（基础数学专业论文）半离散mkdv方程的延拓结构.pdf

河南大学硕上学位论文 摘要 以微分几何为工具建立的延拓结构理论是讨论孤子方程的一种重要方法，具有 广泛的应用，该理论可以从原始的非线性偏微分方程出发，求得该方程的l a x 对，进 而检验原方程的可积性、利用逆散射变换对方程求解。 本论文将致力于建立完善的半离散延拓结构理论，以及利用该理论讨论半离散 的m k d v 方程，并求得它的l a x 对。 在第一章绪论部分，我们陈述了孤子方程的由来，l n z 方程和逆散射变换的相关 理论。在第二章我们简单介绍了连续外微分学以及连续的延拓结构理论。在第三章 中，我们陈述了半离散非交换微分学。在第四章中，我们利用半离散的非交换微分 学建立并完善了1 + 1 维半离散的延拓结构理论，并具体讨论了1 + 1 维半离散m k d y 方程的延拓结构，然后求出了它的l a x 对。最后，在第五章中，我们给出了一些总结 和展望。 关键词：外微分学，延拓结构，l a x 对 河南人学硕上学位论文 a b s t r a c t t h et h e o 搿o fp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h a tb a 8 e do nt h ed i & r e n t 试g e o m e t r yi sa n i m p 姒缀鞠磁酗di 珏懿u d 硪珏g 毛l 玲s o l i t o 旺e ，( 圭。3 圭王) 的相容性条俘是： 挑一a 眠+ 一( e ) = o ， 其中嚣歹( 髓) = ，+ 王) 是前移位算子。 一个显然的问题：对于一个给定的非线性问题，它一定有三o z 表示吗? 如果有， 怎榉来确定三半鬈对和掰? 在上世纪七十年代中期，警铲矗堪q 疆溉和e s 毫幽粕馥【1 6 ，薹习给 出了一个系统的方法来寻找一个给定的非线性演化方程的l a z 对一延拓结构方法。在 该方法中，微分几何理论显示出了重要的作用。 5 第二章连续的外微分学与连续的延拓结构理论 早在1 9 7 5 年，w 如1 q u i s t 和e s t a b r o o k 【1 6 ，1 7 给出了系统的延拓结构方法用于寻 找一给定的非线性演化方程的l o z 对，以后我们简称为、- e 延拓结构理论，在该理论 中微分几何显示了重要的作用。下面我们就简单的介绍一下连续的外微分学。 2 1连续的外微分学 本节只在具体的欧氏空间舻上考虑问题 定义2 1 1 设 z 1 ，扩】是欧氏空间形t 的线性坐标，向量场空间y 定义为关于坐 标的偏导数所构成的集合，即： y ：= 跏佗 刍，杀) ( 2 1 1 ) 定义( 2 1 2 ) 设 z 1 ，扩) 是舻上的线性坐标，定义q + 为冗上的由 如1 ，如n ) 所生 成的代数，其中 如1 ，出n ) 具有以下关系： 瞄 三 1 ， d ，如 矧，如 矧 如忌， ， 如1 如n t jt 歹 七 由此可得形上的c o 。微分形式是： q + ( 舻) = ，：，c 。】- qq + 中的元素。因此，如果u 是一个c o o 的微分g 一形式，则u 可以唯一地写作： u = 五1 ，如d 矿1 ， d z “， ( 2 1 3 ) 6 2l2 * 碍吼如一 河南人学硕- 上学位论文 其中的系数 ，喝是形上的c 函数。我们也可以将u 写成： u = 出j ( 2 1 4 ) 代数q + ( 舻) 是自然分次的，它可写成： n q + ( 冗n ) = o 弹( 舻) ， q = 0 其中伴( 形) 是由舻上的c o o 口一形式构成。 定义2 1 3 对于代数q + ( 舻) ，定义其上的微分算子d 如下： d ：即( 舻) _ q q + 1 ( 彤) ， 1 ) ，q o ( 形) ，d ，：= 茹如， 2 )u = 厅如1 ，凼：= 奶八如j ( 2 1 5 ) 定义2 1 4 设u = 丘如。，7 = 9 j 如j 分别是舻上的两个微分形式，现在定义它们 的外积为： u 7 - ：= 厅夕，出j 如， ( 2 1 6 ) 则外积具有性质：7 u = ( 一1 ) 如9 u d e 9 丁u 7 - 命题2 1 5 如果d 是以上所定义的外微分算子，则d 具有性质： 1 )d ( u 7 ) = ( d u ) 7 + ( 一1 ) 蜘u 打， 2 )d 2 = 0 定义2 1 6 一个理想jcq + ( 舻) 如果满足j 在外微分算子d 的作用下是闭的，即： 则称j 是一个微分闭理想 d ( j ) cj ， 7 ( 2 1 7 ) 河南大学硕- 上学位论文 2 2连续的延拓结构理论 本节我们将简单地介绍连续的延拓结构理论。