（基础数学专业论文）阶对有限群的刻画.pdf

西南大学硕士学位论文目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第一节引言1 第二节预备知识2 第三节用阶刻画所有2 q p 阶群3 第四节用阶刻画6 类2 和阶群6 第五节用阶刻画所有散在单群的自同构群9 结语1 4 参考文献1 5 攻读硕士学位期间发表的学术论文1 7 致谢1 8 西南大学硕士学位论文摘要 阶对有限群的刻画 基础数学专业硕士研究生申虹 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 群的阶和群的元的阶是群的两个基本概念，也是描述群的两个重要的数量利 用阶对群进行研究在近二十五年取得了大量成果 令丌e ( g ) 表示群g 中元的阶之集施武杰在文 1 中提出了 猜想设g 为群，日为有限单群，则g 兰h 当且仅当( 1 ) 丌e ( g ) = 丌e ( 日) ； ( 2 ) l g i = i h i 经过许多群论工作者的努力，这一猜想已被证明( 参见文 1 卜 1 1 0 j g t h o m p s o n 提出了与这个猜想相关的一个问题令g ( d ) = z gl 一= 1 ) ，其中g 为任一 群，d 为任一正整数 定义群g 1 和g 2 称为同阶型群当且仅当ig l ( d ) i = lg 2 ( d ) i ，d = l ，2 ， 问题设g 1 和g 2 是同阶型的有限群，如果g 1 可解，那么g 2 是否一定可解? 由于上述猜想已被证明，因此可得 命题设g 1 和g 2 是同阶型的有限群，若g 1 可解，则g 2 不是非交换单群 由于单群均可由元阶集和群阶进行刻画，所以研究哪些非单群可由元阶集和群 阶进行刻画是有意义的文 1 2 】证明了对称群可由元阶集和群阶进行刻画本文继 续这一研究，得到了某些固定阶的有限群和所有散在单群的自同构群仍可由元阶集 和群阶进行刻画文章分为五节，主要有如下内容： 第一节介绍了本文的研究背景 第二节介绍了文中常用的数学符号，基本概念及用到的引理 第三节不利用群分类定理研究用阶刻画2 q p 阶群 第四节利用群分类定理研究用阶刻画2 3 p 阶群 第五节研究用阶刻画所有散在单群的自同构群 西南大学硕士学位论文摘要 通过研究，证明了所有2 q p 阶群，6 类2 3 p 阶群和所有散在单群的自同构群均 可由元阶集和群阶进行刻画 关键词：有限群；群的阶；元的阶；散在单群；自同构群 西南大学硕士学位论文a b s t r a c t c h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t eg r o u p sb yo r d e r s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s u p e r v i s e r ：p r o f g u i y u nc h e na s s o c i a t ep r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：s h e nh o n g a b s t r a c t t h eo r d e ro fa g r o u po ra ne l e m e n to fag r o u pi st h em o s tf u n d a m e n t a lc o n c e p t i ng r o u pt h e o r y b u ti tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h eq u a n t i t a t i v es t r u c t u r eo f g r o u p s i nt h ep a s t2 5y e a r s ，al o to fr e s u l t so nt h i st o p i cw e r eo b t a i n e d l e t7 r e ( g ) d e n o t et h es e to fa l lo r d e r so fe l e m e n t si ng r o u pg w j s h ip u t f o r w a r dt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r e ( c f 1 ) ： s h i sc o n j e c t u r el e tgb eag r o u pa n dhaf i n i t es i m p l eg r o u p t h e ng 笺h 矿a n do n l y 矿( a ) 丌e ( g ) = 丌e ( 日) ，a n d ( b ) l g i = i h i t h i sc o n j e c t u r eh a sb e e np r o v e dr e c e n t l y ( c f 。