（基础数学专业论文）弱hopf群余代数上的yetterdrinfeld模及相关结构的研究.pdf

蠲醚。缎瓣棠代数上的橼一d 撼靶l d 模凝栩关结梅的骈究 擦鬟 本交建交罄篱王绺醣继续，塞要憨建搬聪h o 帮群众代数上盼y e 撤p d l a & 弑蠛获冀中心联论并研究弱裙对h o 龋群余棋上的m 黼c h k e 懋理，从丽 摧广了f 4 i 及【2 鸳瓣精盛绻暴。金定菸分为疆鬻； 第一霉燕聚餐朝泼妻霎舟缀1 r 璃l 孙茚代数，馥。掰辩佘我数等蕊琴麟 念及谯瓣 第三鬻圭簧分臻聪鞭。龋释弱余代数，珏获箕主翁鼗将辣子代数+ 菇9 ， 探誊毒了弱醚。篮群翡衾代数熬一蹙蓥零褴攒释缩论，为鞑瓣懿鬻节奠定了一些 理论蘸旗 第兰辫警簧燕程鞲辑姆f 群众截数主建纛y 戡m 黼n 热辩模；搽讨其性璇 势缭出窀赡替髫 条终，从褥对箕黠褥翦霆奉茨豹试识。 辩隧鬻奔穗单矮藏# 崴萃璜范酶主翡中心及鞴中心。分为震中心耥右中心， 巍忿基稿上，磷究露每v e 摅e 攮热凇摸黪荧燕，最翳诞甥两者愚麓梅熬。 蘩菇鬻童簧讨论丁端鞭。砖襻余我数上的瓣横对联嫦f 群衾模，谢入了遘 遴葵，中心簿，在就蒺旗主慰弱糟对鞋。醴群祭横的研究最詹，程一定条件 “f 迸疆箕m 鞋s 拣妇定懋， 荚镳谶 y e t t e r - d r i n 巍融模。弱礴尊心、鞴掇辩h 。p f 瓣余嫫，m 精惫骥 热阜师范大学硕士学位论文 y 毫t t e f _ d r i n 馘dm o d u e l s 尊矬dr e l a t i v es t r l l e t t l r e so v 盯w 制妇l 壬o p f 玎 c o a 坶e b 批 a 转s t 王淤。c 譬 t h i gp a p e ri st oc o m i n u e 2 5 8w o r k t h em 舡nr e s u l ti sa sf o l l 删8 ：f i r n ， 髑n 8 t r u e y e 镌坼蚤撼珏髭l d 黼o d u e l s 搬l d 辩e 8 靛e e n t e ro v e r 珊a kh o p f 盯e o 越一 g e b r & b 撼砖。矗t h e 鼬u d y 。f 娃嫉rp r o p 棵t i e s ，w 8 器醮c o 狂c l 璐i 。稳t 瓢嚣tt h e y a r ei 8 0 m o r i p h i c m o r a 坩r j 、张g t u d yw e a kr e l a t i v eh o p fm o d u l e so v e rw e a k h 。p f 霄文g e b r 鑫8 n db 畦醚m a s 穗鹣斑e o 髓m ，s 。麟g e n e # 盛z et 歉e s u l t 。f 闼d 矧，髓e 碱。l ep 卸e re o 聪s 扭o f 5p 站t s c h a p t e r1 i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i 8p a p e r ，w h i c hi n t r o d u c e 8t h e 、盹a k 酗p f 霸器e b r 毡，h 。p f 霄e o 氇逗e b 礴，a n ds o m ep r o p 峨i e 8 硝髓i e 凇 i nc h 8 p t e r2 ，w ei 魅t r o d 黜酶h o 鬟筇c o a g e b r a 黼de 。赫强粕o f s p e e i 赫 s u b “g e b r ao v e ri t s o m eb a s i cp r o p e r t i e sa 舶8 七u d i e dt om a k eab a 前8f o rt h e f o 秘。耐n g 瞧印t e r j b 瘫蠡p 融3 ，w ed i s c u s sh 槲t oe s t 曲嚣s hy e t t 毫r _ d 幽叠l d 勰o d 谳s ，a n d c l a s s i f yi ti n t of o u rt y p e so fl e m i e f t ，l e r r 培h t ，f i g h t r i g h t ，r i 曲t l e f t 。y p e s t r y 怕g e te 叫i v 如n c ec d i t i o n 8 黼dg e tf t l f t h e r 辩出i z a 呶m 王ne h a p t e r4 ，m 地r e t r o 交l c em o n o i a ic a t 铝o r y8 丑dc e n 始ro v e r 地m o r e o v e r ， w ei 乞r o d u c ew e a kc e n t e ro v e rw e a kh o p f 霄c o a l g e b r a a f t 挂s t u d y i n go ft h e r e i a 毛i 。