or e l a t e ，u s e g r a p h - t h e o r e t i cm e t h o d sa n dt e c h n i q u e st op r o v eo u rr e s u l t s t h ea s s o c i a t e d d i g r a p ho fap r i m i t i v en e a r l yr e d u c i b l em a t r i xi sap r i m i t i v e m i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p h i n19 8 2 ，j a r o s s c h a r a c t e r i z e dt h e m a x i m u me x p ( p m s d ，川a n de x t r e m a ld i g r a p h s 赢x p ( p m s d ，g ，功o ft h e e x p o n e n to fp r i m i t i v em i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p h sw i t h ”v e r t i c e sa n d g i r t hg i n1 9 9 1 ，j i a y us h a o 2 1c h a r a c t e r i z e dt h ee x p o n e n ts e t ( n a m e l y t h e 舻e x p o n e n ts e t ) 翕x p ( p m s d ，船) i n1 9 9 9 ，b o l i a nl i u f 3 】c h a r a c t e r i z e d t h em a x i m u me x p ( p m s d ，j | ) i n 2 0 0 2 ，b oz h o u 【4 1c h a r a c t e r i z e dt h e e x t r e m a l d i g r a p h se x p ( p m s d 。，j i ) h o w e v e r , t h ek - e x p o n e n ts e t s e x p ( p m s d ，后) ( 1 j 靠一1 ) a r en o tc h a r a c t e r i z e dy e t i n2 0 0 0 ，z h e n g k e m i a o ”1 s u g g e s t e dt h a tt h ec o m p l e t ed e t e r m i n a t i o no f 面( 删觋，后) i s a no p e np r o b l e mi nh i sp h d d e g r e et h e s i s b oz h o u 4 1 p o i n t e do u tt h a t t h e c o m p l e t ed e t e r m i n a t i o no f 茹x p ( p m s d ，七) i sa n i n t e r e s t i n ga n d d i f f i c u l tp r o b l e m i nt h i st h e s i s ，w eg e n e r a l i z et h er e s u l t so f ( 1 】1 t ot h e c a s eo f t h ek - e x p o n e n la n dc o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z e 赢x p ( p m s d ，1 ) i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c eaf e wb a s i cc o n c e p t s ，s u m m a r i z et h e b a c k g r o u n da n da d v a n c e m e n to ft h er e s e a r c h0 ng e n e r a l i z e de x p o n e n t s i nc h a p t e r2 ，t h ek - e x p o n e n t so f p r i m i t i v e m i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p