( 1 】_ 1i d ap r o b l e mr e l a t e dt ot h i s c o n j e c t u r ei st h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r em a d eb yj g t h o m p s o n f o re a c hf i n i t cg r o u p ga n de a c hi n t e g e rd 1 ，l e ta ( d ) = z g iz d = 1 ) d e f i n i t i o n g 1a n dg 2a r eo t h es a m eo r d e rt y p e 谚lg a ( d ) i = ig 2 ( 回i ， d = 1 ，2 ， t h o m p s o n sc o n j e c t u r es u p p o s eg 1 ，g 2a r ef i n i t eg r o u p so ft h es a m eo r d e r t y p e i fg 1i ss o l v a b l e ，t h e ng 2i sa l s os o l v a b l e t i o n ： b e c a u s et h ea b o v es h i sc o n j e c t u r ei sc o r r e c t ，w ec a ng e tt h ef o l l o w i n gp r o p o s i - p r o p o s i t i o ns u p p o s et h a tg 1 ，g 2a r ef i n i t eg r o u p so t h es a m eo r d e rt y p e s u p p o s et h a tg 1i ss o l v a b l e ，t h e ng 2i sn o tan o n a b e l i a ns i m p l eg r o u p a sa l lt h es i m p l eg r o u p sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h es e to ft h e i re l e m e n to r d e r s a n dg r o u po r d e r s ，i ti sam e a n i n gt o p i ct of i n do u tt h en o n s i m p l eg r o u p st h o s ec a n b ec h a r a c t e r i z e db yt h es e to ft h e i re l e m e n to r d e r sa n dg r o u po r d e r s i n 1 2 ，i ti s 西南大学硕士学位论文a b s t r a c t p r o v e dt h a ta l lt h es y m m e t r yg r o u p sc a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h es e to ft h e i re l e m e n t o r d e r sa n dg r o u po r d e r s i nt h i sp a p e r ，w ec o n t i n u et h i st o p i c ，a n dp r o v et h a ts o m e g r o u p sw i t hc e r t a i ng r o u p o r d e r sa n da l la u t o m o r p h i s mg r o u p so ft h es p o r a d i cs i m p l e g r o u p sw h i c hc a na l s ob ec h a r a c t e r i z e db yt h es e to ft h e i re l e m e n to r d e r sa n dg r o u p o r d e r s t h ep a p e rc o n s i s t so ft h ef i v ef o l l o w i n gs e c t i o n s ： i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n d so fo u rr e s e a r c h i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l s ，b a s i cc o n c e p t su s e di nt h e p a p e r i ns e c t i o n3 ，w es t u d yt h eg r o u p sw i t ho r d e r2 q pb yt h es e to ft h e i re l e m e n t o r d e r sa n dg r o u po r d e r s i ns e c t i o n4 ，w es t u d yt h eg r o u p sw i t ho r d e r2 3 pb yt h es e to ft h e i re l e m e n t o r d e r sa n dg r o u po r d e r s i ns e c t i o n5 ，w es t u d ya l la u t o m o r p h i s mg r o u p so ft h es p o r a d i cs i m p l eg r o u p s b yt h es e to ft h e i re l e