n s h 碴b e 七w e e ni t 勰dy e t t 小d 妇f e l dm o d u e l s ，w ec o u l df o u 飘dt h e y 射e 妇o m o p h i c + i 硅c h a 辨t e r5 ，w es t u d yo t h 娃t y p em 。d u l e 8o nw e a kh o 避霄e 0 3 l g e b r & ，睡赫 i sw e a kr e l a 髓1 旧h o p f 竹c o m o d l 王王e s i nt h i s 吐a r p t 艘，w ei n t r 。d u c et h e 赴a c e 黼dt h ec e n t e rt op r 洲em a s c h 酶魄e o r e mu n d e rt h eg i v e n n d i t i o n s 一 莛皇塑蕊塞鲞受兰囊窭建塞 一 k e y 职固董l d s 弧t t g 卜豁r i n 萤e 王d 弛o d 娃e 圭s ，驿e a k 艚n 键r ，w e 蔽憾a 毫i v eh 。嚣”e 饿a 。d u l e 8 ，酣8 s c h h 搬e o r e m 绪论 h o p f 代数最初来源上个世纪4 0 年代初，h - h o p f 在研究拓扑群中的c o c h a i l l s 时构造了既有代数结构又有余结构的代数概念直到1 9 6 5 年， j w ，m i l 0 r 和j c m 0 0 r e 在开创性的论文 1 0 】中将上述概念抽象出来称之为h o p f 代 数并加以系统研究由于群代数，李代数的包络代数，仿射群的坐标环等均为 h o p f 代数的特例，h o p f 代数巳是代数学及相关领域研究的热门课题特别是 vd r i n f e l d f 5 1 有关量子群的引入，使之与量子y m 哥b “t e r 方程，组合数学， 共形场理论，结点理论，微分几何，算子代数等锈域联系起来，为h o p f 代数的 研究带来了新的活力 1 9 9 6 年受辛几何的启发j i “争h u al u f 9 最初对霍h 夫广义代数( h o p f a l g e b r o i d ) 作了较深入的研究，受低维量子场理论，算子代数等启发，f n i l l 17 对弱霍h 夫代数基本理论做了较系统总结最近p e t i g o f 与n n i k s h y c h 证明弱 霍h 夫代数恰为有限维霍h 夫广义代数，s c a e e p e e i ，d i 田】ow a “g ，y a n m i n y i n f 4 1 研究了交换环上弱霍h 夫代数的y e t t e r _ d r i n f e l d 模与中心构造，得到许 多有意义的结果弱霍h 夫代数与r o b e n i _ i l s 代数，冯诺伊曼代数的子因子 ( s u b f t o r ) 等有着密切联系，在许多领域有着很好的应甩近年来g b o h m ， f n i i i ，dn i k s h y c h ，k s z l a c h a 叫，v t 、l r a e v ，lv a i e 玎n a i l 等( 见 2 】 3 j 14 ， 【1 3 1 ， 1 5 ) 对弱霍h 夫代数的结构作了较深入的研究，但由于弱霍h 夫代数定 义的复杂性，很多相应于h 0 p f 代数的重要理论有待研究 2 0 0 0 年，v 。工 【l r a e v 【2 0 1 在m a h e n n i n 鹩l h k a u 珏五a 和de 鼢d f o r d 等( 见【7 ，8 1 ) 有关孓维流行不变量理论的基础上研究余链环上主* 丛的 h e i n g s - l i k e 不变量时引入的一类代数结构，它在量子域和向量丛中已经获 得了广泛的应用随后a v i r e n z i e r 2 1 】和m z u i 丑o f 2 3 ，2 4 i 等对h o p f 群余代 数的量子偶及y e t t e r d r i n f e l d 模等代数性质作了较系统研究，王栓宏f 22 1 证 明了h o p f 丌- 余模定理， 2 0 0 3 年，王军昌f 25 j 将上述两代数结构统一到同 一个代数结构，为此引入弱h o p f 群余代数的概念并研究了其代数性质本文 是上述工作的继续，主要是建立弱h o p f 群余代数上的t e r - d 曲f e l d 模及其 是上述工作的继续，主要是建立弱h o p f 群余代数上的t e r - d 血f e l d 模及其 绪论 中心理论井研究弱相对h 。p f 群众模上的m a 8 c h k e 定理，从两推广了文 4 】及 f 2 2 翡穗藏结果 2 第一章预备知识 1 2h 叩f 丌- 余代数 定义2h o p f w - 余代数： 设日= ( k ) 。