（应用数学专业论文）关于二阶线性微分方程解的性质的研究.pdf

摘要 本文主要研究了复数域内二阶线性微分方程的复振荡及其解的增长性问 题 复振荡是研究微分方程在复平面内解的零点和极点的分布问题，对于不 同的微分方程其解的增长性是有区别的我们将对两类微分方程的复振荡问 题进行讨论本文共分三章： 第一章，引理与预备知识在这章中，我们简单介绍了本文的研究背景和值 分布理论与微分方程的复振荡理论的基础知识、基本概念和相关记号 第二章，一类二阶微分方程的复振荡在这章我们讨论微分方程，”+ a 。( z ) e “f ，+ ( a o e b z + a ：e c z ) ，= f ( z ) 解的性质，得到了两个结果：除去至多存在一个有穷级例 外解外，其余解都满足其零点收敛指数与其级相等且为无穷更进一步地，所 有无穷级解的二级零点收敛指数与超级相等且都等于1 。 第三章，另一类二阶微分方程解的增长性微分方程，”+ a ( z ) f ，+ b ( z ) ，= 0 ， 其解的增长性因a ( z ) ，b ( z ) 满足的条件不同而不同这章主要讨论了当a ( z ) ，b ( z ) 满足一定条件时，解的一些性质 关键词：微分方程；增长级；超级；零点收敛指数；整函数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t e dt h ec o m p l e xo s c i l l a t i o np r o p e r t i e so fs o l u t i o n sa n dt h eg r o w t h o fs o l u t i o n so fs e c o n do r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ec o m p l e xo s c i l l a t i o nm a i n l ys t u d i e st h ed i s t r i b u t i o no fz e r o sa n dp o l e so fd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n t h e r ea r ed i f f e r e n tg r o w t ho fs o l u t i o n sw i t ht h ed i f f e r e n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sd i s s e r - t a t i o n ，w ew i l li n v e s t i g a t et h ec o m p l e xo s c i l l a t i o np r o p e r t i e so ft w ok i n d sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sp a p e r c h a p t e ri ：i n t r o d u c t i o na n dp r e p a r a t i o nk n o w l e d g e t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ee x p o s i t i o n o ft h eb a s i ck n o w l e d g ea n dr e l a t e dn o t a t i o no fv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h er e s e a r c hs i t u a t i o n o ft h ec o m p l e xo s c i l l a t i o n c h a p t e ri i ：o nt h ec o m p l e xo s c i l l a t i o no fac e r t a i nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ed i s c u s s e dt h e e q u a t i o nf ”+ a 1 ( z ) e 8 。f + ( a o e k + a 2 e 。