（基础数学专业论文）baxter代数的若干研究.pdf

摘要 本文主要研究了关于b a x t e r 代数的若干问题b a x t e r 代数的研究起源于上世纪6 0 年 代，其在代数学和组合学中的重要作用引起了r o t a ，b a x t e r ，m i l l e r ，c a r t i e r 等数学家 的兴趣并对其做了深入的研究本文首先介绍了b a x t e r 代数的定义和若干重要例子， 对r o t a ，c a r t i e r 早年构造的自f ab a x t e r 代数和近年来g u o 和k e i g h e r 根据混合洗牌积构造 的自由b a x t e r 代数进行了深入的研究，证明了在b a x t e r 代数范畴中，由c a r t i e r 构造的自 由b a x t e r 代数和g u o ，k e i g h e r 构造的自由b a x t e r 代数是同构的 其次，我们用组合学中的树来研究b a x t e r 代数，计算r o t a b a x t e r 恒等式复杂展开的 系数问题，并在根树上构建了一个权重为a 的b a x t e r 算子和b a x t e r 代数 最后，我们应用自f l j b a x t e r 代数研究h o p 玳数，得到了一类新的h o p 玳数例子均 幂h o p f 代数，其同时具备b a x t e r 代数结构 关键词：b a x t e r 代数、b a x t e r 算子、自由b a x t e 玳数、根树、h o p f f t 数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys o m ep r o b l e m sa b o u tb a x t e ra l g e b r a s t h es t u d yo fb a x t e ra l g e - b r a so r i g i n a t e df r o m1 9 6 0 s , w h i c ha t t r a c t e dr o t a ，b a x t e r ，m i l l e ra n dc a r t i e rb e c a u s e 0 fi t si m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni na l g e b r a sa n dc o m b i n a t o r i c s , l e a d i n gt ot h e i rf u r t h e r r e s e a r c h e s f i r s t , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fb a x t e ra l g e b r a sa n ds o m ei m p o r t a n t e x a m p l e s w es t u d yt w o c o n s t r u c t i o n so ff r e eb a x t e ra l g e b r a so b t a i n e db yr o t aa n d c a r t i e ra n dt h er e c e n tc o n s t r u c t i o no ff r e eb a x t e ra l g e b r a so b t a i n e db yg u o a n dk e i g h e r i nt e r m so fm i x a b l es h u f f l e s w ep r o o ft h a t 出ec o n s t r u c t i o no fc a r t i e ri si s o m o r p h i ct o t h a t o fg u oa n dk e i g h e ri nc a t e g o r yo fb a x t e ra l g e b r a s l a t e r , w ea p p l yt h et r e eo fc o m b i n a t i c st os t u d yb a x t e ra l g e b r a s ，c o m p u t i n gt h e c o e f f i c i e n t so ft h ee x p a n s i o no ft h er o t a b a x t e ri d e n t i t y a n dc o n s t r u c tab a x t e ro p e r a t o r w i t ht h ew e i g h t 入o nt h er o o t e dt r e e sa sw e l la st h eb a x t e ra l g e b r a s f i n a l l 弦a p p l y i n gt h ec o n s t r u c t i o no fb a x t e ra l g e b r a st os t u d y t h ec o n s t r u c t i o n so f h o p fa l g e b r a s ，w eg e t an e w c l a s so fh o p fa l g e b r a s 。