h s w i t h 力v e r t i c e sa n dt h eg i r t hga r es t u d i e d w eo b t a i nt h em a x i m u m e x p ( p m s d i ) a n dt h ee x t r e m a ld i g r a p he x p ( p m s d 七) b yt h i sr e s u l t ， w ec a l lo b t a i ne x p ( p m s d ，豇) a n d 赢x p ( p m s d ，| 】 ) e a s i l y i nc h a p t e r3 ，l - e x p o n e n t so fp r i m i t i v em i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p h sa r e s t u d i e d t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d ： ( 1 ) i ns e c t i o n3 1 ，w es t u d yt h eu p p e rb o u n do f1 一e x p o n e n t so f p r i m i t i v em i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p h sw i t h 门v e r t i c e sa n dn o tl e s s t h a n t h r e el e n g t h so fc y c l e s w ep r o v et h er e s u l tt h a ti f 聆1 4a n di 工( d ) i 3 ， t h e n e x p 。( 1 ) = 1 ( 拜2 7 摊十1 6 ) ( 2 ) i ns e c t i o n3 2 ，w ed e f i n eas e r i e so fn e wc o n c e p t ss u c ha st h e c o n s e c u t i v ep - c y c l e ，t h ec o n s e c u t i v ep - c y c l e sc o v e ra n dt h ec o n s e c u t i v e p - c y c l e sc h a i n ，a n ds oo n b ys t u d y i n gt h e i rp r o p e r t i e sa n daf e wn e w p r o p e r t i e so fp r i m i t i v em i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p h s ，w eo b t a i nt h e l o w e r b o u n do f1 - e x p o n e n t so f 也ep r i m i t i v em i n i m a l l ys t r o n gd i g r a p hdw i t h 门v e r t i c e s a n dl ( d ) = ( p ，q ) ( 3 p 1 1 ) ( 3 ) i n3 3 ，w ec h a r a c t e r i z et h e1 - e x p o n e n ts e t o ft h e p r i m i t i v e m i n i m a l l ys 仃o n gd i g r a p h sdw i t hn v e r t i c e sa n d 三( d ) = 只曲( 3 p 玎1 ( 4 ) i n3 4 ，w ep r o v et h a ti f 即1 4 ，t h e nv m 【4 j ，i 1 月2 7 ”+ 1 6 ) 】， t h e r ee x i s t sad i g r a p hd p m s d j 2 s u c ht h a t 麟p d ( 1 ) = ( 5 ) i n3 5 ，w eo b t a i nt h er e s u l tt h a te x p d ( 1 ) 4 f o rdp m s d ，a n d w ec o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z ee x p ( p m s d ，1 ) a n d 面( m 舳阳) ： 面( p m s d ，1 ) = 面( 尸脚孑，1 ) = s u u s ， ( p 1 ) ( g 一1 ) + 胛一p 】， 2 ) ，( p 一1 x q 一1 ) + 门一p k e yw o r d sp r i m i t i v em a t r i c e s ，n e a r l yr e d u c i b l em a t r i c e s ，m i n i m a l l y s t r o n gd i g r a p h s ，k - p o i n te x p o n e n t s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的闻志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 储虢避吼丝趾月堕日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名： 导师签名基垒垒日期：2 1 年卫月匝日 博土学位论文 第一章引论 第一章引论 组合矩阵论是近三十年来兴起并发展迅速的一个数学分支，它用矩阵和线性 代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述和分类。同时，也把组合论的思想 和论证方法用于矩阵的精细分析及揭示阵列的内在组合性质。组合矩阵不仅与众 多的数学领域( 数论、线性代数、图论和概率论等) 有密切的联系，而且在信息 科学、社会学、经济数学和计算机科学等许多方面都有具体的应用背景。 非负矩阵的幂序列是组合矩阵论中一个重要研究领域。不可约矩阵在非负矩 阵中占有十分重要的地位。几乎可约矩阵是最小不可约矩阵。所以研究几乎可约 矩阵的幂序列是很有意义的。 1 。1 基本概念 这一节我们介绍几个最基本的概念，在以后的章节中我们将适时再引入一些 概念。 设爿是一个胛阶非负矩阵，如果存在一个置换矩阵p 使得 p t a p ：i b f f 其中b ，d 为非空方阵，则称一是可约的，否则称为不可约的。如果彳是个不可 约矩阵，但把4 的任一非零元素变为“0 ”，都将把4 变成一个可约矩阵，那么 我们称a 为几乎可约矩阵。就是说几乎可约矩阵是最小不可约矩阵。由于不可约 矩阵在非负矩阵论中的重要地位，所以研究几乎可约矩阵具有重要的意义。 博士学位论文 第一章引论 个刀阶非负矩阵a 称为是本原的，如果存在正整数七使a 。 0 ，这样的最 小的k 称为4 的本原指数。记为r ( a ) 。显然，矩阵的本原性与本原指数只与这个 矩阵的零位模式有关。因此，研究非负矩阵的本原性与本原指数只需研究具有相 同零位模式的( o ，1 ) 布尔阵就可以了。有向图是刻划布尔矩阵零位模式的典型组合 模型。一个阶布尔方阵a = ( ) 对应于一个月阶有向图d ( a ) = ( v ，e ) ，顶点 集矿= ( v l ，v ：，v 。) ，e 为弧集，其中a o = i 当且仅当( q ，叶) e e 。d ( “) 称为a 的 伴随有向图。反过来，给定一个有向图d ，就有相应的布尔阵a ( d ) 。 设d = ( v ，e ) 表示一个具有打个顶点的有向图。d 中从顶点“到顶点v 的长为 p 的途径( 、砚l k ) 万( 或z ，胁) 是指”- - ) u 斗“2 甘斗”，= v ( 这里x 寸 y 指x 到y 的一条弧) ，其中的顶点可以重复，我们记为7 ( = u w v ) 2 ，l ，“：，“。，v ) ， 其长用即( 万) ( 或r l ( u w v ) ) 表示，”称为万的起点，v 称为7 t 的终点，甜l ，如，“。 称为筇的内部顶点。若”= v ，称万是闭途径。如果石中所有点均相异( 从而弧也 相异) 称n 是一条长p 的路( p a t h ) 。若刀中除“= v 外，所有顶点都相异，则 称万为长为p 的圈( c y c l e ) ( 或闭路) 。长为l 的圈称为环( 1 0 0 p ) 设彳为押阶布尔阵，a 。= ( 够) ，那么我们有瓯7 ：d “) 中存在从u 到_ 的 长为p 的途径铮霄 0 d ( a ) 中有弧( v ，v j ) 从而我们可以用图论的语言给 出本原指数的定义。设d = ( 矿，e ) 为有向图，若存在正整数k ，使对于d 中任意 两点v ，v ，存在从k 至l j v ) 的长为k ( 从而有大于) 的途径，则称d 是本原的， 这样的最小的k 称为d 的本原指数，记为r ( d ) 显然r ( d ) = y ( 彳) 。 