（控制理论与控制工程专业论文）饱和系统的稳定性分析与抗饱和控制研究.pdf

攘妻 摘要 饱和非线性是实际控制系统中的常见现象。这类系统的研究断于其重要的理 论积安嚣意义历寒是控剿理论的硬炎热点之一。线缝参变系统是一类棼常熏矮豹 时变系统，其依赖于未知但是可测的时变参数，这些参数的测量为系统的特性变 纯提供了实融傣慰。 本文采用抗饱和补偿器设计方法，首先忽略饱和非线性，按照给定性能指标 设计线性控制器，然后以执行器机构的输入输如差作为输入，设计一个抗饱靼 偿器减弱饱和的影响。由于吸引域的确切值较难获得，般来说，借助椭球体来 估计系统的吸引域。本文藻于l y a p u n o v 直接法，并结食线性矩醛不等式方法， 研究了类具有饱和执行嚣约束的线性交参数系统的吸弓f 域及性能估算问题。本 文的主要工作及研究成果如下： ( 1 ) 从线馁微分包方法出发，键出了一种使褥闭环 v 系统吸弓l 域最大亿 的迭代算法。首先通过引入一个依赖于时变参数的参数依赖补偿设计，使得估算 绦守瞧有所减少。霹时，考虑二次谤a p 啪v 溺数及参数依赖l 弘糊n o v 函数，弓 入两个松弛变量矩阵，给出了闭环l p v 系统局部渐近稳定的条件。在给定一些 参考爨台及菰镶和蛰偿灞蕴已翔蕊章毒嚣下，逯爝s 曲班替葶 理，游鞭雩l 域 鑫舞| 、蠢 题转化为带有l ，m 1 约束的优化问题。最后，以抗饱和补偿增益作为未知量进行 设计，遴过求瓣令迭筑艇l 算法，使缛阙醛系统懿渗透稳定域激大纯。 ( 2 ) 基于线性微分包方法，提出了一种使得闭环l p v 系统性能最大化的迭 我算演。考瘪参数绞鞍酗p 轻n o v 瓣数，在摭键窝 偻壤蕊已知熬壤援下，将获 态空间保障域内的闭环系统的性自估算问题转化为带有l m i 约柬的优化问题。 并虽玖凌锪霸孝 偿：蠖盏份为未知量遴行设计，遴过戎群一个迭代t 越l 算法，使 得闭环系统的一陡能最大化。 ( 3 ) 。基于改进的扇形条件，提如了一摹孛带有l m i 约束豹直接优化方法，通 过设计抗饱和补偿增益，使得闭环l p v 系统的吸引域嫩大化。首先将饱和控制 系统用带有死蹶非线性的线性系统皋局部模型化；然后运用改进的扇形条 牛，将 基于二次l y a p u n o v 函数褥出的稳定性条件用l m i 形式袭示出来；其后将这些条 件考虑成一个优化问题，通过计算抗饱和补偿增益，使得阙环系统的吸引域最大 浙江大学硕士学证论文 纯。弼时，考虑渐运稳定行环系统，得出了获得系统全局稳定的条件。 关键词：线性参数变化系统、饱和执行器、吸引域、抗饱和补偿器、线性矩阵 不等式 l | a b s t m c t a b s t r a c t s 批f i o ni sm em o s tc o m m o n l ye n c o u n t e r e dn o n l i n e a r i t i e si nc o n t r o ls y s t e m s ； 髓e 删融f c ，如et ot i 攀。f a n t 氇e o 瓣t i e 基黝d 掣a e l i 0 蘸s i 擎臻e 锺e e ；巍e 撑s e 粼ho 珏 t h es y s t e mg u b j e c tt oa c t u a t o rs a t l l r 砒i o nh a sa n m c t e d 廿e m e n d o u sa n e n t i o ni nm e c o 赫t l 斑e o r y 蠡e i d 。l 穗e 粼p a f a m e t e r l f y i n gs y s t e m sa 揩t y p i c a l 斑n e - v a f y i n g c o n t m ls y s t e m so fv e r yi m p o 咖c e 柚di t 主sc h a r a c t e f i z c da sal i n e a rs y s t e l nm a t d c p e n d so nt i m e - v a r y i n gs m o o mp a r 跏e t e r st h a ta r e 幽o w nb m m e a s u r a b l e t h e 撑a s u f e 芏建e 嫩o ft h e s ep 绷艟。f sp f e v i d e s 撑癍- 辔珏el n 强r m 8 畦嫌。蘸氇ev a r i 毪蝰瓣o f l ep l a n t sc h a r a c t e r i s t i c s 髓。b 鹅i e i a 羲) f a l 赫g w i 氇嚣c 妇鼢s a 姐蕊o n i n 懿s 谯e s i s i s t 。