d i v i d e dp o w e rh o p fa l g e b r a sw i t h t h ec o n s t r u c t i o no fb a x t e ra l g e b r a s k e yw o r d s ：b a x t e ra l g e b r a s , b a x t e ro p e r a t o df r e eb a x t e ra l g e b r a s , r o o t e dt r e e , h o p fa l g e b r a s 第1 章引言 上世纪5 0 年代和6 0 年代早期，a n d e r s o n 【4 】，b a x t e r 【7 】，f o a t a 【3 0 】和s p i t z e r 【5 8 对 概率论中的独立随机变量部分和过程的振荡性质作了广泛而深入的研究，取得了一系 列重大进展和结果其中很重要的一个结果是s p i t z e r 用分析的方法证明了独立随机变 量部分和过程振荡( f l u c t u a t i o n ) 的一个基本恒等式s p i t z e r 恒等式其用于研究独立随 机变量部分和的一些性质，如部分和的最大值不依赖于特征分布b a x t e r1 9 6 0 年的一 篇重要文献【8 】推演了s p i t z e r 恒等式和其他若干重要的恒等式，并用对称函数和独立随 机变量部分和做例子来说明这些恒等式的作用和应用此后，w e n d e l 【6 0 ，k i n g m a n 【4 4 和a t k i n s o n 【6 】等对这些恒等式作了进一步的研究，并得到了更多好的结果 r o t a 注意到了这些恒等式在代数学和组合学中的重要作用，把他的研究兴趣和方 向从分析学转向了组合学，投入了毕生的精力，大大推动了组合学的发展他于6 0 年代 初开始了对b a x t e r 代数的系统性研究，挖掘其性质及其在代数学、组合学中的应用他 和s m i t h 【5 2 1 5 3 1 5 4 在6 0 年代后期开始将b a x t e r 算子和组合恒等式联系在一起r o t a 最 初在集合上构造了自由b a x t e r 代数的一个显式结构，并由这个结构结合w a r i n g f f 式给 出了s p i t z e r 恒等式的一个证明他们在文献1 5 4 中给出了很多b a x t e r 算子的例子，分析 了这些例子之间的联系，并选取了合适的b a x t e r 代数对对称群的表示理论进行了简要 的讨论，还应用b a x t e r 算子简化对称函数和m o b i t i s 反演的一些计算c a r t i e r 【1 3 于7 0 年 代也构建了自由b a x t e r 代数的一个显式结构，弄清楚了b a x t e r 代数和对称多项式之间的 联系b a x t e r 代数还被广泛用于代数学、几何学等诸多方面的研究，如s c h u r 函数、超 几何( h y p e r - g e o m e t r i c ) 函数、对称函数、量子群、累次积分( i t e r a t e di n t e g r a l s ) 暑l l 微分代 数( d i f f e r e n t i a la l g e b r a s ) 等r o t a 在其文献【5 5 ，5 6 1 中对此进行了比较详尽的阐述并提出 了他对以后研究工作的意见 h o p f 代数的研究起源于上世纪4 0 年代初法国数学家h h o p f 对具有乘法的流形( 如 李群) 的研究【3 7 】h h o p f 召e 研究l i e 群的同调群和上同调群时构造出了既有代数 结构又有余代数结构的代数概念法国的代数拓扑学家们就在h h o p f 的工作的 基础上研究这个代数概念，将其公理化从代数角度研究h o p f 代数【3 9 ，4 0 ，可以 追溯到上世纪5 0 年代1 9 5 7 年，g h o c h s c h i l d 就开始通过应用李群的表示环研究表 示论【3 8 1 到了1 9 6 5 年，i m i l n o r 和j m o o r e 在a n n o fm a t h 合作发表题为“o nt h e s t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s ”【4 9 】的文章后，这个代数概念被正式称为h o p f 代数，j m i l n o r 和j m o o r e 的这篇文章是开拓性的，给h o p 玳数的结构研究奠定了基础， 从此以后，h