设d = ，e ) 是一个有向图，如果对d 中任意两个顶点u , v ，在d 中存在从 “到v 和从v 到“的途径，则称d 是强连通的。如果一个强连通有向图d 中去掉 任何一条弧所得的有向图不是强连通的，我们称d 是极小强连通的。我们知道， 博士学位论文 第一章引论 矩阵a 不可约当且仅当d 似) 强连通，a 几乎可约当且仅当d 0 ) 极小强连通。 1 9 9 0 年，ra b r u a l d i 和柳柏濂嘲基于无记忆通讯系统的背景将本原指数作 了推广，引入了三个广义本原指数：露顶点指数，k 重上指数和k 重下指数。考 虑种无记忆通信系统：它表现为一个带，个顶点的有向图d ，假设在时间t = 0 时，d 中的k 个顶点( 1 j s n ) 掌握着各自不同的信息，当f _ 1 时，每个顶 点把它掌握的信息传递给该点所有出弧的终点，而自己却失掉( 忘记了) 这个信 息。当然，它可以同时接受来自该顶点所有入弧的起点的信息。以这种方式继续 不断地传递信息，现在要问：使d 中每个顶点都同时掌握原来的七个信息所花 的最短时间是多少? 如果初始时间的后个顶点掌握着同一个信息，那么又需要多 少时间，才能使d 中酌每个顶点都掌握着这个信息? 设d = ( 玎e ) 为有向图，顶点集v 2 “，v 2 ，v 。) ，e 为弧集，i i e x e x p o ( v , ，q ) = ：这样最小的整数p ，使对于每一个整数f p ，从顶点v 到顶点v j 都有长为f 的 途径( 1 f 雎) ，e x p 。( v i ) 2 m ，。a x ( e x p 。( i ，匕) ) 为顶点v 的指数a 我们将j 9 中各 顶点的指数按从小到大的顺序排列：e x p 。( ) e x p 。( k ) _ e x p 。( 、) ，我们称 e x p 。( v l 。) 为d 的| 顶点指数( 简称肛指数) ，i 汹e x p 。 ) ( 或e x p ( d ，七) ) ，这正 是无记忆通讯系统中，把k 个不同信息同时传递到每个顶点所花费的最短时间。 显然地， y ( d ) 5 唧。( 玎) 5 秽 e x p 。( q ) ) _ w m a x ， 。x p 。( v j ，o ) ) e x p d ( 拧) + 。，则d 是本原的 设逛矿( d ) ，i x i = k 我们定义集指数e x p d ( x ) ：= 这样最少的整数p ，使 得对于d 中的每一个顶点v ，从x 中至少有一个点，存在从此点到h 的长为p ( 从 而大于p ) 的途径。定义 博士学位论文 第一章引论 ( d ，七) ir a i n e x p 。( ) ) ，f ( d ，j ) 2 搿 e x p 。( x ) ) ， t x l = k w 2 我们称，( d ，n 为d 的第k 重下指数，这正是无记忆通讯系统中，把个信息从 七个顶点传递到每个顶点所耗费的最小时间。我们称f ( d ，的为d 的第k 重上指 数，这正是无记忆通讯系统中，把个信息从j 个顶点传递到每个顶点所耗费 的最大时间。 由于布尔阵与有向图的对应关系，我们也可相应地用矩阵的语言给出三类广 义指数的定义。设4 为刀阶布尔阵，e x p 。( i ) ( 或e x p ( 爿，厅) ) 是a 的最小幂指数， 使得在这个幂中，存在i 个全1 行。“，是彳的最小幂指数，使得在这个幂 中，存在着k 行组成的子矩阵，此子矩阵无零列。f ( a ，) 是彳的最小幂指数， 使得在这个幂中，不存在k 行组成的子矩阵，此子矩阵有零列。 为方便起见，我们记陋，6 】= l 小z ，a 掰6 ) ，用l a j 表示不超过d 的 最大整数，用卜1 表示不小于4 的最小整数用l s i 表示集合s 中元素的数目我 们用足 ) 表示在有向图d 中从顶点”出发经f 步途径能到达的顶点的集合( 规定 民国) = 扣) 1 2 本原指数与广义本原指数的研究进展 设q 。是某聍阶布尔矩阵类，e ( a ，j 】 ) e x p ( a ，n ，( ，_ | ) ，f ( a ，后) ) 。记 y ) 2 赌 y ( 4 ) ，8 ( q n ，量) 2 搿 。( 4 ，哦 y ( f k ) = 4 f a q 。，r ( a ) = ，( q 。) ) ，p ( q 。，k ) = a f 一q 。，e ( a ，后) = 8 ( n 。，七) ) ， z ( n 。) = r ( a ) i a q 。) ，e ( n 。，k ) = e ( a ，k ) i a q 。) 我们研究的问题主要有三个： 4 博士学位论文 第一章引论 上界估计( 最大值问题) ：确定y ( q 。) ，e x p ( q 。