（基础数学专业论文）椭圆方程组解的不存在性与存在性研究.pdf

椭圆方程组解的不存在性与存在性研究 基础数学专业 研究生何丹率指导教师蒲志林教授 论文摘要：本文主要研究了三类非线性椭圆型方程组第二章研究了一类耦 合k l e i n - g o r d o n - b o r n - i n f e l d 方程，运用了p o h o h e v 恒_ 等式的一些变形等式得到方 程组解的不存在性；第三章研究了一类缺乏紧性非合作椭圆系统解的不存在性；第 四章运用勿山路引理得到了一类半线性合作椭圆系统在无界区域上的径向对称 解 关键词：k l e i n - g o r d o n - b o r n - i n f e l d 系统；非合作椭圆系统；合作椭圆系统；不 存在性；强不定泛函；有界状态i 缺乏紧性 第i 页，共3 0 页 n o n - e x i s t e n c er e s u l t sa n de x i s t e n c er e s u l t sf o rt h e e l l i p t i ce q u a t i o n s a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h r e en o n l i n e a re m p t i ce q u a t i o n s i n c h a p t e r2 w eo b t a i ns o m en o n - e x i s t e n c er e s t d t sf o rt h ek i e i n - g o r d o n - b o m - l n f e l d e q u a t i o n s t h em e t h o dr e l i e so nt h ed e d u c t i o no fs o m es u i t a b l ep o h 确a 吖i d e n - t i t yw h i c hp r o v i d e sn b 镕缸yc o n d i t i o n st dg e te x i 础e l i c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n s ； i nc h a p t e r3 w eo b t a i n8 0 m en o n - e x i s t e n c er 训t 8f o ra n o n - c o o p e r a t i v ee l l i p t i c s y s t e mw i t hl a c ko fc o m p a c t n e s s ；i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i n 幽t e l ym a n yr a d i * a l l ys y m m e t r i cs o l u t i o n so fas e m i l i n e a rc o o p e r a t i v es y s t e mo nt h eu n b o u n d e d d o m a i n t h em e t h o dr e l i e so n 磊v l 日 s i o no ft h em o u n t a i np a s st h e o r e m k e y w o r d s ：t h es y s t e mo fk l e i n - g o r d o n - b o m - l n f e l d ；n o n - c o o p e r a t i v ee l l i p t i c s y s t e m ；c o o p e r a t i v ee l l i p t i cs y s t e m ；n o n - e x i s t e n c e ；s t r o n g l yi n d e f i n i t ef u n c t i o n a l ； 1 8 c ko fo 呦p a c t n 嘲 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 确彬 本人声明：所呈交学位论是本人在导师 菹蠢挂熬援 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：4 i 1 甘竿 刃印年5 月毡日 第一章引言 随着椭圆方程理论的发展，非线性椭圆方程这一领域成为偏微分方程的前 沿方向之一在物理，化学、生物学等许多学科中大量出现，在很多实际应用 中和问题的研究中也经常遇到，因此对它的研究具有重要意义 非线性椭圆方程一般不具备线性椭圆方程具有的许多良好性质例如线性 椭圆型方程除了具有弱极值原理外，还具有强极值原理。