e 丌j = & ，目) ，e ) 为w 一余代数 s = ：_ z k z 。丌 为对极且满足下列条件： ( 1 ) ( 甄。m 。，l 。) 为k 代数 ( 2 ) v o ，卢丌，o ，6 日。卢，z ，日 岛一( 口= 。，口( ) 岛口( b ) a ，口( 1 印) 一l n 0 1 口 。d 玩 鼠一l e = & 一l i d 如 s ( 卫鲈) = e ( z ) e ( 掣) ( 1 ) = l 我们称日= k h = ( 。，口) ，e ，s ) i 为群w 上h o p f 一余代数当 每一个玩，都有限时，我们称z k 有限 r e m a r k ： ”不一定有限，当w 有限且每个是有限维敢，我们称h 完 全有限 1 3 弱h o p f 代数 与( 7 j 中的h 神代数相比，弱h o p f 代数具有以下特点： 余乘法不保单位。( 1 ) 与1 0 1 不一定相等 余单位不一定是代数同态，但满足 ( $ z ) = 白轨1 ) 砖( 口f 2 ) z ) e ( 1 ) 与1 k 不一定相等 4 曲阜师范太学硬士学位论文 单位保弱余乘法： 2 1 ) 一( 1 ) o1 ) ( 1 圆( 1 ) ) 2 曩) 一( 1 0 ( i ) ；( ( 1 ) i ( 5 ) 为方便，可记作； 1 1 ) o t ( 2 ) 0 1 御= ( 1 1 ) o l 弹i ( i ，) ) 0 l 管) 1 f 1 ) 0 l 莉o l f 3 ) = = ( 1 l ；，l ( 1 j l 汀) ；o l f 2 ) 在弱h 0 p f 代数中定义了两个弱余单位： ￥a 努有 o t ：强崎h 鼠( ) = s ( 1 ( 1 ) ) 1 ( 2 ) 。：h _ h 岛a ) 一1 ( 1 j 觚鳓 并展它们与对搬s 满足以下的对极公理 4 】 锯$ s 2 如 s 铽一岛 s 毫吐女s = s 在率节鞠谖静基磷上，我# j 褥建立薪鸷结构俸系，它蹩程弱 孙p f 代数懿 蒸醚上缝合* 余代数孵特点，平褥子珏。蹲n 众霞数瓣缝糖。我# 爨搽毒重类 似的性质 5 笺二章瀚珏o p f 汀一余代数 鼗弱在逮一葶审缭窭嚣珏。菇霄- 余 弋数翦定义。搛雩于f 一余蕈锭子代数懿 性质，研究它在新结构中的作甩 2 1 弱h o p f 卅余代数 定义2 。l若n 余代数【l l h 一( e ) 。，a ，e ) 上荐定义一簇k 线性映射 s 一 & ：玩峙瓯一t * 并鼠满足以下的条件： v0 _ 丌 ( 日。，m 。) 是1 2 】所定义的k 代数 对予强，筘镩，而敦z 王毳 一 乱口：玩口_ o 琊) a ，口” 2 ( 1 。所) = ( n ，口( 1 a 口) o1 ，) ( 1 ao f ，1 ( 1 所) ) 2 l 。鼬) = l 。8 声矗 1 鲫) ) ( 。( 1 。力gl ，) ( 8 ) v n 了r ， 日1 ，s = 瓯：三毛_ + 蠡0 一，) 。臼满足 m 。( i d 玩。最一- ) 一t = 扛 i 蠢如) ( i ，。姐。) ) 矗o1 。) ) m 。( s 。一z 鬯l 矗曰。) 。肆( 哟 = 忙oi d 乩) ( ( l ，。( 1 。) ) ( 九o1 。) ) m a ( & 一t d 吼) n ，n ( ) 一( i d 如8 ) ( ( 1 。o ) 。，l l a ) ( 8 ) 中单位1 = ( 1 。) 。n 满足的性质日q 弱”一幺单性 ( 7 ) 所体现的是弱h o p f 余代数的弱性。 我稍鑫诧给圭毫魏下窭个k 线幢浃妻孛； 6 一 蓬皇蓬篓塞翌壅圭篓窭遮塞一 ? ：辫l _ 凰 鑫_ s l 洚) l 拖蛹 虿：嚣l 曲甄 甘 l ) ) 1 滗砖 馥t 辩x 畸冀& 矗一# ( 拓1 撬i 蚤1 壮肆f 舀：嚣l o 鼠 ao s 疆2 ，1 ) a l l p ) 我船分别称之为弱象，若”袋攀健，它稍瓣豫努烈记为； 雕= s ( 居1 ) 嚣一s ；( 蕊) 并据宅j 分鬟猕舞z 酝鹃农，省* 余犟像予谯鼗，黼詹爵薤窟稍均为甄t 豹子代数， 记热= 擎 n “； 甄一 嚣? 。o 努珏骣炭，右w 一余单位子我数。这里黪* 袭录卷积。 熨 4 j 中熬对莰公理讶表示藩； 娥 瓦一- = 露 & 1 $ d 乳= g ； s a 。l $ d 粕$ & 一i = 是吨v 耳 剜8 ) 中酶鞘 幺蕈性蔫s w e 矗i e r 谶弩簌示鲔下； 2 ( 1 蚋) ；l ( i 瑚i 2 芦) o l 3 痢 = ( 1 f l 穗) $ 1 2 ，芦) 1 7 ) ( 1 。ol f l ，# ) oi 蹬，) ) = 。) o1 2 ，辨l ( 1 ，棚露l ( 掣m 2 ( 1 醪7 ) ；1 ( 1 。) 8l ( 2 ，口) 静l 斩) = f l d l l 嗣o1 ( 2 一 ) 1 ( 1 ，。) 