f i 援戳蘑e c t t h es a t l l 】i o na i l dd e 8 i 驴al i n e a rc o n 打o l l e rm a tm e e t st h ep e r f o 釉a n c es p e c i & a t i o n s a n dt b 觚u s i n gt h ed j 虢r e n c eb e 觚e e nm ec o n 拍l l c ro u 印u ts i g n a la n d t h es a t u r 砒e d c o n 蛐ls i 辨a l ，d e s 辨a 珏a n t i w i n d u pc o 蹲e n s 翻d rl 。w e 珏k e 珏像。涮l u 鲢e eo f s a t u r a t i o n g e n e r a l ly a s 廿l ee x a c td o m a i no fa t t r a c t i o ni sh a r dt ob ea c h i e v e d ，i ti s 蠢硼毽y se s l 翻菇e d y 氆e a 拄s o fi n v 鞋森a 珏le l l 玲s o 避巍氇i s 氇e s i s ，_ b a s 蔚。珏疆e l 瑚u n o va p p m a c h ， l i n e a rm a t r i x 洫e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h 盯ee n l p l o y e dt o i n v e s t i g a t em 。e s t i m a t i 明p r o b i e m so f t h ed o 艘1 a i no f 拙t i o na n dp e r f b i m 托c ef o ra c l a s so ft h e 撕n e a rp a r 瓤e t e r 蜘n gs y s t 锄sg u 巧e c tt oa c t l l 8 t o rs a 缸r a t 量o n t h em a i n w o r ka n dr e s e a r c hr e s u l t so f t h i st l l e s i sa r ea st o l l o w s ： ( 1 ) 。 缸据r 珏嚣耋 v ea l 静娃t 她轮蕊a r g e 氇ed o 掇融。f 鑫僦圭主罐( a ) o f 氆e c l o s e d - 1 0 0 pl p vs y s t e mi sp r o p o s e db ym e a n so fa1 i n e a rd i 疵r e n c ei n c l u s i o n f i r s t l y ap 啪e t e 珈d e p e n d 斓t 涮魅p e n s a 衙d e s i g l lw h i c hd 印e n d so nm et i n l e - v a r y i n g p a r a m e t e ri si n 拄o d u c 。di ns u c haw a ym a tm ec o n s e r v a l i v 锄e s si nm ee s t m a t 主o ni s r c d u c e d c o n s i d e raq l l a d m t i cl y a p u n o v 劬c t i o na n dap 猢e t e r d c p e n d e n to n e ，a n d b y 斑e 函拄。蠢疆e t i 鼹o ft w os l 淞kv 8 f 主a _ b l e s ，l 藤a s 晒t 至c 越s 汹i l i t yc o 珏美蛙。赫s 瓣 g i v e n t h e n ，l l n d e rt h e 西v e nc o m p e n s 砒o rg a i n sa n ds o m e 舀v c nr e f e r e n c es e t s ，m e e s 耄i 撇壅i o no fd o a p b l e me 黼b es o l v e d 套ya no 鹾m i z a t i o np r o b l e mw i 像s o l n e l i i l e a rm a t r i xi n e q u a l m e s ( l m i ) c o n s t r a i m su s i n gs c h t ”c o m p l e m e n tl e m m a a tl a s t ， t 浙江大学硕上学位论文 c o n s i d e r i n gt h ec o m p e n s a t o rg a i n sa ss o m e1 l | 1 k n o w no n e s ，t h ee s t i m a t i o no fd o a i s o p t i m i z e d b y a l la l t e m a t i v eu ia l g o 珊h n ( 2 ) b a s e d0 na1 i n e a rd i 位r e n c ei n c