o p f 代数开始作为代数的个分支引起了数学家的广泛重视和研究 浙江大学硕士学位论文 第1 章引言 在1 9 7 5 年k a p l a n s k y 出版了专著“b i a l g e b r a ”，总结了当时研究的最新成果，提出了著 名的现在称之为k a p l a n s k y 的1 0 个猜想，推动t h o p f 代数的研究特别是近几十年 来，h o p 玳数的研究获得了重大进展，这主要是由于量子群( 数学物理中产生的h 0 p 玳 数) 的兴起和h 0 p 玳数作用理论的发展( 它统一了以前独立研究的群作用，李代数作用以 及分次代数作用理论) ，h 0 p 玳数从而形成了- - ( 1 新的科学体系，它不仅限于代数结构 理论的研究，而且己发展成为与数学其他领域有密切关系的数学分支特别是在量子力 学和数学物理方面，使之成为数学家和物理学家十分感兴趣的领域 1 9 8 6 年vg d r i n f e l d 在b e r k e l e y m 际数学家大会上报告了“量子群”【2 1 】一文，引起 了数学界的广泛关注他把统计学和1 g - b a x t e r 的波动力学问题的研究转化为h o p f 代 数的研究，有其深刻的物理背景量子群研究的是一类特殊的非交换非余交换的h o p f 代数，尤其是从李代数的包络代数和群的函数代数经过“量子化”得到的非交换非余交 换的h o p f 代数因此，可以说量子群理论是李群、李代数与代数群发展到一定阶段的 产物，综合了物理学与数学的许多分支的思想和内容，具有十分丰富的理论内涵和应 用范围在代数学方面，它将某些群与某些代数的表示理论有机地结合起来；在物理学 方面，它提供了量子力学系统的量子对称性的一种描述工具，并与量子y a n g b a x t e r 方 程的解密切相关量子群理论创立以来日益成为当今国际数学与理论物理研究的热点， 给h o p 玳数的研究又注入了新的活力，并使h o p 玳数的研究工作取得了重大进展后 来出现了许多h o p f 代数的其他形式，如vg d r i n f e l 7 d 引进的拟h o p 玳数1 2 2 ，2 3 】，g b o h m ，d b u l a c u ，ep a n a i t e ，f v a no y s t a e y e n ，e n a u w e l a e r r s ，s c a e n e p e e l 等人 引进的弱h o p f 代数以及vg t u r a e v 弓 进的h o p f 群余代数等 b e l a v i n , d r i n f e l d 【9 】和s e m e n o v - t i a n s h a n s k y 【5 7 1 8 0 年代在研究经典y a n g b a x t e r 方 程时，分别独立在l i e 代数中发现了类似r o t a b a x t e r 恒等式的公式，于是引起了很 多数学家和物理学家的兴趣近年来，r 0 t a - b a x t e r 代数在理论物理和数学物理， 如量子域理论( q f r , q u a n t u mf i e l dt h e o r y ) 【1 5 1 6 】【1 7 4 5 2 5 2 6 ，y a n g b a x t e r 方程 【1 】【2 】，o p e r a d s 【3 】【2 4 1 4 6 1 ，h o p f 代数【5 1 1 2 7 等方面得到了广泛的应用其中最重要的 工作是c o n r i e s 和k r e i i n e r 将h o p f 代数引入到扰动量子域的重正化( r e n o r m a l i z a t i o n ) 研究 【1 6 1 1 1 7 1 量子域理论是描述高能( k g h e n e r g y ) 状态下基本物理现象的理论，它有数学化的结 构研究量子域理论的很多困难在于量子域的重正化，这个过程十分复杂，需要搞清楚 量化的自然定义，但是目前无法计算它由于j o n i 和r o t a 【4 1 】的工作，h o p 玳数成为组 合学研究的一个重要工具和对象8 0 ，9 0 年代h o p 玳数的研究热潮使得h o p f 代数成了非 交换几何研究的核心因此，h o p f 代数很自然的成为了研究量子域重正化的重要工具 2 浙江大学硕士学位论文第1 章引言 c o n n e s 和k r e i m e r 【1 5 1 - 于1 9 9 8 年将h o p 玳数引入到量子域重正化的研究，这个工作是量 子域重正化理论从代数角度研究的基础性工作由费曼图上的h o p f 代数来表述扰动量 子域重正化的代数组合结构，重正化过程可由费曼规旦l o ( f e y n m a nr e g u l a r ) 的b i r k h o f 玳 数化分解来刻画正则费曼规则由此被数学家和物理学家所重视，被作为从费曼图 上的h o p f 代数到重正化概型( r e n o r m a l i z a