8l 矿口) 8l ，) = 址，4 ) 圆1 ) 1 ( 棚) o1 ( 2 ， 7 第二章弱h 却f ”- 余代数 1 ( 1 ，d ) ol ( 2 口) 1 ( 1 ，目) 圆l ( 2 一，) 端l ( 1 一，n ) 0l ( 1 ，口1 l ( ，p ) 岱1 慨1 ) 我j 将在2 + 2 中对其遗行详缬酌探讨娃麓完善鞴h o 西n 余代数性囊籁结 辚黯辍s = ，。单，满 麓梅稳据每一个黾分翻戈单，满；霹褥。 注记；当 = l 时， 爿= ( 日l ，l m g ，s ) 即是弱h o p f 代数 驽和是代数蕊态时，辩 n ，口l 卵) 一l l 瑚o l ( 2 ，口) 一k o l p 且( $ ) = s ( z ) s ( 口) 时，h * ( g ，h ) 就是h o p f ”一余代数 命题2 ，l 当= ( 嚣 。，m 。，s ，s ) 燕弱鞭o p f 释榘代数时，掰对v 五、 有 ( n ) ( 1 ，o ) 讳占i ( o ，1 ) ) 篇1 ( 1 。) o1 ( 2 1 ) ( 9 ) ( 6 )商( l ，1 ) ) 嚣矗瓴o 。嚣1 ( 1 ，1 ) oh l f 2 4 )( 1 0 ) 证翡： 匐瓠l ，a ) o $ ； 矗 2 ，l ) = 矗i l 母) og ( 1 f ，l 矗 2 ，1 ) ) 1 i ) 2 l ( i j p j ( i ，n ) eg ( 1 ( i i ) 1 ( r + 1 ) ( 2 ，l ) l ) = l ( 1 棚矗( 1 ，a ) 8 ( 1 】 豫站) l 3 ，1 ) ；瓠i ，# ) 矗9 l 豫i ) ( b ) 掌( 氐l ，1 ) ) o ( 2 ，a ) 竺。( ( 1 ，1 ) l ( 2 】) 1 ) o ( 2 水 = s ( 盎( 1 ，1 ) 1 1 一) 1 f 2 ) ) l 1 ，j ) 岱氟2 。耐1 窖， 一弧1 ) o # ( t ，i j 辘1 ) ) a 2 ，n ) 锄 一1 ) m ( 2 ，a ) 命髓2 2 v 嚣l ；盎) ；( s 弼l ( 1 。1 ) ) 1 ) = ( 1 ) ) s ( 1 ( 1 ，1 1 ) 一s ( 百晒) )f 1 1 ) ；( 矗) 1 l ，i ) 1 i ，笱s ( a ) ) = e ( h 1 ( 1 ，1 ) ) s ( 1 f t ，) = s ( 竹( 如j )( 1 2 】 为方便记敷，我们把1 ，l ( 妨= t ，站辔 ( 。+ 1 ) 中酶 ) 记俸 ( 1 ) ， 记痒敏2 ) 8 益窜帮范大学礤j ：学靛论文 露题23 。 ( 脚一9 0 ( 2 ) s ( j 1 ) )( 1 3 ； 凝翡； 8 ；( 矗) 一# ( i 1 ) ) ；a ) i ( 2 罄；s 。嘻酶) ) 1 一( 恕l ，1 ) s ( a f 2 ，1 ) ) l l 牡) = 忿溆1 ) 文萄) l l 2 ) 誊g f s f a l i ) 1 锄 l 姒嚣s ( 1 l ) g ( s ( ) s ( 1 f 2 ) ) ) 端g ( s ( 1 2 ) ) 是s ( 1 ( 1 ) 建( 1 i ，s ( 1 “) ( 3 ) 魁出乎1 f _ 薹霹，f a ) 昱? ， 叉戤与磁交按( 见弑) ( ) 的证髑颏下； ，l ( s ( 妨；s ( 硒) s ( 矗1 ) 数l ，l s ( 1 ) ) 一s ( 1 2 ) os ( i l ) 娣i i i ) o j ( 2 嚣s ( i 2 ) o s a i j ( 5 ) 罴盎予# s ( ) = s ( 砷 鸯f 趣2 ；4v 充芒甄， 矗f l 母l 谤毒( 1 2 ，1 ) 娑盎1 l ，神岱s 1 ( 2 ， 】)( 1 4 ) 谖鹤： a i # ) o 磅( 1 f 2 ， ) ) = i ，a 5 ( j 撬i l ( i j ) s f i l 鉴坂l 。哟! 文衅8 1 法1 ) l ；2 ，1 ) 1 1 ) ) s 1 2 ) 聋投l ，“l ；l ，。芦( i f 2 ， j 1 ；2 ，1 ) ) os ( 1 螽，i ) ) 拳矗i ( i ，n ) 势s l 拖癌 命题2 。5魄- 玩，f 甄毒翅下鼹式鼗宠 艇功一# 缸f i ，d 功o ( 2 ，。)f 1 5 ) ；捂挣一。n ) g ( 淞他1 ) )i 舒 其中( 1 s ) 式静征嬲赫下； 歌l ，l f ) 截2 ，神。s ( 墨l ，# 孙，1 ) ) ；。) l f 。，。) 畿占 茹( 1 ，1 ) 雪( 1 1 ) ) $ ( 2 n ) 芒( 掣( 2 ，1 ) ) 9 第二章弱h o p f m 余代数 = ( o ( 1 ，1 ) ( 1 ，1 ) ) o ( 2 ，o ) ( 2 ，o ) 瓯一l ( ( 3 ，。 = z 城l ，曲& 一，( 耿2 t ) ) = g 拇) ( 1 6 ) 可以类似证明 第三章弱h o p f 群余代数上的y b t t e r d r i n f e l d 模 定义3 1弱h o p f 群余代数上的模 代数，丝= ) 。霄是一簇k 模， 丛= 如) 。e 。是曼模 如果笪= h 日是弱h o p f ”一余 满足耽均是z 模，那么我们就称 定义3 2 弱h o 西”一余代数上的右余模：如果显= f k 。e 丌是弱h 0 p f ”一余代数，m = 如) 。是k 上的线性空间，并且有一簇k 线性映射： p = 儿，口：尥口_ 如o 咕) 。自满足 ( 3 1 a ) ，卢，y r ， ( m ，口o d 肌) p a 口，7 = ( 试o ，7 ) m 脚，也即 m ( o ，a 口) ( o ，d ) 0m ( o ，胡) ( 1 ，芦) 0 ( 1 爿) = m o ，a ) o ( 1 ，口1 ) ( 1 卢) ( 1 所) ( 2 ，7 ) 为方便我们记作； m ( o o ) om ( 1 一) om ( 2 爿) ( 3 1 b ) ( i d os ) m ，l = 碱 注记：右模和左余模我们可以类似定义 定义3 3 y e t t e r _ d r i n f b l d 模：若照= 风) 。自是弱h o p f 一余模，里= k ) 。丌叫做旦上的左- 左y e t t e r _ d r i l 如l d 模，如果它满足： ( 3 3 a ) 对v a ”，k 是左e k 模 ( 3 3 - b ) p l p ：k _ 日i 吼k 是k _ 线性已是代数映射：并且满足： k 骂皿0 t k 一。，。，：。“ 噩毒。k 二磐吼。盏 。矿噩0 t k = 掣吼o f 皿 t 矿 ( o k ) o 儿n = i d 注记； 皿o t = 1 ，。( 匝o b ) ( 1 7 ) ( 3 3 c ) ( 1 ，1 ) m 卜1 jo ( 2 冉m ) o 】= ( h ( 1 ，a ) m ) h ( 2 ，1 ) o ( ( 1 ，n ) m ) 0 引理3 1 若显= ( 。丌，。，口，e ， k ) 是弱h o p f ”一余代数， 1 l 第三章弱 l o 西释袅代数量静y 礤- d r i n 廷 d 摸 如果p 1 。：m 。呻皿o m 罴k 线性的，那么 ”【一i ，q ) “p 。田= ；( “i i ，) ”溉面 证明： # ( m 卜1 ，u ) m 呻，n 】= ( 1 ( 1 ，1 ) m 【_ 1 ，1 1 ) 1 ( 2 ，n ) m 砷，胡苎( m 卜1 】，1 ) m o 艘 又因为( “f l ，l 】) ”p ，蝴= m 瑟以；翟一l ，q ) ”，n j = m 引理3 。2如果爿= ( z 。，e ，s ) 魁弱h o p f 一余代数， 郑么嚣8 = # ；，嚣? = 磊；是是。麓予我数，势显宅魏惫交换翡。 证明t v ，g i 灯有 器( ) ? ( 9 ) = $ 擘( ) ( 1 ，i ) # 弦 f 2 ，。) = $ ( 1 ( 1 ，1 ) e ( 九) 尊) 1 ( 2 ，。) = s p 瞄( ) 9 ) 辨叛封耀。 划一步：g ( 1 1 ) = e ( 1 ( 1 ，1 ) 1 ) 1 ( 2 ，曲= ( 1 ( 1 ，1 ) ) 1 ( 2 ，) 一1 。 所以保持单位 爱滋嚣 是 薹# 戆子霞魏 z 蜉是h 。的乎代数可类似证明 交换的证明：g ( ) e ；( 9 ) = s ( 1 ( t ，1 ) 哟! ( 2 $ ) 1 。芦妇1 1 ) ) = 1 l ，a ) 轻1 穆，1 ) ) 转1 ( 1 ，1 ) l 舟 燮s 宇( 雪) ( ) 命题3 1 旦= 玩) 。e ，是弱h o p f 丌一余代数，丝= 柚靠 。日是。k 模，且脊 左终覆露麦珏l 余俸舞，尉毽是善y 玩攘，警置仪避对溉蚝，m m 。 p ( m ) = ( 1 ，1 ) 【一1 】s ( ( 2 ，n ) ( 2 。1 ) ) oh ( 2 ，) ( 2 1 ) ”【o 】 证明；( 必要性) 菇聚m 。是雾y d a 搂，鄂么有： ( 1 ，1 ) ”【- 1 】s ( ( 2 ，口) ( 2 1 ) ) o ( 2 ，n ) ( 2 ，1 ) “【o 】 塑璺竖夔盔兰受主鲎焦鲨三釜 盎( 岛馥商1 嘲l 鞋( 姆矗) s ( 盎2 一) 2 ，1 ) ) ) 圆( 趣2 ，砖m ) 辩 一魄l ，。) m k t 砖( 6 。，必o ( 6 ( 1 ，a ) 确嘲 = ( ( t ，。) m ) 1 ( 2 ) o1 ( 1 a ) ( m 岫 鬻l 纯q 勘哟 啊越ol ( 2 ，螂( 枷；) 麟 一( m ) - 1 l 够 m ) 眺= p ( m ) ( 充分性) 令矗一l 。