l u s i o n ，a na l t e m a t i v ea l g o r i t h mt oc n l a 唱e t h ep e r f o n n a n c eo ft h e c l o s e d l o o p l p v s y s t e m i s p r o p o s e d c o n s i d e ra p a r 锄e t e r d e p e n d e n tl y 印硼o vf i ：m c t i o n ，m ep e r f o 硼a n c eo ft b ec l o s e d 1 0 0 ps y s t e m i se s t i m a t e d ，w i m i nag u a r a n t e e dr e 百o no ft h es t a t e s p a c e ，1 l i l d c rs o m e 百v e n p a r 蛐e t e r - d 印e n d e n ta 1 1 t i w i n d u pc o r n p e n s a t i o ng a i n s t h i sp m b l e mi sf o 瑚u l a c e d a n ds o l v e db yau i o p t i r n i z a t i o np m b l e m t h e nt h ec o m p e n s a t i o ng a i n sa r e d e s i g n e dt of l ln ：h e ri l p r o v et l l ec l o s e d 一1 0 0 ps y s t e mp e r f b m l a n c ea n d 血eg a md e s i g n i sf o r i n u l a t e da n ds o l v e d 船a ni t e r a t i v eo p t i l n i z a t i o np r o b l e mw i t hl m ic o n s t r a i n t s ( 3 ) b a s e do nam o d i f i e ds e c t o rc o n d i t i o n ，ad i r e c to p 血i l i z a t i o nm e t h o dw i m l m ic o n s 删n t si sp r o p o s e df o rd e s i g n i l l ga n 趾t i - w i n d u pg a i n 血a tm a 】【i m i z e sa n e s t i m a t eo ft l l ed o m a i no fa h 穗c t i o no ft h ec l o s e d - l o o pl p v s y s t e m t h ec l o s e d - 1 0 叩 s y s t e mi sn r s “o c a l l ym o d e l e db yal i n e a rs y s t e m 丽mad e a d z o n en o n l i n e a r i t y b a s e d o nt h eu s eo fan e wi n o d i 丘e ds e c t o rc o n d i t i o n 姐daq u a d r a t i ci 归p u n o vf i l n c t i o n ，t h e s 诅b i l i t yc o n d i t i o n s 盯es t a t e di nl m if o m 1 1 1 e nn l e s ec o n d i t i o n s 盯ec o i l s i d e r e da sa c o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e mi no r d e rt om a x i m i z et l l ee s t i m a t i o no fd o a 也m u g h c o m p u t i n g t h ea 1 1 t i w i n d u pg a i n s a tm es 咖et i m e ，c o n s i d e r i n g 器y m p t o t i c a l l ys t a b l e 叩e n l o o ps y s t e m s ，m ea n t i - w i n d u pg a i n sa r ed e s i 印e dt oe n s l l r eg l o b a ls t a b i l i t y k e y w o r d s ： l i n e a rp a r a m e t e r _ v a r y i n g s y s t e m s 、 a c t i l a t o rs a t i l r a t i o n 、d o m a i no f 撕a c t i o n 、a n t i 一d n d u pc o m p e n s a t i o n 、1 i n e a rm a 缸xe q u a l i t i e s 第一章绪论 1 1 问题提出 第一章绪论 线性系统理论自2 0 世纪5 0 年代以来不仅已在理论上逐步完善，也已成功地 应用于各种国防和工业控制制问题。