2 ) ，= f ( z ) a n dg o tt h ec o n c l u s i o n sa sf o l l o w s ：a tm o s t o n ee x c e p t i o n a ls o l u t i o nw i t hf i n i t eo r d e r ，b o t ht h ee x p o n e n to fc o n v e r g e n c eo fz e r oa n dt h eo r d e r o ft h eo t h e rs o l u t i o na r ei n f i n i t y f u r t h e r m o r et h es e c o n de x p o n e n to fc o n v e r g e n c eo fz e r o - s c q u e n c e a n dh y p e ro r d e ro fa l lt h es o l u t i o nw i t hi n f i n i t eo r d e ra r ee q u a lt o1 c h a p t e ri i h o nt h eg r o w t ho fs o l u t i o n so fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f o re q u a t i o n ，”+ a ( z ) 1 7 + b ( z ) f = o , t h e r ea r ed i f f e r e n tg r o w t ho fs o l u t i o n sw i t hd i f f e r e n ta ( 石) ，b ( z ) i nt h i s c h a p t e r ，w ec a ng e ts o m er e s u l t sw h e na ( z ) ，b ( z ) s a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；g r o w t h ；h y p e ro r d e r ；e x p o n e n to fc o n v e r g e n c eo fz e r o - s e q u e n c e ；e n t i r ef u n c t i o n i i 江西师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得江西师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期： 江西师范大学学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属江西师范大学。本人保证毕业离校 后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为江西师范大学。学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质舨；有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 第一章引言与预备知识 1 1 引言 微分方程复振荡理论是上世纪八十年代初兴起的边缘领域自从1 9 8 2 年由 s b a n k 和i l a i n e 在t r a n s a m e r m a t h s o c 1 发表研究的成果以来，复方程振荡理论 的研究进入了众多学者的视野，后来成为复分析研究的热门课题之一由于该 课题主要研究的是关于微分方程解的性质问题，从而使得其在理论与实际应 用中都是十分有意义的 上世纪，芬兰著名的数学家r n e v a n l i n n a 创立的亚纯函数值分布理论，成为现 代函数论的基础之一，它对数学的其它分支的研究也产生了重大的影响从上 世纪五十年代开始，德国数学家h w i t t i c h 及其学生应用n e v a n l i n n a 理论对常微分 方程理论进行了系统的研究，使得这一理论成为研究复域中常微分方程大范 围解析解的重要工具之一微分方程复振荡研究的主要工具还有w i m a n - v a l i r o n 理论，位势理论，渐近方法等我们都知道在复域上复线性微分方程的解在复 平面中零点或极点的分布问题就是所谓的复振荡问题，在复数域中拿来衡量 零点多少( 即振荡频率的大小) 的“指标”是零点序列收敛指数，复振荡的研究 主要集中在两类问题上，第类是研究方程解的零点收敛指数，第二类是研究 方程解的增长性 许多学者在此领域做了大量的研究在国外，有j k l a n g l e y 2 1 ，g g u n d e r s e n l 3 4 1 5 1 ， m ，f r e i l 6 1 ，o z a w a 【7 】等人。