（生物医学工程专业论文）基于模糊理论和小波变换的PET图像重建.pdf

东南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t i t l e ：p e ti m a g er e e o n s t r u c t i o nb a s e d0 1 1f u z z yt h e o r ya n dw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n a u t h o r ：h u a n gh u i s u p e r v i s o r ：p r o f l u ol i m i n s c h o o l ： s o u t h e a s tu n i v e r s i t y p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o 聊b y ( p e t ) c p r o v i d et i s s t mf i m e t i o n a li m a g i n gw i t ht h ea i do fr a d i o i s o t o p e w h i c hc u r r e n t l ym a k e si t eo fn o n i n v a s i v em e d i c a li m a g i n gt o o l so b s e r v i n gd y n a m i c a l l ya n d q u a n t i t a t i v e l yt h ep h y s i o l o g i c a la n db i o c h e m i c a lc h a n g e si nv i v o t w op i v o t a lt e c h n i q u e si np e tr e s e a r c h a r e a , i m a g er e c o n s t r u c t i o na n dd a t aa c q u i s i t i o n , a r eg a i n i n gi n c r e a s i n gm 聊m a n c ea n da t t e n t i o nw h i c ha i m p u l s e db yt h e 、v i d ea p p l i c a t i o no f p e ta n df a s td e v e l o p m e n to f c o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e s g e n e r a l l yt w o r e c o n s t x u c t i o na p p r o a c h e sa l ed i s c u s s e di nt h ep a p e r ：m a pm s n u c d m o d e lb a s e d0 1 1f u z z yt h e o r y a n da n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ；a n dm a pr e c o n s t r u c t i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m i nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e r , b o t hf u = yt h e o r ya n da n i s o t r o p i cd i f f u s i o nm e t h o da r ea p p l i e dt op e t r e c o n s t r u c t i o n t h em e t h o do f a n i s e t r o p i cd i f f u s i o ni sas u 删o tm e t h o df o ri m a g en o i s er e m o v i n g , w h i c h c r e m o v et h en o i s ei n s i d et h ei m a g ew h i l ek e e p i n gt h ee d g eo fi m a g e ht h i sp a p e r , t h et w ot h e o r i e sa r e i n c o r p o r a t e dt 0i m a g en o i s er e m o v i n gf i r s t l y , a n dt h e na t ea p p l i e dt 0p e tr e c o n s t r u c t i o n t h ef e a s i b i l i t y a n de