在2 0 世纪7 0 年代h a r r i 8 0 n 和e s t a b r o o k 1 8 】就利用嘉当的外微分形式将偏微分方程用等价的外微分形式表示出来，对于一 个偏微分方程，我们可以在流形m 上定义出一系列的外微分形式与之对应，使得当 它们限制在子流形上，并恒等于零后，就与原来的偏微分方程等价。一个重要的 事实是，如果一个外微分理想j 在微分算子d 的作用下是闭的，即： d ( j ) cf ，( 2 2 1 ) 则一定可保证原偏微分方程的可积性。 现在我们设所考虑的非线性演化方程形式为： 圣( ，u 亡 ，u 眦，u 竹t ) ，( 2 2 2 ) 其中，札是关于二维连续变量( z ，亡) 的函数，且z = 耪，u n t = 鬻m ，死分别是原方 程所包含的依赖变量关于自变量求导的最高阶数。 现在我们设新的变量如下： p q2 。u z ， 口02 毗， p 15p 0 。z2t k z ， 9 12g o ，t2u 托， ( 2 2 3 ) p m 一22p m 一3 ，z2 t 正( m 一1 ) 茁， g n 一22 g n 一3 ，2 钍( n 一1 ) t ， 其中 鼽，$ = 警，蛳= 鬻 原方程( 2 2 2 ) 就等价于下列m + n 一1 个一阶偏微分方程组： 8 河南大学硕上学位论文 如2 仳霉， q o = 毗， p 1 。p 0 $ ， 口12 g o ，t ， ( 2 2 4 ) p m 一22p m 一3 $ ， 口n 一22q n 一3 ，t ， 圣( 让，p 0 ，q o ，p 1 ，9 1 ，一2 ，z ，g n 一2 ，t ) = 0 对于阶偏微分方程组( 2 2 4 ) 我们可以在流形m = ( z ，t ，钆，p 0 ，9 0 ，p 仇一2 ，骱一2 ) ) 上 定义一族外微分2 形式： q 0 = p o d 童 出一砒八出， 岛= 9 0 出 出一砒 如， 口1 = p 1 出 出一劫o 如， 尻= 9 1 出八如一商9 0 如， 理m 一2 = p m 一2 如 出一c 胁7 l 一3 如， 席一2 = 口h 一2 疵 d z c 一3 c k ( 2 2 5 ) 以及对应于方程西( 乱，如，q 0 ，p 1 ，q 1 ，p m 一2 ，一2 ，t ) = 0 的另一个2 一形式7 而当外微分2 - 形式，觑，7 截取在m 的子流形= ( z ，t ，乱( z ，亡) ，鼽( z ，t ) ，吼( z ，t ) ) ) 上，并且令它们恒等 与零后，我们就可以得到偏微分方程组( 2 2 4 ) 。 9 河南人学硕上学位论文 为了确保我们所定义的外微分2 一形式集合 ，= 0 f ，觑，7 ) ( 2 2 6 ) 在嵌入子流形上限制为零后，于原方程的等价性，我们还要求，在外微分运算下是 闭的，即j 本身生成一个微分闭理想。 然后我们引入新的变量矿，以及外微分1 形式 u 知= 咖知+ f 知如+ g k 疵( 2 2 7 ) 其中p 和g 南依赖于变量慨，矿) 和延拓变量犷，并且我们要求u 惫满足下列条件： 如七三o ( m d d 口t ，岛，7 ，) ， ( 2 2 8 ) 即要求j = ，u 知) 仍然是一个微分闭理想。 特别地，如果我们能够得到u 的一个两维线性实现： u 1 = 匆1 + f 1 如+ g 1 出= 咖1 + ( 矸y 1 + 砖可2 ) 如+ ( g 秒1 + g i 可2 ) 出，( 2 2 9 ) u 2 = 咖2 + f 2 如+ g 2 出= 劫2 + ( 砰可1 + 碍可2 ) 如+ ( g y 1 + 鹋可2 ) 出， ( 2 2 1 0 ) 并且巧，嘭( i ，歹= 1 ，2 ) 包含一个谱参数入，满足沁= o 。则现在我们将u 1 ，2 截取到子 流形= ( z ，亡，u ( z ，t ) ，鼽( z ，亡) ，钐( 。，t ) ，扩( z ，t ) ) ) 上，并令它们恒等于零，则可得到原 偏微分方程的五a z 对： k = m y ( 2 2 1 1 ) k = y( 2 2 1 2 ) 其中y 是一个二维列向量y = ( 可1 ，秒2 ) t ， m = ( 二芸二黔 仁2 ， = 二詈 2 肌， 这就确保了原方程的可积性，并且可以由逆散射的方法求解。 第三章半离散变量的外微分学 3 1基本定义 在本节中，我们引进一些基本的定义。由于我们要讨论的具体问题是半离散的 非线性演化方程，所以直接讨论具体的空间m = 砂剧，其中的z 和r 分别是整数集 和实数集 设( 仇l ，讹，m 惫，z 1 ，一) 是空间m 中的任意一点，现取a 为m 上的所 有光滑函数所构成的代数空间，即： a = f 伪m 上的光滑函数， 定义3 1 1 对于任意的函数，a ，现定义，关于第t 个离散变量m 的前差分为： t ，( m 1 ，讹，m 知，z 1 ，一，) ：= 易，一，( 3 1 1 ) 其中的历为厂关于第i 个离散变量m i 的前移位算子，即： 忍，= ，( m 1 ，讹+ 1 ，纸，z 1 ，矽，) ，( 3 1 2 ) 定义3 1 2 设( m 1 ，仇小，m 知，z 1 ，) 是空间m 中的任意一点，为以上定义 的前差分算子，南为关于自变量求偏导数的算子，则定义向量场空间y 为关于离 散变量的前差分和关于连续变量求偏导的算子所生成的空间，即： y ：= 却o n 1 ，七，寺，嘉】， 定义3 1 3 设( m 1 ，讹，m 七，z 1 ，) 是空间m 中的任意一点，t ，南如上所 定义。