在国内，高仕安 8 1 1 9 1 1 1 0 1 首先研究了非齐次线性微分方程 ，”+ a ( z ) f = f ，当a ( z ) 为多项式系数时解的复振荡性质，得到了富有启始性 和启发性的结果后来，陈宗煊【1 1 l f l 2 】【1 3 】在这一领域内解决了二阶微分方程 ，+ a ( z ) ，7 + b ( 孑) ，= 0 和高阶微分方程的几个重要问题，并且对方程中系数分 别是多项式，有理函数，超越整函数及亚纯函数的线性微分方程解的复振荡性 质进行了研究，最近又成功地研究了周期函数和系数在单位圆内微分方程的 复振荡理论，得到了一系列深入和颇有意义的结果至今国内外仍有许多学者 在研究微分方程的复振荡性质因为方程中系数的不同会影响到解的性质的 变化，本文在假设系数满足一定的条件下研究了两类二阶微分方程的解的性 质，得到了一些相关的结果 1 2 预备知识 本文将用到n e v a n l i n n a 值分布理论的标准记号和相关定义，同时也用到 w i m a n v a l i r o n 理论中的相关知识为此我们叙述如下 江西师范大学硕士学位论文 定义1 1 1 1 1 4 1 设，( 名) 是复平面上的亚纯函数，令 r e ( r , ，) 去z 打1 0 9 + i f ( 矽) i d a , 其中m ( r ，f ) 也记为m ( r ，f ；o o ) ，是i ，( 石) l 的正对数在h = r 上的平均值 若f ( z ) 为非常数的整函数，则l i r am ( r ，f ) = 0 0 若，( z ) 为有极点的亚纯函数， 则m ( r ，f ) 可能有界也可能随r 增大趋于无穷 设，( 石) 是复平面上的一个亚纯函数，我们以n ( r ，) 和n ( r ，专) 分别表示，( 名) 在 圆h r 上的极点和零点的个数，重级极点和零点按重数计算，于是n ( o ，f ) 和 n ( o ， ) 则分别表示，( 石) 在石= 0 点处极点和零点的重数 定义1 1 2 1 1 4 1 设，( 名) 是复平面上的亚纯函数，令 ( r ，) ；厂 j o 7 死( ，f ) 一佗( o ，)出+ n ( o ，f ) l o g r n ( r , ) 是，( 孑) 的极点的密指量，( z ) 的极点越密，n ( r ，f ) 的增长越快n ( r ，) 也称为 是，( z ) 的极点的积分形式的计数函数 定义1 1 3 1 1 4 1 设，( 石) 是复平面上的亚纯函数，令 t ( r ，) = m ( r ，f ) + ( n ，) t ( r ，f ) 称为，( z ) 的特征函数，显然它是非负函数它与整函数的l o g m ( r ，) 有类 似的特征，t ( r ，) 是r 的非负非减函数 定理i 1 4 1 ( n e v a n l i r m a 第一基本定理) 设，( 名) 于川 冗( o o ) 内亚纯若口为任 一有穷复数，则对于0 r r 有 m ( n 丁i 1 ) + ( r ，万1 ) = t ( r ，) + l o g l c r i + e ( n ，r ) ， 其中c ，为币b 在原点t a y l o r 展式中第一个非零系数，而 i ( o ，r ) i l o g + 口i - 4 - l 0 9 2 定理h 1 4 ( n e v a n l i n n a 第- - 5 本定理) 设，( z ) 于川 r ( o o ) 内亚纯若，( o ) 0 ，1 ，o o ；，( o ) 0 ，则对于0 r r 有 t ( r ，) ( r ，) + ( r ，7 1 ) + ( r ，丁与) 一l ( r ) + s ( r ，) ， 其中 n l ( r ) = ( 2 n ( r ，) 一g ( r ，) ) 4 - n ( r ，去) ， 关于二阶线性微分方程解的性质的研究 以及 跳，) - m ( r 争嘶，南o g i 掣0 9 2 第二基本定理还有普通的形式，它是由c o l l i n g w o o d 和l i t t l e w o o d 推广n e v a n l i n n a 的结果而得到的下面叙述第二基本定理普通的形式如下： 定理i i i1 1 4 设，( z ) 于纠 0 ，( 1 l ，l v 2sq ) 