f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o da t ev e r i f i e dc x 弘d m 曲t a n yi n 呷a r i s 蛐w i t ho t h e rc o n m n l y l 丝e dn t t l l o d a i nt h es e c o n dp a r to ft h ep a p 盯 p e tr e c o n s m m t i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mi st h o r o u g h l ys t u d i e d t h et h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r mi sw i d e l yu s e di nr e c e n ty e a r s ，w h i c hh a sa l r e a d ys h o w ni t se f f i c i e n c yi n t h ea s p e c t so f n o i s er e m o v i n g , i m a g ec o m p r e s s i o na n d o n1 1 1t h i sp a p e r , w a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e dt 0 p e tr e c o n s t r u c t i o nf i e l d f i r s t l y , t h ew a v e l e tt r a n s f o r mo f t h ei m a g ei se v a l u a t e du s i n gt h em a pm e t h o d ， a n dt h e nt h ei m a g ec a nb ee v a l u a t e db yt h eb a c kt r a n s f o r mo fw a v e l e t t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h e p r o p o s e dm e t h o dc a l lb es u p e r i o rt oo t h e rm a pm e t h o d sb yp r o v i d i n gh i g hq u a l i t yr e c o n s t r u c t i o n sw i t h w e l lp r e s e r v e di m a g ed e t a i l s k e yw o r d a ：p e tr e c o n s t n l e t i o n , r a d o nw a n s f o n u a t i o n , m l e m m 址b a y e s i a ne v a l u a t i o n ，i m a g en o i s e ， e n i s o t r o p i cd i f f u s i o n , 蛔m e m b e r s h i p ，w a v e l e tw a n s f o r m a t i o n 本文常用缩略语说明 a r t ： e m ： f b p ： m a p ： h ，恤t m l ： p e t ： w l s ： 本文常用缩略语说明 a l g e b r a i cr e c o n s a u c t i o nt e c h n i q u e e x p e c t a t i o n - m a x l l n i z a t i o n f i l t e r e db a c k - l m o j e c t i o n m a x i m u map c i s t e n o m u l t i p l i e da l g e b r a i cn x m n 鲥n 玉c t i 蛐t e c h n i q u e m a x i m u ml i k e l i h o o d p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y w e i g h t e dl e a s ts q u a r e s 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 研究生签名： 生塾日期：! ! ：竖 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：么整，坠 导师签名：日期：d 6 妒 东南大学硕士学位论文 1 1 课题背景及意义 第一章绪论 正电子发射断层( p o s i t o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ，p e t ) 是一种能够无创地以动态、定量的方式 观测到活体生理和生化变化的医学成像工具。