m e n to r d e r sa n dg r o u po r d e r s t h ea u t h o rp r o v et h a ta l lg r o u p sw i t ho r d e r2 q p ，s i xs e r i e sg r o u p sw i t ho r d e r2 a p a n da l la u t o m o r p h i s mg r o u p so ft h es p o r a d i cs i m p l eg r o u p sc a l lb ec h a r a c t e r i z e db y t h es e to ft h e i re l e m e n to r d e r sa n dg r o u po r d e r s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；g r o u po r d e r ； e l e m e n to r d e r ； s p o r a d i cs i m p l e g r o u p ；a u t o m o r p h i s mg r o u p l v 西南大学硕士学位论文引言 第一节引言 人们研究群的结构时，总是希望能够用群的最基本的特征对其进行描述众所 周知，群的阶和元的阶是群的两个基本概念，也是描述群的两个重要的数量集那 么能否用这两个阶对群进行纯数量刻画，就成了群论研究者感兴趣的一个课题并 且在近二十五年里，这方面的研究取得了大量的成果 令丌。( g ) 表示群g 中元的阶之集施武杰在文 1 】中提出了 猜想设g 为群，日为有限单群，则g 笺h 当且仅当( 1 ) 丌e ( g ) = 丌e ( 日) ； ( 2 ) l g l = 1 日| 经过许多群论工作者的努力，这一猜想已被证明可见文 1 】- 1 1 】j g t h o m p s o n 提出了与这个猜想相关的一个问题我们令g ( d ) = z gl = 1 】- ，其中g 为任 一群，d 为任一正整数 定义群g 1 和g 2 是同阶型群，当且仅当ig l ( d ) l = lg 2 ( d ) i ，d = 1 ，2 ， 问题设g 1 和g 2 是同阶型的有限群，如果g 1 可解，那么g 2 是否一定可解? 由于上述猜想已被证明，因此可得 命题设g 和g 2 是同阶型的有限群，若g 1 可解，则g 2 不是非交换单群 由于单群均可由元阶集和群阶进行刻画，所以研究哪些非单群可由元阶集和群 阶进行刻画是有意义的文 1 2 】证明了对称群可由元阶集和群阶进行刻画本文继 续这一研究，作者不利用群分类定理，用群论基本知识和相关数论知识证明了所有 2 q p 阶群可由元阶集和群阶进行刻画，然后利用群分类定理证明了6 类2 3 p 阶群可 由元阶集和群阶进行刻画，最后证明了所有散在单群的自同构群可由元阶集和群阶 进行刻画 1 西南大学硕士学位论文预备知识 第二节预备知识 我们先对一些符号和术语做下面的说明： 设g 为群，记7 r e ( g ) 为g 中元的阶之集，7 r ( g ) 为i g l 的质因子集 定义【1 5 l 设g 为有限群，则g 的素图r ( a ) 定义如下； ( 1 ) r ( a ) 的顶点集y ( r ( g ) ) = 7 r ( g ) ； ( 2 ) 设p ，q 7 r ( g ) ，p q , p 与口有一条边相连的充要条件是p q 丌e ( g ) 为了方便，记t ( a ) 为g 的素图的连通分支数；死( i = 1 ，2 ，) 为r ( a ) 的连通 分支所含顶点之集；若2ll g l ，则总设2 7 r 1 除了特别说明外，小写字母p ，g 总表示不同的奇素数其它未解释的名词和术 语都是标准的，参见文 1 6 】其中g i 的具体定义可见文中各个章节 下面介绍一些文中要用到的引理： 引理1 【1 7 1 设g 为有限可解群且所有元素的阶是素数的方幂，则1 7 r ( g ) l 2 引理2 【1 8 1 设g 为2 - f r o b e n i u s 群，则g 可解 引理3 【1 5 】设g 为有限群，t ( a ) 1 ，则g 的结构为下列之一： ( 1 ) f r o b e n i u s 群或2 - f r o b e n i u s 群； ( 2 ) 单群； ( 3 ) 丌。一群被单群的扩张； ( 4 ) 单群被7 r ，一群的扩张； ( 5 ) 7 1 1 - - 群被单群的扩张再被丌1 一群的扩张 引理4 【1 9 1 设g 为不可解的f r o b e n i u s 群，c 为f r o b e n i u s 补，则存在c 的子 群驴，使得l c ：c + i 2 且c + 竺s l ( 2 ，5 ) z ，其中z 的每个s y l o w 子群都循环， 7 r ( z ) n 2 ，3 ，5 ) = 引理5 1 2 0 l 设g 为f r o b e n i u s 群，c 为f r o b e n i u s 补，k 为f r o b e n i u s 核，则 l c li ( 1 k i 一1 ) 2 西南大学硕士学位论文 用阶刻画所有2 q p 阶群 第三节用阶刻画所有2 q p 阶群 引理3 1 【1 3 1 设g 为2 q p 阶群，其中q ，a 2 q = 1 = b p ，a - 1 b a = b 又i h l = 2 q p ，所以h 竺g 2 ( 3 ) i = 5 ，6 时，由于证明方法类似，故以g 5 为例证明i h l = l g 5 i = 2 q p ，由 q g ， 由引理4 1 可得丌e ( ( o ，6 ) ) = 1 ，2 ，p ，2 p ) 且i a g i = i o 幻l = 4 ，i = 0 ，1 ，2 p 一1 故 t r y ( g 1 3 ) = 1 ，2 ，4 ，p ，2 p ) ( 7 ) 由引理4 1 可得g 1 6 = ( a ，b ，c ) + ( o ，b ，c ) 夕+ + ( n ，b ，c ) 9 6 其中丌e ( ( 口，b ，c ) ) = 1 ，2 ) ，7 r e ( ( q ，b ，c ) 夕) = = 7 r e ( ( n ，b ，c ) 夕6 ) = 7 ) 故丌e ( g 1 6 ) = 1 【1 ，2 ，7 ) ( 8 ) i = 1 7 ，1 8 时，由于证明方法类似，故以g 1 7 为例证明g 1 7 = ( 口，b ，c ) + ( a ，b ，c g ，由引理4 1 可得7 r e ( ( n ，b ，c ) ) = _ 【l ，2 ，3 且丌e ( ( o ，b ，c ) 夕) = 2 ，6 故 丌e ( g 1 7 ) = 1 ，2 ，3 ，6 ) ( 9 ) 由引理4 1 可得g 1 9 = ( a ，b ) + ( a ，6 ) 夕十( a ，b 9 2 其中7 r e ( ( 口，6 ) ) = l ，2 ，4 ) ， 7 r e ( ( o ，b g ) = 7 r e ( ( o ，6 ) 夕2 ) = 3 ，6 ) 故丌e ( g 1 9 ) = 1 ，2 ，4 ，3 ，6 ) 定理4 设日为群，则h 竺g 当且仅当( 1 ) 7 r e ( 日) = 丌e ( g ) ；( 2 ) i s l = i g d 其 中g t ，i = 1 ，8 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 8 为引理4 1 中所示群 证明由引理4 1 和引理4 2 直接可得 8 西南大学硕士学位论文用阶刻画所有散在单群的自同构群 第五节用阶刻画所有散在单群的自同构群 为了方便，我们在表i , i i 中列出了群日的i h i ，丌e ( 日) 和群日的素图分支 h 1 日ll r 。( h ) 巩 2 7 3 3 5 2 7 1 ，2 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 5 m c f2 7 3 6 5 3 7 1 1 1 ，2 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，3 0 a u t ( 以) 2 8 3 3 5 2 7 l ，2 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，2 4 a u t ( m c l ) 2 8 3 6 5 3 7 1 1 1 ，2 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，2 0 ，2 2 ，2 4 ，3 0 a u t ( m 1 2 ) 2 7 3 3 5 1 1 1 ，2 ，6 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 2 a u t ( m 2 2 ) 2 8 3 2 5 7 1 1 1 ，2 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 a u t ( s u z ) 2 1 4 3 7 5 2 7 1 1 1 3 1 ，2 ，1 6 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 4 ，2 8 ， 3 0 4 0 a u t ( h s ) 2 1 0 3 2 5 3 7 1 1 1 ，2 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，2 0 ，3 0 a u t ( h e ) 2 1 1 3 3 5 2 7 a 1 7 1 ，2 ，8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ， 2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 8 ，3 0 ，4 2 a u t ( f i 2 2 ) 2 1 8 3 9 5 2 7 1 1 1 3 1 ，2 ，1 6 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 4 ，3 0 ，3 6 ，4 2 1 ，2 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 6 ， a u t ( f i ：4 ) 2 2 2 3 1 6 5 2 7 a 1 1 1 3 1 7 2 3 2 9 2 7 ，3 0 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 9 ，4 0 ，4 2 ， 4 5 ，4 6 ，5 4 ，6 0 ，6 6 ，7 0 ，7 8 ，8 4 a u t ( h n ) 2 1 5 