（基础数学专业论文）借助于谱数据的边界探测.pdf

摘要 本文的第一部分借助于f o u r i e r 共轭级数的正则求和序列确定函 数的跳跃值，我们考虑当a 是非负正则求和矩阵时，一是怎。a n 七& ( ，f ) 在周期函数，的第一类间断点f 处的收敛问题这部分内容选自【2 5 】 文章的另一部分主要讨论了集中因子法的收敛速度，我们将对， 除要求噍( ，) 存在外不加其它条件，给出一个a b e l - p o i s s o n 型集中因子 的判别法，并且证明对于分段光滑函数其收敛速度得到了提高 关键词：正则可和性，第一类间断点，集中因子，收敛速度 a b s t r a c t t h ep a p e ri n c l u d e st w op a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ed i s c u s sd e t e r m i n a t i o no f j u m p sf o rg i v e nf u n c t i o nv i as u n m l a b l es e q u e n c eo fc o n j u g a t es e r i e s l e ta b ea n o n n e g a t i v er e g u r a ls u m m a b i l i t ym a t r i x ，w es t u d yc o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c e 一番毛la 础鼠( ，f ) a tas i m p l ed i s c o n t i n u i t yfo f ，t h i sp a r ti sp u b l i s h e d i n 【2 5 】 i nt h es e c o n dp a r tw ed i s c u s sc o n c e n t r a t i o nf a c t o r so fa b e l - p o i s s o nt y p e t h i sp a r ti ss e l e c t e df r o m 【2 6 k e y w o r d s ：r e g u l a rs u m m b i l i t y , s i m p l ed i s c o n t i n u i t y , c o n c e n t r a t i o nf a c - t o r ，c o n v e r g e n c er a t e i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：罩醑。夕矿年月乡9 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密时。 ( 请在以上相应方框内打“v ”) 作者签名：多占显日期：埘夕月多6 日 导师签名：剃搀勿日期：劫。年r 月乡。日 借助于谱数据的边界探型 第一章前言 本文将讨论与文献【2 】2 相同的主题，即借助于函数的谱数据( 或 称f o u r i e r 系数) 确定函数在第一类间断点处的跳跃值 边界探测是工程实践中的重要课题，寻求函数的第一类间断点且 计算在间断点处函数跳跃值是边界探测实践的主要依据例如在1 9 9 5 年美国宇航中心的n a s a 科研报告中也曾出现过关于跳跃值的讨论 近年来，许多科研工作者都在进行边界探测方面的研究工作，见文献 f 4 】一f l l 】，f 17 】一f 2 2 】研究周期函数在第一类间断点处的跳跃值就是这 些研究工作的一项重要工作若，是一个周期函数受到有关f o u r i e r 级数理论的启发，人们自然会想到利用f o u r i e r 系数来求函数的跳跃 值，但是直接用f o u r i e r 级数来求跳跃值是行不通的，继而人们转向利 用共轭f o u r i e r 级数来求周期函数的跳跃值 我们设t ：= i _ 7 r ，霄) ，以l ( t ) 表示r 上所有周期为孙的可积函数 全体对任意的，l ( 丁) ，记 s l y ( z ) ：；( c o s 妇一b k s i n k x ) ， 是，的f o u r i e r 共轭级数，其中 = 要仁川k 砒a l l d 诤晏 m 捌以 k = 1 ，2 ，3 ， 记爵( ，z ) 为两麒z ) 的第仃部分和 能否用共轭部分和序列求函数，在其第一类间断点的跳跃值的 问题引起许多学者的关注早在1 9 2 0 年，l u k e 6 证明，如果t ，且 下列极限存在 d 6 ) = 。