若，( o ) 0 ，o o ；y ，( 0 ) 0 ，则对于0 r r 有 m ( r ，) + e m ( r ，钆) sz r ( r ，) 一n 1 ( r ) + s ( r ，) 这里1 ( r ) 与定理i i 的相同，而 跗，) = 嘶，芋) + m ( r ，三q 忑y , ) + q l o g + 警+ l 0 9 2 + l o g 丽1 定理【1 4 1 设函数，( 名) 于开平面超越亚纯，不蜕化为常数，则s ( r ，) 具有性 质： ( 1 ) 当，( 名) 为有穷级时，有 s ( r ，f ) = 0 0 0 9 r ) ， ( 2 ) 当f ( z ) 为有无穷级时，有 s ( r ，j f ) = o l o g ( r t ( r ，) ) ) 司就除去一个线 ! 1 1 9 反为有限的r 值集 定义1 1 4 设，( z ) 于开平面亚纯，定义其增长级为 矿( ，) 一：1 + i r a 。- l o g + l 。t g ( r r , f ) 在本文中以盯( ，) 记为，( 石) 的增长级，以a ( ，) 及天( ，) 分别记开平面上亚纯函 数，( z ) 的零点( 计及重数) 及不同零点( 不计及重数) 的收敛指数a ( 手) 表示，( 名) 的极点收敛指数o r 2 ( ，) 表示，( 石) 的超级，具体定义如下 观( ，) ：，1 - i - 鬲。- l o gl o l 。g g t r ( r , f ) r o ol o g r 如果，( z ) 为整函数，那么 盯2 ( ，) = ，l - 而。- l o g l o l 。g g t r ( r , f ) - = - ，- f i - - 五。- l o g l o g l l 。o g g r m ( r , f ) 江西师范大学硕士学位论文 定义1 1 5 【1 4 1 假设f ( z ) 为亚纯函数，定义冥零点收敛指数入( ，) 和二级零点 收敛指数a 。( ，) i 不同二级零点收敛指数页：( ，) 分别 w ) ：甄警 = 甄掣 w ) ：甄l i m 掣，x 2 ( f ) ：_ _ 竺器下l o g l o g n ( r , ) ) 定义1 1 6 1 1 5 ) 设，( z ) = o 。扩为整函数，则对给定的r ，称 p ( r ) ：m a x ( i o ：n i ) ( n o ) 为，( z ) 的最大项，称( r ) = m a x m ：p ( r ) = l a , 。r m l 为f ( o 的中心指标 当r ：0 时，定义( o ) = p ，其中是，( 石) 的t a y l o r 展式中第一个非零系数 定理v1 1 5 1 设，( 石) 是非常数盯级整函数，则 叮( ，) = ，l - 1 - 盂。- l o g l l 。o g g r p ( r ) = ，。l o l g 。g v ( r r ) 4 第二章一类二阶微分方程的复振荡性质 2 1 引言与结果 m f r e i 在文献f 6 】中研究了一类二阶微分方程的解的性质，得到如下结果 定理a 1 6 1 假设c ( o ) 是复常数，如果方程 p 七e - z f l4 - c f ：0 具有有限级非零解，那么c = 一k 2 ，其中k 是一个正整数反过来，对每个正整数 k ，以上方程( 其中c = 一k 2 ) 具有关于e ：的k 次多项式解， 2 0 0 1 年，陈宗煊在文【1 6 】中研究了一类更广泛的二阶微分方程解的性质证 明了下面的定理 定理b 1 6 假设a j ( 石) ( o ) 0 = 0 ，1 ) 是整函数，且盯( 岛) 1 ) ，那么方程 ，+ a l ( 石) e “f 7 + 山( 石) e 6 2 ，= 0 的所有非零解具有无穷级 定理d 1 6 l 假设a j ( z ) ( o ) ，d j ( z ) ( j = 0 ，1 ) 是整函数且a ( a j ) 1 ，盯( 功) 1 ，o ，b 是 非零复常数，满足a b 0 和a r g a a r g b 或口= c b ( o c 1 ) ，那么方程 ，”+ ( a l ( z ) e “4 - d a ) 74 - ( 4 0 ( z ) e k4 - d o ) f = 0 的所有非零解具有无穷级 定理b 和定理c 大大推广和完善了m f r e i 的相关结果2 0 0 6 年，程涛又将定 理b 所述方程中的系数推广为两个超越函数之和的形式，得到以下结果 定理d l 1 7 假设a t ( 名) ( o ) 是整函数，且盯( a ) 1 d ；0 ，1 ，2 ) ，口，b ，c 是非零复常 数，满足j a l m a x i b l ，i c l ) ，那么方程 ，”4 - a l ( 孑) 矿2 ，7 + ( a o ( z ) e k + a 2 ( 石) e c 2 ) ，= 0 的所有非零解具有无穷级当a r g a ，a r g b ，a r g c 不全相等或l a l m a x i b l ，i c l 时，方程 的每个非零解有眈( ，) ；1 。 