随着现代工业对控制系统性能要求的不断提 高，传统的线性反馈控制己很难满足各种实际需要。这是由于非线性现象是客观 世界普遍存在的现象，因此大多数实际控制系统往往是非线性的，采用近似的线 性模型虽然可以使我们更全面和容易地分析系统的各种特性，但是却很难刻画出 系统的非线性本质，线性系统的动态特性也不足以解释许多常见的实际非线性现 象。另一方面，计算机及传感器技术的飞速发展，也为我们实现各种复杂非线性 控制算法奠定了硬件基础。因此自2 0 世纪8 0 年代以来，非线性系统的控制问题 受到了国内外控制界的普遍重视 2 8 】。 控制系统中存在的非线性包括饱和、死区、磁滞等。其中，饱和非线性是控 制系统非线性问题中较为常见和重要的一种非线性，其在工程学控制系统中也是 无处不在的。在控制系统中，任何一个执行器和传感器由于其的上下界都会受到 饱和约束，系统的状念也一样受到饱和限制；同样地，数字滤波器也由于计算机 的有限字长受到饱和约束；饱和非线性也经常被有意地引进到工程系统中，比如， 饱和式的非线性元件是人工神经网络的一种基本组成元件。 事实上，5 0 年代许多基本控制问题的提出，包括可控性、时间最优控制问 题，都考虑到了执行器饱和产生的约束。然而，包括执行器饱和等的硬性非线性 的控制问题结果往往都是很难去处理，给控制系统的分析与设计带来了很大的难 度，以至于在后来的现代控制理论发展中没有被考虑进去。因此，即使一直在提 出执行器饱和问题，但是在大多数文献中，饱和的影响都被忽略掉了。 在另一方面，众所周知，饱和执行器能够严重地降低闭环系统的性能；并且 在干扰比较大等极端的情况下，甚至可能导致系统不稳定，造成严重的后果。8 0 年代以来，控制系统执行器的饱和引发了一系列重大事故，包括前苏联切尔诺贝 利核电站的灾难性事故以及美国一系列高性能战机的坠毁，之后，带执行器饱和 矫江大学碗土学位论文 趣控翻系统的分析与设诗瓣题再次受裂入稻豹广泛关注，分卡厅帮设计带有饱帮菲 线性的系统具有很重要的意义。这个问题不仪仪是理论上的挑战，同样在实际中 是相当商必要去解决的。 。2 饱秘的基本摄念 物理系统中其有固脊j e 线性。当增大某个物理装置的输入时，常常能够观察 到下颟的现象：当输入较小时，输入的增大致使输出增大( 经常是成比例的) ；但 当竣入达到一定程度时，簸入的进一步增大仪使浚遗稿诲增大或不壤大，辕出完 全释黧在其最大篷醚邋。当出现这种现象辩，簸称该装置处予撼翻。晶体营教大 器和磁放大器都可作为饱和非线性的例子。饱斧口非线性通常由元件尺寸、材料性 能及肖效功率等限制而引起。 y 玎e 萄 磊f z 、 线 彩 x 饱和 饱和 - 一 - - + 一立f 图1 2 1 饱和非线性 媳烈的饱和非线性如图1 2 1 所示，饱和涵数盯( 工) 的数学描述为： l + 掰，x 罗= 商= 一强毒焉， l 。1 ) l 一掰，x 一 大多数执行机构表现出饱和特性。例如，由于磁性材料的性质，使两相伺 服马达的输出转矩不能光限地增大而趋于饱和，类似地，阀控液愿伺服马达也 困受簸大流速的限毒l 两锪秘。 我们将带有键积翡系统统稼为魄帮系统。一般豹，挠孳亍器魄鞠系统的框图 如图1 2 2 所示。 饱和系统中一个非常蒋名的例子就是系统中存在带有积分器的控制器，即 2 第一章绪论 p i d 控制器。积分器被普遍用于闭环系统中以减少系统静态误差。这种控制器用 于闭环系统中，将可能发生系统性能的下降。当执行器饱和时，执行器已经到 达极限位置，若此时仍然不能消除偏差，由于积分的存在，p i d 的运算结果会继 续增大或是减少，但是执行器并不会相应的产生动作，这种现象也被称为积分 饱和。在没有积分器的情况下，给定参考输入的取值可能导致一个不一致的稳 态响应，从而需要重置参考输入值：在存在积分器控制的情况下，控制器将会 自动地将输出调整为所需要的参考值，也就是说积分器完成了重置工作。故有 时也将积分饱和称为重置饱和。 1 3 研究现状 图1 2 2 输入饱和系统结构框图 一般来讲，饱和控制系统的设计方法可以分为两类。一类是所谓的“直接设 诗方法”，簿在控制方法设计静耪籁虢狂挠行器转惑器饱和直接考纛进去，考虑 控制输入的限制，设计使得闭环稳定的系统。这类设计存在两大缺点，一是饱和 幅度很难事先得知，同一系统不同的环境下也会具商不同的饱和幅度。第二，由 予饱和是典型款巷线性元件，壹狻设计必须使鼹l 线性控铡理论。然恧，非线 性控制理论歪今还很不成熟，工程技术人员也很难接受。 