3 6 5 6 7 1 1 1 9 1 ，2 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 l ， 2 2 ，2 4 ，2 5 ，2 8 ，3 0 ，3 5 ，4 0 ，4 2 ，4 4 ，6 0 a u t ( 0 7 n ) 2 1 0 3 4 5 7 3 1 1 1 9 3 1 1 ，2 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ， 1 9 ，2 0 ，2 2 ，2 4 ，2 8 ，3 0 ，3 1 ，3 8 ，5 6 a u t ( 以) 2 8 3 5 5 1 7 1 9 1 ，2 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 5 ，1 7 ， 1 8 ，1 9 ，2 4 ，3 4 9 西南大学硕士学位论文用阶刻画所有散在单群的自同构群 h a u t ( 以)a u t ( m c l )a u t ( m 1 2 )a u t ( m 2 e )a u t ( s u z )a u t ( h s ) 7 1 12 ，3 ，5 ，72 ，3 ，5 ，7 ，1 12 ，3 ，52 ，3 ，5 ，72 ，3 ，5 ，7 ；1 12 ，3 ，5 ，7 7 1 2 1 11 11 31 1 h a u t ( h e )a u t ( f i 2 2 ) a u t ( f i ：4 )a u t ( h n )a u t ( o n ) a u t ( 以) 7 r 12 ，3 ，5 ，72 ，3 ，5 ，7 ，1 12 ，3 ，5 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，2 32 ，3 ，5 ，7 ，1 1 2 ，3 ，5 ，7 ，1 1 ，1 92 ，3 ，5 ，1 7 7 1 2 1 7 1 3 2 91 93 1 1 9 记g p 为群g 的一个p s y l o w 子群，单群是指非交换单群 由文【1 6 1 知，下列散在单群的自同构群同构于其自身：m 1 ，m 2 3 ，m 2 4 ，c 0 1 ，c 0 2 ， c 0 3 ，以，j 4 ，r u ，f i 2 3 ，l y ，t h ，b ，m 在文【1 】中已证明上述散在单群可由元阶集和群阶 唯一确定，所以只需对, 1 2 ，m c l ，尬2 ，尬2 ，s u z ，h s ，h e ，f i 2 2 ，f i 2 4 ，日，0 7 ，以进行 讨论 引理5 1 设g 为群，h = 也或m d ，则g 竺a u t ( h ) 当且仅当( 1 ) 丌e ( g ) = 丌。( a u t ( 日) ) ；( 2 ) l g i = l a u t ( h ) 证明必要性显然，故只需证充分性 ( 1 ) g 不可解 假设g 可解，当h = j 2 时，由于i g i = i a u t ( 如) i ，所以g 有 5 ，7 ) 一h a u 子 群厶且l l i = 5 27 由s y l o w 定理得，l 5 璺l 且l 7 璺l ，所以l = l 5 l 7 则 5 - 7 7 r e ( g ) ，与丌e ( g ) = 7 r 。( a u t ( j 2 ) ) 矛盾；当h = m c l 时，则g 有 5 ，7 ，1 1 - h a l l 子群厶由丌e ( g ) = 丌e ( a u t ( m c f ) ) 知l 为可解的质幂元群且i r r ( l ) i = 3 ，与引理1 矛 盾 ( 2 ) g 存在商因子厨为非交换单群 令g = g o g 1 g k 一1 g k = 1 为g 的主列 当h = 以时，存在某个i ，使得丌( g t ) g l 5 ，7 ) ，丌( g + 1 ) g l 5 ，7 ) = 咖，记 m = g l ，n = g i + 1 则g m n 1 为g 的正规列，其中m = m n 为 g = g n 的极小正规子群我们断言 5 ，7 ) 7 r ( m ) 不妨令7 7 r ( m ) ，5 隹7 r ( m ) ， 1 0 西南大学硕七学位论文用阶刻画所有散在单群的自同构群 则5 j 7 r ( g m ) 由l g i = i a u t ( j 2 ) l 知l m 7 i = 7 ，由f r a t t i n i 推理有g = n a ( m t ) m ， 则g m 兰g ( 蚴) ( g ( 鹏) nm ) ，所以5 7 r ( n a ( 物) ) 因5 7 隹亿( g ) ，所以 g ( 晒) 中有一个5 阶子群在m 7 上无不动点作用由引理5 知5 i ( 7 1 ) ，矛盾所 以7 7 r ( m ) 时，5 7 r ( m ) 同理，当5 7 r ( m ) 时，7 7 r ( m ) 所以5 7l | m i 由厨为同构单群的直积且l 厨i il g l 知厨为非交换单群 当h = m c l 时，存在某个i ，使得7 r ( g ) n 5 ，7 ，1 1 咖，7 r ( g 冲1 ) n 5 ，7 ，1 1 = 咖， 记m = g i ，n = g 件1 则g m n 1 为g 的正规列我们断言_ 5 ，7 ，1 1 7 r ( m ) 不妨令5 ，r c m ) ，若7 盛丌( m ) ，则同上可得g ( 坛) 中有一个7 阶子群在 m 5 上无不动点作用，其中i m