而绝大多数非线性算 子只具有弱极值原理有关非线性算子强极值原理的结果还只局限于非退化 的p - l a p l a c i s n 算子，= 击口( 1 v t l p - 2 v t i ) 文f 1 】中证明了p 在具有一个连续、 单调不减且满足一定积分关系的控制函数时的强极值原理另外，非线性算子与 线性算子对应的基本问题中还有许多没有得到解答，如特征值问题文【2 j 中利 用b a n a c h 空阃中闭对称子集7 ( 锄概念，可以用 厶l v v l p d x 机2m j a e k m a z v e a 彳1 磊石 刻画出色的无穷多个特征值，但这样刻画出的特征值是否是p 的全体特征值还 不能确定非线性结构带来的不仅是技术上的困难，它也使得每一个具体的问 题具有极强的个性 至今，线性椭圆方程解的存在性和正则性已经得到了充分的研 究( 文【4 1 5 】| 6 】) ，形成了全面而系统的理论然而非线性的情况与线性的情 况相比，这些方面的研究只有零星的结果，文【7 】中证明了半线性椭圆方 程一t = ，( 霸的d i r i c h l e t 问题存在一正一负两个弱解，并且都是古典解，其 中右端项f ( x ，让) 满足：( 1 ) 在菇x 肚是局部l i p e c h i t z 连续的；( 2 ) 次临界增长； ( 3 ) f ( x ，= o ( 1 u 1 ) ，u o ；( 4 ) 满足( a r ) 条件文1 8 】中对同样的问题作了进一步 阐述，指出了解的光滑性可随着区域q 和，眩扯) 的光滑性提高而提高文【9 】中 运用伪单调算子理论于非线性椭圆型方程等边值问题得到弱解后，使用1 e r a y - s c h s u d 口不动点理论得到了俨o ) 解，并使用伽辽金逼近方法得到了弱解 与古典解的唯一性对结构更为复杂的拟线性椭圆型方程研究的成果还有 第1 页，共3 0 页 第一章引言 文【1 0 】，i n ， 1 2 1 文 1 3 】中作者利用文【1 4 】中结果对逼近问题进行了估计后，得到 了一个p o h o z a e v 型等式，证明了对应拟线性椭圆方程弱解的不存在性文 a 2 l 中 在有界区域n 上对二阶退化且强制的拟线性方程一出 ( d ( z ，u ) v u ) = ，进行了研 究，得到了关于可积性的正则性结果 本文主要研究的就是一些具有重要物理、生物及化学背景的非线性椭圆 型方程组解的不存在性与存在性在介绍本文研究的主要问题之前将给出相关 的研究方法 1 1 变分法 本文考虑的方程和方程组都具有变分结构，即它们是某些泛函所对应 的e u l e r - l a g r a n g e 方程 在物理学中，能量总是遵从着一条极大或极小的规律，而能量往往可以用积 分表示，所以用数学的语言来描述这种规律的实质就是相应的泛函存在极值 点通常所说的变分问题就是积分表达式的极值问题物理学中的一些变分问 题直接与l a p l a c e 方程与p o i s s o n 方程的定解问题对应对于某些形状特殊的区 域，比如球，可以通过构造g r e e n 函数来求出它们的显示解但这样的情形毕竟 很少，对于一般区域，通常使用变分法讨论问题的可解性微分方程中变分方法 就是把方程边值闯题转化为变分问题证明解的存在性，解的个数及求近似解 的方法引起变分法这一分支学科产生的第一个著名变分问题是最速下降问题， 它由j o h a n n b e r n o u l l i 于1 6 9 6 年在教师学报上提出1 9 9 0 年在巴黎举行的国 际数学家大会上，h i l b e r t 提出了著名的二十三个问题，其中三个与变分问题有 关从此，变分理论的研究获得了巨大的推动 古典变分法即直接变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点在 一定条件下，确定泛函的极值点与确定微分方程边值问题的解可以相互转化 对p o i s s o n 方程的d i r i e h l e t 问题， l ( u ) 一言j v u l 2 如一n 如 是与之对应的泛函假凯础( 为泛函f 在磁 上的极值元，比如极小 h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m 第2 页，共3 0 页毕业论文 第一章引言 元尉v 妒c 矿和r 有缸+ 妒嘲( n ) 记 f 仁) = j 心+ 荆= ；上l v 。