现在定义q + 为m 上由 x 1 ，妃，妒，如1 ，d ，出2 所生成的代数，其中 x 1 ，0 ，妒，如1 ，矧，如0 满足下列关系式： 河南人学硕上学位论文 ( r 1 ，t z ) = 蝗， ( 0 ，南) = o ， ( 拟， ) = 0 ， ( 拟，击) = 磅， x 2 x 4 = 0 ， 0 1 八2 = 一x 2 八x “，i 1 i 2 ， ( 3 1 3 ) x 。 d 护= 一d 矽 妒， 蹦八d = o 纠1 八纠2 = 一纠2 d l ，j 1 歹2 ， d z ，= ，d 护，j = 1 ，f ， r ( 岛，) = ，妒，i = 1 ，忌， 则作为一个r 上的向量空间，q 有基： 1 ，x 4 ，c f a 夕，) ( 4 1 x ，r d 矽，d 矽1 d z j 2 ，x 1 ) ( 七 c 切1 c b z ( i 1 i 2 ，歹1 如) 由于关系式( 3 1 3 ) 可得，q + 作为a 上的左模和右模是不相同的。为了方便起见，我们 在本文中仅考虑右模空间的情形。由此可得m 上的c o 。微分形式是： q + ( m ) = q + o _ ，：，为m 上的光滑函数) ， 中的元素。因此，如果u 是一个c o o 微分g 一形( o 口尼+ 2 ) ，则u 可以唯一地写作： u = x n 人x a 1 比1 八 比q ：五l t 。1 j ，j 。2 ( 3 1 4 ) 口1 + q 2 其中系数 ，t 。，j r 矗。是函数m 上的光滑函数。我们也可以将u 简写为： u = x j 咖j 加 则易见代数q + ( m ) 是自然分次的，它可以写成： 1 2 ( 3 1 5 ) 河南大学硕- 上学位论文 甜( m ) = 笺q 口( m ) ， 甜( m ) = 噬q 口( m ) ， 口2 u 其中，卵( m ) 是由m 上的光滑的g 一形式构成的。特别地，当g = o 时， q o ( m ) = a = ，：，为m 上的光滑函数) 定义3 1 4 对于代数甜( m ) ，定义其上的微分算子d 如下： d ：卵( m ) _ q g + 1 ( m ) ， 1 若，( m 1 ，盯k ，m 后，z 1 ，z 2 ) q o ( m ) ，贝0 其中幻厂和幻，分别定义为： d l ：= d d f + a c | ， 幻，= 0 i ， t = 1 d c ，= 蹦茹 2 若u = x 。 如j 办，伴( m ) ，则 则此时由上式可得： ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 山：= ( 一1 ) 口) ( i 虢， ( 3 1 1 0 ) 呶。= 0 ，d ( d 矽) = o 1 3 河南大学硕上学位论文 3 2基本定理 本节介绍外微分算子d 的一些基本性子 定理3 2 1 设d 是上节中所定义的外微分算子，则d 具有性质： 1 )d ( u 八7 - ) = ( 如) 7 - + ( 一1 ) d e g u u 打； 2 ) c f 2 = o ； 3 ) ( 够) ( 钉) = 口( ，) ，v ，q o ( m ) ，口v 证明我们首先证明对于任意的光滑函数，夕础( m ) 定理3 2 1 性质1 成立。因为对 于任意的，q o ( m ) ，按照定义3 1 4 ，有： 影( m 1 ，讹，仇知，z 1 ，) = 如，+ 如， 所以有： d 2 ，= ( 幻+ 如) ( 幻+ d c ) ， = d i j rd b f + d d d c f + a c a d | = 幻( 蚤o l ，) + 如( 塞捌黟) + 幻( 壶矧籍) + 幻( 圭0 氆，) j 2 1 4 = l 惫z = 一誓八j ( i ，) 一如j 八如， o j = 1j t = 1 f知 七z 一矧八0 t ( ，) 一誓 d 夕岛( t ，) j = 1 2 = 1 t = 1 歹= 1 =0 由以上的证明我们还可以得到下列关系式 ( 屯f = d b f = q d d d c f = 一d c d d f 。 而对于任意的，夕q o ( m ) ，有： 1 4 烈f 们= z + 础 歹= 1 2 娶旺t | e 扩e t j g j re i | g 一 小 + 盎矧，岛+ 盔蹦 磊夕 9 2 三- 晟，诏+ 矧，岛 t = 1，= l + 三x i ，夕+ 妄比一茹9 = 1 f = 】。 