图像重建和数据采集与处理方法在p e t 研究中占有重要 地位，随着先进的核医学断层影像设备的广泛应用核计算机技术的迅速发展其研究越来越受到人 们的重视 p e t 的工作原理是通过特异放射性生物活性分子，参与活体的代谢过程来反映机体的生理、生 化改变使用特殊的探测成像设备，可以在体外无刨伤地、动态地、定量地从分子水平观察到生物 活性分子进入人体内的生理、生化变化，因此，p e l r 常被称为。活体生化显像”i l j 。p e t 虽然也是利 用原子核技术，存在一定的放射性，但是它非常安全，一次全身p e t 检查的照射剂量远远小于一个部 位的常规c 值查。因此，美国著名核医学家w a g n e r 教授称p e t 是“继高能物理及基因工程之后2 0 世 纪第三个最伟大的成就”j 。 p e t 的主要优势在于能够在体外无创地“看到”活体内的生理的和病理的生化变化过程，并能 对生化过程进行准确的定量分析这对于研究生命现象的本质和各种疾病发生、发展的机理非常有 用。在l 临床上，特别适用于在没有形态学改变之前，早期诊断疾病、发现亚临床病变以及早期、准 确地评价治疗效果等“此外p e t 可以一次获得三维的全身图像，可发现其他检查所不能发现的问 题 p e t 现已成为诊断和指导治疗肿瘤、冠心病和脑部疾病这三大威胁人类生命的最优手段。如通 过p e t 有助于医生发现肿瘤转移病灶的原发灶，协助鉴别肿瘤的良、恶性，并可用于肿瘤的临床分 期、恶性程度分级、疗效评价和确定复发病灶等方面。p e t 在心脏疾病中最有价值的应用是通过先 后观察心肌血流与心肌葡萄糖摄取的方法，来确定心肌是否存活；应用p e t 还可以早期诊断和鉴别 帕金森氏症和各类痴呆：用于定位癫痫病灶，为癫痫的手术治疗提供精确的范围同时，p e t 技术 有望在在对人体没有任何损害的情况下，帮助科学家了解到体内基因的表达是否存在异常，基因治 疗过程中基因转导是否成功等等，显示出其巨大的潜力另外，p e t 在探讨中药作用机制和疗效、 经络本质等方面，有着现有研究手段无法比拟的优越性【l j 。 综上所述，p e t 图像的生成和高质量的p e t 图像重建毫无疑问也是极具研究价值的一个课题本 文主要分析p e t 图像的重建方法由探测数据重建可靠性高的功能图像。该课题的研究得到了国家 “9 7 3 ”重要l 临床医学信息处理的关键科学问题研究项目之子项目医学功能图像伪影消除与高 分辨率重建的支持。 第一章绪论 1 2p e t 成像的背景知识 1 2 1p e t 物理基础 科学技术的发展使得图像在现代l 临床医学中成为不可缺少传递和表达信息的工具。各种医学图 像的成像机制不同，重建方法也就不同。所以要对p e t 图像进行高质量重建，首先要了解它的成像 机理。 p e t 在临床的显像过程是从回旋加速器得到要使用的发射正电子的放射性核素，将放射性核素 标记到能够参与人体组织血流或代谢过程的化合物上，给受检者注射标记发射带有正电子核素的化 合物后让受检者在p e t 的有效视野范围内进行p e t 显像。放射性核素通常是富质子的核素，它们衰变 时会放射出正电子。例如我们用p 表示单个质子，那么它的衰变公式可以描述为p l ： p _ 口十+ n + 其中口+ n 和v 分别为正电子、中子和中微子，放射出的正电子在体内移动大约l m m 后和负电 子结合发生湮灭现象，正负电子消失并同时产生两个能量相等( 5 1 1 k e v ) ，方向相反的光子。在p e t 探头系统内由数个探测器环构成，由湮灭产生的两个方向相反的光子能够被探头内的两个探测器分 别探测到我们用图1 1 来简单描述检测过程 一 毫- 累盯f _ 叔巾向向+ r - 妙一 几n 几+ 图1 1 光子探测过程示意囤 探铡嚣l 探测罂2 符合运算结果 探测器探测到的两个光子由于在体内经历的路径不同分别到达两个探测器的时间也有一定的差 别。我们把探测到这两个光子过程称为探测符合事件过程，这两个光子产生的过程称为符合事件。 在进行正电子探测过程中，每一个探测器产生了一个时间脉冲。这些脉冲在符合电路系统被进行符 合运算。假如脉冲落在规定的时间窗内我们认为有一个符合事件发生时间窗一般在0 - 1 5 n s e c 图 1 1 描述了符合探测过程。当第一个探测器探测到一个5 1i k e y 光子后要同时检测第二个探测器上是否 在规定时间内( 一般0 1 5 n s e c ) 探测到另外一个5 1 i k e v 的光子。如果探测到我们就能够确定有一个 湮灭发生，同时在投影相应位置记录一个计数。如果计数足够多，那么累加起来得到一个相当于穿 2 东南大学硕士学位论文 过放射性同位素浓度分布的投影数据嗍。根据这些投影数据提供的信息，设计合适的重建算法我们 便可以得到该断层上放射性同位素分布的二维图像。 由于光子传播不是完全在一条直线上，因此在探测光子的过程中需要准直器的辅助。在p e t 探测 系统中采用的是电子准直器。