喙眦+ ) 一胀一吼 】 硕士学位论文 则有 一赤晶( ，) 一d ( ，) ， n _ 0 0 用这种方法计算d e ( f ) 时的收敛速度太慢，一般情况下只能达到o ( 1 l n n ) 有关收敛速度我们将在第二章中讨论也就是说在不连续点处，用这 种方法计算跳跃值的实际应用价值不大但是如果我们把n 项部分和 用其它类似于可和序列的序列来替代，则可以改善l u k a c s 的结果 1 9 7 2 年，b i g o l u b o v 在文献( 3 】中就建立了下述的 定理a 设r n 且f 0 1 ) ，则在它的第一类间断点f 处 成立 舰臀曼( 心2 r + 1 ) = r i d ) ， 和 舰鹄茅爵( 胀) = d d ) ， 这里嵋的定义是广义有界变差函数类假如存在常数m 使得对 于t 上的一不重叠区间列 厶= 陬，硝 罂。成立 i f ( 1 知) l p m ， 其中，( 厶) = f ( b k ) 一，( 口七) ，七= 1 ，m ，则说f 后来，在1 9 9 5 年，1 9 9 5 年n s b a n e r j e c 和j g e e r 在文献【1 】中证明 了下面的 定理b 设，是t 上的分段光滑周期函数，专是它的第一类间断 点，那么当n o o 时 k - - ! 丽吲s i n 等( 口廊旌- b k c o s k ( ) _ 噍( n 其中刚= 0 霄s i 缸n u d u 在1 9 9 8 年，g k v e m a d g e 在文献【5 】中把上面g o l u b o v 的结果推广 蛰lh b v 2 - 借助子谱数据的边界探测 h b v 是调和有界变差函数类，设存在常数m 使得对于t 上的任 一个重叠区间列 厶= ，b 知】罂。成立 妻 掣陷旭 则称，是调和有界变差函数类，简记，h b v 这个函数类是由 d w a t e r m a n 在文献【6 7 张】中引入的可以证明妄h b v ，因此 g k v e r n a d g e 改进了g o l u b o v 的结果 在上述几个结果的启发下，1 9 9 9 年a g e l b 和e t a d m o r 在文献【2 】 中提出了集中因子法设盯c 2 【0 ，l l 记 m ：- - p n ，七】( 七，n ) e 胪 是一个给定的上三角矩阵，即若k n ，则p n 七= 0 ，记 爵( ， z ) ：= p n , k ( a s s i n 妇一b 南c o s k z ) 假如极限d d ) 存在且有限时 1 i m 鹾( 工莓) = d d ) ， n + 则称p n 奄为，在f 点处的集中因子 对f t ，记缺为满足下列两个条件的函数，l ( t ) 所组成的集 合： ( i ) d d ) 存在 ( 说) 盟掣l 0 , i r 】，哦( t ) ：， + t ) 一瓜一t ) 这里注n , k 是函数矿c 2 o ，1 3 按如下方式定义的，若i k 铭，嚣= 1 ，2 ，则眠七= 口( 赛) ，若屉 n ，n = 1 ，2 ，那么眠七= o 下面的定理是a g e l b 和e t a d m o r 在文献 2 】2 中的主要结果 定理c 设矿满足以下的条件 ( i ) 盯c 2 【o ，1 】， 3 硕士学位论文 ( i i i ) 当n o o 时， 丢) is 舞，n _ 2 3 ，； r 掣如一咱 ( i v ) 当n o o 时， 产蟛砒 厶i 2 一 j = 1 一 又设f t 且，满足 v ) 噍( ，) 存在且有限， m ) 竺d 掣三( o ，研， 其中6 0 且哦( ) = ， + t ) 一f ( x t ) 那么 仃( 鲁) ) 七_ l 州n - 1 2 。是，在 点处的集中因子 这个结果对盯的假设比较强2 0 0 6 年，石棋玲和施咸亮在文献【9 】 中对上述判别定理作了进一步的改进和提高，得到了下面的 定理d 设( 一7 r ，7 r 】且盯l i p l 【o ，1 1 又设f 缺，那么 p ( 熹) 膏= l 。