可交换矩阵的几个充要条件及其性质..docx

可交换矩阵的几个充要条件及其性质在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩有意义时,矩阵未必有意义,即使,都有意义时它们也不一定相等.但是当,满足一定条件是,就有,此时也称与是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵. 1 矩阵可交换成立的几个充分条件定理1.1(1)设,至少有一个为零矩阵,则,可交换; (2)设,至少有一个为单位矩阵,则,可交换; (3)设,至少有一个为数量矩阵,则,可交换; (4)设,均为对角矩阵,则,可交换; (5)设,均为准对角矩阵,则,可交换; (6)设是的伴随矩阵,则与可交换; (7)设可逆,则与可交换; (8)设,则,可交换. 证 (1)对任意矩阵,均有,表示零距阵,所以,至少有一个为零矩阵时,可交换; (2)对任意矩阵,均有,表示单位矩阵，所以,至少有一个为单位矩阵时,可交换; (3)对任意矩阵,均有,k为任意实数,则为数量矩阵,所以,至少有一个为数量矩阵时,可交换; (4),(5)显然成立; (6),所以矩阵与其伴随矩阵可交换; (7),所以矩阵与其逆矩阵可交换; (8)当时,均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知,可交换. 定理1.2(1)设,其中,为非零实数, 则,可交换, (2)设,其中为正整数,为非零实数,则,可交换. 证 (1)由可得,即,故依定理1.1(8)得,于是,所以; (2)由得,故依定理1.1(8)得,于是,所以可得. 定理1.3(1)设可逆,若或或,则,可交换; (2)设,均可逆,若对任意实数,均有,则,可交换. 证 (1)若,由可逆得,从而,故; 若,同理可得,故; 若,则,故. (2)因,均可逆,故由得可逆,且,则两边取转置可得.或由两边取逆可得. 2 矩阵可交换成立的几个充要条件定理2.1下列均是,可交换的充要条件: (1); (2); (3); (4). 证 (1)因为,两边同时取伴随矩阵可得; 因为,两边同时取伴随矩阵可得; (2)因为,两边取转置可得; 因为,两边取转置可得; (3)因为,所以; 同理由,可证,因为,且,所以; 同理由,可证; (4)因为,又由条件知,所以; 因为,所以; 定理2.2可逆矩阵,可交换的充要条件是. 证 因为,两边取逆可得; 因为,两边取逆可得; 定理2.3(1)设,均为(反)对称矩阵,则,可交换的充要条件是为对称矩阵; (2)设,有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则,可交换的充要条件是为反对称矩阵. 证 (1)设,均为对称矩阵,由定理2.1(2),因此为对称矩阵; 若,均为反对称矩阵,则,因此也为对称矩阵. (2)若,中有一个为对称矩阵,不妨设为对称矩阵,则为反对称矩阵,则因此为反对称矩阵. 定理2.4设,均为对称正定矩阵,则,可交换的充要条件是为对称正定矩阵. 证 充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性. 因,为对称正定矩阵,故有可逆矩阵,使,于是,所以为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而与相似,从而的特征值也全为正数,因此为对称正定矩阵. 3 可交换矩阵的一些性质 定义3.1 (1)幂等矩阵:若为矩阵,且,则幂等矩阵. (2)幂零矩阵:若为矩阵,且,则为幂零距阵. (3)幂幺矩阵:若为矩阵,且,为单位矩阵,则为幂幺矩阵.性质3.1设,可交换,则有: (1); (2)(矩阵二项式定理). (3),其中都是正整数; (4),其中是的多项式,即与的多项式可交换; 证 (1)对用数学归纳法可证得.当时,明显成立.假设当时,有下证当时结论也成立.故对一切正整数,结论成立.(2)用数学归纳法当时,结论成立. 假设当时,有下面证当时结论也成立.由得,于是而. 所以. 故对一切正整数,二项式定理成立. （3） 由可得, 同理可证,.(4)由(3)可证得.性质3.2设,可交换,(1)若,均为幂等矩阵,则,也为幂等矩阵; (2)若,均为幂零距阵,则,均为幂零距阵; (3)若,均为幂幺矩阵,则也为幂幺矩阵; 证 (1)由,及即可证得; (2)设,取,则,即为幂零距阵;令,则,所以为幂零距阵. (3)由,可证得; 性质3.3设,可交换,若,分别为阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵,则为Hermite非负定矩阵; 证 因为,所以是Hermite矩阵. 又因为,所以存在阶可逆Hermite矩阵使.于是则与具有相同的特征值.由知,故的特征值均为非负数,从而的特征值均为非负数.即. 性质3.4(1)与的特征多项式相等,即,从而与的特征值也相同(包括重数也一致). (2)多项式与相等,即. 推论3.4.1(1)与的特征多项式相等. (2)与的特征多项式相等. 证 因为,由性质3.4可知,所以. 同理可证. 推论3.4.2(1)与的特征多项式相等. (2)与的特征多项式相等. 证 (1)因为,.根据性质3.4知与的特征多项式相等,故与的特征多项式相等. 同理可证与的特征多项式相等. 性质3.5(1)矩阵与的秩相等,即秩=秩.特别地,秩=秩. (2)与的特征矩阵的秩相等,即秩=秩.特别地, 秩=秩. 性质3.6若,中有一个是可逆的,则与相似. 证 不妨设可逆,由知,与相似. 性质3.7(1)与同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵. (2). (3)与的迹相等,即. 性质3.8(1)不可能相似于. (2)对可逆矩阵,不可能有. 证 (1)因为,而(当时),由于相似矩阵的迹相等,所以不可能相似于非零矩阵. (2)若存在可逆矩阵,使则,于是,即与相似,从而这是不可能的. 性质3.9(1)设,同为(反)对称矩阵,则是对称矩阵,是反对称矩阵. (2)设,有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则是反对称矩阵,是对称矩阵. 推论3.9.1(1)设,同为实(反)对称矩阵,则的特征值的实部为零.(2)设,有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则的特征值的实部为零. 证 (1)由性质3.9(1)知是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯虚数,所以的特征值的实部为零.同理可证(2).参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)M.高等教育出版社，2003.2戴华.矩阵论M.北京:科学出版