而常规的s p e c t ( s i n g l e p h o t o n e m i s s i o n c o m p u t e r t o m o g r a p h y ) 采用 的是含有金属铅准直器电子准直器和常规的准直器相比具有非常高的灵敏度和分辨率。电子准直 器的探测和每个探测器大小以及晶体的厚度有关系，特别是灵敏度和晶体的大小成正相关性。电子 准直器如图1 2 所示： 囤1 2 电子堆直器示意图 另外，由正电子湮灭后产生的射线在体内和组织还会发生的康普顿和光电效应等。康普顿效应 使光子和物质的电子发生作用后光子的部分能量有丢失对于5 1i k e v 光子在光子方向偏斜2 5 度时能 量将会丢失1 0 另外，由于散射导致光子偏离原先的轨迹，有可能使得偏离后的非共线光子对同时 被同一对探铡器通道所捕获，这种情况称为这两个光子构成了一次偶然或者随机符合因此在投影 数据进行重建之前还需要进行数据校正 1 2 2 工作过程 所示 ( 一) 制作核素。用于p e t 扫描的正电子核素是用加速器生产的产生过程的核反应式如表1 1 表1 1 常用核素产生反应式 核素核反应式 半衰期( r a i n ) l5 0 1 ( d ，n ) 15 0 5 n ( p ，n ) 5 0 2 0 5 1 柏 ”o o ，a ) 1 柏 9 ， 。1 c 1 n 慨) ”c 2 0 3 4 1 l f o ( p ，n ) 1 f 孙n e ( d ，a ) 1 | f 1 1 0 如常用的核素1 。f 是用【旦】旋加速器加速质子去打靶材料”0 ，在核反应过程中放出一个中子后产生 ”f ：同理，也可用加速器制成其他种类核素。 ( 二) 制作有正电子衰变核素标记的放射性药物用能发射正电子的核素所标记的药物称为正 电子发射核素药物。这种药物的制备过程依核素的不同而不同，目前临床应用最广泛的药物是“f - 氟代脱氧葡萄糖( f i ) 1 3 ) 3 第一章绪论 ( 三) 药物注射。把制作好的药物，如常用的1 。f - f d g ，注射到待查的病人的静脉中或让病人 吸入，该药物参与人体生化代谢过程。f d g 在糖酵解酶的作用下被磷化成f d g 6 - 磷盐堆积，所累积 的数量( 也包含了1 。f 的数量) 与细胞的糖酵解活性成正比。有癌变的器官或组织部位所累积的1 l f 远 多于它周围的正常组织( 十五倍至五十倍) ，由它所发生的湮灭和产生的t 光子也相对多很多。 ( 四) p e t 扫描。获得人体放射性药物浓度分布的投影数据，经过各种校正后，即可重建出有 关器官或组织的代谢功能图像。图像重建方法在p e t 研究中占有重要地位我们的主要工作在于设计 合理的算法，重建高分辨率、低噪声的p e l 扫描图像供临床分析使用 ( 五) 图像的分析。通过对图像的分析，医生可判断出病人是否患有疾病、疾病的性质，部位 和严重程度，以便采取相应的治疗措施。 1 3 国内外研究现状 人们对p e t 断层重建的研究已有3 0 多年的历史。p e 礓建算法的分类大致为解析法和迭代法两大 类。其中迭代重建算法又可以分为：代数重建迭代算法( a r t ：a l g e b r a i cr e c o n s m j c t i o nt e c h n i q u e ) 和期望最大( e m ：e x p e c t a t i o nm a x i m u m ) 迭代重建算法唧 b p ( b a c kp r o j e c t i o n ) 、f b p ( f i l t e r e db a c kp r o j e c t i o n ) 以及其派生算法都属于解析法，它们的 理论根据是：r a d o n 变换( 包括r a d o n 反变换) 以及投影定理( p r o j e c t i o nt h e o r e m ，也即中心切片定 理c e n t r a ls l i c et h e o r e m ) 。f b p 算法是一种在早期研究中较常用的方法，它的计算过程明了简单， 因此它早期被广泛用于p e l 扫描仪中然而，p e t 投影数据受噪声( 主要由散射、衰变，探铡器效率 等原因造成) 的污染比较严重这使得基于f b p 算法的p e t 投影数据重建并不能得到满意的效果。因 此，在滤波反投影重建算法原理和基本思路的基础上，研究具有抗噪声能力的重建算法具有重要意 义近年来，很多研究者在解析法断层图像重建的原理上，将小波变换用于计算机断层图像重建中。 p e y r i n 等人提出了将原始数据进行二维小波变换和斜坡滤波的反投影算法该方法并不对投影数据的 噪声加以处理，仅通过原始空间的二维小波变换来表达目标嘲s a h i n e r 和y a g l e 通过在小波变换过程 中减少重建图像上高频噪声来构造空间变换的滤波器，并且用于有限角重建问题中，同样该方法中 目标也是由原始空间的二维小波变换基来描述的【7 1 m b h a t i a 等人在对投影数据进行一维小波分解 的基础上，运用统计学中的最大后验概率法处理图像中的噪声，由于该方法是在投影空间按投影角 度进行的一维小波变换，因此更贴近实际测量数据，并且和f b p 法相比并没有过多的增加计算量， 但是对高频信号分析得不够精细1 5 】。 