，剥 p ( 1 a m ) = 1 ( 1 ，1 ) m 卜弭s ( 1 ( 2 ，。) ( 譬，1 ) ) 圆1 ( 2 ，4 ) ( 1 ，n ) m f 0 】 蒸l t ，l ，m f l l s ( 1 ( ，罅) o1 ( 2 癣1 ( r 嗣m 躐甄融耐 p ( m ) 篇1 l ，l m 卜t l 联1 匿，l ) 01 0 癖l ( r ，& ) m 暾 篇1 f l ，1 1 m 卜1 j s ( 1 ( 2 ，1 ) ) 0l ( 1 ，n ) 1 ( 一，d ) m 嘲 茹m 一琏s ( 1 2 、1 ) ) 够l ( 1 ，。m 鞲( 纛l 瑚m ) i 一毯姆，i s 圾i ，e ) 辩) 赫 蠕( 矗( 1 ，。) ( 1 ，1 ) ) m l 一啦s ( 矗( 2 ，l ( 1 罅) 趣2 ，t ) 强j ) o 投i ，砖疆瑚m 秘 甓( ( 1 ，n ) ( 1 ，1 ) ) 价卜l l 辱：1 ) ) 圆 ( 1 ，n ) ( 2 ，a ) m 0 】 搿( 丸( 1 捧 ，1 ) ) m 卜秘s ( 1 器，l ，2 ，1 ) ) e 矗( 1 痒扭n l 驻薜 l ，苟m 黼 篇( 赶n 肆) ( 1 。l 】j 僦卜l lo h ( 1 8 ( a ) 啪瓤 推论：m = 弦h 。是曼上的菩y d ，那么对v 螈下列等式成立- ( 1 9 ) l l ，砖m 嗡o1 壮，l s 一1 ( 嚣喜【一醚幂镩善秘 s 一1 ( 掰卜q ) ( 2 0 ) ；( s - 2 ( ” _ 1 1 ) ) ”躞一m 证明：( 1 9 ) p ( m ) = m 卜q s ( 1 ( 2 ，1 ) ) 1 “，n ) m 1 0 1 墩裁疑说z m 卜琏om 啦l 嚣m 卜l l s ( 1 穆鼬) ol 往 口 m 嘲 农方穰左，右的第一个日子的两边同时以矿1 作用，同时第一个圈子与第 二卞耀予交换即褥； 2 0 ) m = g ? 豫一1 1 ) ”秘 一g ( 1 l ，1 ) “【_ q ) 1 ( 2 ，q 】“【0 1 塑i 鼗塑蔓! 丝登叁垡塑圭堕塑! ! ! 望! ! ! 塑翌壁 一s ( 1 f l ，1 ) ” 一) l o 神”糍 蒜s ( m 一1 】) m 【o 】 一s ( s ” _ 1 】) ”【o l 一( t 拉，1 ) s 一1 ”( 一l ! ) 1 ( 1 目“秘 一# ；( s - 2 ( 卜q ) ) ”1 0 j 1 4 第四章 y e t t _ e r _ 驺r i n 稻1 d 模及中心构造 定义：电i 单璞莲酶瓣中心；警l = 晒， ，# ，l ，曲楚一革礓越踌t 群么其 上的左弱中心如下： l ，对象类，粥，：掰喾_ 一。耐是鑫然变巍，并嚣满足臻下条件： v 瑟，y l ， ( x o 扩m y ) o 姒，m y o ( 啊。爿 r ) 懈。置x 肘。盯m ，x o y 。口盯，x ，y 获丽8 m j 是巍然麓锋， 嚣鞑l 望融磐l 棼酣 2 ，态射类，：( m ，j m ，一) 砷( 肘，口m ，一) 满足： ( x 圆，) 。盯；l f ，x 篇拶昱。( ，移x ) 洼记：童啦心g ( 锄是磁够懿舞垒子蕊薅，其对象粪燕( 嫡靠f ，一) ， 其中d 似，一是自然同构，局( 卿是辫子单位范畴，其张量积为： ( 嬲，f 材，一) o ( 艇，4 膏，一) = ( 掰。掰，啊窟掰+ ，一) 并鼹五岳嵇掰t 冀= 啄，艇，掰，。豫，x o 五蠡) 。盘嚣x 。脚。吼，x ) 。8 埘，x 其单位为( ，一) ，满足 # f ，m 。 素o l m 鬟泌) 上鲍辫子够是这撵缭如魏： * ，硝：( ，一) 圆( m ，啊，一) 一( 彬，嘞r ) ( m ，口m ，一) 我爨恕褒( 奶“记侉单矮壤璐最 势恩鸯蜀逆辫子管，其中够燕迭样给躁翡； c m “2 c 乏? 衍2 。最m t 表孛心嵩锻霹戮类议定必 ( 1 1 对象粪是对予艇，殳，艇) 萁中耐毫铲 l ，盯：一。埘斗m o 一是一簇自然同构，从面咒，是自然同构，且 ( 2 3 ) 堪i b ，yo ! k s e 槲。哦艴( 坛，蜘，) 。8 i k ，y 。xo 噩：掰) 对蹦，y ( 埘，殳，膨) 劐( 硝，殳，掰3 之阕的拳射类， 口：肼砷使得 1 5 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 第四章y e t t e r i d r i n f e l d 模及中心专零造 0 0 x ) o t x ，硝拦t x 肼，。僻e 口) 对所有x 够 髫( 留) 是一辫手单项范畴单位是( ，i ) 张爨积满足 ( 吖，殳，肼) o ( ( m ，卫，m ) ) = ( m 0 ，殳，m o 鲋) a g r ( 2 4 ) 取， f 固时 = d 矗。xo ( m o 败，) on 吖x ，。强，村o m 。