甩 z厶， = ，( 量0 厶9 + 言蹦岛) + ( 喜。厶，+ 壹d z 貉) ，夕 t = 1 f = 1 。 ：1 ；：j ”z = f d g + d j g 总之，当六9 q o ( m ) 时，有定理3 2 1 的性质1 ) 、2 ) 成立 现在对于任意的两个g 一形式和r 一形式u ，7 - ( 1 g ，r 七+ z ) 设它们分别为： u = x l 妇j j | 【fj f t ：x l 八娩jg i j 则此时，按照定义3 1 4 ，有： d ( u 7 1 ) =d i ( x 如矗叫) ( x ， 如l ，) d ( x 如八x ，八如j ( 目矗j ) 夕) ( 一1 ) g + r x ，7 如，7 八x j 如，人d ( 研矗，卯，) ( 一1 ) 口竹x j 7 如，7 八x ，八如，d ( 研矗t ，) 卯， + ( 一1 ) 口+ x 7 7 如，7 x j d 2 ， ( 毋疗，谚卯，) ( 一1 ) g + 2 7 x j 7 八出，7 句i ， x j 如j g j 十( 一1 ) 口押x j 7 如，7 矗， x ， 如j 八匈j ， = ( _ 1 ) q ) ( j 7 八如j 诉叫 八 x ， 如j 肌 + ( 一1 ) 2 x j 7 八如t ，7 矗叫 ( 一1 ) r x ， 如，八咖j 】 = d o 7 + ( 一1 ) d e g u u ( 打) ， 由此，我们可以得到性质1 ) 对于任意的u 、丁都成立。则此时对于任意的口一形 1 5 河南大学硕上学位论文 式u = x 7 如j j ，有： 在由性质： 我们可得： 如= ( 一1 ) 口x j 八如j 奶j ， d ( u 丁) = 础 7 _ + ( 一1 ) d 8 9 u u ( 打) ， 舻u=( 一1 ) q d ( x j 八d z j 力i ，) = ( 一1 ) q d ( x j 如j ) 八力i ， + ( 一1 ) 2 9 ( x j 八如，) d ( 奶，) =0 由此可得性质2 ) 也成立。 现在我们证明性质3 ) 。因为对于任意的，护( m ) ，秽y ，它们可以写作下列形式： d ，：= d d ，+ 如，= 妻誓氆，+ 塞矧黟， 七2 u = 三夕t + 刍， 所以按照条件( 3 1 3 ) ，我们有： ( 彤， ) = ( ；圭，t n ，+ 圭，彬矗，圭i 夕t ：；。十圭，。齿) ( 彤， ) = ( t n ，+ 矧薪，夕：t 。十。矗) 1 1 2 l，1 。l1 2 = l ，2 = 1 = ( ，1 n 三夕幻i ：) + ( e 誓1 i ， ，2 麦b ) 2 1 0 lt 2 2 10 1 2 lj 2 2 l “圭，彬t 茜，叁9 t z o + ( 圭，蹦- 盖，圭，z 矗) j 1 2 11 2 2 lj 1 2 lj 2 = l 2 喀( t ，伊夕幻+ 窖盖2 = 妻( 赴，) + 塞藉 = 钉( ，1 。 这就证得了性质3 ) ，至此，定理3 2 1 就得以证明了。 定理3 2 2 设jcq + ( m ) 是一个理想，如果j 在以上所定义的外微分算子d 的作用下 是封闭的。即： 1 6 河南大学硕上学位论文 则称j 是一个半离散的微分闭理想。 d ( 歹) cj ， 1 7 河南大学硕r 上学位论文 3 3半离散复合函数的性质 在上两节中，我们已建立了多个离散变量( 忌个) 和多个连续变量( 2 个) 的外微 分学，在本节中我们将引入几个基本的定义，并由此讨论复合函数的性质，以便我 们在第三章中建立1 + 1 维半离散的延拓结构理论。 我们现在设f = f ( 1 ，矿) 是空间m = 砂硝上的复合函数，即：矿( 6 = 1 ，a ) 是空间m = 驴剜上的函数 定义3 3 1 对于以上定义的光滑函数f = f ( s ，1 ，矿) ，我们现在定义它的第i ( t = 1 ，七) 个前差分为： t f ( 秒1 ，a ) ：= f ( 最可1 ，蜀秒a ) 一f ( 可1 ，耖a ) ，( 3 3 1 ) 其中的蜀( t = 1 ，尼) 为关于第z 个离散变量的前移位算子。我们在这里约定当 矿( 6 = 1 ，a ) 不依赖于离散变量时，则有：易矿= 矿，即移位算子对连续函数不起作 用，而当矿= 矿( m 1 ，m 一，m 知) 依赖于七个离散变量时，则有： 邑矿= 矿( 仇1 ，m + l ，m 庇) 定义3 3 2 设f = f ( 耖1 ，矿) 同上，我们现在定义f 关于第6 个变量 矿= 矿( m 1 ，m t ，m 知) 的第i 前差分为： i ，掣b f = f ( 秒1 ，易y 6 ，y 1 ，秒a ) 一f ( 1 ，可6 ，可1 ，可a ) ，( 3 3 2 ) 定义3 3 3 设f = f ( 可1 ，矿) 同上，我们现在定义f = f ( 1 ，矿) 关于第6 个变 量矿的第z 形变前差分： t ，护fi e = f ( 秒1 ，邑矿，晟矿+ 1 ，易矿) 一f ( 1 ，以最矿+ 1 ，易户) ( 3 3 3 ) 现在我们定义： 吣肛笔掣， ( 3 3 4 ) 厶锄雌= 型挚， ( 3 3 - 5 ) 则于此我们可以得到下列定理。 