迭代法是从一幅假设的初始图像出发，采用迭代的方法，将理论投影值同实测投影值进行比较， 在某种屉优化准则指导下寻找最优解。由于该类方法可以根据具体成像条件引入与空间几何相关的 或与测量值大小有关的约束和条件因子，因此重建图像质量高，但是其庞大的计算量和难以接受的 计算时间使该算法在l 临床应用方面受到很大限制。近年来研究学者们相继提出了很多改进的迭代算 4 东南大学硕士学位论文 法，如h mh u d s o n 等人提出了有序子集最大期望值方法( o r d e r e ds u b s e t se x p e c t a t i o nm a x i m i z a t i o n ， o s - e m ) 仍l e w i 仳r m 等人提出的加超松弛( o v e r - r e l a x a t i o n ) 因子的重建算法【，s c h m i d l i ，l 将 迭代方法归纳为两个可调参数松弛因子与子集阶数的统一形式，但是没有给出真正将二者相结合的 算法实现叫。 1 4 论文的主要工作和内容 论文在对p e t 原理和现有图像重建方法分析的基础上，对基于后验模型的m a p ( m a x i m u ma p o s t e d 硎) 重建方法做了一些改进： 在经典m a p 估计重建方法的基础上，引入了模糊异质扩散原理。在利用模糊异质扩散的模 型进行图像去噪的基础上，提出了基于模糊理论的m a p 重建方法 将m a p 估计的方法运用到小波变换域中，从小波变换域的角度进行图像重建 论文共分为五个章节，各章节的安捧如下 第一章为绪论，简要概括课题背景及研究意义，国内外研究现状，以及论文的主要内容； 第二章，主要介绍目前p e l 重建所应用的经典方法，主要分解析法和迭代法两大类方法介绍， 并指出各自算法的优缺点； 第三章，简要介绍模糊致学理论和异质扩散理论，将这两种理论结合运用到图像去噪中去，并 取得了较为理想的效果。然后，将这两种理论结合的思想同m a p 估计重建方法综合运用到p e t 重建 中，实验结果表明，该方法能够取得较为理想的效果； 第四章，介绍小波变换理论以及基于小波变换的p e t 图像重建方法及实现； 第五章，总结了整个论文的工作并对今后的研究工作进行了展望。 5 第二章常用p e t 图像震建方法 第二章常用p e t 图像重建方法 2 1 基于r a d o n 变换的滤波反投影重建 2 1 1r a d o n 变换 医学断层成像方法不能直接产生目标的三维数据，而是得到断层二维图像的投影数据。在数学 上，一个投影变换可以用 屯1 d o l l 变换来表示。r a d o n 变换是一个到极坐标上的二维函数的投影变换。 如式( 2 1 ) 所示【1 2 1 嗍： 翔扛) = 嘲( z m 扣 n z 1 ( 2 i ) 这里n ，( c o e o ，日m 口) 是垂直于投影方向的单位法向量，2 是投影方向上的向量。砌( z ) 称为二维函数 f ( z ) 的一个投影。函数6 ( ) 的作用是找出一条平行于投影束的积分直线路径。其变换示意图如图2 1 所示。 磁 ， 二蕊州。糖e ： x ：二二7八 、 、 由坐标转换的定义，我们可以得到 田2 1 投影变换示意图 z = 口4 - b i n 0 = 一zs i n 94 - y c m o 又由积分的面积不变性，式( 2 1 ) 可以写成： 6 东南大学硕七学位论文 舶扛”) = r ”d 2 2 y ( z y ( ? lzn ) = r 9d 2 y y 扛n ，) ( 2 3 ) o 一 j 一 2 1 2 傅立叶分片定理 ，协( ，) ) = 品) l ， 群一k 必x 岛扣) 亨g ( 。，口) ( 一一。 广 ，一币 一。 8 必 。 图2 2 傅立叶切片定理示意图 假设投影函数p e ( x ) 的傅立叶变换为岛和) ，并由定义式( 2 1 ) 以及积分的旋转不变性可以得 到品( u ) 的表达式，如式( 2 4 ) 所示【1 1 ) ： 么： 得到 岛p ) = 去仁护z h ( z ) e x p 一血z = 去仁d 2 州( 。) 唧 _ 一】 ( 2 4 ) = 击仁d 2 可唧【池n 】 同时，对图像的特征函数进行二维傅立叶变换，设g 扣， ) = g ( ) 为图像的傅立叶变换系数那 g ( u ) = 去啊( 咖x p 【- i u z 由将直角坐标系转换为极坐标系，口) ： = u c o s 一 = u s i n 口 g ( ，口) ：r 。d 2 z f ( z ) e x p 一- 【z o 一 比较式( 2 7 ) 和式( 2 4 ) 得到 岛( u ) = 2 丌g ( 0 ，一) 7 ( 2 7 ) ( 28 ) 第二章常用p e t 图像重建方法 这样投影数据的傅立叶变换可以由原始目标二维傅立叶变换垂直于投影方向的切片来表示这 个重要的结论就是傅立叶切片定理或中心投影定理。两者之间的关系可以由图2 2 来表示。 