江苏省一轮复习数学试题选编23：椭圆（学生版） Word版含答案（ 高考） .doc

江苏省江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 23：椭圆（学生版）：椭圆（学生版） 填空题 1. （2013 江苏高考数学）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为xoyc ,右焦点为,右准线为 ,短轴的一个端点为,设原点到直)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x flb 线的距离为,到 的距离为,若,则椭圆的离心率为_.bf 1 dfl 2 d 12 6dd c 2. （江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷）椭圆()1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的左焦点为 f,直线与椭圆相交于 a,b 两点,若的周长最大时,的面mx fabfab 积为,则椭圆的离心率为_.ab 3. （2009 高考(江苏)）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆xoy 1212 ,a a b b 的 22 22 1(0) xy ab ab 四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点 t，线段与椭圆的交f 12 ab 1 b fot 点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为_.mot 4. （南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知 1 f 、 2 f 分别是椭圆 1 48 22 yx 的左、右焦点, 点p是椭圆上的任意一点, 则 12 1 |pfpf pf 的取值范围是 . 5. （江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 ）设椭圆c: )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点分别为 12 ,f f,上顶点为a,过点a与 2 af垂直 的直线交x轴负半轴于点q,且02 221 qfff.则椭圆c的离心率为_ 6. （江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学（理）试题）在平面直角坐标系 xoy中,已知点a是椭圆 22 1 259 xy 上的一个动点,点 p 在线段oa的延长线上,且 72oa op ,则点 p 横坐标的最大值为_. 7. （扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 3 2 e ,a、b 是椭圆的左、右顶点,p 是椭圆上不同 于 a、b 的一点,直线 pa、pb 斜倾角分别为、,则 cos() cos() =_. 解答题 8. （扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,已知椭圆 1 e方程为 22 22 1(0) xy ab ab ,圆 2 e方程为 222 xya,过椭圆的左顶点 a 作斜率为 1 k直 线 1 l与椭圆 1 e和圆 2 e分别相交于 b、c. ()若 1 1k 时,b恰好为线段 ac 的中点,试求椭圆 1 e的离心率e; ()若椭圆 1 e的离心率e= 1 2 , 2 f为椭圆的右焦点,当 2 |2babfa时,求 1 k的值; ()设 d 为圆 2 e上不同于 a 的一点,直线 ad 的斜率为 2 k,当 2 1 2 2 kb ka 时,试问直线 bd 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. y xo d c b a 9. （江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理）已知椭圆的中心为原点 o,一个焦点为 f,离心率为.以原点为圆心的圆 o 与直线互相( 3,0) 3 2 4 2yx 切,过原点的直线 与椭圆交于 a,b 两点,与圆 o 交于 c,d 两点.l (1)求椭圆和圆 o 的方程; (2)线段 cd 恰好被椭圆三等分,求直线 的方程.l 10. （2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图,设,分别为椭a b 圆的右顶点和上顶点,过原点作直线交线段于点 22 22 :1(0) xy eab ab oab (异于点,),交椭圆于,两点(点在第一象限内),和的面ma bcdcabcabd 积分别为与. 1 s 2 s (1)若是线段的中点,直线的方程为,求椭圆的离心率;mabom 1 3 yx (2)当点在线段上运动时,求的最大值.mab 1 2 s s o m d a c x b y 11. （南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷）已知左焦点为f(-1,0)的椭圆过点e(1, ).过点p(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦ab,cd,设m,n分别为线段ab,cd 2 3 3 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若p为线段ab的中点,求k1; (3)若k1+k2=1,求证直线mn恒过定点,并求出定点坐标. 