，n 舻- 2 ，是，在点f 处的集中因子的充要条件是 z 1 掣如 应用定理d 的结果可以给出使收敛速度对于分段光滑函数达到d ( 坚翌) 的集中因子 2 0 0 7 年，胡兰和施咸亮在文献f 1 4 】中改进了b i g o l u b o v 和g k v e r n a d g e 的结果，建立了如下的判定定理 定理e 设f t ，盯l i p l o ，1 】且露掣如= 一7 r 若，l c t ) n h b m v f - , 5 , f + 卅对于某个6 0 且极限咄( ，) 存在，则 口( 熹) ) 脚，忭；胆l t 2 是，在f 处的集中因子 4 - 借助于谱数据的边界探测 所谓的h b m v a ，6 1 类是指满足下列条件的函数集合： s t 。u 。p 删) n ， 这里的厶是指一列互不重叠的区间列厶= 陋n ，6 n 】，( q n ，叫c 【0 ，b 】且 p 厶( ，) = 南厶叭z ) 一九i 如，允= 丽1 厶，( z ) 如 2 0 0 9 年，张海英和施咸亮在文献【i i 】中简化对，的限制条件，证 明了下述的集中因子判别定理 定理f 如果对任意的f l ( t ) ，如如n = 1 ，2 ，是，在f 处的集 中因子，那么矩阵m 满足下列条件 ( i i i ) 对任意固定的k l i m 七= 0 ； n - 0 0 0 ( 砌) 熙譬= 叫 ( t ，) ：=it_1b s u pl ，詹l ，纷= 1 ，2 ， 1 k n 相反，如果条件( i i i ) ，( i v ) 和( ) 满足，并且满足 ( 们) 对任意固定的尼 t i m ( i n n ) 2p n ，七= o ； n ( v i i ) k = l ia 2 # n , k l 南( 1 + l ni n ) = d ( 1 ) 那么对任意的，l ( t ) ，p n 胆l 2 是，在f 处的集中因子其中，七= z n , k - - n ，( 七+ 1 ) ，a 2p n ，七- - - - ap n ，知一 p n ，( 七+ 1 ) 在2 0 0 8 年，p z h o u 和s p z h o u 1 0 1 从线性算子的角度研究相应 的问题，把建立的判别法用于f o u r i e r 共轭级数的f e j e r 平均，如k v a l i e e p o u s s i n 平均证明了下述结果( 见【1 0 】) 5 硕士学位论文 定理g 若f l ( 丁) ，且极限噍( ，) 存在，则对于0 m n ， 一j i n l n 铲n ，m ( 工f ) 一噍( ，) ， 佗_ o o ， 其中 诼，m ( f , x ) = 而1 鼠( ，z ) ，o m n 此外对b e r n s t e i n r o g o s i n s k i 平均他们建立了如下类似的结果 定理h 若f l ( t ) ，且极限噍( ，) 存在，则有 一志展( ，f ) _ 咴( ，) ， 扎一o o ， 其中 彘( ，) = 三( 最( ，z + 南) 4 - ( 磊( z 一焘) ) 在【1 0 】中作者从积分算子的讨论着手得到这些结果 本文中我们从另一途径一正则的线性求和法着手来探讨跳跃值 的计算 设 a = ( a n 七) 七：0 ，l ，；n = o 1 ， 是给定无穷矩阵假如对于数列 瓯) 和一切非负整数n 级数 f i n ：= 入n 知& k = o 收敛，且当n 0 0 时一s ，则说数列 & ) 是a 可和的，和是s 假如对于一切收敛于s 的数列 & ) 都有 _ 只礼_ 。o ， 则说求和法人是正则的如果还有入础= 0 当n 忌，则说求和法a 是 正则三角的当a 中的元素都非负时，称此求和法是非负的首先我 们证明下述的 - 6 借助于谱数据的边界探测 定理1 设人是非负正则求和法若对f l ( t ) 且在点喜t 处 极限噍( ，) 存在，则 一詈入n 七鼠( ，) 一r i d ) ，n 0 0 ， 其中 r = a , , ki n ( k + 1 ) 本文的第二个主题是a b e l p o i s s o n 型集中因子在2 0 0 3 年f m o r i c z 讨论了用季( z ) 的a b e l - p o i s s o n 和来求函数的跳跃值的问题他证明 了下述的( 见f 7 】和【8 】) 定理h 若f l ( t ) ，且极限啦( 厂) 存在，则 一鬻州n l _ 0 ( 3 1 1 ) 其中 耳z ) ：= q k s i n k z - b 老c o s k z ) r 七，0 r 0 对f l ( 丁) ，下列级数 謦f ) ：= p ( ( 1 - r ) k ) ( a k s i n k x - b k c o s k x ) r 七，0 r 1 几乎处处收敛如果极限d d f ) 存在且有 r 缝o p r 卢( f ，f ) = 咴( n ( 1 1 1 ) 我们称 p ( ( 1 一r ) 尼) ) 七：l 2 ；o s r l ， ( i i 2 ) 7 - 硕士学位论文 是，在莓处的a b e l - p o i s s o n 型集中因子我们记“( z ) 为p 在f o ，叫上 的l i p s c h i t z 范数，即 上。