s i = 5 q ，1 o t 3 由引理5 知7 1 ( 5 0 一1 ) ，1 a 3 ， 矛盾若1 1 簪7 r ( m ) ，则同理可得矛盾所以5 7 r ( m ) 时，【7 ，1 1 丌( m ) 同理， 当7 7 r ( m ) 时， 5 ，1 1 ) g7 r ( m ) ；当1 1 7 r ( m ) 时， 5 ，7 ) 7 r ( m ) 同上可得m 为非交换单群且5 7 1 1ll m l ( 3 ) m 兰h 当h = j 2 时，5 7ll 府i ，i 厨ii l a l 由文【1 q 知府只可能是五，l 3 ( 4 ) ，a 8 ，a 7 若廊竺l 3 ( 4 ) ，a 8 ，a 7 ，则5 | ii 府l ，但5 2l ll g l 所以5il g m i 用( 2 ) 中同样的方法 可得矛盾所以m 垡如 当h = m c l 时， 5 7 1 1l l 砑f ，f 厨ill g l 用上述同样的方法和文【16 】可得 财竺m d ( 4 ) g 垡a u t ( h ) 当h = j 2 时，由厨竺如且2 1 5 ，3 7 ，5 7 莹丌e ( g ) 知g 台( 府) = 1 ，所以 厨g n 1 ，使得 ( 1 ) n ，g m 为7 r l 一群；( 2 ) 1 7 = m n 为非交换单群此外，亡( 厨) t ( g ) ，且由 t ( g ) 1 可知是幂零的 ( 3 ) 厨竺h 由7 r e ( g ) = 7 r e ( a u t ( 日) ) 知( 厨) 2 ，所以( 府) = 1 ，因此府0 j a u t ( a 1 ) 当h = 尬2 时，1 1 7 r ( 厨) 且i 厨| ll g i 由文【1 6 】知厨只可能是舰2 ，尬1 ，l 2 ( 1 1 ) 若府是尬1 ，则尬1 毛0 。a u t ( m 1 1 ) 由文f 1 6 】知3i ii i ，又由为幂零群， 3 1 1 譬丌e ( g ) 得n 3 g n 为f r o b e n i u s 群，l n 3 g 1 1 l = 3 i i 由引理5 知1 1l ( 3 1 ) ， 矛盾 若府兰l 2 ( 1 1 ) ，用上述同样的方法和引理5 可得矛盾 1 2 ， 一 西南大学硕士学位论文用阶刻画所有散在单群的自同构群 所以m 兰m 1 2 当h = 2 时，1 1 7 r ( 厨) 且i 厨i li g i - 由文【16 】知廊只可能是，m 1 1 ，l 2 ( 1 1 ) 若m 竺舰1 ，用上述同样的方法和引理5 可得矛盾 若m 垡l 2 ( i i ) ，则3 7ll i ，又由n 为幂零群得3 7 7 r e ( g ) 与丌e ( g ) = ，r e ( a u t ( m 2 2 ) ) 矛盾 所以m 竺l 2 ( 1 1 ) 用上述同样的方法和引理5 可得：当h = s u z ，h s ，h e ，f 2 2 ，死：4 ，日，d 或 以时，m 只能同构于： s u z ，h s ，h e ，f i 2 2 ，f i 2 4 ，日，d 7 或以 ( 4 ) g 垡a u t ( h ) 由( 厨) = 1 知厨0 。 a u t ( 2 1 7 ) ，即h 焉0 焉a u t ( 日) 又由文【1 6 l 知 l a u t ( h ) l = 2 1 h i 若g 竺h ，则l n i = 2 ，所以2 m 丌e ( g ) ，其中m 7 1 2 ，与 丌e ( g ) = 7 r e ( a u t ( 日) ) 矛盾所以g 垡a u t ( h ) ，又因i g i = l a u t ( h ) ，所以g - a u t ( h ) 定理5 设g 为群，日为散在单群，则g = a u t ( h ) 当且仅当( 1 ) 7 r e ( g ) = 7 r e ( a u t ( 日) ) ；( 2 ) l g i = l a u t ( h ) 证明由引理5 1 和引理5 2 直接可得 西南大学硕士学位论文结语 垒| ；五 ；口1 口 群的阶和群的元的阶是群的两个基本概念，也是描述群的两个重要的数量利 用阶对群进行研究是一个有趣的课题其中，寻求j g t h o m p s o n 问题的答案还需 进一步的探索 本文的主要结论： 定理3 设日为群，则h 垡g i 当且仅当( 1 ) 7 r e ( 日) = 7 r e ( g ) ；( 2 ) i l l f = i g i i 其 中g i ，i = 1 ，2 ，6 为2 q p 阶( q p 为不同的奇素数) 群 定理4 设日为群，则日兰g i 当且仅当( 1 ) 丌e ( 日) = 7 r e ( g ) ；( 2 ) i h l 亍i c , i ，其 中g i ，i = 1 ，8 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 8 为2 3 p 阶0 为奇素数) 群 定理5设g 为群，日为散在单群，则g - a u t ( h ) 当且仅当( 1 ) 7 r e ( g ) = 7 r e ( a u t ( 日) ) ；( 2 ) i g l = l a u t ( h ) 还可以进一步考虑的问题： 研究还有哪些非单群可由元阶集和群阶进行刻画，例如余下的非交换单群的自 同构群等 1 4 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 f 1 】1 wjs h