另井耱设诗方法裁怒补偿嚣设诗方法，帮掰谓鹣抗积分键帮 偿器 ( a n t i 岍n d u pc o m p e n s a t o r ) 。这种设计方法的设计原耀是：酋先忽略饱和非线性， 采阁线性系统的理论按照绘定性能指标设计控铺嚣；然后以执行机构的输入输出 差佟为输入，设计一个 b 偿器弱化锪和的影响。此方法的一大特点怒，当饱和未 发嫩时，执行机构的输入输出差为o ，补偿嚣将不起作用，闳此系统的标称设计 蛙耱不受影峨。实豁系统缝大罄分潺猿下运孝亍予 镶秘装态，迄裁楚谎绝大部分 情况下，系统的设计性能不受影响。抗积分饱和补偿器将仪在饱和发生时产生作 浙江大学硕士学位论文 用，保证饱和发生辩系统的稳定性耨牲能。国予这军中方法可以用各种成熟的控制 理论设计控制系统，因两此方法在诞生以来就在实际控制工稷中缛捌了广泛的应 用。这类方法被统称为a n t i 。w i n d u p 策略，被广泛地运用于控制工稷中。 l 。3 1 稳定性分耩 慰予翳琴系统，营宠关注兹羲怒系绞懿稳定性，这是系绞麓够遮雩亍戆蓄要条 件。这一方颈有许多学者进行了研究。下面就饱和系统分析的几个方面分别进行 介绍。 1 直接分析方法 这种方法的核心是判断出系统是否可以采用有界控制来获得( 全局) 渐近稳 定。 系统被称为有界输入全局( 半全局) 渐近零可控的是指对于一个给定的有界 控稍输入，系统狡态空闽中豹( 狡态警闻中的一个给定豹柽意夫豹有界集合中的) 任何一个状态都能够渐近地，或者在有限时间内驱使回到原点。特别地，所有极 点位于左半平面的线性可稳定系统怒全局渐近零可控的，所以所有极点位于左半 平瑟蛇线性霹稳定系统逶豢被豫为蠢爨羧入灏近零可控兹，聱a n e 转c 系绞。 根据l i n 和s a b e r i ( 1 9 9 3 ) 提出的结论：对于开环不稳定系统，如果采用有约 束鹣输入，系统是誉可戆获褥全弱渗透零可控往翡。函魏，对于一个一觳系统， 我们需要去确定系统的渐近零可控空间，即罨求一个这样的窄间，可以采用有界 控制使得其中所有的状态能够渐近遗，或者在有限的时同内回到系统的原点；并 且设计控制嚣使得系统尽可貔地在激近零可控空间中运行。 近些年，在这一领域上已经取得了一些研究成果( 4 9 】、【5 0 、 3 6 】、【6 】、【7 、 【2 0 】、【8 】等) 。键魏，在文章f 2 霹中撵出了一耱悫焱镰。s 酣) 爱镶设计方法去设计 非线性全局渐近可稳定控制器；在文章 8 中一种低商增益方法被提出来去设计 线髋半全局可稳定按翩器；在文章【1 4 中作者也提出最大输出允许集方法去分析 存在控制及状态限制时的线性系统的吸弓 域。 2 吸引域估计 一般来泌，当存在撬行器逛秘懿，逶零澄嚣下蠢法获缛开环不稳定线蝗系统 4 第一章绪论 的全局稳定性，系统性能也难以得到保障，所以只能转而分析、设计局部和半全 局稳定的系统。很多文章都是针对这一方面进行研究的。 通常，仅仅确定给定系统有一个渐近稳定平衡点是不够的，求出平衡点的吸 引域，或者给出其估计值更为重要，故确定系统的吸引域是局部稳定性分析的一 个重要问题。 在分析输入饱和系统时，涉及到一个可恢复集合的概念。可恢复集合是由一 些初始状态组成的集合，这些初始状态能够在不违背系统输入约束的条件下，采 用控制返回到原点。显然，可恢复集合与在第一部分提及的渐近零可控空间概念 等价，且为能够得到的最大的受约束吸引域。 然而，由于获得吸引域的确切值比较有困难( 较少，仅在文章 2 4 中针对单输 入系统给出了吸引域的确切值) ，因此获得吸引域的估计是非常重要的。因此减 少吸引域估计的保守性和在吸引域内得到尽可能大的不变集的估计就成了两个 热点问题。 估计系统的吸引域中比较常用的方法就是利用不变集( 【1 5 】等) 。两种较为常 用的不变集为椭球体和多面体。运用椭球体来估计吸引域获得较大的关注( 4 1 、 1 4 】、 2 2 】等) 。而由于运用l y a p i l i l o v 稳定性理论分析系统稳定性时，引入了一 个l y a p l l l l o v 函数，相对应的我们将会得到一个l y 叩u n o v 水平集。通过l y a p u n o v 水平集，我们能够构造一个包含在吸引域内的不变集，即可以通过构造这样的不 变集来估计系统的吸引域。 近几十年来，有很多估计系统吸引域的方法( 1 1 】 2 2 等) 。最初的尝试是 g l 甜f e l d e r 等( 1 9 8 3 【3 4 】) 运用标量p 叩o v 及圆判据研究了一个带饱和执行器的 s i s 0 系统的稳定性分析问题；紧接着，在文章 3 5 中扩展了多变量圆判掘去设 计多变量饱和控制系统。c h e n 等【1 2 针对具有饱和执行器和扇形非线性饱和执 行器的多变量线性系统进行了研究，并利用b e l l m a n g n w a l l s 不等式得到了一 个保证闭环系统内部稳定和输入输出稳定的充分条件。 这类用于估计饱和系统吸引域的方法均是采用了绝对稳定性分析工具，例如 圆判据和p o p o v 判据。