12. （江苏省淮安市 2013 届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知椭圆 的离心率,一条准线方程为 22 22 :10 xy cab ab 6 3 e 3 6 2 x 求椭圆的方程;c 设为椭圆上的两个动点,为坐标原点,且.,g hcoogoh 当直线的倾斜角为时,求的面积;og60goh 是否存在以原点为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线相切?若存在,请求出ogh 该定圆方程;若不存在,请说明理由. 13. （江苏省徐州市 2013 届高三期中模拟数学试题）如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点a为 椭圆 22 2 1 99 xy 的 右顶点, 点 (1,0)d ,点 ,p b 在椭圆上, bp da . (1)求直线bd的方程; (2)求直线bd被过 , ,p a b 三点的圆c截得的弦长; (3)是否存在分别以 ,pb pa为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程; 若不存在,请说明理由. 14. （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013 届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在平面直角坐 标系中,椭圆的焦距为 2,且过点.xoy)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x e) 2 6 ,2( (1)求椭圆的方程;e (2)若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线 经过点且垂直于轴,点是椭圆abelbxp 上异于,的任意一点,直线交 于点abapl.m ()设直线的斜率为直线的斜率为,求证:为定值;om, 1 kbp 2 k 21k k ()设过点垂直于的直线为.mpbm 求证:直线过定点,并求出定点的坐标.m a b m p o l x y m 15. （苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试）已知椭圆的中心为坐标原点 o，椭圆短半 轴长为 1， 动点 在直线上。(2, )mt(0)t 2 ( a xa c 为长半轴，c为半焦距） （1）求椭圆的标准方程 （2）求以 om 为直径且被直线截得的弦长为 2 的圆的方程；3450 xy （3）设 f 是椭圆的右焦点，过点 f 作 om 的垂线与以 om 为直径的圆交于点 n，求证： 线段 on 的长为定值，并求出这个定值。 16. （常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题）如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 分别是椭圆e:的左、右焦点,a,b分别是椭圆 e 的左、右 12 ,f f 22 22 1(0) xy ab ab 顶点,且. 22 50afbf (1)求椭圆e的离心率; (2)已知点为线段的中点,m 为椭圆上的动点(异于点、),连接1,0d 2 ofeab 并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接 1 mfenmdndepq ,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得pqmnpq 1 k 2 k 恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 12 0kk 17. （江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,圆 o 与离心率为的 2 3 椭圆 t:()相切于点 m.1 2 2 2 2 b y a x 0 ba) 1 , 0( 求椭圆 t 与圆 o 的方程; 过点 m 引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点 a、c 与点 b、d(均不重 1 l 2 l 合). 若 p 为椭圆上任一点,记点 p 到两直线的距离分别为、,求的最大值; 1 d 2 d 2 2 2 1 dd 若,求与的方程.mdmbmcma43 1 l 2 l 18. （江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）已知椭圆 的左、右顶点分别为,圆上有一动点, 在轴的 2 2 :1 4 x eya b 22 4xyppx 上方,直线交椭圆于点,连结,.(1,0)cpaeddcpb (1)若,求的面积; 0 90adcadcs (2)设直线,的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.pbdc 1 k 2 k 12 kk o p d a c x b y 19. （2011 年高考（江苏卷）如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆xoy,m n 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过1 24 22 yx ,p ap 作轴的垂线,垂足为,连接,并延长交椭圆于点,设直线的斜率为pxcacbpa. k (1)若直线平分线段,求的值;pamnk (2)当时,求点到直线的距离;2k pabd (3)对任意,求证:0k .papb 20. （镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右o 顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过a点的动直线(2,0)a 2 3 交椭圆于p,q两点. 1 2 yxmo (1) 求椭圆的标准方程; (2)证明p,q两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 a,p,q的动圆记为圆c,动圆c过不同于a的定点,请求出该定点坐标. 