t i o ns c h e m e s ) 上的r o t a b a x t e r 代数的代数态 射所重新研究b i r k h o f f 的代数化分解来源于非交换r o t a b a x t e r 代数的a t k i n s o n 分解 和s p i t z e r 恒等式【2 5 2 6 ，这样就提供了研究重正化概形的一个不同的方法，使得可以 尝试通过矩阵计算去研究重正化过程 本文的第二章，我们将介绍b a x t e r 代数以及几个重要的例子在这几个例子中，我 们可以看到r o t a 构造自由b a x t e r 代数的思想自由b a x t e r 代数是b a x t e r 代数研究的核心 本文的第三章，我们将介绍r o t a 【5 2 ，c a r t i e r 【1 3 】和近年来由g u o 和k e i g h e r 【3 3 3 4 构 造的3 个不同的自由b a x t e r 代数结构我们可以发现c a r t i e r 构造的自由b a x t e r 代数中的乘 法看上去和e h r e n b o r g 【2 9 】在幺半群拟对称函数上的乘法是一样的，g u o 和k e i g h e r 是基 于r e e 【5 0 和c h e n 【1 4 的工作构造了新的自由b a x t e r 代数结构我们深入研究分析这些结 构，证明了由c a r t i e r 构造的自由b a x t e r 代数结构同构于g u o 和k e i g h e r 的构造在本文第 四章中，我们将用组合学中的树来研究r o t a b a x t e r 恒等式复杂展开的系数计算问题并 将在根树上构造b a x t e r 代数的例子本文的第五章，我们将介绍h o p 玳数，以及一些同 时具有b a x t e r 代数结构的h o p 玳数 3 第2 章定义、基本性质和例子 在文本中，任何环冗都是有单位元1 r 的交换环我们用n 表示由自然数 o ，1 ，2 ) 构成的加法幺半群，用n + = n n i n o ) 表示由正自然数构成的加法半群用( ：) 表 示通常的二项式系数，当n ，k n r ks 佗时，( ：) = 死! ( 七! ( n 一七) ! ) 定义2 1 设c 是一个环，g c ，r 是一个c 一代数如果r 中的一个c 一线性算子p 满足 p ( x ) p ( y ) + q p ( x y ) = p ( x p ( y ) ) + p o p ) ) ，z ，! r( 2 1 ) 则称p 是环r 上的一个b a x t e r 算子为了方便，我们通常将上式改写为 p ( x ) p ( y ) = p ( x p ( y ) ) + p ( y p ( x ) ) + a p ( x y ) ，( 2 2 ) 2 2 式中的a 即为2 1 式中的一q ，我们也称p 是权重为a 的b a x t e r 算予 定义2 2 设r 是一个c 一代数，尸是一个c _ l 的b a x t e r 算子，权重为a 则( 足p ) 被 称为b a x t e rc 玳数 我们注意到零映射0 ：r _ 兄，对所有r r 均有0 ( r 1 = 0 成立，显然零映射对任 意环r 来讲是冗上的b a x t e r 算子因此每个c 代数都可看成是一个b a x t e rd 代数c 玳数 的基本概念可被类似的移植作为b a x t e rc 一代数的基本概念如，设( 兄，p ) 和( sq ) 是两 个权重为入l 拘b a x t e r d 代数，且，是( r ，p ) 到( s ，q ) 的一个态射，如果，满足条件：， 是c 玳数r 到s 的一个c 一代数态射，且对所有z r 都有，( p ( z ) ) = q ( ，( z ) ) ，则，是 一个b a x t e rd 代数态射 用b a x c = b a x c , x 表示权重为a 的b a x t e rc 一代数范畴( r ，p ) 的b a x t e r 理想就是满足 p ( i ) i 的d 代数兄的理想如果，是b a x t e rc 代数( r ，p ) 的b a x t e r 理想，贝1 b a x t e r 商 代数就是商代数r z ，且有由p 诱导的c 一线性自同构映射户：r i z r i z 如果f ： ( r ，p ) _ ( sq ) 是b a x t e rc - 代数态射，则k e r f 是c 一代数刷拘理想，而i m f q 是( s ，q ) 的一个b a x t e r 子c 代数 我们来看几个b a x t e r 代数例子 例2 1 ( 积分) 设冗为c o n t ( r ) ，是由r 上全部连续函数构成的环如果， c o n t ( r ) ，定义p ( f ) c o n t ( r ) 为 ，$ p ( ，) ( z ) = f ( t ) d t ，z 之 - ，0 4 浙江大学硕士学位论文第2 章定义、基本性质和例子 由分部积分公式 z z ，( t ) d r z9 ( t ) d r = o 霉，( t ) ( z 。