，| ) ，f ( n 。，七) ，f ( d 。，) ( 二) 极阵问题：刻划多( q 。) ，i 面( q 。，印，7 ( n 。，七) ，乒( q 。，东) 指数集问题：刻划；( q 。) ，；而( q 。，| ) ，7 ( q 。，后) ，尹( q 。，尼) 下面，我们就各类矩阵分述其研究进展： 1 一阶本原阵( p m 靠) ( 1 ) 本原指数研究 1 9 5 0 年，hw i e l a n d t 9 1 首先刻划了y ( 删。) = 即一1 ) 2 + l ( 皇由。) ，并刻划了极 矩阵y ( p m ) = m 1 a 置换相似于) ，其中 耽= 0l o0 ttt o0 oo 1l o 1 -， 0 0 o oo oo l0 01 oo = ( 1 9 6 4 年，al d u l m a g e 和nsm e n d e l s o h n 呷1 给出了以d “) 的最小圈长g ( 围长) 为参数的本原指数的最好上界r ( a ) 即+ g 即一2 ) 。1 9 8 5 年，邵嘉裕1 刻划了使 r ( a ) = 髓+ g o 一2 ) ( g 2 ) 的极矩阵。1 9 9 1 年，柳柏濂和邵嘉裕刻划了使y 似) = n + g 一2 ) 国= 1 ) 的极矩阵。1 9 9 5 年，沈健m 1 刻划了以4 的最小多项式的次数m 为参数的本原指数的上界，( 4 ) 1 ) 2 + 1 ，1 9 9 6 年，沈健叫1 刻划了使y ( 4 ) = ( m 1 ) 2 + 1 的极矩阵。【1 4 】刻划了以d ( 4 ) 的直径d 为参数的本原指数的上界 r ( a ) d 2 + l ，1 9 9 6 年，s n e u f e l d “】刻划了使y ( 4 ) = d 2 + 1 的极矩阵。非负矩阵 a 的布尔秩是最小整数k ，使得对某个非负矩阵邑。和q 一爿和b c 有相同的( o ， 1 ) 模式矩阵。1 9 9 5 年，d ag r e g o r y , s j k i r k l a n d 和njp u l l m a n “1 刻划了 e 堕主兰垡堡苎； 篓二童! ! 笙 以a 的布尔秩b 为参数的本原指数的上界：y ( 爿) s ( 6 1 ) 2 + 2 对于2 蔓6 力一i 【1 6 】也刻划了取得这个上界的极矩阵。 1 9 6 4 年，a ld u l m a g e 和nsm e n d e l s o h n 7 1 揭示了；( p 彳。) 中存在缺数 段幢卵) 1 9 8 1 年，ml e w i n 和yv i t e k m l 给出了一个确定【l 珊。2 j + l ，棚。 中的所 有缺数段的一般方法，并猜想 1 ，l 国。2 j + l 】问不存在缺数段。1 9 8 5 年，邵嘉裕 证明了对于充分大的n ，l e w i n - v i t e k 的猜想是正确的，且4 8 仨x ( p m t l ) 1 9 8 7 年，张克民【2 0 】证明了：除了4 8 盛f , ( p m , 1 ) 以外，l e w i n v i t e k 的猜想是正确的， 从而多( p m 。) 被完全刻划出来了，即 芗( 尸坂) = 【l ，l 譬i + l 】uu 【p ( g 一1 ) ，p ( q 一2 ) + 叫1 1 ) l oj p q e n 墨弱 ( 尸 彳+ ，) = 【l ，4 7 w 4 9 ，5 1 1uu 【p ( q 1 ) ，p ( q 一2 ) + 1 1 】 ( 2 ) 缸指数研究 1 9 9 0 年，r ab r u a l d i 和柳柏濂9 御l je x p ( p m 。，七) = 力2 3 n + 2 + k 1 9 9 4 年， 邵嘉裕，王建中和李桂荣：t 1 刻划了；而( 尸m 。，七) 对赢x p ( p m 。，j 】 ) ，显然e x p ( p m , , n ) ：多( 删。) ；对于l 女聆一l ，1 9 9 8 g ，沈建和s n e u f e l d 刻划了 ；虱p m 。，1 ) = 【l ，：1 ( h 2 3 n + 4 ) 1 wu 【( p 一1 ) ( q 1 ) 一，p ( q 一2 ) + ”理+ 1 1 二 2 s p q e n & 箱 2 0 0 0 年，苗正科和张克民5 矧刻划了品x p ( p m 。