+ 印) | 2 如二上，( 珏+ e 谚如 因为”是，( u ) 在嘲( n ) 上的极小元，作为e 的普通函数，f ( 0 在s = o 时取最小 值，于是有，( 0 ) = 0 ，由此可知 吁- v 讲豳一于品：1 0 ，n ，o 这表明函数的极小元t i 即p o i s s o n 方程的d i r i c h l e t 问题的弱解由于线性方程问 题所对应的泛函是有下解的，它的弱解即对应泛函的临界点可以通过求泛函的 极小值得到但对于非线性问题，它所对应的泛函可能既无上界又无下界，古典 变分法则不再适用例如与 f 一t = t 产， i 训= 0 对应的泛函 讹) = ；上陬1 2 出一j 1 上u 3 d z 任意取定一个函数u 嘲( q ) 满足“o ，仳0 对v r 地硼( q ) 有 邢n ，= 萼上l v 牡1 2 出一- 鲁f u s d x 千o o ，t 一士o 。 一般说来，对非线性方程问题不能用古典变分法确定泛函的临界点，需要用到大 范围变分法 大范围变分法的内容之一就是临界点的极大极小方法，其中又以山路引理 最为著名，它形象地揭示了：从盆地中心出发到盆地外部必有一条从周围山脉的 最低点经过，这个点就是临界点 山路引理e 是实b a u a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) 满足： ( i ) ，( o ) = o ，存在p o 使得t a b , ( o ) n o ； ( i i ) 存在e e b ( 0 ) 使得j ( e ) 0 记r = 一y c ( 【o ，1 】，e ) ：7 ( 0 ) = o ，r ( 1 ) = e ，c = t 礼 e r 仇4 z 扼峨1 i j ( 7 ( t ) ) ， h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m第3 页 共3 0 页 毕业论文 第一章引言 则c a ，i 关于c 有临界序列 如果泛函上加上p a l a i s 和s m a l e 提出的条件，即( p s ) 条件，就能对泛函建立必 要的紧性，保证山路引理中极大极小值就是临界值 定义：e 是实b a n a c h 空间，i 1 ( e ，固如果对满足( i ) ，( 坝) 有界； ( i i ) ( 雠) 0 ，k o 。的任意序列“ ( “t e ) 在e 都是列紧集，则称泛函j 满 足p a l a i s - s m a l e 条件( 简记为( p s ) 条件) 定理1e 是实b a n a c h 空间，iec 1 ( e ，固如果f 满足( p s ) 条件，且j 关于c 有临 界序列，则c 为，的临界值 在本文中将会用到山路引理的一个变形：z r 山路引理 1 2p o h o z a e v 恒等式与解的不存在性 本文在运用变分法的同时，还主要运用了p o h o z a e v 恒等式的一些变形式，来 得到对应方程和方程组解的不存在性 对半线性椭圆方程的齐次d i r i c h l e t 问题 一“= 9 0 ) ，z q ，( i - i ) t = o z a q ，( 1 2 ) 的伊( q ) n c l ( - ) 中的解牡，在1 9 6 5 年的p o h o z a e v 的文献 1 5 l 中，i 正g q t 恒等式 厶 f 赛f 2 如= 2 n 上g ( “) 如一一2 ) 上9 ( u ) t 血，0 - 3 ) 其中表示魂的外法线方向，g ( = e g c t ) d ，有界区域qc 船， ： 啦6 ，口= ( a l ，) ，b = 仇，k ) 在该文中利用式( 1 - 3 ) 研究了问题( 1 一1 ) ，( 1 2 ) 的c 。( q ) n c l ( - ) 中解的不存在性以后，在各种研究发现式( 1 3 ) 还有很多的 用处，并称式( i - 3 ) 为p o h o z a e v 恒等式 其实，在1 9 4 ( y 年的r d l i c h 在讨论一= a s 中特征值甩融上曲面面积表示 时，就已经证明了当g ( u ) = a 让时的式( 1 3 ) ，并证明当伊) n c l ( - d ，n 2 ，成立着 厶【害 - 学出= 上( 姚圳一字附d u 皿 h d l z c j 2 0 0 4 1 2 6 c o i n 第4 页共3 0 页 毕业论文 第一章引言 显然，当t l 