21. （江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题）在直角坐标系xoy上取两个定点 12 ( 2,0),(2,0)aa,再取两个动点 1(0, ),nm 2(0, ) nn,且3mn . ()求直线 11 an与 22 a n交点的轨迹m的方程; ()已知点(1, )at(0t )是轨迹m上的定点,e,f是轨迹m上的两个动点,如果直 y b a m n x p o c 线ae的斜率 ae k与直线af的斜率 af k满足0 aeaf kk,试探究直线ef的斜率是 否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由. 22. （南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题）如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 22 22 :1(0) xy cab ab 经过点m (3 2,2) ,椭圆的离心率 2 2 3 e , 1 f 、 2 f 分别是椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆c的方程; (2)过点m作两直线与椭圆c分别交于相异两点a、b. 若直线ma过坐标原点o, 试求 2 maf 外接圆的方程; 若 amb 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线ab的斜率是否为定值?若是, 请给予 证明;若不是, 请说明理由. 23. （苏州市第一中学 2013 届高三“三模”数学试卷及解答）已知椭圆 过点,且它的离心率.直线与)0( 1: 2 2 2 2 1 ba b y a x c)3, 2( 2 1 etkxyl: 椭圆交于、两点. 1 cmn ()求椭圆的标准方程; ()当时,求证:、两点的横坐标的平方和为定值; 2 3 kmn ()若直线 与圆相切,椭圆上一点满足,l1) 1( : 22 2 yxcpoponom 求实数的取值范围. ox y m n 24. （江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题（数学）word 版）在平面直角坐标系xoy中,椭 圆c:+=1(ab0)的左右顶点分别为a,b,离心率为 ,右准线为l:x=4.m为椭圆上 x2 a2 y2 b2 1 2 不同于a,b的一点,直线am与直线l交于点p. (1)求椭圆c的方程; (2)若=,判断点b是否在以pm为直径的圆上,并说明理由; am mp (3)连结pb并延长交椭圆c于点n,若直线mn垂直于x轴,求点m的坐标. a b p m n x y o (第 18 题) 25. （江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学（理）试题）椭圆c的右焦点为 f,右准线为l,离心率为 3 2 ,点a在椭圆上,以f为圆心,fa为半径的圆与l的两个 公共点是,b d. (1)若fbd是边长为2的等边三角形,求圆的方程; (2)若,a f b三点在同一条直线m上,且原点到直线m的距离为2,求椭圆方程.来源:学. 科.网 26. （江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题）已知椭圆e: 的左顶点为a,左.右焦点分别为f1.f2,且圆c: 22 22 1(0) xy ab ab 过a,f2两点. 22 3360 xyxy (1)求椭圆e的方程; (2)设直线pf2的倾斜角为,直线pf1的倾斜角为,当-=时,证明:点 2 3 p在一定圆上. 27. （徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,已xoy 知椭圆:的离心率,分别是椭圆的左、右两个e 22 22 1(0) xy ab ab 3 2 e 12 ,a ae 顶点,圆的半径为,过点作圆的切线,切点为,在轴的上方交椭圆于点 2 aa 1 a 2 apxe . q 求直线的方程;op 求的值; 1 pq qa 设为常数.过点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点,分别交圆于aoe,b c 2 a 点,记和的面积分别为,求的最大值.,mnobcomn 1 s 2 s 12 ss a1a2o p q m n b c x y （第 18 题图） 28. （江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史）如图,已知中心在原点且 焦点在 x 轴上的椭圆 e 经过点 a(3,1),离心率. 6 3 e (1)求椭圆 e 的方程; (2)过点 a 且斜率为 1 的直线交椭圆 e 于 a、c 两点,过原点 o 与 ac 垂直的直线交椭圆 e 于 b、d 两点,求证 a、b、c、d 四点在同一个圆上. 29. （南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系中,椭圆 c:xoy 过点. 22 22 1(0) xy ab ab (,), ( 3,1) 2 2 a a ab (1)求椭圆 c 的方程; (2)已知点在椭圆 c 上,f 为椭圆的左焦点,直线的方程为. 00 (,)p xy 00 360 x xy y 求证:直线与椭圆 c 有唯一的公共点; 若点 f 关于直线的对称点为 q,求证:当点 p 在椭圆 c 上运动时,直线 pq 恒过定点,并 求出此定点的坐标. 