夕( s ) d s ) d + f o zg ( ) ( z 2 ，( s ) d s ) d t 可知( c o n t ( r ) ，p ) 是一个权重为0 的b a x t e r 代数 例2 2 ( 均幂代数( d i v i d e dp o w e ra l g e 6 例) 这个代数为 r = 0 c e n 它的乘法定义为 e m e n - = ( ：n ) e m ，n 扎 算子p ：冗_ r 定义为p ( e n ) = + l ，几0 是权重为0 的b a x t e r 算子 例2 3 ( h u r w i t z 序列) 设尺为 h r ：= ( n 。) l r ，佗n ) h u r w i t z 序列环【4 3 】h u r w i t z 序列环的加法为分量相加，即为( a n ) + ( k ) = ( 岛) 对所有 n n 有c n = a n + k h u r w i t z 序列环的乘法定义类似与通常的幂级数乘积，口t l 与k 的 乘积定义为( o n ) ( 6 n ) = ( ) ，其中c r i = 舀( ：) a k b 一知定义算子p 为 p ：h r h r ，p ( ( ) ) = ( a n - 1 ) ，w h e r e 口一1 = 0 则h c 是权重为0 的b a x t e r 代数可看作是均幂代数的一个补充 例2 4 ( 数乘) 设r 是一个任意c 代数，给定一个入c ，定义算子r 为 r ：r r ，zh a z ，v z r 则r 为r 上的权重为a 的b a x t e r 算子 例2 5 ( 部分和( p a r t i a ls u m s ) ) 这个例子最初是b a x t e r 在文献【8 】介绍的，设a 是一个 任意c 一代数，定义 r = i ia = ( o l ，a 2 ，) 1 a n a ，礼n + ) n e l 、i + 矧拘加法，乘法和数乘与普通的向量加法、乘法和数乘一样定义“部分和 算子 p ：r _ 兄为 p ( a l ，a 2 ，) = 入( 0 ，a l ，a l + a 2 ，a l + a 2 + a 3 ，) 则p 为r 上的权重为a 的b a x t e r 算子 5 浙江大学硕士学位论文第2 章定义、基本性质和例子 例2 6 这是个在组合学中很重要的例子【5 4 】 设冗是由函数f ：r _ r 构成的环，其卷积定义为 ( ，9 ) ( z ) ：= f ( y ) g ( x - y ) ，z r y e r 定义p ：r _ 冗为 p ( ，) ( z ) = 触) ，z r y e r ，m a x ( 0 ，v ) = 2 则( r ，尸) 是权重为一1 的b a x t e r 代数 6 第3 章自由b a x t e r , 代数 代数中一般讲的自由通常是定义在集合上的，在此我们给出一个更一般化的定义 定义3 1 设a 是一个c 玳数，( f c ( a ) ，p a ) 是b a x t e rd 代数，有d 代数态射a ： a - f c ( a ) ( 乃( a ) ，- p a ) 被称为a 上的自l b b a x t e r ( 3 - 代数( 权重为a ) ，如果对任意权重 为a 自吩b a x t e rc 一代数( 冗，p ) 和任意c 玳数态射妒：a _ 兄，总有唯 的b a x t e rc 玳数态 射9 ：( 乃( a ) ，死) _ ( r ，p ) 存在，使得下面交换图成立 a 对于 设x 是个集合，我们可类似的定义一个在集合x 上的自由b a x t e rd 代数 ( 乃( x ) ，p x ) ，这个b a x t e r , 代数自然同构于b a x t e rc 一代数( 如( c 】) ， 忍冈) ，c 】为c 上由x 生成的多项式代数 自由b a x t e r 代数是：b a x t e r , 代数研究的基础，其重要性如同多项式代数在交换代数研 究中重要性虽然由代数的万有性质理论【4 刁可解决自由b a x t e r 代数的存在性问题，但是 我们希望可以得到具体的自由b a x t e r 代数结构，以便能对自由b a x t e r 代数有详细深刻的 了解 自由b a ) ( t e r 代数最早由r o t a 5 2 , 5 3 和c a r t i e r 1 3 在不含单位元的b a x t e r 代数范畴中 构造在集合上近年来又得到两个不同的自由b a x t e r 代数结构，一个是在c a r t i e r 构造的 自由b a x t e r , 代数结构基础上修改得到的，另一个是由l g u o , 和w ：k e i g h , e r 3 3 , 3 4 】根据混 合洗牌积( m i x a b l es h u f f l ep r o d u c t s ) 构造的 l g u o 和w k e i g h