满足问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 时，由上式即可推出式0 - 3 ) ，因丽p 0 h o z a e 、恒等式 实际上是r e l l i c h 的恒等式的变形和推广而在( 1 1 ) 两端乘z d u 再积分这一证 明p o h o z a e v 恒等式的方法是从r e l l i c h 开始的而p o h o z a e v 是从关于散度的一个 恒等式开始再用ga _ u 船公式来证明式( 1 3 ) 的 1 9 8 5 年在沈尧天和邓耀华的论文【1 6 】中对双调和方程的齐次d i r i c h l e t f 司题 建立了p o h o z a e v 恒等式 1 9 8 6 年在文【1 7 中，对多重调和方程钓齐次d i r i c h l e t 阿，、 题和另一种边值问题建立了同样的恒等式，并证明了双调和方程2 牡= g ( ) 的n a v i e r f 司题( “= a u = 0 ，在砌上) 的光滑解的不存在性这一结果自 从9 0 年代以来被不少文献，如v o r s t 的 1 8 】，m i t i d i e r i 的1 1 9 等重新发现对于一般的 拟线性e 1 1 l 口方程( 组) 的齐次d i r i c h l c t f 题，在1 9 8 6 年p t 州和s 明血的文【2 0 l 中建 立了p o h o z a e 、一亘等式稍后些在徐海祥的1 2 1 1 q a 也独立地建立了同样的恒等 式上述工作都要求解是光滑的，但是半线性方程一a u = 9 ( 包o ，当9 ( 关于u 的 增长超过三鬟时，又如拟线性椭圆组，即使低于临界指数，都会有奇性解出现 我们想到对s o b o l e v 空问中的解是否也成立这类恒等式在沈尧天和马汝念 的【2 2 】中，对无界域上的二阶拟线性方程在2 “( n ) 中的解，其中p l = ；兰，建 立了p o h o z a e v 恒等式，讨论了解的不存在性当m 2 时，在沈尧天和王天威 的 2 3 1 中对超临界指数增长拟线性椭圆组的弱解建5 z y p o h o z a e v 恒等式，在该 文中发现对于二阶拟线性方程( 组) 的乳i h a e 、一亘等式的另一个适当的函数类是 满足 ， “1 + i v “1 2 ) 譬i d 2 “1 2 如 + 的玷( q ) 的函数 在( 2 0 j 中发现p 0 h o z a 凹恒等式与变分f 句题中的n o e t h e r 定理( 见o n v 日f 2 4 j ) 紧 密联系如果一个变分积分有个带下述无穷小生成元 ”= 刍一。嘉 的对称李群g ，则n o e 妇定理中散度形式的守恒量恰好1 2 0 】中p o h a 恒等式 的散度行式，不同之处在于文【2 0 】中并不要求变分积分有一对称李群 h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m 第5 页，共3 0 页 毕业论文 第一章引言 在t s o 的f 2 5 】中，曹启舁研究了阶h e s s i a n 算子 j & ( v 2 = ( - u ) p ， z n ， i “= 0 ，z 硼， 的临界指数情况的解的不存在性，并证明了相应的p o h o z a e v 恒等式其中詹= 1 ，n ，而l a p l a c e 算子和m o n 驴a m p e r e 算子是第一和最后的h e s s i a n 算子 ( x ) o 和s o b o l e v 空问中的p o h o z 黼等式： 对于泛函 ，( u ) = ff ( x ，u ，d u ) d x 的欧拉方程组 击 f 蠢( z ，t ，d u ) = 冗( z ，t ，d t ) ，。q ， ( 1 - 4 ) 其魄= 1 ，魄= 器，如= 等，e 。= 罄 定理2 若q 是r 中的有界区域，钍( 茹) g 2 ( q ，r 。) n0 1 ( 西，j c ) 满足方程( 1 - 4 ) ，t 1 = o , x a n ，则有 【f 0 ，0 ，d 一d 。o f 蠢( ，0 ，d u ) l d s j 矾l ， = ，【f ( x md d i v h + h o 足。( z d 曲 j n ( 印t r d 口b + “。风口( z ) 既( 羁d u ) 口( z ) ( 以矿。e 嘻( z ，“，d u ) + t ，兄t ( ，t ，d t ) 】d z ( 1 - 5 ) 其中v 表示舰的外法线方向 ( 2 ) 无界区域上的p ( 岫a 州豆等式： 首先给出p 1 l c d 和s e n 的f 2 0 】中关于q = r 。