( z ) ：= = v ，s u ，卅p ，掣zj!弹+。ssu掣pzeol yz l：j p ( 3 ，) i ，v ，卅，掣z o s 掣：。 。 又记r 是【0 ，0 0 ) 满足下列两个条件的所有函数p 的集合： ( i ) ( o ) = 0 ； ( i i ) 存在一个常数m 芝0 ，使得当z _ 0 0 时， 厶0 ) = ( ( 1 + 功吖) ， 在文献【9 】中他们证明了下面的定理 定理i 设f t , p f ，假设对任意f l ( t ) 极限咴( ，) 存在并且 有 厂1 丝垡匕业2 1 d t n ，佗= 1 ，2 ，那么眠七- 0 下面的定理是a g e l b 和e t a d m o r 在文献【2 】2 中的主要结果 定理c 设盯满足以下的条件 ( i ) 仃c 2 【o ，1 】， ( i i ) 去) i ! 等，n 一2 3 ； ( i i i ) 当n _ o o 时， 疋掣如_ 飞 ( i v ) 当n _ o d 时， 妻掣扎厶；2 一 j f t 。 又设t 且，满足 ( v ) 噍( ，) 存在且有限， 即) 巡事业l o ，川， 其中6 0 且哦( t ) = ，0 + ) 一f ( x t ) 那么 盯( 尝) 七- l 州n - 1 2 ，是，在 f 点处的集中因子 这个结果对盯的假设比较强2 0 0 6 年，石棋玲和施咸亮在文献f 9 】 中对上述判别定理作了进一步的改进和提高，得到了下面的 定理d 设荨( 一7 r ，丌】且矿l i p l 【0 ，1 】又设，块，那么 口( 熹) ) 七乩川n - 1 ：，是，在点f 处的集中因子的充要条件是 厂1 型如：吼 j o z 借助于谱数据的边界探测 应用定理d 的结果可以给出使收敛速度对于分段光滑函数达到d ( ! ：坐) 的集中因子 2 0 0 7 年，胡兰和施咸亮在文献f 1 4 】中改进了b i g o l u b o v 和g k v e r n a d g e 的结果，建立了如下的判定定理 定理e 设f t ，仃l i p l 0 ，1 】且詹掣如= 一7 r 若，l ( t ) n h b m v - 6 , 荨+ 司对于某个6 0 且极限咴( ，) 存在，则 盯( ：) ) 知- 1 f 拈；胆1 t 2 ， 是，在处的集中因子 所谓的h b m v a ，6 】类是指满足下列条件的函数集合： s k u p 五p 枷n ， 这里的厶是指一列互不重叠的区间列厶= a n ，b n 】，f a n ，b n 】c 陋，6 】且 p k ( ，) = 丙1 厶叭z ) 一九i 妇，丸= 丙1 厶，。) d x 2 0 0 9 年，张海英和施咸亮在文献 1 1 】中简化对，的限制条件，证 明了下述的集中因子判别定理 定理f 如果对任意的f l ( t ) ，p n 南7 l = 1 ，2 ，是，在f 处的集 中因子，那么矩阵m 满足下到条件 ( 猁) 对任意固定的k l i mp n ，七= 0 ； n - - - - o o ( 仍) 恶警= 叫 ( t ，) b ：= s u pi p n 七i ，n = 1 ，2 ， 相反，如果条件( i i i ) ，( i v ) 和( t ，) 满足，并且满足 ( v i ) 对任意固定的k 1 i m ( i n n ) a 2 脚，七= o ； n - 1 5 硕士学位论文 ( v i i ) 善ja 2 z n , k 瞰1 + 1 i l 杀) = d ( 1 ) 那么对任意的，e l ( t ) ，眠伽- 1 ，。一 是，在处的集中因子其中z n , 七= g n , k - - n ，( 奄+ 1 ) ，2 z n , k = p n 。七一 p n 。