其是将饱和视为一种局部扇形有界非线性，且采用二次 和l u r e 型l y a p u n o v 函数来估计吸引域。在文章 1 l 】中，作者将局部稳定性条件 浙江大学硕士学位论文 戮关予系绞参数及藏骧麓铳织参数戆( # 线注) 矩臻不等式豹形式绘爨。逶过磷 寇部分参数，将这些托阵不等式转化为线性矩阵不游式( l m i s ) ，因此可以用l m i 工爨籍亲懿毽。这秘方法戆一大特色是楚攀逶将反续增益矩瓣援戈一令额争 戆砉| 艺 化参数来进行控制器综合。但怒由于在求解过程中，矩阵不等式参数需骚分别被 傻纯，所以霹戆不能获餐全屡黢优瑟。 由于尉判据和p o p o v 判据怒用于广义无记忆的扇形有界非线性的分析工具， 忽赂了饱和接线性的具体特性，姆其运用予处理饱葶薅非线性尝 鑫诗系统魄吸弓l 域 不可避免地会带有保守性。 为了减少处理饱和非线性时的保守恢，h l l 等程文章f 4 l 】中针对锪翻线性反 馈下的系统，利用饱和非线性的具体特性，提出了种新的处理饱和的方法：线 性微分包处理法，其是通过引入一个辅助矩阵日米实现的；丽且稳定性条件可 以表达为关于所有变参数的线往矩阵不等式，因此能够容易缝用于控制器的综 会。 通常采用的估计系统吸雩| 缓的方法怒建立在l y a p u n o v 函数方法的基础上 的。最常用的l y a p u n o v 函数是二次型，假是采用遮样常规的方法会引入较强的 保守性。王煅e 壅函数龟是跑较常羽静l y a p 髓o v 函数，其是蠢一个二次毅蘧数热 上一个积分颂构成的，同样，将会带有保守性。 基于= 次鍪嚣数，c 谢l 【e l 簿( 1 9 9 s 【3 l 】) 给盘了一释分段线牲二次勰印u n o v 函数，及h u 等( 2 0 0 3 2 3 ) 相继撼出了复合二次型l y a p u n o v 黼数。其中，第一种 逯数不一定楚连续霉徽熬，显瓣瘦瓣拳乎集遣霹憝不是凸豹；露第二耪缀鼗为一 组二次型函数的集合，是连续可微的，相廒地，它的水平集为一组椭球体的凸包， 蔡基本愚懋兔：妇浆每个疆臻嚣对于菜一个撬孬瓣靛饱秘鸯器控剿黥够为不交 的，那么这烘椭球体的凸包对于同一个有界控制也将会是不变的。利用饱和程度 僚惠，c 的等( 2 0 陀【l o 羚提出了一秘饱和俊赖型珂粒黼o v 函数，显然霹以减少售 弊吸引域的保守性。_ i 魇年，w a n g 等( 2 0 0 5 【4 2 】) 结合h u 和c a o 的基本思想提出了 种薮的馋秘依赖型n o v 函数。这魑工作对予减少估计吸引域的儇守性都 伟出了一定的贡献。 近些年来，许多饱和控制问题都可以采用线性矩阵不等式这一工具来处理， 第一章缝谂 其怒通过将问题转化为一个线性矩阵不等式的可行性问题或者怒一个具有线性 矩阵不等式约束的凸优化问题。起初，线性矩阵不等式处理方法用来克服r i c c a i i 方程处理方法存在的许多不足，随着求解线性矩阵不等式的内点法的提出，并且 霹蔽塞矮线淫矩终不等式豹较l 孛包豹大量爨溪，毽筵，运零线毪缀簿不等式臻究 饱和撩制问题是一个可行的方法。 3 干扰抑制 由于实际系统一般都会受到干扰影响，故饱和系统的干扰抑制分析是相当有 必要夔。一般来说，于扰耱涮撵兹是存在琢患瓣一令小( 尽可戆懿奎) 镶蠛使餐辑 有扶躲点岛发的系统鞔_ ；瘀仍| 丑在这个领域中，瞧裁是说当予抗存谯时，系绞仍i 目 是稳定的。针对一类带肖有界能量干扰的饱和系统，h i n d i 等 2 2 进行了系统性 能分析。假定干扰幅值脊界，n g i l y e n 等 3 2 采用状态反馈和输出反馈的方法分 板帮矮小讫系统戆：增懿。 赣干扰不存在饱和 i 寸，系统方程为 量= 丘r + 艿萨) + f 国， 即不考虑输入带有干扰时，当它足够大时，凭论系统的初始点位于何处，系统所 采掰键耱控制策略，系绞筑迹垮会毒可能是光赛瓣。故琢t 等基予软邃懿毒赛莲， 提密了于扰掷裁豹一个耨的分帮亍角度，郄邋过先判断是否存在一个有界不变集。 这个宵界不变集具有这样的性质：所有从集合中出发的轨迹仍旧念在此集合中。 再在此炎集合存在的基础一e ，去进行控制器综食。 湖时，输入带有干扰的系统 主= 盘+ 嚣拶( 群+ 翻 的关注度也很高。文章【3 8 】中s a b e r i 等处理了一类系统矩阵4 的所有特征值在左 半闭平面的系统。而h u 等将这类问题看作为设计一个控制律，使得在于扰存 在时，从一个集合中出发的闲环系统软迹会收缩到一个更小的集合中。 l 。3 。2 抗稳和设计 在对饱和系统进行综合方面，我们需要考虑这样一个问题，即如何设计控制 器，使得系统的吸引域最大化或者性能最优? 浙江大学颢士学挺论文 一般来说，摭饱和补偿器设计是基于针对饱和掇铡系统的簿二耪设诗方法进 行的，即先不考虑饱和，按照绘定性能指标去设计控制器：然后再设计一个补偿 器弱化饱和的影响。 