30. （江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题）直角坐标系中,已xoy 知椭圆:c 31. （江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷）如图,已知椭圆 c:=1 的离 22 22 xy ab 心率为,过椭圆 c 上一点 p(2,1)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于点 a、b,直 3 2 线 ab 与 x 轴交于点 m,与 y 轴负半轴交于点 n. ()求椭圆 c 的方程: ()若 spmn=,求直线 ab 的方程. 3 2 32. （2012 年江苏理）如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点 分别为 1( 0)fc ，, 2( 0)f c，.已知(1) e，和 3 2 e ，都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设,a b是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线 1 af与直线 2 bf平行, 2 af与 1 bf交于 a bo f 点 p. (i)若 12 6 2 afbf,求直线 1 af的斜率; (ii)求证: 12 pfpf是定值. 33. （2010 年高考（江苏）在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点xoy1 59 22 yx 为 a,b,右焦点为 f,设过点 t()的直线 ta,tb 与椭圆分别交于点 m,mt,),( 11 yx ,其中 m0,),( 22 yxn0, 0 21 yy 设动点 p 满足,求点 p 的轨迹4 22 pbpf 设,求点 t 的坐标 3 1 , 2 21 xx 设,求证:直线 mn 必过 x 轴上的一定点9t (其坐标与 m 无关) 34. （苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷） 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点f是椭圆 22 22 :1(0) xy eab ab 的左焦点, a,b,c分别为椭圆e的右、下、上顶点,满足5fc ba a,椭圆的离心率为 1 2 . (1)求椭圆的方程; (2)若p为线段fc(包括端点)上任意一点,当pa pb a取得最小值时,求点p的坐标; (3)设点m为线段bc(包括端点)上的一个动点,射线mf交椭圆于点n,若 nffm ,求实数的取值范围. o m n a c x b y 35. （连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知椭圆 c:(ab0)的上顶点为a,左,右焦点分别为f1,f2,且椭圆c过点p( , ),以 22 22 1 xy ab 4 3 b 3 ap为直径的圆恰好过右焦点f2. (1)求椭圆c的方程; (2)若动直线l与椭圆c有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到x 直线l的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由. x y of2 (第 18 题图) p a f1 1 36. （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷）如图,在 平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.xoy 2 2 22 1(0) y x ab ab (1 0)f ， 2 2 分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.ofabcdeacoeef (1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.acbd x y o a b c d f （第 18 题） e 37. （江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题）已知椭圆e: 22 22 10 xy ab ab +的离 心率为 1 2 ,右焦点为f,且椭圆e上的点到点f距离的最小值为 2. 求椭圆e的方程; 设椭圆e的左、右顶点分别为,a b,过点a的直线l与椭圆e及直线8x 分别相交 于点,m n. ()当过,a f n三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ()若 65 cos 65 amb ,求abm的面积. 38. （江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）如图,直线ab与椭圆: 1 2 22 2 b y a x ( 0 ba )交于 ,a b 两点,与x轴和 y 轴分别交于点p和点q,点c是 点a关于x轴的对称点,直线bc与x轴交于点r. (1)若点p为(6,0),点q为(0,3),点a,b恰好是线段qp的两个三等分点. 求椭圆的方程; 过坐标原点o引 abc 外接圆的切线,求切线长; (2)当椭圆给定时,试探究op or 是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明 理由. 39. （南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xoy中,椭圆c: +=1. x2 m y2 8m (1)若椭圆c的焦点在x轴上,求实数m的取值范围; (2)若m=6, p是椭圆c上的动点, m点的坐标为(1,0),求pm的最小值及对应的点p的坐标; 过椭圆c的右焦点f 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆c于a,b两点,线段ab的垂 直平分线l交x轴于点n,证明: 是定值,并求出这个定值. ab fn 40. （江苏省 2013 届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知椭圆c: + =1(ab0)的左焦点为 x2 a2 y2 b2 f1(-3,0),过点f1作一条直线l交椭圆于a,b两点,点a关于坐标原点o的对称点为a1,两 直线ab,a1b的斜率之积为-. 