2 1 3 平行数据的滤波反投影 式( 2 7 ) 的傅立叶反变换为1 1 目 胎卜击生删删廊p 【 ， = 嘉r 。甜d 伽( 0 ) e x p 【仲一口伽m 口 1 一 胎) 2 专r d 口仁j g 和卅e x p ( 扛9 柳8 i n ( 2 1 。) + 萨1f 枷仁们和，”) e 】【p ( 一o 妒+ n ) + f 日i n ( p + ”) ) 灿 由于6 p + 丌) = 一c o s o , s i n ( o + 丌) = 一m n o ，故g ( u 0 + f ) = g 口) ，因此 他) = 专r 棚仁如一眠口) 唧阻】 ( 2 1 1 ) 又由傅立叶分片定理( 式( 2 8 ) ) ，我们得到： 其中 他) = 专f d 口f 如岛p ) 唧陋n 】= r 哟( z 叫 ( 2 1 2 ) g 忙- n ) = 1 8 。，：d u - u 岛( u ) “p 【w z n 】 = 嘉f - l 品p ) 】 = i ，一1 f f - 1 ( i u i ) 加。) 】) ( 2 1 3 ) = 稃1 f 一1 舶( z ) = m + 砌) 扛) 这里r 1 表示傅立叶反变换，+ 表示卷积式( 2 1 2 ) 表示对投影数据用斜坡滤波器i u l 滤波滤波 后的投影岛对图像中投影线上所有的点( z ，) 的贡献相同，因此可以看成反投影。所以，o ，) 将由所 有1 8 0 度角的投影和组成。这种重建方法由此被称为滤波反投影重建算法 2 1 4 数值实现 式( 2 1 2 ) 中所示的模型表示的是无限带宽的情况在实际应用中是不容易实现的，主要由于 东南大学硕士学位论文 以下几个原因：1 ) 由于i ，i 不是绝对可积的所以f - 1 0 u 1 ) 不存在；2 ) 由于我们系统的空间带宽是 有限的，而且我们采用的数据是有限的，例如0 的采样是离散化的。 在我们的图像系统中采用有限带宽，比如某一个空间频率q ，由于系统对大于该频率的部分不 敏感，所以f 一1 ( u ) 就变成： 州) = 1 2 。f 一1 0 = 1 4 。：c 山1 w l e x p 【删】_ 嘉r u 一渺 ( 2 ，1 4 ) 其中z = on ，对式( 2 1 4 ) 积分得到 叫) = 坐垃筹掣 5 ) 设投影的采样间隔为t c f r t ，由奈奎斯特采样定律，= 2 丌( 2 r ) = ”r ，因此有 i - ，f , = 0 , 1 , 2 , 3 ( n h 一”，这样式( 2 1 5 ) 就变成 m = c o s ( x - n _ ) + 鬲n x 再 s i r n ( z c n ) - 1 计算上式，我们可以得到： h i 】 ( 2 16 ) 专， i ，n = o o 毛，n ”e t ，n = 0 ，士l 士2 ，士3 ( 2 17 ) 一1 2 f t 2 f 2 玎n so d d 在采样点n r 处，滤波投影的值可以由式( 2 1 8 ) 得到： o ( 一) = r 册( ) 【唧一m 川 一 ( 2 1 8 ) 实际上，每个投影数据都是有限长的，如果投影数据在m = 0 2 ， 一l 之外都为0 ，那么： ( 2 1 9 ) 我们可以从式( 2 1 9 ) 中可以看出t 要得到岛的心个采样数据，需要m n 】的2 i 一1 个数据。如 果h 及p o 的长度分别为日和尸，那么岛的长度为p + 日+ 1 ，为了防止周期之间的干扰，需要将h 及砌的序列用幅度为0 的序列扩展至p + 日+ 1 。如果 及p o 的长度都为 ，那么可以将它们扩 展至2 n h 一1 的长度。在实验中，我们采用2 基数的快速傅立叶变换( f 兀) ，因此要将h 及砌扩展至 n p ( n r 是大于2 一l 的最小的2 的幂) 。这样式( 2 1 9 ) 的频率方法实现如式( 2 2 0 ) 所示： 岛( n r ) = f i f f t f f t ( p e ( a t ) f f t ( h ( n t ) ) ( 2 2 0 ) 9 m n扛研 珊 如一 m r = 盯 岛 第二章常用p e t 图像重建方法 式中i f f t 和f f t 分别是快速傅立叶反变换和快速傅立叶变换，南和 序列及翔和 对应的用 零补齐的序列 由式( 2 1 2 ) 及式( 2 2 0 ) 可以得到 7 ( 牡砺i fm 霎舭 。m 凹 赤善引一州蛆 这个方程要求滤波器对平面内所有的点滤波反投影，每个滤波投影对沿着投影线方向的点的贡 献是相同的。值得注意的是对点( 毛，) 的反投影，需要对其作变换z = $ e b + y s i n o 。当然这 里的z t 不一定是整数，所以还需要进行插值运算，一般采用线性插值。 2 1 5 仿真结果 本章中采用1 2 8 1 2 8 象素的s h e p p - l o g a n 模板像对r a d o n 变换及其滤波反投影的过程进行模 拟，图2 3 ( a ) 所示为实验所用的模板图像。图2 - 4 ( a ) ( b ) ( c ) 分别是对原始图像间隔l 。、2 。及 5 。的r a d o n 投影变换结果。