定理3 3 4 由以上定义，对于任意函数f = f ( 箩l ，户) ，我们可得到下列恒等式： ，矿f 一t 矿i ，圹f 1 ，耖a ) ，( 3 3 6 ) ，沪fl 霹一 矿蟊矿f ( 寥1 ，箩a ) | 露， ( 3 。3 。7 ) a f 一l ，护f 1 ，搿a ) l e 。 。3 。8 ) 6 = l 证明：由式子( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ，我们很容易证得恒等式( 3 3 6 ) ，( 3 3 7 ) 。下面我们 证臻等式( 3 3 。8 ) ，由定义3 。3 王，我们可德： 罗= f ( 或寥1 ，宅爹a ) 一罗( 寥1 ，严) = f ( 岛可1 ，厩2 ，厩矿) 一f ( 耖l ，最掣2 ，肠扩) 十f 转1 ，毁秽2 ，踢矿) 一f ( 影1 ，寥2 ，忍影3 ，骂矿) + 一 巾f ( 笋1 ，3 ，a ，最暑，a ) 一f ( 暑，1 ，彩a 一1 ，箩a ) = 互t ，矿f ( 秒1 ，矿) 阢 口= 2 上 这就证明了定理3 。3 。4 。 王9 第四章半离散的延拓结构理论 在本章中，我们将基于第三章中所介绍的非交换外微分学，来建立1 + 1 维半离 散的延拓结构理论。 4 11 个离散变量以及1 个连续变量的外微分学 本章的基空间是上一章的特殊情况m = z r ，即：七：2 ：1 ，m 中的任意一点 为( 几，亡) ，a 为m 上所有的光滑函数所构成的代数空间，即： a = f f 伪m 上的光滑函数】1 定义4 1 1 对于任意的光滑函数，a ，我们现在定义它关于唯一的离散变量佗的前 差分为： ，( 仃，t ) ：= e ，( 礼，t ) 一，( 几，t ) ，( 4 1 1 ) 其中的e 为前移位算子，即： e 厂( 礼，t ) = ，+ 1 ，t ) ( 4 1 2 ) 定义4 1 2 设( n ，t ) 是空间m = z 冗中的任意一点，为以上定义的前差分算 子，侥为关于连续自变量t 求偏导的算子，则定义m 上向量空间y 为由和侥所生成 的空间，即： y ：= 勖赡礼 ，侥) ，( 4 1 3 ) 定义4 1 3 设( 礼，t ) 是空间m = z 冗中的任意一点，侥如上所定义。现在定义q + 为m 上 由 x ，出) 所生成的外代数空间。其中的 x ，毗 满足下列关系式： 河南犬学顶上学位论文 = 1 ， = 0 ， = 0 ， = 王， x x = o ， ( 4 1 4 ) 蹴蹴= o 。 x 蹴一一d 亡 x ， 如 = 彘， ) ( ( 刀，) = ，x ， 我们注意到以上所定义的x 和掰上的光滑函数是非交换的，它们必须满足一定 的非交换关系。则作为个r 上的向量空间，绀有基： l ，x ，蹴，x 斑。 “ 由关系式( 4 1 4 ) 可得，q + 作为a 的左模和右模空间是不同的。为了方便起见，我 们在本文中仅仅考虑右模空间的情形。出此可得m 上的g 微分形式是： ( m ) = q + o ，：，为舾上的光滑函数) ， 中的元素。 在约定渺( 掰) = 蠢一 ，：，为磁上的光滑函数 后，我们可以得到m 上的外代数 空间q + ( m ) 为分次代数空间： q + ( m ) = ，鱼q 知( m ) ( 4 1 5 ) 詹= = u 定义莲羔4 设q 4 ( 掰) 为以上所定义的外代数空间，现在定义其上的外微分算子蠢 d ：渺( m ) q 知+ 1 ( 拟) ，( 4 。l 。固 1 对于任意的，( 佗，) q o ( m ) ，有： 彤( 扎，舌) ：= 如，+ ，( 4 1 7 ) 2 1 河南大学硕- 上学位论文 其中的d d 和d c 分别定义为： d d ，= x ， ( 4 1 8 ) 曲，= 班侥，( 4 1 9 ) 2 若u = x 厂( 礼，t ) 十d 夕( 佗，亡) q 1 ( m ) ，贝0 幽= 一x 八够( 礼，t ) 一班 由( 扎，t ) ( 4 1 1 0 ) 则此时由定义4 1 4 可得；对于任意的u = ) ( ，( 礼，t ) + 班9 ( n ，t ) q 1 ( m ) ，我们有： 凼=一x 八形( 礼，亡) 一d t d 夕( 几，) ， = 一x 八班a ，亡) 一班八) ( 夕，亡) ， 以及 觑= 0 ，d ( 出) = 0 由以上所定义的外微分算子d ，我们可以得到它所满足的一些基本性质： ( 1 ) ( d ，) ( 口) = 口( ，) ，v ，q o ( a z ) ，钉y ； ( 2 )d ( u 八7 - ) = d u r + ( 一1 ) d 8 9 u u ( d 丁) ； ( 3 ) d 2 = 0 ； ( 4 ) 妨，= o ； ( 5 ) 硭，= o ； l 砩a d a c l = 一d c d d f 我们现在考虑复合函数的情形。