，t c 崆( q ) 的p o h o 嬲e 、r 恒等 式由于此时必须对于“在无穷远处的衰减加以限制，令 日( 马u ，r ) 三i x l f ( z ，“，r ) 一音( z a r a + a 口) a 民扛，r ) ， i l 其中r = ( 钆h ) ，j k = 篑 h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o i n 第6 页，$ t 3 0 页 毕业论文 第一章引言 设 ， j m i n f 日眩u ，d u ) d ss 0 ( 1 - f i ) j 8 b r 然后在式( 1 - 5 ) 中取q = b r ( 0 ) ，b r ( o ) 表示以。为圆心、r 为半径的球，口为常 数，k = ，则当令冗0 0 对，并利用条件( 1 6 ) ，即得出 i l m i n f 【n f ( x ，1 l ，d t i ) + z 4 b 。( z ，d t l ) 一a u f ( z ，缸，d u ) j b r -。 一( a + 1 ) d 。 j k 0 ，d u ) l d z 0 利用上式，可得到： 定理3 设8 为实数，对所有( 石，u ，r ) 冠x 兄冠成立着 n f ( x ，u ，r ) + 善o e 。仁，r ) 一风( 茁，牡，r ) 一似+ 1 ) r j 吃( f ，r ) o ( 1 - 7 ) 且当且仅当“= o 或r = o 时，上式等号成立，则问题( 1 _ 4 ) 没有在俨( r ) 中满足条 件0 - 6 ) 的非平凡懈 下面考虑无界域上的p o h o z a e v 恒等式 定理4 设f ( x ，u ，r ) 关于厂阶连续可微，且f 与耳关于毛缸，r 阶连续可徽， ( z ，地r ) j xr r j r 对中任意有界区域f 2 ，f ( x ，“，r ) 满足条件 l e ，i 冬c l r l - 2 + 妒l ( $ ) ，妒l l 苗j 器再( n ) ， i e 屯l c ir i p 2 + 忱( 习，仇l 而苎i 旨7 ( q ) ， i 如i c l r l p - 1 + 协( 曲， 协l ；- - - - + ( f 1 ) ， j 咒l q r j 7 + o l 钍r 1 + 翰，红口) t i b i c l r l + c l u 。+ 5 船，l 1 ( n ) ， j bj s c j r j ”1 + 协，姚护( ， 且在剜7 中还满足i f ( e 让，r ) i ，i x f ( x ，t i ，r ) t ，l r b ( ，1 , ，r ) i c l r l p + g l r i m + o l u l p + 妒( 甸，妒( z ) 设t 是上方程( 1 4 ) 在w 1 ，n p ( 冠) 中且满足 ( 1 + i d , , 1 2 ) 譬i 伊札1 2 出 0 ，t ，妒：帮r | ，( u ) ：r 尼黾连续的，且，( 0 ) = 0 这个系 统在【2 6 l 及【2 1 7 l 中已经有所介绍 在【2 7 】中，当，( t ) = 叫”2 “时，如果o ， 、f j i 仇| ，p ( 2 ，4 ) 或o 1 是b o m - i n f e l d 参数 本章运用p o h o e v 恒等式的一些变形等式，得到了系统( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 非平凡 解的不存在性 另一方面，有一类与生物和化攀密协枢关的椭凰方程一墩! 舍住薯与。非 合作”来划分，其定义如下对椭圆系统 3 0 1 、 i - - a u = h 4 - 占t ，十，0 ，乱， ) ， 茹q ， 一心= 缸+ 卸士g ( z ，口，掣l 薯q ，0 - 1 3 ) 【让= - - 0 ，z a n 其中n 舻；a ，毋1 是实参数z 9 g ( 彘x 舻；固假设存在日c ( 壳舻；r ) 使 得v 日= ( ，g ) ，v h 表示日在( ，口) 砰的梯度若f f , g ) = v 日，则系统称为 是合作的，若( ，一g ) = v h ，则称系统是非合作的下面将分别研究一类非合作椭 圆系统和一类合作椭圆系统 第三章探讨了一类缺乏紧性非合作椭圆系统解的不存在性，所研究系统的 形式如下： 一m = h + ( d v 2 ) u ，z 舻， 一v = 1 f t 2 ， z 舻 ( 1 - 1 4 ) ( i - i s ) 其中实数d 0 在例中作者已经运用m