e r 根据洗牌积( s h u f f l ep r o d u c t s ) 构造的自由b a x t e r 代数结构，其 模结构和b a x t e r 算子可以被很简单的描述出来由r o t a 构造的自由b a x t e r 代数作为标 准b a x t e r , 代数，其结构特点是它的乘积的定义很简单在洗牌b a x t e r 代数和标准b a x t e r 之 间存在一个典范同构，这个同构映射使得我们可以用这两个b a x t e r 代数结构的性质做些 研究 3 1 标准b a x t e r 代数( r o t a ) 我们用b a ：) ( 兽来表示不一定含有单位元的b a x t e r 代数范畴，用b a x c 表示含有单位 元的b a x t e r 代数范畴r o t a 【5 2 】构造的标准b a x t e r 代数在范畴b a 兽中是自由的，被当作是 7 浙江大学硕士学位论文第3 章自i 扫b a x t e r 代数 由b a x t e r 8 构造的b a x t e r 代数的子b a x t e r 代数在r o t a 的构造中，有很多限制使c 是特 征为0 的域，在有限集x 上得到权重为1 的自f a b a x t e r 代数 设c 为有单位元的交换环，入0 给定一个集合x ，对每个z x ，记u ( 霉) 为序 列( 牡p ，t 膏) ) ，当集合x 中z 1 z 2 时，集合 牡窘1 n 和 乱乎。) 。互不相交，有 一x = u _ 【让乎l 竹n + ) 记c 冈为叉上的多项式c 代数，n ( x ) 为c f z 中的序列环r ( x ) 中的加法和乘法的 定义如下，设让( 霉) = ( u ，姑) ) ，t ，( z ) = ( 产) ，水) ) ，则 u ( 霉+ 钉伽) = ( u + u p ，钍窘+ 乒) ，) 和 t ( 薯) 勘( z ) = ( u 口产) ，让譬) 毋) ，) 数乘定义为，设a c ，则 a u ) = ( 入u p ，a u 乎) ，) 对k n + ，记n 为序列( 矗，七) 。，矗，是克罗内克函数5 ( k r o n e c k e rd e l t a ) ，如果k = n ，矗，七= 1 ，否则如，七= 0 即为( 0 ，0 ，1 ，0 ) ，除了第k 个位置为1 外，其余位 置都是0 ，因此我们可将r ( x ) 中序列( 口。) 。写成 。 f 口 =air+a2nrni r l2 r 2 + 乙口 2 + 定义最= 最 ：a ( x ) _ a ( x ) 为 哎( 口l ，a 2 ，a 3 ，) = a ( o ，a l ，a l + o 2 ，a l + 屹+ 0 3 ，)( 3 1 ) 取a = ( a l ，a 2 ) ，则最( 口) 中的每项为入数乘a 中对应位置所有项之和因此r ( x ) 中 的元素可写为序列形式墨l 凸。，则3 1 式可写为 尸曼( 薹口n ) = a 壹n = l ( ，呈i = 兰1 。t ) r n 如果入= 1 ，则最定义了一个r ( x ) 上的权重为1 的b a x t e r 算子所以，对va c ，磁 定义了一个n ( x ) 上的权重为1 的b a x t e r 算子，因此( 冗( x ) ，最) 属于范畴b a x c 定义3 2 由r ( x ) 中序列u p ) = ( u p ，u 窘) ) ，z x 在集合x 上生成的标 准b a x t e r 代数是a ( x ) 的b a x t e r 予代数s ( x ) 在r o t a 的文献f 5 2 ，5 4 】有如下重要结论 定理3 1 ( s ( x ) ，嵫) 是集合x 上在范畴b a x c 中的自由b a x t e r 代数 8 浙江大学硕士学位论文 第3 章自哇b a x t e r 代数 3 2 自由b a x t e r 代数( c a r t i e r ) c a r t i e r 1 3 于1 9 7 2 年构造了另一种自i 主ib a x t e r 代数c a r t i e r 是在不含单位元，权重为 一1 的b a x t e r 代数范畴中在集合上构造了自由b a x t e r 代数 设x 是个集合，a c ，m 为集合x 上有单位元的自由交换半群记m 为符号 u o - 【】，t o m ，u o 1 和 u o 【7 2 1 ，u m 】，m21 ，u o ，u 1 ，u m m 所构成的集合 记毋( x ) 为集合m 上的自由c - 模，c a r t i e r 给出了孵( x ) 上的c 一双线性乘法u c ( u 0 【】) ti c ( v 0 【】) = u o v o 【】， ( u o 【】) t i c ( v 0 【 u 1 ，】) = ( v o v x ，】) l i c ( u o 【】) = u o v o v l ，】， 和 ( u o 阻1 ，】) u 口( 咖如1 ，】) = a m + n - k u o v o 圣。