设f = f ( 3 ，1 ，矿) 是空间m = z r 上的复合函 数，即矿( 6 = 1 a ) 是空间m = z r 上的函数。 定义4 1 5 对于任意的光滑复合函数f = f ( 秒1 ，矿) ，我们现在定义它的前差分 为： f ( 矽1 ，可a ) ：= f ( e 秒1 ，e 可a ) 一f 白1 ，可a ) ， ( 4 1 1 1 ) 其中的e 为前移位算子。我们约定当矿( b = 1 ，a ) 不依赖于离散变量时，则有： j e 7 旷= 旷，即移位算子对连续函数不起作用，而当矿( n ) 依赖离散变量佗时，则有： 2 2 河南大学颈上学俄论文 现鑫一矿机+ 1 ) 定义4 1 6 设f = f ( 3 1 ，户) 同上，我们现在定义f 关于第6 个变量扩的前差分为： 矿f f 国1 ，e 矿，暑f 1 ，可a ) f ( 可1 ，矿，掣1 ，毫f a ) ( 4 1 1 2 ) 定义4 王7 。设罗= f ( 矿，矿) 厨上，我们现在定义f 关于第玉个变量矿( 嚣) 的形交 前差分为： 矿f | e = f 匆1 ，露矿，e 暑f 1 ，露掣a ) 一f ( 耄，1 ，矿，露可洱1 ，露耖a ) ( 4 1 1 3 ) 现在我们定义： f ：= 笔鲁， 4 ， 啪一坐铲， ( 4 1 1 5 ) 受| j 由此我们可以得到以下定理。 + 定理4 1 8 对于任意复合函数f f ( 秒1 ，严) ，我们可以得到下列恒等式： 矿f = 矿叁扩f 国1 ，矽a ) ； 寥f | 嚣一矿k 罗匆1 ，爹a ) | 露； 定理4 1 9 设f = f ( l ，户) 是空间m z r 上的复合函数，即； 矿p 一王，。，笃是空闻掰= z 露上的函数，则有下捌等式成立： 其中的 d f = d d f + d c f ， ( 4 1 1 6 ) 王。王动 ( 4 1 1 8 ) ( 4 1 1 9 ) ( 4 1 。2 0 ) g a 夥 爹 f 沪 a 汹 器 f g 扩 矿 b 爹转 蓬 a 汹 | |f d痘 河南大学硕- 上学位论文 幻f = 垂咖a 蒡 幻f = d g 矿杀 6 = 1 。9 ( 4 1 2 1 ) 证明因为f = f ( 1 ，矿) ，而每一个矿= 矿( 礼，亡) ，所以按照定义4 1 4 ，我们有 卯= x f + 出筹 = x 叠( 厶矿f + 如量喾磬 = x ( 矿厶矿fl e ) + 如喾磬 b = 16 = 1 4 a a 2 置d d 矿色a fl e 十誊d c 矿蒂 = a d f + a c f 这就证明了定理4 1 9 河南大学硕上学位论文 4 2半离散的延拓结构理论 在介绍该理论时，我们以下列形式的半离散非线性演化方程为例 a t 磁= f a ( t ，佗，乞+ 。l ：一1 ) ( 4 2 1 ) 即我们要讨论的是a 个半离散的非线性演化方程，它们关于连续变量亡是二阶的，关 于离散变量也是二阶的。 对于方程组( 4 2 1 ) ，我们首先设新变量 磁= 侥磅， 织= 以一以一， 则此时将所设的新变量织，妒嚣代入方程组( 4 2 1 ) 后，我们可以得到一组新的方程 组 侥妒嚣一g a ，佗，妒乞，簟磊，矽：+ 1 ) = o ( 4 2 2 ) 则我们知道原方程组( 4 2 1 ) 与新方程组 侥妒嚣一g a ，扎，妒乞，妒：+ 1 ) ； 识+ 1 = 镌+ 1 一以； ( 4 2 3 ) 妒嚣= 侥簖 是等价的。此时，我们从方程组( 4 2 3 ) 出发，定义出延拓空间m ( 死，t ，妒嚣，以，织，妒。) ) 然后，我们在空间m 上定义出一个由外微分二形式a 5 n 所构成的集合j = q 5 n ) ，并 且j 满足下列条件： 当j 限制到子集合= ( 佗，t ，妒嚣( t ) ，以( 亡) ，怯( 亡) ，识+ 1 ( t ) ) ) cm ( 凡，t ，妒嚣，镌，妒“1 ) ) 上，并且令0 1 ：n i = o 后，可得方程组( 4 2 3 ) ，然后，我们通过引入新的变量镌而 将空间m ( n ，t ，磁，以，织，织+ 。) ) 延拓为m y ( n ，t ，妒蠹，钛，织，镌+ ，如) ) 对于依 赖于延拓空间m y 中的任意一点( 妒嚣，以，怯，如) 的函数f = f ( 妒嚣，镌，镌，姥) ，调 整变量，将函数f 写作f ( 城，妒鲁，以，织) ，注：这是很必要的。 