，女) ( 2 n 1 ) ( 3 ) 第詹重下指数研究 d ( a ) j f f 一个长为s 的圈( 1 5 刀) ra b r u a l d i 和柳柏濂8 1 证明了 朋，吣仁幺+ u 霎篁如 6 博士学位论文 第一章引论 柳柏濂n 2 4 矧证明了：若| | j 5 ，贝, j j f ( a ，量) l + 昙 一丘一1 ) 迄今，f ( p m 。，靠) 没 有被确定，【8 】猜想 f ( p m , 小伽士z ) l 字h 竿卜 ( 4 ) 第k 重上指数研究 设g 是d ( a ) 最小圈长。1 9 9 4 年，柳柏濂，李乔良i i e n y j 了： f ( a ，| i ) g ( ，一k ) + ( n g ) ( 1 k ”一1 ) ， f ( p m 。，k ) = ( ”一| | ) ( 肝一1 ) + i ( 1 k n i ) 1 9 9 8 年，柳柏濂和周波印1 ，sn e u f e l d 和沈建1 刻划了f ( p m 。，七) 2 7 】证明 了f ( p m ，膏) ( 1 s 南以一4 ) 存在缺数段，f ( p m , ，七) ( 七= 栉一2 ，栉一1 ) 不存在缺数段。 1 9 9 9 年，周波1 研究了f ( p m ，狞一3 ) 但f p m 。，i ) 仍未解决。 2 恰含d 个正对角元的胛阶本原矩阵( 尸卅) ( 1 ) 本原指数研究 1 9 5 8 年，jch o l l a d a y 和r s v a r g a 啪1 证明了r ( a ) 2 n d 一1 郭忠”和 柳柏濂m 1 刻划了 y d ，= 舷譬：霎竺琏 1 9 9 1 年，柳柏濂和邵嘉裕1 2 1 刻划了八- r d ) 。 ( 2 ) k 一指数研究 1 9 9 9 年，柳柏濂、周波和李乔良d 3 1 刻划了 e x 一( p d a 。= b 小后，鬻囊一 2 0 0 1 年，苗正科，潘林强和张克民部分地刻划了极矩阵面( 删，七) ， 3 4 】 也完全地刻划了i 指数集 博士学位论文第一章引论 萄c 峭，谁2 小诈篙黧。 3 恰含d 个正对角元的h 阶对称本原阵( 尸s ：) 1 9 9 7 年，高玉斌和邵燕灵”1 刻划了f ( j 增? ，后) 和k 重上指数集，( 尸群，j ) 。 2 0 0 0 年，邵燕灵【3 6 1 刻划了极矩阵f ( p ，i ) 。 4 恰含d 个正对角元的n 阶非对称本原阵( p n s ：) 对2 k n 一1 ，2 0 0 1 年，邵燕灵和高玉斌【3 7 1 证明了f ( 删，k ) 2 n kd ， 并刻划了极矩阵芦( 尸峭，膏) 和上指数集尹( m f 础，| | ) = 1 ，。2 n k d 】。 5 ”阶本原竞赛阵( 尸n ) ( 1 ) 本原指数研究 1 9 6 7 年，j w m o o n 和n j p u l l m a n 3 8 】刻划了最大值r ( p e ) = + 2 印兰5 ) ， 也刻划了极矩阵孑( p ) 和指数集多妒) = 【3 ，h + 2 】0 6 ) 。 ( 2 ) k 指数研究 1 9 9 4 年，柳柏濂得到e x p 妒，后) = k + 20 7 ) ，2 0 0 2 年，周波和沈建 刻划了k 一指数集e x l j ( p t ，膏) = 3 ，k + 2 】0 7 ) 。 ( 3 ) 第| j 重下指数研究 柳柏濂，柳柏濂和王燕州1 得到了最大值 f 3 ，若k = l ，雄4 ，( p 五) = 2 ，若j = 2 ，船4 或| i = 3 ， 1 1 ， 1 1 ，若| = 3 ，3 l o 或| 3 ，4 玎k 2 2 2 ( 4 ) 第k 重上指数研究 1 9 9 5 年，柳柏濂脚1 证明了 即孙卜nk + 凳i 。 博士学位论文 第一章引论 2 0 0 2 年，周波和沈健刻划了上指数集f ( p ，) 6 ”阶完全不可分阵( r ) 和”阶几乎可分阵( n d 。) 芦呱朋= 1 1 1 ；：叫蓁竺： ，c肌也，=茎亍11主耋=5萌勋i。(m。d 4 ) 博士学位论文 第一章引论 ( 2 ) k - 指数研究 1 9 9 4 年，柳柏濂”1 得到了e x p ( p d s ，1 ) 。迄今，e x p ( p d s ，| 】 ) ( 2 k ”一1 ) 仍 未解决。 8 疗阶本原循环阵( p g ) 1 9 7 4 年，khk i m 和jrk r a b i l l 5 0 1 得到了t ( p c ) = n - i 1 9 9 0 年，黄道 德1 刻划了极矩阵孑( 粥。) 迄今，芗( p c ) 未被解决。 9 疗阶对称本原阵( 户) ( 1 ) 本原指数研究 1 9 8 6 年，邵嘉裕m 1 证明了y ( 尸邑) = 2 n 一2 ，并刻划了极阵多( 朋。) 