对于齐次线性微分方程的解有以上结果那么我们考虑其相应非齐次线性 微分方程，+ a 1 ( 石) e 。：，7 + ( a o ( 名) e 6 = 4 - a 2 ( 。) e c z ) ，= f ，其解的性质如何呢? 本章主要 研究这个问题，得到下列结果 5 江西师范大学硕士学位论文 定理2 1 假设a jc 0 ( - 0 ) 是整函数且o ( a j ) 1 u = o ，1 ，2 ) ，a ，b ，c 是非零复常数， 满足l a l m a x i b l ，t e l ，f ( z ) 0 是整函数，且仃( f ) 1 ) ，f ( z ) 0 且口( f ) o o ，那么至多除去两个例外复 数口及一个有穷级解而( z ) 外，方程( 2 1 ) 其余所有无穷级解，( z ) 都有 兄( ，) = a 2 ( f ) = c r 2 ( ，) = 1 2 2引理 定理2 1 和定理2 2 的证明需要用到下面的引理 引理2 1 1 8 1 设a ( 名) ，b ( o ，f ( z ) 均是有穷级整函数，则方程 | “+ a ( z ) f 1 + b ( o i = f ( z 、) 的所有无穷级解具有性质 ( i ) x ( f ) = a ( ，) = 盯( ，) = o o ( t t ) _ 2 ( ，) = a ：( ，) = a 2 ( f ) o r = m a x a ( a ) ，盯) ， 引理2 2 1 1 7 1 设，( z ) 是超越整函数，( r ) 为，( z ) 的中心指标，6 是常数满2 = 0 5 m ( r ，) ( r ) 一；十d 的点，则除去对数测度为有限的r 值 集e 1 外，有 桨：i 掣i j ( 1 + 仍( 石) ) ， 了万2l 丁十仍例 其中刀j ( 石) = d ( ( r ) 一 + 6 ) ，歹n 引理2 3 1 1 8 1 设，( z ) 是无穷级整函数，具有超级1 7 2 ( f ) = 盯 o 有 e x p r ”5 ， c l e x p ( e 2 r 1 ) 其中c ，c 2 是正常数 引理2 5 1 6 假设p ( 石) = ( a + 溯矿+ ( n ，p 是实数，+ 例o ) 是多项式且次 数n 1 ，a ( 石) ( 0 ) 是整函数，且盯( 4 ) 0 ，存在集合e 4c 【1 ，o o ) ，具有有穷对数测度l m e 4 0 ，那么 e x p ( ( 1 0 6 ( p , o ) r “ l ，( r e i 9 ) i e x p ( 1 + ) 6 ( p io ) r “) ( i i ) 如果6 ( p p ) 0 ，那么 e x p ( 1 + 0 6 ( p , o ) r “， l f ( r e i 9 ) l e x p ( 1 一e ) 6 ( p io ) r “) 引理2 6 1 6 设f ( o 是整函数，且矿( ，) ；仃 0 ，存 在一集合e 。ci x , o o ) ，e 。具有有限线测度和有限对数测度，使得对于所有满足 川= r 隹【0 ，1 】ue l 的z ，有 e x p ( 一r 4 + 5 ) i f ( o i e x p ( r 4 帖) 2 3 定理及其证明 2 3 1 定理2 1 的证明 ( i ) 假设f o 为( 2 1 ) 的有限级解，若方程还存在另外一个有限级解f l ，f o ， 那么 一 是( 2 1 ) 式对应的齐次方程的非零解，再由定理d 可知盯( ，0 一 ) = 另一方面，由于o ，。均为有限级，从而盯( ，o f x ) o o ，从而产生矛盾故( 2 1 ) 至 7 江西师范大学硕士学位论文 多有一个可能的有穷级例外解，再由引理2 1 的( i ) 可知对于每个非零无穷级解 都有x ( ，) ；a ( f ) = 盯( ，) = o o ( i i ) 如果方程( 2 i ) 存在( i ) 中的有限级例外解t o ，则由方程( 2 1 ) 可得 去= 畿+ a l e a z t o + ( a 。