16 25 (1)求椭圆c的方程; (2)已知d(m,0)为f1右侧的一点,连ad,bd分别交椭圆左准线于m,n两点,若以mn为直 径的圆恰好过点f1,求m的值. 江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 23：椭圆（学生版）参考答案 填空题 1. 解析:本题主要考察椭圆的性质,以及化繁为简运算能力及数学思想方法. 中,利用面积相等 或者利用原点到直线aobrt 1 daboboa)0 , 0(o 即的距离公式得,因为带入1 b y c x 0bccybx a bc d 1 c c a d 2 2 得 12 6dd a bc c c a 6 2 左边分子分母同时除以右边平方 a bc c ca 6 22 a b c ca 6 2 22 2 a 再开方得: 2 22 2 2 6 1 a ca e e 2 2 2 16 1 e e e 6 1 2 2 e e (舍) 016 24 ee 3 1 2 e 2 1 2 e 3 3 e 法二:【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=.若,则 c a 2 2 d c a 2 c b2 1 d a bc 12 6dd =,整理得:,两边同除以:,得: c b2 6 a bc 066 22 baba 2 a ,解之得:=,所以,离心率为: 066 2 a b a b a b 3 6 3 3 1e 2 a b y x l b f o c b a 2. 2 2 3. 【答案】2 75e 【解析】用表示交点 t，得出 m 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率., ,a b c 4. 0,2 2 2 5. 2 1 e 6. 15 提示:设(1)opoa ,由 2 72oa opoa ,得 2 72 oa , 22 72 paa aa xxx xy = 22 72 9 9 25 a aa x xx = 2 72 16 9 25 a a x x = 72 916 25 a a x x , 研究点 p 横坐标的最大值,仅考虑05 a x, 72 15 12 2 5 p x (当且仅当 15 4 a x 时取“=”). 7. 3 5 解答题 8. 解:()当 1 1k 时,点 c 在y轴上,且(0, )ca,则(,) 2 2 a a b ,由点 b 在椭圆上, 得 22 22 ()( ) 22 1 aa ab , 2 2 1 3 b a , 22 2 22 2 1 3 cb e aa , 6 3 e ()设椭圆的左焦点为 1 f,由椭圆定义知, 12 | 2bfbfa, 1 | |bfba,则点 b 在线段 1 af的中垂线上, 2 b ac x , 又 1 2 c e a , 1 2 ca, 3 2 ba, 3 4 b a x , 代入椭圆方程得 7 4 b yb = 21 8 a, 1 b b y k xa = 21 2 ()法一:由 1 22 22 (), 1, yk xa xy ab 得 2222 1 22 () 0 kxaxa ab , xa ,或 222 1 222 1 ()a bk a x ba k , b xa , 222 1 222 1 () b a bk a x ba k ,则 2 1 1 222 1 2 () bb ab k yk xa ba k 由 2 222 (), , ykxa xya 得 2222 2( )0 xakxa, 得xa ,或 2 2 2 2 (1) 1 ak x k ,同理,得 2 2 2 2 (1) 1 d ak x k , 2 2 2 2 1 d ak y k , 当 2 1 2 2 kb ka 时, 4 22 222 2 2 2 4222 22 2 2 2 () () b b a bk a ab k a x bab k bk a , 2 2 222 2 2 b ab k y ab k , 2 22 2222 22 2222 222 2222 22 22 11 ()(1) 1 bd ab kak ab kk k ka ab kak ab kk , bdad, 2 e为圆, adb 所对圆 2 e的弦为直径,从而直线 bd 过定点(a,0) 法二:直线bd过定点( ,0)a, 证明如下: 设( ,0)p a,(,) bb b xy,则: 22 22 1(0) bb xy ab ab 222222 1 2222222 ()1 bbb adpbpb bbb yyyaaaab kkk k bbxa xabxaba , 所以pbad,又pdad 所以三点, ,p b d共线,即直线bd过定点( ,0)p a 9. (2) 直线l的方程为ykx,由 2 2 1 4 ykx x y 解得 22 44 (,) 4141 ak kk , 22 44 (,) 4141 bk kk 222 222 444 (2)(2)4(1) 414141 abkk kkk cd恰好被椭圆三等分, 2 2 4 4(1) 41 k k = 18 2 33 r 2 2 12 413 k k , 35 7 k 直线l的方程为 35 7 yx 10. 11.解:依题设c=1,且右焦点(1,0). f 所以,2a=,b2=a2-c2=2, ef ef 2 22 32 3 (1 1)2 3 33 故所求的椭圆的标准方程为 2 2 1 32 y x (2)设a(,),b(,),则,. 