均值不等式的证明方法及应用..doc

均值不等式的证明方法及应用摘要 均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式 PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE INEQUALITY ABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequality are first systematically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average value inequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximum and minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and proving integral inequality.Key words: average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum; limit; integral inequality目 录前言41 均值不等式的证明方法51.1 柯西法51.2 数学归纳法61.3 詹森不等式法71.4 不等式法71.5 几何法81.6 排序法91.7 均值变量替换法91.8 构造概率模型法91.9 逐次调整法101.10 泰勒公式法102 均值不等式的应用122.1 均值不等式在证明不等式中的应用122.2均值不等式在比较大小问题中的应用132.3 均值不等式在求最值问题中的应用132.3.1 均值不等式求最值时常见错误142.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策162.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用193 结论21参考文献:22致谢23前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题. 均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答. 均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化. 著名数学家阿基米德最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究. 如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.1 均值不等式的证明方法首先,我们给出均值不等式.定理1 设是个正数，则 ， 上式当且仅当时等号成立.上述不等式我们称之为算术几何平均不等式,以后简称均值不等式. 我们把和分别叫做这个数的算术平均数和几何平均数,分别记做和，(1-1)式即为. 下面给出均值不等式的几种证明方法.1.1 柯西法当时,由于.有,得.当时,.当时, .这样的步骤重复次之后将会得到, 令 有即 .这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.1.2 数学归纳法证法一当时，不等式显然成立.假设当时,命题成立.则当时,.因为具有全对称性，所以不妨设,.显然 ,以及.于是, .所以 =.即两边乘以,得.从而,有.所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即 .证法二当时，不等式显然成立；假设当时成立.则当时，有，于是 .所以 ,所以 .当且仅当且时等号成立.由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即 1.3 詹森不等式法引理1(Jensen不等式)若为区间上的凸函数，对任意，且，则 (1-3) 成立. 下面利用詹森不等式证明均值不等式.令 ,易知在是凸函数.由于,令 ，则由引理1有下式, .则 ,因此 ,即,当且仅当时等号成立.1.4 不等式法在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式进行推导.设，对应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:,其中, , . 因此, ,.当时，等号成立.下面给出均值不等式的证明过程.取一组数,，使.令 .则由(全为零时,取等号)可得, ，所以 .1.5 几何法作函数的图像,它是凸曲线，并在点处作切线,可见这条切线在函数的下面(见图)，因此,可以得到.所以 ，于是，即,且从上述证明中可知，当且仅当时，等号成立. 图1-11.6 排序法做序列: ,，取其中的一个排列:,，则,.不妨设.则.由排序原理可知 ,即 ,所以 .1.7 均值变量替换法本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式.易证时，不等式显然成立.假设当时，不等式成立.则当时，设,则.设不全为零,必有一个为正,另一个为负,不妨设,由于 , 从而.所以 ,即.易证,当且仅当时(即时)取等号,故原不等式成立1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.引理2 设是一个随机变量,并且数学期望存在,则有,. 建立概率模型,设随机变量的概率分布为,其中,.由引理2可知, ,即 成立.1.9 逐次调整法 中必存在最值数，不妨设,. 易见.于是,用取代.不变,但是增大,即 , .对于各个,这种代换至多进行次(有限次).因此， .即 ,当且仅当时,取等号.1.10 泰勒公式法设，则，将在处展开，有.因此有,取,从而.故,即 .因此有 ,即 ,亦即,故有 ,.2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.例1 已知为互不相等的正数,且.求证.证明.故原不等式得证.例2 证明 .证明 由均值不等式得,.以上三式相加得,，即有,. 原不等式得证.例3 设圆的半径为,两弦和均与直径交,记与和的交点分别为和Q,求证 . 图证明 如图,设为弦的中点,连接,则为等腰直角三角形,且. .同理,.由均值不等式得， .即 ，原不等式得证.2.2均值不等式在比较大小问题中的应用比较大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这类问题的关键.例4 若，,试判断之间的大小关系.解 由均值不等式，得 . .