e b z a 2 ：z ) ( 2 2 ) 如果f o 在点z o 有大于2 的k 阶零点，则f 一定在z o 有惫一2 阶零点，从而 嘶，去) 嘶，扣嘶，务 及 ( r ，去) 2 丙( r ，去) + ( r ，i 1 ) + d ( 1 ) ( 2 3 ) 又由于，0 是有限级整函数，由对数导数引理可得 f ( j ) m ( r ，譬) = 0 0 0 9 r ) ( r 暮e ，歹= 0 ，1 ，2 ) ( 2 4 ) 其中e 为一有穷测度的r 值集，由( 2 2 ) ，( 2 4 ) 可得 r e ( r , 去) 仇( r ，i 1 ) + m ( r , a o ) + r a ( r , a a ) + m ( n a 2 ) + o ( 1 0 9 r ) ，( r 簪e ) ( 2 5 ) 再由( 2 3 ) ( 2 5 ) 可知， t ( r ，f o ) = t ( r ，去) + d ( 1 ) 2 n ( r ，去) + t ( r ，f ) + m ( r ，a j ) + d ( 1 0 9 r ) ， ( r 譬e , j = o ，1 1 2 ) o ” i = o 由于o r ( a j ) 0 有 t ( r ，f ) ，扣，t ( r ，鸟) r 9 如，d = 0 ，1 ，2 ) 因此t ( r ，f 0 ) 2 n ( r ，1 f o ) + 5 r ，如 即o r ( f o ) m a x a ( f o ) ，) m a x a ( f o ) ，o r ( f ) ，o r ( a o ) ，o ( a 1 ) ，o r ( a 2 ) ) 2 3 2定理2 2 的证明 由定理2 1 知，至多除去一个有穷级例外解o 外，方程( 2 1 ) 的所有解满足 页( ，) ；入( ，) = o r ( f ) = 0 0 ，由于o ( a 1 e 。：) = o r ( a o e b z + a 2 e c z ) = 1 和引理2 1 的( i i ) 可知 x 2 ( i ) = x 2 ( f ) = c r 2 ( ，) 1 现断言盯2 ( ，) = 1 否则设o r 2 ( f ) ；q ，( o 口 1 ) 8 关于二阶线性微分方程解的性质的研究 由引理2 2 有 帮= ( 掣) j ( 1 俐) d _ 1 2 ) 其中h = r 【o ，1 】ue a ，l i n e o ，对充分大的仇有 1 i m l o ：_ g u ( 一r k ) ：o o + 。l o g r k e x p r 2 _ ) u ( r k ) e x p r ：帖) 对上述6 1 0 ，由已知可令口= r o 并使一o o4 - 考有 、 6 ( a z ，o o ) = r o ( c o s ( o + o o ) ) = 巧0 下列分为两神情形证明：( i ) 6 0 情形( i ) 6 0 由于l i m0 k = 0 0 , 则当k 充分大时，有 r 6 ( 酩，o k ) = 民 0 ，6 ( k ，o k ) = 氏 1 ) ，6 ( 凹，o k ) = 以 1 ) t l2 假设z z = m a x 1 ，z 2 ) ( z l = m a x 。，z 2 ) 同理可以证明) 由( 2 1 ) 可得： l e - “争i 删弘- c ) 2 争i a o ( 石) e c b - c ) z im i | + i e i 一鬻1 将( 2 6 ) ，( 2 7 ) 代入上式得 e - - c z l e x p 2 r 暑一8 ) 町2 ( 1 + 0 0 ) ) i a l ( z ) e ( 4 一。) 2 l e x p r 善+ 5 ) r i l ( 1 + d ( 1 ) ) + i a o ( 石) e c b - - e ) z i 讹i m i 一| j 鬻i 对上式自t j f ( z ) ，a l e ( 。一c ) 2 与4 0 e ( b c 扣，a 2 ( 石) 分别应用引理2 4 ，引理2 5 和引理2 6 得 e x p ( 1 一g ) ( 一氏) 仡) e x p ( 2 咤1 ) r i 2 ( 1 + o ( 1 ) ) t 2 s e x p ( 1 一) ( 1 一丢) 靠仇，e x p ( r 2 + 5 ) r i l ( 1 + 。