抗饱和综合的嗣标主要有两个： 1 ) 当控制信号没有使得执聋亍器饱和时，闭环系统的性熊要达到要求； 2 ) 当控翻信号逐渐增大辩，保证系统性能熊够光蹲的减弱，不至予发生持 续的自激振荡等等一些情况。 在综合蕴接抗泡和补偿方灏，最早酌尝试是菲鬻特羽的，丽且逶常罴限隶在 状态线性静态增益设计上，比较常用的是静态补偿器抗饱和结构。在【3 0 】中 t h a r e 等对疆蓠豹静态替偿器徽了稷菇的总结，绘密了带肖控翻输入浆线往静 线性时不变系统的抗饱和设计的一个统一研究框架，其等效于观测器类方法 【霹3 】。基予忿框黎，纛有一些设计孝 偿嚣豹方法【2 9 】。 图1 3 1 给出- 了抗饱和补偿器基本结构图，图1 3 1 中，r 为参考输入；控制 瓣是在强定系统不存在瓷裁穗嚣下按照羧艟摇标设计努戆。爨然，毒 缮器只毒在 系统出现饱和时，即“孑时，才有所动作。 图1 3 1抗饱和补偿器基本缔构图 近些年，诲多学蠢关注予运用线性动态奉 偿爨寒送行耋接蕊键耧综合( 【5 l 】、 5 】、 1 3 、【2 5 等) 。 比较常用的是采用一秘屠予戏测爨影式鲍线性霸态 偿爨，其形式毙 爱= 4 + 毽y + 巨【仃 ) 一“】， k2 c c x 。d 。 由于这类补偿器能够较好的跟踪控制输入和实际输出之间的误差，因此念使得系 第一章绪论 统运行更加良好。z h e n g 等在文章 5 1 】中对线性控制器的结构进行改造，提出了 运用离轴( o 行- a ) 【i s ) 圆判据去确定应用基于内模控制的抗饱和控制策略后的系统 的稳定性。 特别地，在【5 】中l a 等提出了非线性c 2 抗饱和框架，如图1 3 2 所示。并 且还给出了非线性动态抗饱和综合，能够对于一类非指数不稳定的系统解决全局 抗饱和问题。紧接着在文章【2 8 】等中都运用这种综合方法。 图l32 非线性c 2 抗饱和基本框架 但是由于非线性的设计方法非常复杂，这类工作较难开展。同时，抗积分饱 和补偿器的其他设计方法还有描述函数分析法 2 7 、不变子空间法 9 】、增量增益 分析法【3 3 】、和乘子理论【2 9 】等等。 1 3 3 线性参变系统 线性参变( l i n e a rp a r 锄e t e r - v a r y i n g ，简称为l p v ) 系统是一类非常重要的典 型时变控制系统，广泛地应用于工业、通讯、飞行系统等行业中。近些年，对 l p v 系统的研究兴趣闩益升温。l p v 系统是一类依赖于未知但是可测的时变参 数的系统，这些参数的测量为系统的特性变化提供了实时信息。因此，设计基于 此信息的控制器将会对于系统的性能有所改善。 l p v 系统理论对于简化与传统的增益调度相关的内插问题及实现问题是非 常有用的，最早出现在文献 3 9 中，近期在文献 1 8 】、【1 6 】等中都通过线性矩阵不 等式方法对l p v 系统进行了研究。这些方法包括对一族参数化的线性时不变系统 模型分别对应的线性时不变( l t i ) 控制器的设计和这些控制器增益的内插。 由于饱和存在于实际的物理系统中并且常常造成系统的不稳定或使得系统 浙江人学硕士学位论文 的性能变差，对于饱和l p v 系统研究的理论和现实意义已经越来越明显。在 1 7 中，f e n 等针对带有饱和执行器的l p v 系统提出了一个系统性的抗饱和控制综 合方法，其考虑了闭环诱导c 2 增益控制问题，区别于以往的两步抗饱和设计方 法，新提出的策略直接利用饱和参数去构造参变控制器。而在2 0 0 2 年c a o 等不 仅建立了不变集条件去分析带有饱和执行器的l p v 系统，并且设计了时不变状 态控制律用于改善系统的性能 4 5 】。最近，c a o 等将参数依赖l y a p u n o v 函数方 法运用到多胞型系统中，较好的减少了估计系统性能的保守性，并且提出了迭代 算法通过设计抗饱和补偿器增益改善系统性能 4 6 。 综上所述，很多学者在饱和控制系统及l p v 系统的稳定性分析及抗饱和综 合上已经取得了许多较为有意义的研究成果。 1 4 本文的研究内容及章节安排 针对于广泛存在的带有执行器饱和的l p v 系统，本文立足于获得该类系统 的稳定区域的非保守估计及系统性能估计。 首先从线性微分包方法及扇形条件两个处理饱和非线性方法分别研究饱和 l p v 函数的凸参数表达，然后选用参数依赖性的l y a p l l n o v 函数及二次型 l y a p u n o v 函数，引入不变集的概念，给出了估计饱和收敛区域及性能估计的定 理，并且从数学上给出严密的理论证明。 紧接着，利用线性矩阵不等式处理方法，及通过乘子理论或s 过程引入合 适的辅助变量，将各类约束转化为l m i 表达；进而将问题转化为一个线性矩阵 不等式的可行性问题或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题来解决。 同时，也给出了抗积分饱和补偿增益的设计方法。 最后采取计算机仿真进行理论结果的验证。 