o r s e 定理研究了光滑有晃区域上一类缺乏紧性渐 进线性非合作椭圆系统，得到了它的非共鸣解；在【3 1 】中研究了类似于本章系 统的f i t z h u g h o n s g u m o 型椭圆系统在光滑有界区域上解的存在唯一性；另外 在【3 2 】中研究了一类f i t z i - i u g h - n a g u m o 系统的驻波解 本章运用p o h o z a e v 恒等式的一些变形等式，得到了系统( 1 1 4 ) - ( i 1 5 ) 非平凡 解的不存在性 第四章研究一类半线性合作椭圆系统 一“= 口( 善) “+ m l p 龟+ 2 u v 一舻，z 斧， 一幽= t 1 2 一t 产 ，z 帮， h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m 第9 页，共3 0 页 ( 1 1 6 ) ( i - 1 7 ) 毕业论文 第一章引言 其中d ( z ) 搦( j 护) ，a 0 是实参数 在1 3 3 】中，已经研究了一类半线性合作椭圆系统在光滑有界区域上非平凡 解的存在性本章即结合【3 3 】中系统( p ) 与( p 1 ) 的形式，将区域拓展到了无界区 域舻，同时具体化了 夕，得到系统( 1 1 6 ) 一( 1 - 1 7 ) ，进而运用【3 4 】，【3 5 中的z 2 山路引 理来得到主要定理 h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m 第l o 页，共3 0 页毕业论文 第二章耦合k l e i n g o r d o n - b o r n - i n f e l d 方程非平凡解的 不存在性 2 1 引言 本章研究半线性椭圆系统( 1 1 1 ) ( 1 - 1 2 ) 一a u + 【m 2 一( u + e 钟2 k = ，( t ) ，z 斧， 妒+ p 4 毋= 4 1 r e ( w + e 妒) “2 ， 窖r 3 非平凡解的不存在性真中m ，u ，e 0 ，u ，：舻r ，l ( u ) ：r r 是连续 的，且1 ( o ) = 0 考虑非线性k l e i n - g o r d o n 方程 一妒+ 舻妒一l 妒i 一2 妒= 0( 2 - 1 ) 其中1 ；f ，= 1 ；f ( t ，霉) g t r ，z 舻，m 冗，2 1 就是所谓的b o m i n f e l d 参数 设卢：= 刍，考虑上口，的二阶展式，卢一o + ，则拉格朗日密度变形为 二。，= 去f ；( 1 e 2 一i b l 2 ) + 芸( e 1 2 一l b l 2 ) 2 】 在f 2 9 】中静电解的存在性已经得到证明，而在f 2 6 】中考虑 s = lm g m + l b i ) a = d t h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m 第1 2 页，共3 0 页毕业论文 第二章耦合k l e i n - g o r d o n - b o r n - i n f e l d 方程非平凡解的不存在性 在这种情况下，作者证明了与之相关的欧拉方程，此时t = t ( z ) ，s = w t ，妒= 妒扛) ，a = 0 ，若4 p 6 , 0 0 若 对讹r ，2 f ( s ) ，( 8 ) s ( i t , 币) 是系统( 1 - 1 1 ) 一( 1 一1 2 ) 的解，使“h l a , 4 , d ，且p ( ) ，( t ) l 1 ( r 3 ) ，则t i = 毋= 0 证明：令( t ，妒) h 1 ，2xd g 系统( 1 1 1 ) - ( 1 1 2 ) 的解由标准的正则结果， ( 扯们上魄( 舻) 在r 3 中几乎处处满足方程( 1 1 1 ) - ( 1 1 2 ) 设q = m 2 一舻，在方 程( 1 一1 1 ) 两边乘上v 血，在b r 上积分周引理2 - 3 ，9 ( s ) = 8 ，o ( s ) = ，( s ) ，化简得： 一1 l , , w u t 2 如一3 2 f lj 嘞u 2 d v + 厶( 一+ e 2 鳓铲( z v 出 + ；互。( z 叫+ 矿纠妒如+ s 厶f ( u ) 如= 去厶。p v 砰曲 一罢z 附曲一譬厶铲西 + 冬! ( 2 叫+ e 2 钟如2 出+ 冗ff ( t ) 缸( 2 - 1 4 ) 同理，方程( 1 - 1 2 ) 两边乘以z v ，在r 3 上积分用引理2 - 3 ，可得 f r o ( e u + e 2 妒) “2 ( z v 毋) 如= 去上。