( 1 ) ) 4 - e x p ( 1 一e ) ( 丢一丢) 以仉) 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 江西师范大学硕士学位论文 + e x p ( ) + 去e x p ( 1 州( 一丢) 船t ) e x 咖k 1 扣陋h 5 一c 2 r ；) e x p ( 1 一) ( 1 一云1 ) 靠氏) e x p ( r 箸托) r i l ( 1 + 。( 1 ) ) + e x p o s ) ( 砉1 一专) 以几，2 - z + e x ) + 石1 e x p 卜c 2 他( 1 + 。( 1 ) ) k 其中p o 及口- t - e 2 + ( p ) 可知上式不成立 情形( i i ) 6 0 同样由于规民= a o , 贝j j 当七充分大时，有 5 ( a z , 巩) = 氏 o ，5 ( b z ，巩) 5 寺以 o ( 2 1 o ) ，6 ( c z ，巩) 。竞氏 o ( 。2 o ) 12 由( 2 1 ) 可知 一了f t = e 砀f u + 丝铲一丽f o ) 1 钟砺e - a z 了f 掣- 4 ) j 秘刊 j 砺e - a z 而f ( z ) i 将( 2 6 ) ( 2 7 ) 代入上式，并结合引理2 4 和引理2 5 ，对任意 2 + 盯( p ) ，l ； m a x ( l ，1 2 和充分大的七得： 掣( 1 + d ( 1 ) ) e x p ( 哟e x p ( 1 叫( 圳飞) 掣( 1 + d ( 1 ) ) + e x p ( 2 ) ( e x p ( ( b d ) z ) + e x p ( ( c 一口) 力) + 去e x p ( 1 一e ) ( 一氏) 巩】e x p r ：+ 9 f 和一c 2 r z ) e x p ( ) _ e x p ( 1 一) ( 一民) r k ，啄p ( 2 r 暑一5 ) r i - 2 ( 1 + 。( 1 ) ) + 2 e x p ( 2 r g ) e x p ( 1 一) ( ；一1 ) 靠， + l c ，e x p ( 埋) e x p 一c 2 r k ( 1 + 。( 1 ) ) ) ， 其中 o ，口+ e 1 ， 1 上式表明m ) 一o ( 仇一o o ) 这与熙群= o o 矛盾所以断言是正确的 1 0 第三章一类二阶微分方程解的增长性 3 1 引言与结论 j k l a n g l e y 在1 9 8 6 年研究了一类多项式系数的二阶线性微分方程解的性质， 得到下面的结果 定理e 1 2 假设q ( 名) 是非常数多项式，d 是非零常数，那么方程 + d f z i ? 4 - q ( z ) f ；0 的所有非零解具有无穷级 后来，g u n d e r s e n 在1 9 8 8 年又研究了证明了q ( z ) 是超越整函数的情况 定理f 1 3 假设q ( 石) 是超越整函数，且级盯( q ) 1 , d 为非零常数，那么方程 ，”+ d e 一2 ，74 - q ( 名) ，= 0 的每个非零解具有无穷级 在定理e 中，当盯( q ( 名) ) = 1 时，上面方程可能会有有限级解例如当q ( 名) ； 一( 1 + 酽) 时，有a ( q ) = 1 ，此时方程，”4 - e - z f 7 一( 14 - e z ) ，= 0 具有有限级解，( z ) = e 2 ki - ik w o n 在1 9 9 6 年研究了比定理a ，定理b 更一般形式的二阶微分方程解 的性质得到以下结果 定理g 1 1 9 1 假设p ( 石) = 矿4 - ，q ( 石) = b z n4 - k o ) 是非常数多项式，满 足口r 9 a r g b u 或a n = c b n ( o c 1 ) ，h l ( 名) 或h o ( z ) 0 是整函数且a ( h s ) 竹= 0 ，1 ) ， 那么方程 ，”十h i ( z ) e p ( 。) ，74 - h o ( z ) e q ( 2 ，= 0 的每个非零解，有无穷级解且a 2 ( f ) 佗 在定理g 的齐次微分方程中要求c 满足0 1 ) a s ( 名) ( 0 ) 是整函数且仃( a s ) 佗= 0 ，1 ) ，那么方程 ，7 7 + a 1 ( 名) e p ( 2 ，74 - a o ( 名) e q ( 。) ，= 0 ( 3 1 ) 的所有非零解具有无穷级 定理3 2 假设p 1 ( z ) = 石n + ，p 2 ( 石) = k 矿4 - ，p 3 ( z ) = 厶扩+ 是首项 系数不为零的非常数多项式，4 ( z ) ( o ) 是整函数且o ( a j ) 佗d = 1 ，2 ，3 ) ，满足 江西师范大学硕士学位论文 l i m a x i b 。