o ；k 其辫子d 为； ( 2 5 ) d m 纠= l k 科： ( m ，n ，m ) o ( ，t ，脚) 叶( m ，扎，m ) o ( ( 尬l ，m ) ) 鬈( 留) “是单项范畴互( 留) ，类辫子的逆为： ，一 ， d 其中d m ，吖，兰屿；j f 吲膨 性质4 1令够是一单项范瞬，则我们能得到一辫子单项范畴同构，其中 f ：嚣( 管) - 曼；( 叨“ 其中f ( m ，o 帆一) = ( m ，口菇一) 并且f ( ，) = ， 从两我们有妒上的第二种单项范畴结构，其定义如下： 够= ( 汐，西= o 。妒，瓦r ，f ) 其中r ：够秽呻够勖v ) = ( w v ) 西融定义如下t 瓦u 啦x = 口i y 如果g 是够上的一辫子，己= c k y 是够上的辫子 性质4 2令管是单项范畴，都么有； 瑙( 留) 竺g ( 确 蔓；( 留) 皇省( 秽) 引理4 ，3 如果h 是弱余释代数，则有 1 6 堕呈堕堇盔堂堡主望垡堡塞 1 ( 1 ，) 1 ( 1 一，d ) 01 ( 2 ，1 ) o1 ( 却) = 1 ( 1 ，。) o1 ( 2 ，i ) 1 ( 3 ，1 ) 证明： 1 亿耐。 1 ( 2 ，1 ) 。1 ( 3 ，1 ) = 1 ( 1 ，。n 。) 露( 1 ( 1 ，。飓1 ) ) 。1 ( 2 ，1 ) = 1 ( 1 ，。) 1 ( 1 ，。) 1 ( 2 ，1 ) o1 ( 掣，1 ) 引理44 如果丝是一弱群余代数，那么 1 ( 1 ，n ) ( 1 一，4 jo1 ，1 ) ) 固1 ( 2 ，1 ) = 1 f l ，岛圆1 f 2 ， 】，1 ( 1 1 ， 证明： 1 ( 1 ，a ) o1 ( 2 ，1 ) 1 ，i ( 1 1 ) = 谢o a ，i ( 1 。) 】0 do l ，1 1 1 ) 芸( 1 ( 1 ，。) o1 ( 2 ，i ) 01 ( 3 ，i ) ) ( 耐0l ( 1 ，l 】o1 ( 2 一，1 ) ) 21 ( 1 ，口) o1 ( 2 ，1 ) 1 ( 即) 1 ( 1 1 ) o 1 ( 2 ，1 ) 1 ( 2 ) = 1 ( 1 ，口) o1 ( 2 ，1 ) l ( i ) ol ( 2 ，1 ) = 1 ( 1 ，a ) ol ( 2 ，1 ) ol ( 3 ，1 ) 而 1 ( 1 ，a ) ( 1 ( 1 ，。) 。l ( 2 ，1 ) ) 。1 ( 2 ，1 ) ( 1 ( 1 ，。) 1 ( 2 ，1 ) 。1 ( 3 ，1 ) ) ( 1 ( 1 ，。) 。1 ，1 ) i d ) 2 1 ( 1 ，a ) 1 ( “) o1 ( 1 ，1 ) l ( 2 ，1 ) 1 ( ，1 ) 01 ( 2 ，1 ) = l ( 1 ，耐 1 ( 1 ) 1 ( 2 ，i ) ol ( 都 = 1 ( 1 ，a ) o1 ( 2 ，1 ) o1 ( 3 1 ) 综上，即得 命题4 5 如果h 是弱群余代数，则h 上的姗。d n n f e i d 模h 上的左弱中 心嬲( m ) 是同构的，如果h 有对极s 且s 是双射，那么与左中心蜀( 日) 同构 证明： 如果( 肘= 忱) 。霄，啊一) 新( 那么对v 口模y = k ) 。 盯m y ：m o y - + y o m x ：m _ h g t m a ( m ) = 日( 1 “耐m 。l 犯，1 ) ) = m f i j 。唧 篓塑童曼! ! ! ! 里! ! ! 垒! ! 塑妻堂夔造一 婕撵膨= 甄 。a 是y d 攘 睾宴是，对v 珏槲， y 以及v 线性映射： ，：嚣_ 矿：，( 哟= 。，扶f 静盎然性知 馘，固h ，! 兰盘h ，国挑。 0 搋o 一0 玩 邵么有d 坩，( 1 l ，耐”o1 ( 2 ，1 ) 口) = m 卜1 】固”1 0 】从教中心的定义知道 撬酝遍苎譬魏。耐 5 么商： m 一h ( 1 n ，2 ) m 固1 犯，1 ) ) = k ( 盯域噩( 1 秘瑚掰o1 溉1 0 ) 一( 露( “卜) 秘q 。】) = 砖( ”卜1 】) ”i o l 然后，又 - + m o 琏觏茁噬掣甄o 。麟瓯m 雠l ，乏i h t 毽t m 鸯t h l 则宥 磊娥。趣( 1 ( 1 肆獬0 1 疆1 ) 。( 1 ) ) = 娥卜霹 ，i ( 1 l 8 镩善潮= ( 端 + q ) o 辫赫 令j 嚣f 蛳，嚣i 鸯琏) ( 1 ( t ，8 l f l t ，。) 嘶ol + l ol 溆罅) = 1 ( i ，n ) ( m 卜1 j m 【0 j ) o1 怛，1 ) ) 譬 蓝照耀藏大学磺士学控论文 一l l ，1 ) ) 4 一1 1 岱l f l ；，8 ) 1 ( 2 脚”鲻el f 2 ，l ) ( 嚣盯敞辱) ， = 1 ( i ，”) m 卜1 】圆( 1 ( 2 ，。) m 【0 】) 一q 圆( 1 2 ，a ) 竹q o 】) 【o 一”卜oa ( ”秘) 塑 此 鹾生一醚t 姆 ，lb 铡 琏舂村垫甄圆赢。