2 5 河南大学硕_ 上学位论文 则现在按照定理4 1 9 有： d f ( 城，垆嚣，：，妒：) = d d f + 如f = d d 瞻厶! ，矗fl e + 幻妒嚣厶妒嚣fi e + d d 咖：厶以fi e + d d 识厶fi e + d c 城f i 姥+ 幻簖e 妒嚣 + d g 织f ，以+ d c 识f ，娠 在延拓空间m y 上，我们已知道有下列等式成立： x d d 兹= x d d 妒嚣= x d d 必= x d d 织= x d d 记+ 1 = o 我们再进一步要求下列条件成立： 出 d c 城= 出 如妒嚣= d 亡 幻咖：| l = d 亡八幻镌= 出八d g 妒：+ l = o 我们定义新的外微分2 一形式： 矗n ) 七= 出 如如= o ； 谬) a = 出 d c 妒0 = o ； 毋) 。= d t 如织= o ； 落) 2l 如八d c 织= o ； 毋) 。= 出人如妒0 1 = o 使得外微分形式的集合，= q 知，谗，谬，嘭训：歹= 3 4 5 ) 本身构成一个半离散 的微分闭理想。 现在我们再在延拓空间m y = ( 竹，t ，妒鲁，以，怯，织+ 1 ，如) 上引入新的外微 分1 一形式 以= d 城+ x f 七( 如，妒嚣，乞，识) + 出g 七( 磊，妒嚣，：，以)( 4 2 4 ) 由此，我们可以定义出一个新的外微分形式所构成的集合，= j 7 ，砖) ，其中的忌是 延拓变量赢或者外微分1 一形式矗的个数。 然后，我们要求扩充后的外微分形式集合，= ，磁) 仍然构成一个半离散的 微分闭理想。则由于，本身已经是一个半离散的微分闭理想了，所以条件 d i u f 、ci lc l 嘲 2 6 河南人学硕r 上学位论文 自然成立，我们现在只需要条件 成立，或者等价地，条件： d 谴c i 戤三o ( m o d q ”，y p ，谬m ，谢”，落) l ，话v ，以) ( 4 2 5 ) 成立即司了。 在条件( 4 2 5 ) 下，我们可以得到u ：中系数函数f 七，g 七所满足的性质，由此给 出它们的具体表示，从而得到原微分差分方程组的延拖结构。特别地，如果我们可 以得到该延拖结构的一个二维线性表示 以= 砩+ x 矸如+ 磅镌 + 酬g 如+ g 5 镌 ， 以= 砩+ ) ( 【砰如+ 碍镌 + 训g ；如+ g l 镌】， 其中的系数函数巧，g ；( i ，歹= 1 ，2 ) 依赖于变量( 妒嚣，织，织) 以及参数入。 我们将以限制在子空间w = ( 礼，t ，妒0 ( t ) ，以( 亡) ，织( 亡) ，如( t ) ) ) cm y 上，并且 令它们为零，我们就可以得到原方程组( 4 2 1 ) 的l o zm 订如下： = ， 其中的= ( 如，谚) t = ( 二芸二竺) ，= ( 二兰；二三i ) l a x 对( 4 2 8 ) 的相容性条件为： z ：= 侥螈一眠+ 一( e ) = o 其中为前差分算子e 为前移位算子。 ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) 河南大学硕上学位论文 4 31 + 1 维半离散m k d y 方程的延拓结构 在本节中，我们将利用前一章中所建立的半离散延拓结构理论来讨论具体的m d y 程 1 9 ，2 0 ，2 1 】，并求得它的l o z 对。 侥圣n = ( 圣n + 1 一圣n 一1 ) ( 1 + 垂毳) ， ( 4 3 1 ) 其中的西( z ，t ) 是依赖于变量( z ，亡) 的函数。死表示格点上的位置，t 是连续的时间变 量，如果我们设新变量 死= 西竹一圣佗一1 ，( 4 3 2 ) 而将原方程( 4 3 1 ) 表示为下列与之等价的方程组 侥圣n 一( + 1 一) 一2 一( + 1 一) 圣i 一2 死西三= o ， ( 4 3 3 ) 死+ 1 一+ 死= 圣竹+ 1 一圣n 依照上一章中的延拓结构理论，现在我们在延拓空间m = ( 礼，死，死+ 1 ) ) 上定 义下列外微分2 一形式： ia p ) = x 抛佗+ 出八d + 班 x 2 死+ 出 扔西2 + 疵八x 2 死西i ； 乜) = d t 八d 死+ d t x 死一d 亡 d 圣n ； iq 争= 巩 d 死一出八x ( + 1 一) 很容易知道，当a 限制在子空间= ( 佗，t ，( t ) ，死( t ) ，+ 1 ( 亡) ) ) cm = ( n ，t ，死， 上为0 时，就可以得到方程组( 4 3 3 ) 。 