图2 3 ( b ) ( c ) ( d ) 分别是对图2 4 ( a ) ( b ) ( c ) 所示的投影数据经f b p 变换得到的结果。 ( a ) ( b ) 圈2 3 原始模板及针对不同投影的f b p 重建结果 对闻隔2 。度的投影重建的结果( d ) ( c )( d ) “) 原始模板( b ) 对同隔i 。的投影重建的结果( c ) 对闻隔5 。度的投影投影重建的结果 ( a ) ( c ) 圈2 4 对原始图分别取不同角度的r a d o n 变换投影 ( a ) 间隔i 。的投影( b ) 间隔2 。度的投影( c ) 问隔5 。度的投影 1 0 东南大学硕士学位论文 2 2 常用的迭代算法 p e t 迭代法是从一幅假设的初始图像出发，采用逐步逼近的方法，将理论投影值同实际测量投 影值进行比较在某种最优化准则指导下寻找最优解。迭代法重建模型是建立在p e t 投影数据产生 过程的基础之上的在p e t 图像重建过程中，唯一能探测到的信息来自湮灭时产生的光子，即不同 探测器在某个观测时间内所捕获的光子数在理想情况下可以认为是关于未知核素分布的一个线积 分。而实际情况中还应该考虑到由于各种因素所造成的噪声影响。常用的加性噪声观测数据模型为： p o ，口) = ，o ，) 口o 。，o ；x ，y ) d x d y + “z ，日) n 其中d ( 。，以毛) 表征了0 方向上距离原点z 1 远处符合线的点扩展函数( p s f ：p o i n ts p r e a df u n c t i o n ) ， 它是旋转和准平移不变的l 6 ”如，p ) 为观测噪声。迭代算法需要先将投影空间离散化，设立迭代 起点，然后在离散空间中向目标方向搜索，逐步求解问题的近似解或最优解。离散化模型如图2 6 所示： 图2 6 探测过程高散化模型 在某一时刻，探测器扫描到某一角度时，图像空间每个象素点发出的光子，均有可能被探测器 上的某一个固定通道( 假设为i ) 检测到换言之，图像空间的光子将按概率加权的方式，形成对 第i 根射线的投影贡献。因此，数学表达如下： 正= a ，j = l j ，f ：1 ， j 其中，表示第j 个象素点被第t 个探测器所探测到的概率，表示某时刻图像空间的第j 象素处发 第二章常用p e t 图像重建方法 出的光子数( 放射性元素的浓度) ，显然正o , j = 1 一，n 表示第1 个探测器探测到的光子总数( 射 线和) 。j 为图像矩阵元素数( 比如图像为n f 矩阵，则j = n f ) ，为总的投影点数或 射线数( 比如探测器有曲个探测通道，围绕物体在1 8 0 。范围内，以均匀间隔扫描n o 次，则 ，：n o 砷) 写成矩阵的形式： 后a f 孤= p ，乩j c z “， 其中，表示图像空间，p 表示投影空间，a 表示由( ) 形成的j ，概率阵因此图像重建的问题 可以转化为：在约束条件，t20 , j = 1 下，求解方程组 ，= p 。当方程个数很多时，从算法上 很难实现严格求解。另外，由于物理因素的影响，我们实际观测到的一般是受噪声污染的数据。即： ，4 - e = p ，这里e 是加性噪声，一般为泊松噪声。因此，即使方程的个数多于未知数的个数，也 无法得到正确的解。而对这样的方程组求出一个近似解，即在某种意义下的“最优解”却是可以实 现的为此人们针对这种巨大数目的线性方程组的求解提出了多种多样的迭代求解方法，都可以归 结为一类非线性规划问题，即设立目标函数和约束条件利用非线性规划问题求解该目标函数的最 优解 迭代求解方法的基本过程是”礓切 ( 1 )假定一初始图像，( o ) ( 2 ) 计算该图像投影i ( 3 ) 同测量值p ： ( 4 ) 计算校正系数并更新，值 ( 5 )满足停步规则时，迭代终止，否则转( 6 ) ( 6 ) 由新的，作为，【o ) 从( 2 ) 重新开始。 2 2 1 概率矩阵a 的计算 由以上迭代法的求解思想可以看出概牢矩阵a 的精度直接决定了p e t 图像重建的效果2 0 2 ” 概率阵的计算应考虑许多方面的因素0 2 l ：放射性同位素的活性、采集时问，放射性同位数的衰变率、 放射性药物在组织内的持久度、探测器与象素之间的空间对应关系、探测器的几何结构、光子的吸 收率以及光子的散射程度等因此概率阵a 是一个与系统性能密切相关的量 1 2 东南大学硕十学位论文 通常情况下，a 是一个庞大的矩阵。比如假设探测器将在1 8 0 。范围内均匀扫描1 9 2 次，探测器 有1 6 0 个通道即在每个投影方向上可以形成1 6 0 条射线。假如重建的图像是1 2 8 1 2 8 维的矩阵， 则概率阵a 为3 0 7 2 0 x1 6 3 8 4 维的矩阵。因此 的优化计算与优化存储显的尤为重要。人们通常采用 简化的模型来计算概率阵且，比如仅仅考虑探测器的几何结构的方法。