和指数集 多( 朋。) = 1 。2 n 一2 ”s ，其中s 是指h ，2 n 一2 1 中的奇数构成的集合。 ( 2 ) k - 指数研究 1 9 9 0 年，r a b r u a l d i 和柳柏濂【8 | 证明了e x p ( p s ，露) = n 一2 + k 。1 9 9 4 年， 邵嘉裕、王建中、李桂荣1 刻划了极矩阵；蜀( 尸s 。，露) 。1 9 9 5 年，李彬、邵嘉裕【5 3 1 亥4 划了e x p ( p s ，k ) = 【1 ，n - 2 + k 】( 1 k 聍一1 ) 。 ( 3 ) 第k 重下指数研究 1 9 9 0 年，ra b r u a l d i 和柳柏濂嘲证明了 魍朋可尚一 1 9 9 5 年，李彬和邵嘉裕【5 3 垓0 划了下指数集7 ( p 鼠，| 】 ) ( 4 ) 第k 重上指数研究 1 9 9 0 年，ra b r u a l d i 和柳柏濂引证明了f ( 飓，| i ) = 2 ( n 一) 1 9 9 7 年，柳 柏、高玉斌、邵燕灵5 4 1 刻划了极矩阵f ( 朋。，后) 1 9 9 5 年，李彬、邵嘉裕邮1 刻划 了上指数集f ( 朋。，k ) 。 博士学位论文 第一章引论 1 0 厅阶迹为零的对称本原阵( 尸s ：) ( 1 ) 本原指数研究 1 9 9 0 年，柳柏濂，bdm c k a y , n w o r m a l d 和张克民1 5 5 1 证明r ，( 唆) = 2 n 一4 并刻划了极矩阵孑( 船：) 和指数集多( p 掣) = 2 ，2 n 一4 】s ，其中s 是指 【2 一2 ，2 n 一5 】中的奇数构成的集合。 ( 2 ) 肛指数研究 1 9 9 3 年，柳柏濂瞬1 得到了 f n - 2 ，若劝偶数r k = l ，2 ， e x p ( 尸霹，k ) = 胛一l ，若n 为奇数且尼= 1 ，2 ， l 疗一4 + k ，若3 k n 1 9 9 7 年，邵嘉裕和李彬御1 刻划了k 指数集 ；昂( 尸霹，七) = 【2 ，e x p ( p s 。，j i ) 】( ”3 ，l j 】 刀一1 ) 迄今，；而( p s o ，i ) 未被刻划。 ( 3 ) 第k 重下指数研究 1 9 9 7 年，邵嘉裕和李彬1 5 7 证明了 - 厂( p 醒) = 赫 ，弘z 挑渤 孚1 并刻划了；- ( p s , o ，j | ) = 1 ，( p 。o ，| | ) 】 ( 4 ) 第k 重上指数研究 1 9 9 7 年，邵嘉裕和李彬田1 证明了 若k = 3 博士学位论文 第一章引论 ，( ，研，k ) = 2 ( n - t 一1 ) ，若七三， 2 ( ? 1 - - | j ) 一l ， 若= 丁n + l 印为奇数) ， 2 ( n 一| 】 ) ，靴罢+ 1 并刻划了声( p s o ，_ i ) = 【l ，f ( 尸磷，女) 】2 0 0 5 年，陈余喜梆1 刻划了极图 1 1 其伴随有向图d ( a ) 的最短奇圈长为，的即阶对称本原阵( p s ，) ( 1 ) k - 指数研究 1 9 9 7 年，ra b m a l d i 和邵嘉裕证明了 唧，轳m a x 卜孚叶譬j _ l 若b i 胛一l + ( 后一，) ， 若，j | 刀 并刻划了极矩阵e x p ( p s ，豇) 2 0 0 0 年，邵燕灵和高玉斌1 刻划了k - 指数集 e x p ( p s 。k ) ( 2 ) 第丘重上指数研究 1 9 9 8 年，高玉斌和邵燕灵6 1 垓0 划了j f ( 飓，i ) 。2 0 0 0 年，邵燕灵和高玉斌1 刻划了极矩阵f ( 隅。詹) 1 2 阶中心对称本原阵( 尸c s ) 和”阶迹为零的中心对称本原阵( p ( 嚣：) ( 1 ) 本原指数研究 1 9 9 6 年，本人m 1 证明了r ( p c s ) = 一一1 ，并刻划了芗( p c 咒) = 【l ，聍一1 最 近，陈余喜m 1 刻划了极矩阵多( p 呱) 1 9 9 8 年，本人忡1 刻划了指数集 多妒c 霹) = 1 ，玎一l 】s ，其中s 是和一2 ，n 一1 中的奇数构成的集合- ( 2 ) k - 指数研究 最近，陈余喜，柳柏濂啡1 刻划了最大值e x p ( p c s 。，k ) 1 3 含有至少一对非零对称元的玎阶非对称本原阵( p q 。) 博士学位论文 第一章引论 1 9 9 9 年，高玉斌和邵燕灵即1 刻划了t 重上指数集声( 月q 。，膏) 1 4 n 阶本原几乎可约阵( p ) ( 1 ) 本原指数研究 【1 ，2 ，6 8 ，6 9 ，7 0 ，7 1 研究