本文的主要研究内容如下： 第一章介绍了饱和控制系统研究的基本问题，回顾了饱和系统的基本概念及 基本方法，以及以前所取得的研究成果，最后给出了本文的研究内容，以及章节 安排。 o 第一章绪论 第二章介绍了饱和系统稳定性分析中涉及到的一些概念、定义；然后介绍了 线性矩阵不等式的概念、特性及基本处理方法，并且在最后一节中给出了处理饱 和非线性系统的两种常规的方法，为第三、四章的开展奠定一定的基础。 第三章针对带有执行器饱和的l p v 系统，从线性微分包处理方法出发，提 出了一种稳定域估算及性能估算的方法。通过引入一个依赖于时变参数的参数依 赖补偿设计，给出了闭环l p v 系统的渐近稳定域估计，并且同时也给出了在状 态空间保障域内系统的性能估算方法。随后，将问题公式化，且转化为带有l m i 约束的优化问题。最后，以抗饱和补偿增益作为未知量进行设计，通过求解一个 迭代l m i 优化问题，使得闭环系统的性能有所改善。 第四章继续研究执行器饱和的l p v 系统，从改进的扇形条件出发，提出了 一种用于设计抗饱和增益使得饱和闭环系统的吸引域的估计最大化的带有u i 约束的直接优化方法。首先将饱和控制系统用带有死区非线性的线性系统来局部 模型化；然后，通过改进的扇形条件和利用二次l y a p l l i l o v 函数，将稳定性条件 用u i 形式表示出来；其后将这些条件考虑成一个最优化问题去计算抗饱和增 益使得闭环系统的吸引域最大化。同时考虑渐近稳定开环系统，得到了获得系统 的全局稳定的条件。 第五章对全文进行概括性总结和展望，并指出了有待进一步研究的方向。 第一章饱和系统分析和综合基础 第二章饱和系统分析和综合基础 本章首先将介绍饱和系统稳定性分析中涉及到的一些概念、定义；然后介绍 了线性矩阵不等式的概念、特性及基本处理方法，并且在最后一节中给出了处理 饱和非线性系统的两种常规的方法，为第三、四章的开展奠定一定的基础。 2 1 预备知识 2 1 1 吸引域、不变集 本节介绍稳定性分析中用到的一些概念 2 1 。 处理状态方程时一个很重要的概念就是平衡点。 定义2 1 1在状态空间中当系统的状态从x + 丌始后，系统将永远停留在z + 上 时，则称状态工= x 为系统的一个平衡状态( 或平衡点) 。 平衡点可能是孤立的，即，在其附近没有其他的平衡点：也可能存在连续的 平衡点区域。 通常，仅仅确定给定系统有一个渐近稳定平衡点是不够的，求出平衡点的吸 引域，或者给出其估计值更为重要。 考虑一般系统： 士= 爿z + b “ 假设原点x = o 为渐近稳定的。 定义2 1 2 对于系统初始点x ( o ) = r 4 ，定义系统的状态轨迹为伊( f ，) 。故 原点的吸引域为 s ：2 r ”：嫩烈f ，) 2 0 ) 。 原点的吸引域是指所有的一类初始状态的集合，以这类初始状态出发，系统 的轨迹能够渐近地返回到原点。当系统是全局稳定时，吸引域为整个状态空间。 局部稳定性分析的一个重要问题就是确定系统的吸引域。但是，一般来说， 很难获得精确的吸引域( 即使是很简单的系统) ，故需要对吸引域进行估计。在估 计系统吸引域时，一个最普遍的做法就是先用收缩性不变集去估计吸引域，然后 浙江大学硕士学位论文 在吸引域内扩大这个不变集。 定义2 。1 3 懿票每条起鲶予集合s 中懿蘩熹戆系统辕述焱任薅辩瓣里罄搽捧 在g 内，那么称g 为系统的一个不变集。 不交集概念是对平衡点概念的掖广，怒稳定性分析中个非常麓要的概念。 令p 敷“是一个正定缒阵，寇义蠛球体 q ( p ，p ) = 趣瓞”：x 7 乃f p ) 。 令矿( z ) = ，m ，则椭球体q ( p ，p ) 被称为是收缩性不变的，有凰仅当对于所 有静善赋曩力、 o 筠有矿( 并) 搿 及透= 扛餮“l 矗羔 o ： s ( 2 2 ) 若( s ) 1 ，则船c s 。 参考集的两种典型类型为椭球体： z 月= q ( r ，1 ) = x 瓞”：x 1 r x o ：及多面体： 躲= c o “，屯，一 ， ( 2 3 ) 其中葺，屯，- 为给定的向量，叩 ) 为这组向量的凸包。 例如，假定烁为一个椭球体并且r 为一个对角矩阵，则对应于对角元较小 的状态在吸引域中可以有较大范围的变化。而r 的相应的对角元权重能够从状态 的物理运行范围中得到。 另一方面，如果我们知道系统初始条件的大概值，则可以将参考集躲选定 为多面体，且其顶点为那些已经知晓的初始条件值。结果显示，如果已经知道部 分或者全部初始条件集，这种集合大小的度量方法用于分析吸引域是非常灵活 的。 2 2 线性矩阵不等式基础 近1 0 年来，线性矩阵不等式( l i n e a rm a n 奴i n e q u a l i t i e s ，简称l m i s ) 已经被 广泛用来解决系统和控制中的一些问题，随着解决线性矩阵不等式的内点法的提 出、m a t l a b 软件中l m i 工具箱的推出，线性不等式这一工具越来越受到人们的 注意。线性矩阵不等式和l m i 方法己经成为解决系统与控制问题、系统辨识以 及结构设计问题的一