( h ，】，p l ，】) ( 知，p , q ) e 君d m 。n ) 夏( m ，仃) 为三元组( k ，p ，q ) 构成的集合，其中k 为1 和m + 佗之间的整数，p 和 q 是 1 ，七) 的有序子集，且puq = 1 ，七) ，ipi = m 和iql = 扎对每个 ( 七，p ，q ) 瓦( m ，n ) ，饥，p q ( 【u 1 ，让m 】，【 1 ，】) 为m 中元素陋l ，w 小 l 钍。， j 是p 中第a 个元素，且歹岳q ； 嘶= 坳， 歹是q 中第p 个元素，且歹岳p ； i “。呦，j 是p 中第q 个元素，且是q 中第个元素 毋( x ) 上的c 一线性算子磁定义是 最( u o 【】) = 1 【u o 】， 段( u o 【u l i u m 】) = 1 ，u l ，u m 】 c a r t i e r 在文献【1 3 】中证明了( 孵( x ) ，段) 是在权重为a 的范畴b a x c 中集合x 上的自 b a x t e r 代数 9 浙江大学硕士学位论文 第3 章自i 扫b a x t e r 代数 3 3 3 3 1 混合洗牌b a x t e r 代数( m i x a b l es h u f f l eb a x t e ra l g e b r a s ) 置换洗牌( p e r m u t a t i o ns h u f f l e s ) 对m ，佗n + ，( m ，凡) 洗牌( s h u f f e s ) 集合为 等价于 跏川= 卜 跏= 卜o i f r 髯1 獬塌o r ( 8 佗t h e n ) m +盯p ) ) m + 佗 r 5i 岛+ 。是m + n 个字母上的对称群给定一个( 仇+ n ) 一洗牌盯s ( m + n ) ，区间 ( k ，七+ 1 ) ，1 七m + n 是盯的容许对，如果o r ( k ) 仇so r ( k + 1 ) 记p 为o r 的容许对 的集合如果t 是p 的子集，则( 盯，t ) 为混合( m ，凡) 一洗牌( m i x a b l e ( m ，n ) - s h u f f l e s ) ，iti 是集合t 的基数记雪( m ，n ) 是混合( m ，n ) 一洗牌的集合即 记 雪( m ，n ) = ( 盯，t ) lo r s ( m ，n ) ，r c7 。 s ( m ，几) = i 否( m ，n ) ( m ，竹) 一洗牌是一个 1 ，m ，m + 1 ，m + 佗) 的置换盯使得 1 ，m ) 和 m + 1 ，仇- i - r , ) 的排列顺序与 盯( 1 ) ，o r ( m ) ，o r ( m + 1 ) ，o r ( m + n ) ) 的排列顺序保持一 致混合( m ，n ) 一洗牌( o r ，t ) ，盯是( m ，n ) 洗牌，t 为仃的容许对集合 例3 1 三个( 2 ，1 ) 洗牌： 盯= ( ：i 三) ，观= ( ：兰31g3-2( 三；：) ( 2 ，3 ) 是盯l 的容许对，( i ，2 ) 是观的容许对，但0 3 没有容许对 记 雪l ，o ( m ，n ) = ( 盯，t ) 雪( 仇，n ) i ( 1 ，2 ) g z ( 7 - 1 ( 1 ) = 1 ) ， 岛，l ( m ，n ) = ( 盯，t ) 雪( m ，仃) i ( 1 ，2 ) gt ，( 7 - 1m + 1 ) = 1 ， 巍，1 ( m ，凡) = ( 盯，t ) 雪( m ，n ) i ( 1 ，2 ) t ) 1 0 、17ij n十m 以 盯 ， m o 仃) 舶 m y 吵一盯弋 十 d m 以 。 仃 盯 浙江大学硕士学位论文第3 章自b a x t e r 代数 所以有 雪( m ，扎) = 两，o ( m ，扎) l i 岛，1 ( m ，仃) 两，l ( m ，n )( 3 2 ) u 为不交并由s ( m ，n ) 的定义，有且仅有0 - 1 ( 1 ) 和( 7 - 1 ( m + 1 ) 等于1 同样的，我们可 以定义( m ，n ，z ) 洗牌集合为 s ( m ，n ，z ) = 对盯s ( m ，扎，z ) ，有 其中 码，0 = 碣，1 = 盯+ n + r 曩1 蕉( 7 - 1 雾2 1 ( 9 - - 1 2(7-1n - l ( x 仃- 1 ( m + ) ( m + ) 盯- l ( m + 佗) ，l 盯一1 ( m + n + ) ( m + n + ) l ( m + + 2 )j r = 蜀，0 i i 蜀，1i i 弼，1i i 弼1 fl ( k ，k + 1 ) l 【i f ( 七，k4 - 1 ) 【 f ( k ，k4 - 1 ) 【 1sk m4 - n + l 一1 ，o ( k ) m m4 - 竹o rm 4 - 死o ( k4 - 2 ) 1 k m4 - 礼+ f ，仃( 七) l ，m4 - n 盯( 后4 - 1 ) ( k , k 4 - 1 , k 4 - 2 ) 对( 盯，t ) 百( m ，n ，1 ) 有 记 有 d e g t = lt n 五l ，oi + lrn 五孓，li + itn 弼，ll + 2 r n 弼，1i ( 3 3 ) 君( m ，n ，f ) = ( 仃，t ) i 盯s ( m ，n ，z ) ，t 乃) 命题3 3 设m ，仃n + s ( m ，n ，f ) = i 君( m ，仃，f ) 1 1 ， ， li，j、ii，f-_、 盯砷 八i 一 恐+ “ m 盯 曲 耐 l a 兰一 轧鹰m 浙江大学硕士学位论文第3 章自畦b a x t e r 代数 1 8 ( m ，扎) = 8 ( m 一1 ，n ) + s ( m ，佗一1 ) + 8 ( m 一1 ，n 一1 ) 2 1 ( 吼丁) 虿( 仇，n ) i iti = i l = ( m 絮一) ( ? ) 3 8 ( m ，礼) = 4 s ( m ，n ，f ) 证明：1 由公式3 2 可证 七) ( 七挑m ( ：) 2 记公式左边的集合为夸( m ，佗) ，我们用数学归纳法进行证明当m + n ：2 时， 显然成立当一般情况时，奄? 。) ( m ，n ) = 夺( m ，凡) n 夏。o ) m ，n ) ，同样可得聋2 1 ) ( m ，礼) 和奄2 1 ) m ，住) 由公式3 2 可得 分( 仇，n ) ：磷：( m ，n ) 磷j ( m ，n ) 磷j ( m ，n ) 笺分( m 一1 ，佗) 夸( 仇，n 一1 ) 萨一1 1m 一1 ，几一1 ) 这里a 垒b 表示集合a 和集合b 基数相同所以公式右边为 ( m = 一) ( m ：- 1 ) + ( m 1 。) ( ? ) + ( m ：y ) ( = ) 由p a s c a l 等式可得上式的和为( 刑：一) ( ? ) 3 由上面的对2 的证明，对iti = i 的i = 0 ，佗进行累加得证 4 对4 的证明和对3 的证明类似对0 七n + ；，记 夸七( m ，n ，1 ) ： ( 盯，r ) 否( m ，n ，z ) id e gt ：七) 我们对j = m + n4 - z ，m ，n ，l 1 进行递归证明 趴叩，z ) l = i _ n 0 ( 卅r ) ，f 、，竹l + n n b 八仃j ( ：) ( 3 4 ) 当m + n + l = 3 时，上式显然成立假设当仇+ n + l 歹时等式成立，考察当 m + n + 2 = 歹的情况，记 否1 o ，o ( m ，n ，f ) = ( 仃，t ) 琴( m ，仃) 10 - 1 ( 1 ) = 1 ，( 1 ，2 ) 彰丁) ， 硫，l ，o ( m ，n ，1 ) = 【( 盯，t ) 君( m ，仃) io - 1m + 1 ) = 1 ，( 1 ，2 ) gt ) ， 硫0 ，l ( m ，n ，1 ) = ( 盯，t ) 君( m ，n ) io - 1 ( m + n + 1 ) = 1 ，( 1 ，2 ) 窖丁) ， 1 2 浙江大学硕士学位论文第3 章自b a x t e r 代数 和 可，1 ，o ( m ，n ，2 ) = ( 盯，丁) 一s ( m ，礼) i ( 1 ，2 ) tn7 器。o ，( 1 ，2 ，3 ) 譬t ) ， 否l ，o ，l ( m ，佗，2 ) = 【( 口，丁) 琴( m ，佗) i ( 1 ，2 ) tn7 晶，l ，( 1 ，2 ，3 ) gt ) ， 硫，l ，l ( m ，n ，z ) = ( 盯，? ) 否( m ，n ) i ( 1 ，2 ) t f 3 7 晶，l ，( 1 ，2 ，3 ) 岩t ) ， 一b 1 , 1 , 1 ( 仇，扎，z ) = ( ( 口，t ) 可( 仇，n ) i ( 1 ，2 ，3 ) t ) 础， ( 仇，n ，z ) ；瓦， ，。( m ，n ，f ) n 夸七( m ，n ，2 ) 其中u ，v ， t o = 0 或1 由定义得 所以 否( m ，他，1 ) = 否l ，o ，o ( m ，n ，z ) h 玩，1 ，o ( m ，n ，1 ) 醌，o 1 ( m ，n ，1 ) 1 ，1 ，o ( m ，礼，z ) i i 君l ，o ，l ( m ，n ，f ) h 瓦1 1m ，n ，1 ) 否1 l l ( m ，n ，z ) 夸七( m ，佗，z ) ： 叠篁，。( m ，n ，f ) 础，。( m ，n ，2 ) 础，。( m ，n ，z ) 否m ，佗，2 ) 础，。m ，佗，f ) 础，。m ，他，z ) 础，。( m ，n ，f ) 竺夸1 m , 0 ，。( m 一1 ，n ，f ) 础，o ( m ，n 一1 ，z ) i i 可。k ) ，1 ( m ，n ，l 一1 ) 君等矗( 仇一l ，n 一1 ，z ) ，。- ，1 ( m 一1 ，n ，z 1 ) l l - 虿。( k ，- ，i ( m ，凡一1 ，z 一1 ) 可0 ( m 一1 ，n 一1 ，l 一1 ) 由归纳假设得3 4