( 知+ 1 ) 在2 0 0 8 年，p z h o u 和s p z h a u 1 0 从线性算子的角度研究相应 的问题，把建立的判别法用于f o u r i e r 共轭级数的f e j e r 平均，d al a v a l l e e p o u s s i n 平均证明了下述结果( 见 1 0 】) 定理g 若f l ( 丁) ，且极限d d f ) 存在，则对于0 ，7 l 7 l ， 一志讫，m ( 六f ) _ 噍( ，) ， n _ o o ， 其中 ，z ) 2 而1 砒z ) ，o m n 此外对b e r n s t e i n r o g o s i n s k i 平均他们建立了如下类似的结果 定理h 若f 己f ) ，且极限d d f ) 存在，则有 一志展f ) 一咴( ，) ， 死叶o o ， 其中 彘( f ) = 三( 爵( ，z + 南) + ( 瓦( z 一南) ) 在【1 0 】中作者从积分算子的讨论着手得到这些结果 本文中我们从另一途径一正则的线性求和法着手来探讨跳跃值 的计算 设 a = ( a i 七) 七；o l ，；r , - - - o , l ，。 是给定无穷矩阵假如对于数列t 瓯) 和一切非负整数n 级数 a n ：= 鼠 收敛，且当n _ 0 0 时_ s ，则说数列t 鼠) 是a 可和的，和是s 1 6 - 借助于谱数据的边界探测 假如对于一切收敛于s 的数列 鼠) 都有 口n _ s ，n 0 0 1 则说求和法a 是正则的如果还有入n 七= 0 当n i n 2 ，于是对于任意固定的k 劬慷_ 0 ，n _ c o ； i i ) 壹。o n k - - 妻掣= 1 n = 0 ” i i i ) 妻i ：壹l 掣， n = 0 ”一 由引理1 即知q 是正则的这样定理1 证明完毕由定理1 可知，假 如当n _ o 。时，r = l i l + 1 ) + o ( i n n ) 那么 一而7 若鼠”枷竹_ 在本文中我们将给出一些使上式成立的正则求和法的例子 2 3 正则的三角型求和法 推论1 ( d e l a v a l l g e p o u s s i n 平均) 若对f l ( t ) 且在点荨t 处极限噍( ，) 存在，则对于0 m n ， 一三l n n 记，m ( 工f ) _ 咴( ，) ， n o o - 1 8 借助于谱数据的边界探测 由于对应于记，m ( ，) 的求和法是正则的，所以根据定理1 ，我们 只要证明 壶m + l 翠翌= 翌! 呈! _ 1 ，n 一。 1 1 i n 事实上，不妨设n m 一1 1 ，我们有 n l n x 如k = 妻n - - m k 七z ：h 池 由于当1 a 6 时有 上6 1 n z 如= ( b h b - a b a a ) - ( 6 - n ) ， f n n l n x 如= 若仇+ 1 詈则 n m 一1 m + 1 若仇+ 1 詈则 死一m 一1 价+ l ( 2 1 ) ( 2 2 ) 磊 了【n l n 佗一一仇一1 ) 1 1 1 何一仇一1 ) 】+ d ( 1 ) 熹【( m + 1 ) l i l n + ( n m 一1 ) l n = 1 n n + n m 一1 m + 1一n m 一1 n n m 一1 n m 一1仇+ 1 n m m + 1 = d ( 1 ) ； nn礼一m 一1 n m lm + 1扎 n ( 礼一m 一1 ) 】+ o ( 1 ) + d ( 1 ) ( 2 3 ) 亿一仇一1 ( 2 4 ) = d ( 1 ) ( 2 5 ) 最后一式的估计成立是因为当0 一1 ，对，l ( t ) 且在点专t 处极 限噍( ，) 存在，则 一南吾魅( 从) 一蝴 一弛 上式所对应的求和法称为q 阶r i e s z 求和法它也是正贝! j 的。由 定理1 ，我们只需证明 星釜生：擎婴_ l ， n _ 。 ( 2 8 ) i n n n - 1 舻 ”一 、。 若一1 0 ，对，l ( 丁) 且在点? 处极 限d d f ) 存在，则 一赤善a 辫( 删一枷n o o 其中 a ：=( + 1 ) ( 卢+ 2 ) ( 型 n ! - 2 l - 硕士学位论文 由定理1 ，我们仅需证明 娶号a 口- ii n ( 一k + 1 ) “7 l o o (211)ia 嚣n n 、7 因为 a ：二：l n + 1 ) = 【l n + 1 ) 一l n ( 七+ 2 ) 】a ：；+ a ：l n n + d ( a 暑) 一乏【南+ o ( 南燃一a _ m 轴竹+ d ( 铝) 2 吾而1a ：- k - 1 + o ( 1 ) 苫南a - , - i + 0 ( a 曼) = n - 2 南与铲f 1 + d ( 南) 1 厶k = o 毛+ 1 r ( p ) 卜。