妒。v 妒) 如+ 导厶a 毋( z v 毋) 如 = 击互。i v 卯如+ 岳上。俐如+ 去幻棚卯出 一尝幻v 卯打+ 掣z b 。即纰( 2 - 1 5 ) 结合( 2 - 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，得 一扳i v u l 2 如一警厶u 饥去厶m 如+ 岳小州如 h d h c i 2 0 0 4 1 2 f i , c o i n 第1 6 页洪3 0 页毕i k 论文 墨三童堡垒翌生坐竺堂竺垒翌型堕墨塑墨坚堕尘堡垄垦一 十；上。( z 叫+ 孑纠妒如+ 。z 。f 【钍) 如5 去厶。p v t i | 2 曲 一去厶。k v 卯打一譬厶l 乳1 2 打一嘉z 占。l v 卯打 一掣：( 删出一譬f “。由 + 芸上日。( 2 一十e 2 纠如2 d o + rj o b s 以甸出( 2 - 1 6 ) 根据f 3 0 1 ，f 3 6 l 中的方法将能找到合适的序列风+ o 。使等式( 2 - 1 6 ) 右边 趋近于0 事实上，把等式( 2 1 6 ) 中的尉失为r ，当n o o 日, i ， 一；厶i v 砰出一警厶铲出+ 去厶1 v 1 2 如+ 岳厶l v 卯如 + ；厶( 2 叫+ ，妨咖2 如+ 3 厶f 如= n p 1 7 ) 厶i v 牡1 2 如+ q 厶伊如一厶( 蚴+ 2 铀如2 如一厶“础= 0 0 ，若p 2 ，( t ，桫是系统( 1 1 1 ) - ( 1 1 2 ) 的解，且 当r ( 5 ) ：i s r 2 8 ，使得t l h 1 2 n 妒( 舻) ，妒d ，则n = 币= 0 h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o m 第l 顶，共3 0 页 毕业论文 第三章一类缺乏紧性的非合作椭圆系统的非平凡解 的不存在性 本章中研究非合作问题( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 一a u = a 牡+ ( d 一口2 ) t ，z 帮， 一a v = 7 v 一口“2 ，霉帮， 非平凡解的不存在性，其中d 0 该系统是对应于以下泛函的欧拉方程 s ( 叩) = ；厶( 附+ i v 砰) 如- ；厶( a 舻十7 c ) d x i 厶( d _ 矿) 铲缸0 - 1 ) 3 1 非合作椭圆系统的变分框架 在这部分将证明关于系统f 1 1 4 ) - ( 1 1 6 ) 变分结构的些命题和引理 首先给出以下连续嵌入关系 胃1 ，2 q 扩，砌1 2 ，6 1 ；d i , 2 q 驴 命题3 - 1 泛函s 在日1 0 ( 斧) xd 1 0 ( 舻) 上是c 1 的，b s 的临界点是系统( 1 1 4 ) - ( 1 1 5 ) 的解， 证明：用咒( “，口) ，( t ，口) 分别表示s 在( “， ) h 1 , 2 ( 尺3 ) d 1 , 2 ( 舻) 偏导 数，对任意的u h 1 , 2 ( 兄3 ) 有 ( ，”) p 】= ( v 训v u ) 一a t “。一( d 一, 0 2 ) t “，) 如， ( 3 - 2 ) j r 3 ， 鼠( “，口) 川= ( v 训v u ) 一1 讹，+ u 2 w d ：r ( 3 3 ) 显然，是连续的，所以s 在h 1 ，2 ( 舻) d 1 , 2 ( r 3 ) 上是g 1 的同时由浯 2 ) ，( 3 - 3 ) 式明显得出s 的临界点是系统( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 的解 事实上，很难直接找到s 的临界点，因为s 依赖于“， 两个变量，而且s 是强不 定的( 即没有e 界和下界) ，所以根据【2 6 】，# ，8 1 ，【4 0 】中的方法，将引进一个仅依赖 第1 8 页，共3 0 页 第三章类缺乏紧性的非合作椭圆系统的非平凡解的不存在性 于“的新泛函j ，进而由t ，的临界点得到s 的临界点 首先给出以下引理 引理3 - 1 对任意t 日1 ，2 ( 舻) ，存在唯一的y = v u 1 d 1 , 2 ( 舻) 是( 1 1 5 ) 式 的解 证明：因为t ，d 1 , 2 ( 舻) ，t h 1 , 2 ( 舻l 所以由带f 的y o , m g 不等 式，d 1 ，2q 工6 及h i , 2q 工3 得到 _ 1 w 矿庐s “”陬谆出 1 6 d x + 一 l u l 