1 x 1 y 2 x 2 y 22 11 1 32 xy 22 22 1 32 xy -,得 . 21212121 ()()()() 0 32 xxxxyyyy 所以,k1= 2121 2121 2()4 2 3()63 p p yyxxx xxyyy (3)依题设,k1k2. 设m(,),直线ab的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2, m x m y 代入椭圆方程并化简得 . 222 1122 (23)6360kxk k xk 于是, 12 2 1 3 23 m k k x k 2 2 1 2 23 m k y k 同理,. 12 2 2 3 23 n k k x k 1 2 2 2 23 n k y k 当k1k20 时, 直线mn的斜率k= mn mn yy xx 22 2211 2121 46() 9() kk kk k k kk 21 21 106 9 k k k k 直线mn的方程为, 22112 22 21 11 21063 () 9 2323 kk kk k yx k k kk 即 , 2121122 22 2121 11 10610632 () 99 2323 k kk kk kk yx k kk k kk 亦即 . 21 21 106 2 93 k k yx k k 此时直线过定点 2 (0,) 3 当k1k2=0 时,直线mn即为y轴,此时亦过点. 2 (0,) 3 综上,直线mn恒过定点,且坐标为 2 (0,) 3 本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力.讲 评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养. 第(2)问,亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变量或x或y,然 后利用根与系数的关系,求出中点坐标与k1的关系,进而求出k1的值. 第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的 中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜 率的最值. 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”. 12. (1)因为, 3 6 a c 2 63 2 c a 222 cba 解得,所以椭圆方程为 3, 3ba1 39 22 yx (2)由,解得 , 1 39 3 22 yx xy 10 27 10 9 2 2 y x 由 得 , 1 39 3 3 22 yx xy 2 3 2 9 2 2 y x 所以,所以 6, 5 103 ohog 5 153 goh s 假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为,则 rghrohog 因为,故, 222 ghohog 222 111 rohog 当与的斜率均存在时,不妨设直线方程为:, ogohogkxy 由,得,所以, 1 39 22 yx kxy 2 2 2 2 2 31 9 31 9 k k y k x g g 2 2 2 31 99 k k og 同理可得 (将中的换成可得) 2 2 2 3 99 k k oh 2 ogk k 1 , 222 1 9 411 rohog 2 3 r 当与的斜率有一个不存在时,可得, ogoh 222 1 9 411 rohog 故满足条件的定圆方程为: 4 9 22 yx 13.解: (1)因为bp da ,且 a(3,0),所以bp da =2,而 b, p 关于 y 轴对称,所以点 p 的 横坐标为 1, 从而得 (1,2), ( 1,2)pb 所以直线 bd 的方程为 10 xy (2)线段 bp 的垂直平分线方程为 x=0,线段 ap 的垂直平分线方程为 1yx , 所以圆 c 的圆心为(0,-1),且圆 c 的半径为 10r 又圆心(0,-1)到直线 bd 的距离为 2d ,所以直线bd被圆c截得的弦长 为 22 24 2rd 14. 由题意得 ,所以,又, 22c 1c 22 23 1 2ab + 消去可得,解得或(舍去),则, a 42 2530bb 2 3b 2 1 2 b 2 4a 所以椭圆的方程为 e 22 1 43 xy ()设,则, 111 ( ,)(0)p x yy 0 (2,)my 0 1 2 y k 1 2 1 2 y k x 因为三点共线,所以, 所以,8 分 , ,a p b 1 0 1 4 2 y y x 2 011 12 2 11 4 2(2)2(4) y yy k k xx 因为在椭圆上,所以,故为定值 11 ( ,)p x y 22 11 3 (4) 4 yx 2 1 12 2 1 43 2(4)2 y k k x ()直线的斜率为,直线的斜率为, bp 1 2 1 2 y k x m 1 1 2 m x k y 则直线的方程为, m 1 0 1 2 (2) x yyx y 1111 0 1111 222(2)4 (2) 2 xxxy yxyx yyyx 22 111 111 22(4)4 (2) xxy x yxy =, 22 111 111 22(4)123 (2) xxx x yxy 11 11 22xx x yy 1 1 2 (1) x x y 所以直线过定点 m( 1,0) 15.解：（1）又由点 m 在准线上，得故， 2 2 a c 2 1 2 c c 从而 所以椭圆方程为 1c 2a 2 2 1 2 x y （2）以 om 为直径的圆的方程为(2)()0 x xy yt 即 其圆心为,半径 2 22 (1)()1 24 tt xy(1, ) 2 t 2 1 4 t r 因为以 om 为直径的圆被直线截得的弦长为 23450 xy 所以圆心到直线的距离 3450 xy 2 1dr 2 t 所以，解得 325 52 tt 4t 所求圆的方程为 22 (1)(2)5xy （3） 设，则 00 (,)n xy 00 0000 (1,),(2, ) (2,),(,) fnxyomt mnxyt onxy 0000 ,2(1)0,22fnomxtyxty 2 2 00000000 ,(2)()0,22mnonx xyytxyxty 所以，为定值 22 00 2onxy 16.