、n 一七一1 川 + 0 ( 1 ) n - 2 南错【1 + 。( 南) 1 + o ( 织) ， ( 2 1 2 ) 狡单寝们用蛰i 了渐沂式 非为( 1 + 0 ( 轨 ( 2 1 3 ) ( 参见【1 2 】) 当p 0 时，我们先来计算下式 1 甚一七) 卢 r c z ) 鲁 k = 禹薹丢+ 丽n b 斟n - 1 1 1 一争1 ， ( 2 1 4 ) = a ：i n n + o ( ) ， 上式第二个等号是因为，当q - ：0 时，若z 【0 ，1 】，存在常数m ，使得 i 毕i m - 2 2 借助于谱数据的边界探测 类似地，对于( 2 1 2 ) 中其它的项有 。南薹学州薹南萨m 南舯。c 知 = 0 ( _ 1 l i l n ) ( 2 1 5 ) 联合( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 我们得到( 2 1 1 ) 推论4 证明完毕 推论5 ( b o r e l r i e s z 平均) 若对f l ( t ) 且在点t 处极限 d f ( ，) 存在，则 一南荟e k s k ( f , f ) _ 蝴 一 相类似的我们只要证明 堇羔掣一1 ， 住_ o o (216)i n n t 硒1 , e 七 “ “ p “ 因为 e 知i n ( k + 1 ) k - - 1 n鼍nh = i n ( k + 1 ) 一i n ( k + 2 ) 】一+ i n n e 盘+ d ( e 七) k = l j = l 七= lk = l r i n = i n n e 纛+ o ( e 是) ， 由上式可知( 2 1 6 ) 成立推论5 证明完毕 并不是所有的非负正则求和法都有 y 、n = o a 再k 矿i n 弋( k 一+ 1 ) 一1 ， n o o i n n 麓。入畦 ”7 下面这个例子就是一个说明 例若对，l ( t ) 且在点f t 处极限噍( ，) 存在，由定理1 可得 到 一夏矗善昙氙( ，l 汁蝴n o o 硕士学位论文 但是，由于 婆i n ne 拦k f f i 10 2 ，n n lj ； ”v 因此我们只能得到 一i南妻昙鼠(，)一2dd)1 ，n 一。 7 r- = 、 1 i l n 麓- 鲁七w u 厂。 ”。 2 4a b e l p o i s s o n 型平均 设p n o ，p n = o 加m ) m = 1 ，2 ) ，其中m 为固定的常数当 0 r 一1 ，则 导 一歹) p = 胪l n + 1 ) + d ( 舻) ， 七一o o 。 于是我们得到 l n ( 击) 七七= 矿h 1 ( 尼+ 1 ) r k + d ( 1 ) 胪一 ( 3 2 ) 记 州= 訾瑟卷乩 旺3 ， 对任意的e 0 ，取= f e 札当n 时，由( 2 1 4 ) 有 愀训洲1 ，矗麓知州蔷k - - n + l 慨4 ， = o ( 1 ) + 0 仁) ， r _ 1 0 硕士学位论文 联合( 3 3 ) ，( 3 4 ) 便知( 3 1 ) 成立推论6 证明完毕 推论7 若p - - 1 ，对l ( r ) 且在点f t 处极限d d f ) 存在， 则 应用( 2 1 3 ) 与推论6 相似，不难完成推论7 的证明 2 6 0一 l_ r ， 咄 _ k r 9， 乳 卢七 a 腻 借助于f o u r i e r 共轭级数的正贝! l 求和序列确定函数的跳跃值 第三章a b e l - p o i s s o n 型集中因子 2 0 0 3 年，m 6 r i c z 证明了周期函数在第一类间断点处的跳跃值可 以用共轭f o u r i e r 级数的a b e l - p o i s s o n 和求得其后棋玲和施咸亮引入 了a b e l - p o i s s o n 型集中因子的方法来求具有d i n i 型弱光滑条件的周期 函数的跳跃值并且建立了相应的判别法则通常情况下，用这种方法 求函数跳跃值的收敛速度快些在这一章节里我们主要建立一个判 别不再需要d i n i 型光滑条件的周期函数的集中因子的判别法则，并 且对于分段光滑函数其收敛速度也有所提高。 