为了得到原方程的延拓结构，我们通过引入新的延拓变量城而将空间m = ( 佗，t ，死，+ 1 ) ) 延拓为m y = ( 死，t ，死+ 1 ，城) ) 按照上章的延拓结构 理论我们在延拓空间m y 上进一步要求下列条件成立： 出八d c 落= 出 d c = 班 以死= 出 d c 死+ 1 = o ， 河南大学硕上学位论文 我们再定义新的外微分2 一形式： a 0 ) = 出 d c 圣竹； q 争= 出 d 。死； a 驴) = 班 如死+ 1 ； p ( n ) 七= 班 d c 如 我们现在要求外微分形式集合j = a ，p ( 竹) 七：i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 构成一个半离散的微 分闭理想。我们可以验证，确实构成一个半离散的微分闭理想，因为我们通过计算 后可得： 如 n )：出 d ，r d d 圣n ( 西n + 1 + 西竹) = d t d ，r d 西n ( 圣n + 1 + 圣竹) =a 驴 d 圣n ( 西n + l + 圣n ) ； 如5 n ) = o ( 待2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) d 口( n ) 七=0 我们现在引入新的外微分1 形式 u ：= d 城+ x 矿( 以，西n ，) + 出g 知( 以，死) ， ( 4 3 4 ) 其中的系数函数f 知，g 知待定，它们是( 姥，死) 的函数。依照上章中的延拓结构理 论，新的外微分1 一形式如需满足下列条件 幽：三o ( m o dq ? ，p ( n ”，u ：) ， ( 4 3 5 ) 才能确保新的外微分形式集合j 7 = j ，醍) 仍然构成一个半离散的微分闭理想。 现在，我们具体地写出条件( 4 3 5 ) 的等价表达式如下 也t = q 9 + p 何) 。局+ x u ：q + 出 u ：d l ， ( 4 3 6 ) 其中的，b 2 ，c 2 ，d 2 是我们假定的m 形式，在以下的过程中，我们可以看到它们仅仅 起到了参数函数的作用。 9 9 河南大学硕上学位论文 现在我们将以上所定义的u i ，a 5 川，卢( n ) 。代入方程( 4 3 6 ) ，并将d 谚按定义展开， 以及利用关系式( 4 3 4 ) 后可得下列方程： 一x 如如砖矗一x 噍西n f 冬。一) ( 八d c 死j 慧一班八d d 如厶以g 舟l e d t 幻圣几 圣。g 七l e 一砒八d _ d 死g i e = ) ( 八抛n a 1 + 疵人d r a 1 + 出八) ( 2 r a 1 + 出八d 圣毳a 1 十d t ) ( 2 垂i a 1 + 出 历a 2 + 班八x a 2 一出 d 圣n a 2 + 班 d a 3 一出 x ( 蜀+ 1 一) a 3 + x 人如以a + ) ( 蹴g 。劬+ 出 d d 如玩+ 班 x f 。d f 比较此方程中的每一项的独立外微分2 一形式的系数后，我们可以得到下列关系式： x d c 圣亿：a 1 = 一硌。； 出 d 死：a 1 + 圣i a l + 4 2 + a 3 = 一厶g 南i e ； 出 锄n ：a 2 = 垂。g i e ； x d c 死：跪= o ； x 八如珐：f 象= 一a ； 出 d d 如：破g 七i e = 一d z ； 砚 x ：2 a 1 + 2 a 1 圣n + a 2 + ( 死一露+ 1 ) a 3 + f o d l g 。a = o 由以上各个方程，我们将参数函数，q ，d l 消去后，可得下列关于系数函数胪、g 凫的 方程组： f 譬= 0 ， n 一死只玺。一霸z 譬。圣乏一死2 k g 知i e 一死+ 1 z 譬。一+ 1 j 岛。垂三+ + 1 厶圣。g 七i e + 死+ 1 ，k g 南i 点 + 磁乞g l f l 厶! ，_ | l g 南i e = o ， 其中的逗号”，”表示偏导数、重复指标表示求和。 通过分析这个方程组后，我们就可以设弘、g 知为下列形式： f 七= x + 磅垂n + 砖西三； ( 4 3 7 ) 伊= 磁+ 砖+ 磁+ 砖霸+ 砖圣乏+ 姑露( 4 3 8 ) 其中的函数矸仅仅依赖于延拓变量以，而于原来的变量、死无关。现将所设的 函数胪、g 七代入方程( ) ，并将变量圣叶1 替换为+ 1 + 后，我们可得下列方程： 3 0 乏鬟+ ：霹荸刚：一吲磷+ 2 对) 蜣一( 磁+ 肆+ 淞十。+ 对) 一“神+ 乏慧乞2 _ 1 孵二2 霹皈) 圣i 珞t ( 砖+ 霹磊十：露霸牛，+ 茹二0 = ：灞： 耋耋+ 篓2 _ 1 + 竺) 十( 毪珐十磁磊+ 露城蛋融曩十嬲+ 葛三+ 乏芝： 挚鼍，。絮卜譬瓯弼圣融鑫城磷| 二i 叁镊酵| 簿霸+ ，x 二磁 嚣：二 矗篁天k 1 ：哆i 三臻：+ 厶酷霹l 曰死+ ，十厶城磁l e 臻二三荔。i ： 鲽专2 蘸霹| 露黾l 圣档+ 鑫蘸霹| 客臻1 ) ：o ， “ “”张6 陋 兰詈一个独立单项式的系数为零