由于，所以不能取等号,即.2.3 均值不等式在求最值问题中的应用均值不等式在求函数最值,解决一些取值范围问题时运用非常广泛,是重要知识点之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件,达到解题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处.例5 求下列函数的值域：(1)； (2).解 (1)因为,. 所以,值域为.(2)当时，.当时,故,值域为例6 若,求函数的最大值.解 因为, .所以,，故的最大值是4.例7 制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高h 和底面半径r 的比为何值时,使用的材料最省? (不计加工损耗)解 设圆,当且仅当, 即 时, 材料最省. 此时有 ,故 ,即圆柱形的高与底面半径之比为2:1时,使用的材料最省.2.3.1 均值不等式求最值时常见错误运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等.在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、缩小, 或不等式之间进行传递等变形,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误,而且错误不易察觉.因此,就这一问题列举几个例子进行说明.例8 求的值域.分析 在解题时,我们常常写成，故.虽然的积是常数,但不一定是正数,忽视均值不等式中的各项为“正”致错, 因此解法是错误的.下面给出正确解法.解 当时,当且仅当,即时等号成立;当时,所以,当且仅当时取等号,所以原函数的值域为.例9 求的最小值.分析 在解题时,我们常常写成 ，所以的最小值是2.可是在 中,当且仅当,即,这是不可能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.解 在中,令, 则(),易证在上递增,所以的最小值是,当且仅当时,即,取号.例10 若正数 满足,求的最大值.分析 在解题时,我们常常写成,当且仅当且,即时取号, 将其代入上式,可得的最大值为4.初看起来,很有道理, 其实在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立.但在中,不是定值,所以的最大值不是4.这个问题忽视了均值不等式中积或和是定值的条件.下面给出正确解.解 因, 当且仅当时(此时)取号, 所以.2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策.运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略.例11 已知,求的最大值.解 因为，所以，,从而有，即，当且仅当即时等号成立，故. 本题满足 为定值，但因为,，所以此时不能直接应用均值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式.例12 求 的最大值.解 ，当且仅当,即时等号成立.故. 本题不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.例13 已知,求的最小值.解 ，当且仅当,即,时等号成立.故. 本题 不是定值,但可通过添项、减项来满足积为定值.例14 已知,求的最小值.解 .当且仅当且,即 时等号成立. 故.本题虽有为定值,但不可能成立. 故可通过拆项来满足等号成立的条件.例15 已知,则 有_. 最大值 最小值 最大值1. 最小值1.解 ,当且仅当,即时等号成立.故选 .本题看似无法使用均值不等式,但对函数式进行分离,便可创造出使用均值不等式的条件.2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,需证明数列单调及数列有界.而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容.下面举例说明.例16 证明重要极限的存在性.证明 先证数列单调递增. 令，则由均值不等式得, . 即 ,所以 .所以 数列单调递增.再证数列有上界. 下面的证明可以看到一个更强的命题：数列以（为正整数）为上界.先证不等式, 当时, .设 ，.由均值不等式，所以 ,因此，.其次由,有,所以.当时，任取一个正整数，均是数列的上界.又数列单调递增，所以,当时,不等式仍然成立. 因此，对于数列 , 恒有（为正整数）. 任意选定一个值， 均是数列的上界.所以数列 单调有界,由单调有界定理,数列 极限存在.极限值为，即.例17 证明数列极限存在且其极限是.证明 令 . .所以,数列单调减少.又,则数列有下界. .因为 和的极限都存在, 所以 .因此, 数列极限存在且其极限是.例18 证明. 证明 由均值不等式（1-1）有: ,从而有,故 .2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用.例19 已知正项级数收敛，证明级数也收敛.证明 因为,由均值不等式，有,已知级数收敛,所以级数与都收敛，从而级数也收敛，再由比较判别法，知级数收敛.2.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此,在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明.例20 证明函数在上是正值可积的, ,且,则 .证明 利用.有, .于是 ，即 .例21 设在上非负连续，证明.证明 由题设知在上可积，将等分，作积分和，.所以 .由均值不等式得, .故 .3 结论均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用.参考文献:1中译本（朱恩宽、李文铭等译）:阿基米德全集M. 西安：陕西科学技术出版社,1998.2陈侃.算术-几何平均值不等式的证明J.巢湖学院学报,2008,6(3):129-130. 3熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用J.重庆师范大学学报,2003,12:89-91.4敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法J.云梦学刊,1980,1(3):65-80.5Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequalityJ.Mathematics Magazine,1991,64:273. 6刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式J.成都大学学报,2003,22(3):32-357匡继昌.常用不等式M.济南:山东科学技术出版社,20048陈益琳.高中教学导练(高二)M.北京:冶金工业出版社,2004.9冉凯.均值不