l ，i d i ) ，那么方程 ，+ a 1 ( 名) e p l ( 2 ) ，+ ( a 2 ( 名) e p 2 ( 2 + a 3 ( z ) e p 3 ( 2 ) ，= 0( 3 2 ) 的所有非零解具有无穷级进一步，当a r g a n ，a r g b , 、，a r g d n 不全相等且l 0 是一给定常数，那么 ( i ) 存在一线测度为有限的集合e 1c 【o ，2 7 r ) ，如果妒i o ，2 7 r ) e l ，那么存在常数 凡= ( 垆) ，使得对所有满足a r g z = i p 和2r o 1 的石以及对所有( 七，j ) h ，有 i f _ r ( 。k ) l ( 纠z ) l 纠( 删口一1 _ ( i i ) 存在一集合易c 【1 ，o o ) 有有限对数测度，使得对所有满足簪e 2 u 1 0 ，1 】的 石，及对所有的( 七，j ) h ，有 if ，( 。k ) 【( 名z ，) i 纠( 删口一1 _ ( i i i ) 存在一集合e ac 【o ，o o ) 有有限线测度，使得对所有满足h e 3 的z 和对 所有的( j c ，歹) h ，有 i 船酬忙刊扣扣) 引理3 3 1 1 假设，( 。) 是无穷级整函数且超级观( ，) = 口，( r ) 是，( z ) 的中心指 标，那么 一l i ml o g 1 0 9v ( r ) ：仉 7 + o l o g r 引理3 4 1 1 6 1 假设a ( 名) ，b ( z ) 均是有穷级整函数，如果，( 。) 是方程 ，”+ a ( z ) ，7 + b ( z ) = 0 的解。那么有 c r 2 ( ，) m a x a ( a ) ，盯( b ) ， 引理3 5 2 0 设，( 石) 在区域 d = 名：口 a r g z 卢，r 0 0 ，使得在d 内 当h r l g ) 时， i ，( 名) i 1 ，e o 是给定的常数，则有 ( i ) 存在一常数c 0 和集合助c 【o ，2 丌) ，m 肠= o 使得如果如【o ，2 r ) e 4 ，那么有 一常数凰：风( 如) o ，使得对于所有满足盯舻= 西o - f i l z l = r 凰的石有 i 帮l o 和集合既ci o ，。o ) ，有限线测度，使得对于所有z 满足且h = r e s 有 i 帮i c ( 嘶，) 栩蜊州矿七 3 3 定理及其证明 3 3 1 定理3 1 的证明 假设，( z ) 是( 3 1 ) 式的超越解且仃( ，) = 盯 o o ，由引理3 2 知，对于任给定的 ( o 0 ，存在线测度为零的集合e 4cf 0 ，2 丌) ，对任意0 【o ，2 , 0 陬u 岛j ，尾= 俐口【o ，2 7 r ) ，6 ( 尸( 石) ，p ) = o ) 是有限集，存在r 1 0 使得对于 h ；r r l 有， ( 1 ) 如果d ( p 0 ，那么 i a l ( r e 坩) e p ( 。) i e x p ( 1 一e ) 5 ( 尸i 秽) r ”) ，i a o ( r 9 ) e q ( 2 ise x p ( 1 + ) 兰巧( p ，口) r “，( 3 5 ) 下面取0 f o ，2 丌) 【e 1u 肠u 历1 ，其中e 1u 蜀u 磊的线测度为零，那么0 满足 占( p ( z ) ，0 ) 0 分两种情形证明： 情形一：当6 ( p ( z ) ，p ) r 膏( 1 + o ( 1 ) ) + e x p ( 1 一) 妄巧( p 一) r 2 ) ( 1 + d ( 1 ) ) 一0 上式是一个矛盾不等式 因此在a r g z 一0 上存在某一常数尬，使得 i ，( r ) i m 1 ( 3 8 ) 取积分路线r = t ：a r g t = 口，0 i t lsi z l ，由i f ( z ) = i f ( o ) + 后f ( z ) d t 及( 3 8 ) ，当 h 充分大时，得到 i ，( r ) i m 2 1 2 1 ( 3 9 ) 其中m 2 是常数类似地，在射线a r g z = 0 ，上i f ( r e l 9 ) l m i z l 2 ( m 0 是常数1 情形二：如果6 ( p ( 石) ，口) 0 ，那么6 ( q ( 名) ，p ) = j 6 ( p ( 石) ，一) 0 由( 1