3 如 al i v l l m , 4 - c 2 1 1 1 1 - , ， d 1 , 2 ( 印) 一一y m f l t v e 1 ( 日”，d 1 , 2 ) 及y 的定义，我们可以得到 兄( t ，y m ) = 0 ，讹口”，0 - 5 ) 现在考虑泛函j ：片1 2 ( 即) 兄，e h j ( u ) = s ( u ，y 【t l 】) 定义， 即 ，( = ；厶( i v u l 2 + i v y 卜4 1 2 ) 出一；厶( a 铲+ ，r ( y m ) 2 ) 如 一言( d 一( y m ) 2 ) 铲出 ( 3 - 6 ) 因为s ，y 是c 1 的所以j g 1 ( 日1 - ，r ) | s 的临界点与，的临界点之间的关系由【3 9 l 中引理3 - 2 可得 引理3 - 2 以下命题是等价的： ( 1 ) ( t ， ) h 1 # d 1 , 2 是泛函s 的临界点， ( 2 ) t 是泛函j 的临界点，且v = y 【埘 3 2 主要结论及证明 在这一节中所证明的主要定理是对系统( 1 1 4 ) - ( 1 一1 5 ) 的p o h q l e v 等式的一 个推论 h d h c j 2 0 0 4 1 2 6 c o r n第1 9 页，共3 0 页毕业论文 第三章一类缺乏紧性的非台作椭圆系统的非平凡解的不存在性 r 回让明卒又王妥结佑： 定 墼3 - 1 已知a ，7 是实参数，实数d o ，若a 一d ，y 0 ，g ( u ， ) 是系 统( 1 1 4 ) - ( 1 - 1 5 ) 的解，使“日1 - ，t ，d 1 , 2 则“= 口= 0 证明：令u ，口) h 1 ，2 h 1 ，2 是系统( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 的解由标准的正则结 果，( 让，口) ( r 3 ) 在舻中几乎处处满足方程( 1 - 1 4 ) - ( 1 - 1 5 ) 在方程( 1 - 1 4 ) 两边 乘上z v u ，e b r 上积分，用第一章中的引理2 3 ，9 ( 8 ) = 5 ，化简得： 一江i v u l 2 如+ 掣。如一丘。酢v 啦 一；厶 2 如= 元1 厶p v 砰如一譬z 鼬i v u l 2 打 + 学厶矿出一譬厶。九2 缸 r 量力 一；厶附如+ 警。出+ 厶川z v v ) r z z = 去幻棚砰如一譬幻v 印出+ 竽z 如池e s 一砷 一；l i v u l 2 如+ 掣上。铲出一江甜如 一扳i v 概i + 警。如= 地。陋吖打一瓢。l w l 2 曲 + 竽厶。“2 由一学厶。( 2 r + v 加+ 去z 。p v 印打 一瓢。i v 池i + 竿0 2 缸( 3 - 9 ) 根据f 3 6 】，f 3 9 】中的方法将能找到合适的序列忍+ o o 使等式( 3 9 ) 右边趋 近于0 ，事实上，把等式( 3 - 9 ) 中的r 换为凡，当n 时， 一；厶i v “1 2 如十坐笋厶铲如一；厶汽2 出 一执陬1 2 出十鲁厶铲如一o t ( 3 - 1 0 ) 由上式容易得到结论若a 一d 1 o 是实参数该系统是对应于以下泛函的欧拉方程 即，= ；厶( 胁1 2 - - a u 24 - 陬| 2 ) 如一；厶m 忱 + ( ；露2 t ，2 一扩口) 出 ( 4 - 1 ) 运用【矧，【3 5 】中的z 山路引理来得到主要结论： 定理4 1 若2 ps4 ，且口( 功s 一】，则系统( 】1 0 - ( 1 1 7 ) 有无穷多个径向对 称解( t ，l ，) t f i h 1 0 ( ，萨) ，l 6 ( r 3 ) ，i e ii v v i l 2 ( 舻) 4 1 合作椭圆系统的变分框架 首先我们给出以下连续嵌入关系 h 1 ，2 q l p , v p 【2 ，6 】；d 1 2 q p 命题4 1 泛函s 在日1 , 2 ( r 3 ) xd 1 2 ( r 3 ) 上是c 1 的，且s 的临界点是系统( 1 1 6 ) - ( 1 - 1 7 ) 的解 命题的证明参照【，| 8 l 中命题2 事实上，很难直接找到s 的临界点，因为账赖于t t ，t ，两个变量，而且s 是强不 定的( 即没有上界和下界) 所以根据【2 6 l ，1 2 8 】， 3 5 l e e 的方法，将引进一个仅依赖 于豇的新泛函j ，进而由t ，的临界点得到s 的临界点 首先给出以下引理 引理缸1 对任意t 1 , 2 ( 舻) ，存在唯一的v = y med 1 二( r 3 ) 是( 1 1 7