v a r d i 最早提出以视角法 ( a n g l eo f v i c w ) 来计算概率阵叫，k a u 劬提出利用环型网格法来近似计算概率阵l ”，这种方法 还有利于减少概率阵的存储容量；后来v e k l e r o v 等还利用蒙特卡洛( m o n t ec a r l o ) 法来计算概率阵， 并取得了比视角法和其他算法更优的结果1 2 ，】 在实际中，由某一象素位置发射的光子只会对它路径附近的几个探测器有贡献，其余的则没有 贡献。换言之，象素只能被某一方向上的几个探测器检测到因此 中将存在大量的零，即 是稀 疏矩阵。又因为探测器的扫描具有对称性，所以常只需计算a 中的部分元素其余元素可以按对称 性来得到i ”在本文的仿真实验中，采用比较简单的线性距离法来计算概率矩阵，虽然不够精确， 但已满足基本的仿真要求。 线性距离法的基本思想是：某象素的中心点到某探测线。的距离越近，则被探测到的概率越 大，当五的中心点落在探测线上时被探测到的概率为i 在图2 6 所示的模型中，定义象素大小为 p i x e l s i z e ( 单位m m ) ，射线间距( 通道间隔) 为l h y _ s p a c e ( 单位n u n ) ，图像空间中任一象素点五 对应的坐标为k ，地) 当探测器扫描到某一角度时，象素瓴，的) 到中心射线的距离公式为： = 巧4 - 虬日i n 岛 即象素乜，以) 到中心射线所间隔的射线数为 卷篙 ( 2 2 5 ) 假设象素b ，蜥) 只能被它周围的两条探测线检测到，则象素( 勺，如) 处发出的光子被位于角度 的，第【n , o ，】个通道检测到的概率近似为 吩， 】= 1 ( w 一【| v w 】) 其中【j 表示取整运算。若【r 唧 大于通道总数则表示( z ，f ，) 没有被通道检测到，因此可以设该处的 概率为0 另外由式( 2 2 7 ) 我们也可以很简单的得到( z ，的) 处发出的光子被位于o o 角度第【唧】4 - 1 个通道检测到的概率： 1 3 第二章常用p e t 罔像重建方法 q ，| 坼。+ ij = 1 一( 【，q + 1 】一 k ，) = n , q 一【_ | v m ，】= 1 一吩【 k 2 2 2 代数迭代算法 对于由投影数据重建断层图像的问题，g o r 血l 等首先用代数的方法，导出了a r t 算法口6 】a r t 算法包括加性a r t 和乘性a r t ( m a r t ) ，这两者的主要区别就在于搜索方向及搜索步长不同。a r t 的基本思想是通过逐步改变那些与射线相交的图像象素点的值，以使得该射线上象素的投影值逼近 所观测到的投影值鲫以两者的差值n r 确定逼近程度即： a m r = p i 一似x 一0 其中，一) 表示第次迭代时的图像；( ，( x 是新图像经投影后，在投影空问中的第i 根射线的射 线和再将得到的 r 作为下次迭代的修正值修正图像空间中象素点的值，( ) 作为下一次迭代的 初值上述便是a r t 迭代的过程，我们得到如下的迭代公式： j j j k + 1 ) 砷+ 卉小= 呲 ( 2 3 0 ) 其中，a 表示a 的第i 行， i a i 表示取2 范数- a r t 收敛较慢，g o r d a n 等给出了一种加速收敛的算法，即乘性代数迭代发m a r t 。用两者比 值a j “r r 确定搜索方向，即： w r5 i 而p j _ l) 对式( 2 3 1 ) 求解可以得到m a r t 的迭代公式为： “= 矗( r ) ，i = 0 , l 2 ( 2 3 2 ) 2 2 3 基于统计原理的迭代算法 基于p e t 重建模型，s h e p p 和v a r d i 2 s 1 假设：正电子的发射可以看成是一个p o i s s 随机过程根据 这样的假设，我们可以认为每根符合线所观测到的射线和是独立同分布的p o i s s o n 随即变量，印： a p o i s s o n o k ) ( 2 3 3 ) 其中，入表示第i 根射线所期望得到的光子数因此在给定图像空间中象素处光子数分布的条件下 根据p o i s s o n 分布的定义我们可以得到观测数据的似然函数： 1 4 东南大学硕士学位论文 根据假设可知： = 鱼e 吐警o l ， j 这里，= 1 这样得到似然函数的表达式： j = i 其求解目标是： l ( p i ，) = j = ”g 甲仙p 咖i ，) ) i j t ：五o , j 2 1 ， ( 2 3 7 ) 其中p r ) 是概率分布函数，求解的难点在于给定的非负约束条件正0 s h e 即和v a r d i 8 ”根据 d e m p s t e r i 2 ”提出的计算最大似然估计方法，提出了约束条件下的求解迭代公式 矿”：罩奎k j ：l 坩：。m ( 2 3 8 ) ”1 o ，i ； ，= 1p = 1 该迭代满足k t 条件m ，因此它将收敛到目标函数的k t 点是经典的m l e m 算法，属于乘性迭 代法，而且当初值为非负时，迭代过程产生的结果也能保证非负由于p o i s s o n 模型刻画光子发射过 程比较精确，因此当投影数据满足p o i s s o n 分布的情况时，能得到比较满意的迭代结果。 最大似然( m l ) 估计是统计意义上的一种最优解，当已知观测数据时，根据这种方法能够求出