3 1引言 在2 0 0 3 年f m o r i c z 讨论了用箩 ，】p ) 的a b e l - p o i s s o n 和来求函数的 跳跃值的问题他证明了下述的( 见f 7 】和【8 】) 定理h 若，l ( t ) ，且极限d f ( 厂) 存在，则 一鬻叫，) 一1 - 0 ( 3 1 1 ) 其中 茸( ，z ) ：= ( i n k x - b k c o s k x ) 产，0s r 0 对f l ( 丁) ，下列级数 哥( ，) ：= 弘( ( 1 一r ) k ) ( a k s i n k x 一6 棚s k x ) 7 七，0s r 1 几乎处处收敛如果极限出( ，) 存在且有 ，坚。掣( ，f ) = d ( n ( 3 1 2 ) 硕士学位论文 我们称 p c c l 一，) 七) ) 括1 州2 o r l ，( 3 1 3 ) 是，在f 处的a b e l - p o i s s o n 型集中因子我们记“( z ) 为p 在 0 ，z 】上 的l i p s c h i t z 范数，即 五(z)：=玑su，司p，v。且丛掣+。ssuypzeoi v z l：f p ( 3 ，) i ，玑，司，v 2 一 o s i ，： 又记r 是【o ，o o ) 满足下列两个条件的所有函数p 的集合： ( t ) p ( o ) = o ； ( i i ) 存在一个常数m 0 ，使得当z _ 时， 缸( z ) = ( ( 1 + z ) m ) ，( 3 1 4 ) 在文献f 9 】中他们证明了下面的定理 定理i 设f zp r ，假设对任意，l ( t ) 极限喀( ，) 存在并且 有 z 1 i c e ( t ) - t d d f ) l d t 0 ，记圣q 是所有满足下列两个条件的函数p c o ，o 。) n c 吃( o ，o o ) 全体所组成的 集合： 口，) 对某个k 0 和所有的z 【0 ，) f p ( z ) l + l p ( z ) i + i 弘( z ) l = d ( z 耳) ， 3 2 借助于谱数据的边界探测 6 ，) 对所有z ( 0 ，1 】 u ( x ) = 0 ( z a ) ，p 7 ( z ) = d ( z a 一1 ) ，p ( z ) = 0 ( z 口一2 ) 对于a b e l p o i s s o n 型集中因子，我们有下面的判别定理： 定理3 3 1 1 设口 0 ，弘吼因子仙( ( 1 一，) 七) ) 七_ 1 2 。；0 ， 0 ，0 7 1 ，那么有 和 和 【击】l 芒；】 ( 1 n 西1 ) k p - 1 一一k p 一1 ( 1 n k ) 一= o ( ( 1 一，一) 一p ) ， ( 3 3 2 1 ) k - - 1k = l _ ( 1 n 击) 扩1 一一k p q ( i n k ) r 七= o ( ( 1 一r ) 一p ) ( 3 触2 ) k = lk - - - 1 证明：我们首先证明等式( 3 3 2 1 ) 成立我们知道 n 舻1i n k = l _ n p i n n + d ( p ) ， z k = 一l p 、“ n 七p - 1 ：兰胪+ d ( p 一1 ) ， 台p 、 - 3 4 - 借助子谱数据的边界探测 成立所以我们就可以得到，当0 r 1 时， f 击jf 击】 | ( 1 n 酉i ) e 驴- l r k 一妒一1 ( i n k ) r 七= d ( ( 1 一r ) 一p ) 一 k = lk = l ， 【击】 士1 ( h 击) 苫k p - 1 _ ( 1 n 西) - 各1 - - r - 扩1 ( 1 n 七) = d ( ( 击h 也就是得到了( 3 3 2 1 ) 下面我们来证明( 3 3 2 2 ) 由于 因此可以记 其中 对于k ，我们有 a 七21 ( 七一1 ) p 一1 + 互1 ( 忌一2 ) p 1 + + 由噼一 一1 ) 】p _ 1 1 k p 一1 + 护一1 + + 击舻一1 k p 1 n k - i - d ( 扩1 ) ，( k _ ) ， 所以我们有 ( 1 n 击) k p l r 七= k p 以( i nk ) 产+ o ( k p - l r k ) 1 k = l南= l k - - - 1 由引理( 3 3 2 4 ) 可知( 3 2 2 2 ) 成立至此我们完成了引理( 3 2 2 5 ) 的证 明 设f l ( t ) 且f t 是它的第一类间断点，我们记 畦( ，t ) = s u p 【m a ) c ( f ， 4 - h ) 一，传+ o ) l ，l ，( f h ) 一， 一o ) 1 ) 1 o 0 使得当k k 时，k i 如 果如果k 【击】，对3 ，我们有 k【击】 3 = 风( ，) ( 七+ 1 ) s 七十凰( 7