m 袋立，获嚣鹾楚一瑰容横 叉嘶噩是发鞋线性，扶嚣毒 对v m = 瓿) a 烈= k ) 。 矗咎矗f ，胃( 1 ( ：，砖7 碍露l 牡，王) ) 一 8 # ) “f l loa ( 2 ，1 ) 翌 蒲疗碱j 丁犯( 1 ( 1 ，j mo1 0 ，1 】) ) 端g 麟嚣( 趣i 瑚1 ( 1 ，n ) mo 矗2 3 ) 1 橇i ) 嚣矗帮( 1 ( 1 ，。) 矗l ，n mol l ，盎霹，站) 一( 峨l ，。) ”) 卜l 】 ( 2 ，1 ) o ，( ( 1 ，a ) m ) 田 扶嚣癞6 辫左辍线瞧毒： 盎盯端弧( 1 ( 1 国moi 柱，l 毋 = 蛳。厅( ( k 必璺o1 ( 2 ，1 ) ) 敬盎扭a ) m 卜鸯。矗强1 ) m 鞘= ( 轴j m ) 卜趣2 ，1 ) 黪( 糠l 哦；潮 从薅( n 矗，k ) 怒y d 摸， 则m 一 憾，m ，。“是y d 模 发之，设尉一 如，& k 耳爨y d 撰，瓣易谨 掰= a 豇， “。弼a 卵。o 务实上；以如下形式给出， 筹艇章y e 她e r d r l 璁f e l d 模聂中心构造 疗鸸，1 f i ，i ) m l 岱1 粒商口) 蒜桃 越罄0 潞瞄 麓接计算可翔：膨= 蛾， * 。蹦( 辫) 。 如果舸= 嗣r 口) 。n 是h o p f 群余代数， 恳在壤土糍可邋对摄，则黼v 的避可以这掸给崮 拶磊r ( 1 ( 1 ，1 ) s1 f 2 1 4 ) 竹砖茹m 【o 】圆s 一。( 雹一l l 如 玎峨y 和矗矿( 1 ( 1 ，1 ) 钳o1 ( 2 。) m ) ) 然m 一q s _ 1 ( m 卜封弦om 峨 一1 ( 1 。l ，” 一q s 一1 ( ”( 一q u ) 固i ( 2 ，。) “湖 = l n ，i s 一1 擘 ( 粥卜q ) 口) 嚣1 ( 2 ，硝m 。】 = l ( 1 ，l 口el 2 ，o ) g # m _ l m 嘲 一1 ( 1 ，i ) ol ( 2 ，) m 口蠢p 如阮v ( 1 ( 1 t ) 懈o1 衅分) ) 一9 茁v ( m f l 一 “【0 】) 鬻l f l ，i ) m f o jo1 壮，s 一1 ( m f 一埘) m 卜司种 # 1 ( 1 ，1 ) mo1 扭a ) 口 第飘章州j 一矗上的m a s c h k e 定理 5 1 弱h o p f 丌- 余代数上的h o p f 仆余模 定义5 1 余摸代数：魏栗代数丛= 高，m 。，l 。) 。是一簇k 代数， 照叫做右n h 余模代数，如果一 硅t ：a 。_ 厶。研) 。口日 怒一簇k 线性映射，并满足如下三条1 c 譬： ( 蘸，p “) 是右”一h 余撬 藤1 ( 。6 ) = m ，l ( o ) 几，1 ( 6 ) 硅l ( 1 。) _ ( 堪o e 玲醴1 k 注话： 1 磴l 簿湮常意义主懿弱l 镶代数 2 。我们可以炎似地定义赢7 r - h 余模代数及双m h 余模代数 定义5 。2 余不糖患集合：装基是登上扮右霄王| 余楱筏数， 我们称a 甘拦g d i n 4 = o aj 。科固q 1 】= n 剐o5 ；o ij ) 为丛在丛上的余不动点的集合 定义5 ，3 右( h ，a ) h o p f ”余模范酵； ( 1 ) 其对象类是一簇k 镁性空闻m = 耽 。o 氛是冀。骞攘，藏对，a 蠡是n 嚣佘蘸，涛廷 舳，l ( m ) = n 口ao “( 1 ) o ( 1 ) 澍v m 靠，o a 。 2 ) 态嚣憝蒺毛攘浃莉置是”嚣余模获辩 注记：埘暑即撼通常的弱柑对h o p f 模范畴 例l ：显然。a m ：“ 餐2 ； 对￥掰3 一8 ，p ”簪凄簇董( 线性浃麓； 芦一伍：帆_ 舰。蛾k 2 l 墨至童! 簇：! 土墼竖! 坚! 璧越 证骥：( 1 ) 模缝摊( 髓8 甄) o 氐_ 强。甄 ( m 8 j a 呻祧a e ，lo 霉蛾癣 对v m a 以，赁矗0 ，n 。 易落蜒。好= ( a 鑫露) 。_ 磊。蛾：k 是在岛摸。 2 ) 佘模结梅如，i 蝇8 玩_ 蝇蹋) o 爆 m 由嚣_ m 国茁( 1 ，。) o 嚣( 2 ，1 ) 对慨豫，g 玩 ( 3 ) 态射；：挺。叶矗虹。置摄然燎姆i 一汀中懿态射 一立嫒一辩主的m 粘c 敞e 宠理 在这一萤，我# 】将涯孵在h o p fn 余模量，存农m g h b 定理 定义5 3 ：整俺积努即是簇k 线性浃射= 如 。“：置二叶a 。， 使得是一7 r 佘模映射，邵 砖$ 毋卵= ( 妃。潮舀) n 且。( 1 。) l 。对抛，筘 定义5 4 对材1 三磁一o ，与有关醣迹映射是簇映射 打8 一 础：陋呻地， 其中，对v m a 奴，有t 蟛b ) = “托辞屯( 最一，( t ，t ) ) ) 定理5 1 -对v m 蝇，舌r 膨( m ) m 。8 避一步，( 1 。