解:(1),.,化简得, 22 50afbf 22 5aff b 5acac23ac 故椭圆e的离心率为. 2 3 (2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,从而, 4 7 l1,0d 2 of2c 3a ,左焦点,椭圆e的方程为.设,5b 1 2,0f 22 1 95 xy 11 ,m x y 22 ,n xy ,则直线的方程为,代入椭圆方程,整 33 ,p xy 44 ,q xymd 1 1 1 1 x xy y 22 1 95 xy 理得,.,.从而,故 211 2 11 51 40 xx yy yy 11 13 1 1 5 yx yy x 1 3 1 4 5 y y x 1 3 1 59 5 x x x 点.同理,点.三点、共线, 11 11 594 , 55 xy p xx 22 22 594 , 55 xy q xx m 1 fn ,从而.从而 12 12 22 yy xx 122112 2x yx yyy .故 12 12211212 34121 2 12 341212 12 44 57557 5959 444 55 yy x yx yyyyyyyxxk k xx xxxxxx xx ,从而存在满足条件的常数,. 2 1 4 0 7 k k 4 7 l 17.解: (1)由题意知: 解得可知: 222 , 1, 2 3 abcb a c 3, 1, 2cba 椭圆的方程为与圆的方程 c1 4 2 2 y x o1 22 yx (2)设因为,则因为 ),( 00 yxp 1 l 2 l 2 0 2 0 22 2 2 1 ) 1(yxpmdd1 4 2 0 2 0 y x 所以, 3 16 ) 3 1 (3) 1(44 2 0 2 0 2 0 2 2 2 1 yyydd 因为 所以当时取得最大值为,此时点11 0 y 3 1 0 y 2 2 2 1 dd 3 16 ) 3 1 , 3 24 (p (3)设的方程为,由解得; 1 l1 kxy 1 1 22 yx kxy ) 1 1 , 1 2 ( 2 2 2 k k k k a 由解得 1 4 1 2 2 y x kxy ) 41 41 , 14 8 ( 2 2 2 k k k k c 把中的置换成可得,12 分 ca,k k 1 ) 1 1 , 1 2 ( 2 2 2 k k k k b) 4 4 , 4 8 ( 2 2 2 k k k k d 所以, ) 1 2 , 1 2 ( 2 2 2 k k k k ma ) 41 8 , 14 8 ( 2 2 2 k k k k mc , ) 1 2 , 1 2 ( 22 kk k mb) 4 8 , 4 8 ( 22 kk k md 由得解得15 分 34ma mcmb md 4 4 41 3 22 2 kk k 2k 所以的方程为,的方程为 1 l12 xy 2 l1 2 2 xy 或的方程为,的方程为16 分 1 l12 xy 2 l1 2 2 xy 18. 19. 【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关 系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. 【解析】由题设知,故, 2, 2ba)2, 0(),0 . 2(nm 所以线段 mn 的中点坐标为,由于直线 pa 平分线段 mn,故直线 pa 过线段 mn) 2 2 , 1( 的中点,又直线 pa 过坐标原点,所以. 2 2 1 2 2 k (2)直线 pa 的方程为,代入椭圆方程得,解得,因此xy21 2 4 4 22 xx 3 2 x .于是,直线 ac 的斜率为,故直线 ab 的方程为) 3 4 , 3 2 (), 3 4 , 3 2 (ap) 0 , 3 2 (c1 3 2 3 2 3 4 0 .因此. 0 3 2 yx 3 22 11 | 3 2 3 4 3 2 | 22 d (3)将直线 pa 的方程代入,解得. kxy 1 24 22 yx 2 21 2 k x 记,则.于是.故直线 ab 的斜率为 2 21 2 k ),(),(kakp) 0 , (c ,其方程为,代入椭圆方程得 2 0kk )( 2 x k y ,解得或.因此0)23(2)2( 22222 kxkxk 2 2 2 )23( k k x x ,于是直线 pb 的斜率) 2 , 2 )23( ( 2 3 2 2 k k k k b .因此,所以 kkk kkk k k k k k k 1 )2(23 )2( 2 )23( 2 22 23 2 2 2 3 1 1 1 kkpapb 20.解:(1)设椭圆的标准方程为.由题意得 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 , 2ea , , 椭圆的标准方程为 3c1b 1 4 2 2 y x (2)证明:设点 ),(),( 2211 yxqyxp 将带入椭圆,化简得: mxy 2 1 0) 1(22 22 mmxx 1 , , 2 1212 2 ,2(1)xxmx xm 222 121212 ()24xxxxx x p,q两点的横坐标的平方和为定值 4 (3)(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为(), 22 0 xydxeyf, 22 de pq中点m(), pq的垂直平分线的方程为:, 2 , m mmxy 2 3 2 圆心()满足,所以, 2 , 2 ed mxy 2 3 2 3 22