i ，an e wc h a r a c t e r i z a t i o no ft h es p o r a d i cs i m p l eg r o u p s ，g r o u pt h e o r y , p r o - c e e d i n g so ft h e1 9 8 7s i n g a p o r eg r o u pt h e o r yc o n f e r e n c e ，b e r l i n ，n e wy o r k ，w a l t e r d eg r u y t e r ，1 9 8 9 ，5 3 1 5 4 0 【2 】wjs h i ，jxb i ，ac h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t yf o re a c hf i n i t ep r o j e c t i v es p e c i a ll i n e a r g r o u p ，l e c t u r en o t e si nm a t h ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 0 ，1 4 5 6 ：1 7 1 1 8 0 【3 wjs h i ，jxb i ，ac h a r a c t e r i z a t i o no fs u z u k i - r e eg r o u p s ，s c ii nc h i n a ，s e ra ，1 9 9 1 ， 3 4 ：l 垂1 9 【4 】wjs h i ，jxb i ，an e wc h a r a c t e r i z a t i o no ft h ea l t e r n a t i n gg r o u p s ，s o u t h e a s ta s i a n b u l lm a t h ，1 9 9 2 ，1 6 ：8 1 9 0 【5 】wjs h i ，p u r eq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p s ( i ) ，p r o gn a ts c i ， 1 9 9 4 4 ：3 1 6 - 3 2 6 【6 】hpc a o ，wjs h i ，p u r eq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t ep r o j e c t i v es p e c i a lu n i - t a r yg r o u p s ，s c ic h i n a ，s e ra ，2 0 0 2 ，4 5 ：7 6 1 7 7 2 【7 】mcx u ，wjs h i ，p u r eq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p s2 d n ( 口) a n d 觑( g ) ( 1o d d ) ，a l gc o u ，2 0 0 3 ，1 0 ：4 2 7 _ 4 4 3 8 】wjs h i ，p u r eq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p s ，f r o n tm a t hc h i n a ， 2 0 0 7 2 ：1 2 3 - 1 2 5 【9 】mag r e c h k o s e e v a ，o nd i f f e r e n c eb e t w e e nt h es p e c t r ao ft h es i m p l eg r o u p s 玩( q ) a n d c n ( q ) ，s i b e r i a nm a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，2 0 0 7 ，4 8 ：得7 5 1 0 】av v a s i l e v ，mag r e c h k o s e e v a ，vdm a z u r o v ，o nf i n i t eg r o u p si s o s p e c t r a lt os i m p l e s y m p l e c t i ca n do r t h o g o n a lg r o u p s ，js i b e r i a nm a t h ，2 0 0 9 ，5 0 ：1 2 2 5 - 1 2 4 7 【1 1 】avv a s i l e v ，mag r e c h k o s e e v a ，vdm a z u r o v ，c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ef i n i t es i m p l e g r o u p sb ys p e c t r u ma n do r d e r ，a l g e b r aa n dl o g i c ，2 0 0 9 ，4 8 ：6 8 5 - 7 2 8 1 5 ， 西南大学硕士学位论文参考文献 【1 2 】毕建行，对称群的一个特征性质 j 】，数学学报，1 9 0 0 ，3 3 ：弛7 7 【1 3 】张远达，有限群构造( 上册) 【m 】，北京，科学出版社， 1 9 8 2 ，2 8 8 - 2 9 1 1 4 】张远达，有限群构造( 下册) 【m