（系统理论专业论文）模糊半环上的模糊半模范畴.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本文主要从范畴角度研究模糊半环上的模糊半模( 即露一半模) 首先提出 露一半模范畴的定义( 即露一s m o d ) ，讨论了该范畴中若干特殊态射之间的关 系，并给出该范畴中几种特殊极限与余极限，其次给出了爵一半模正和列的定 义并讨论了它的一些性质，最后研究了一般模糊半模的模糊本质子半模 第一章中提出露一半模及目一半模范畴的定义( 即露一s m o d ) ，并得到 三个重要结论： 定理1 ，2 存在r s r o o d 到霹- s r o o d 上的反变函子， 定理1 3 存在r s m o d 到露一s m o d 上的共变函子 定理1 4 目一s m o d 是一个半加法范畴 第二章中给出砰一s m o d 中单同态、满同态、双同态、截面态射、收缩态 射、同构态射、单同态、满同态、双同态等特殊态射的定义，并讨论了它们与 r s m o d 中相应态射的关系及它们之间的关系，最后得到如下一个重要结论： 定理2 1 设m 是一个r 一半模，“s a ( m ) ，7 e n d ( u ，“) ，则 1 ) 7 是单同态，群满足降链条件j 歹是双同态； 2 ) f f 为稳定的，“满足升链条件j 7 是双同态， 第三章中给出掣一s r o o d 中积、余积、零对象、等化子、余等化子、推出 与拉回的定义并讨论了它们各自的存在性 第四章中结合文【1 5 中半模正合列( 复合列) 以及半模短正和列的定义，首先 给出露一半模正和列( 复合列) 以及露一半模短正和列的定义，并得到了露一 半模五引理，露一半模三引理，露一半模蛇形图定理以及h o m 函子保左复合 性等如下几个重要的定理： 定理4 1 ( 露一半模五引理) 设有露- s t o o d 中的行正合交换图1 6 ， 聊城大学硕士学位论文 1 ) 乏，石为满同态，为单同态，j t t 3 ( m 3 ) 茭1 n 3 的可减子半模，则舌为满同念； 2 ) ，i 为单同态，百为满同态，且m ，3 都为可消半模，则为单同态； 3 ) ，i 为双同态，亏为单同态，百为满同态，j t t 3 ( m 3 ) 为3 的可减子半模， m ，3 都为可消半模，则为单同态特别地，若“m 及v m ，i = 1 , 2 都为巧一 模，则可得霹一模五引理 “0 _ + “盖：“玉- “刍。+ “二， 上上乏ppp v k + v ；：3 ，v 4 - ， 定理4 2 ( 爵一半模三引理) 设有露一s m o d 中行正合交换图1 7 ， 1 ) 乏，五为满同态，j | - t 3 ( n ) 为n 的可减子半模，则为满同态； 2 ) 乏，石为单同态，且和n 为可消半模，则亏为单同态； 3 ) 夏，i 为双同态， l t ，( ) 为的可减子半模，且和为可消半模，则i 为 单同态： o _ 卜“ 厂w e 卜o 上瓦j r 瓦j r i 0 “0 一卜喝，以0 图1 7 推g e ( g o m 函子保左复合性) 设g 一半模同态序列 _ _ ) g l 。i - i 山“屿“乩斗 为复合列，则v q ，f 一半模，有 h o m ( v r ，“z ，) 墅虹止吐斗h o m ( ，砧_ ：f ，) 也虹丑一h o m ( 珊，甜i + 1 。) 一 在h o m 研r ，“。i ，) 处复合 i i 聊城大学硕士学位论文 第五章中给出三一模糊本质子半模的定义并讨论了它的一些性质，得到如下 几个重要的结论： 定理5 1设工是广义正则的“，v ( m ) ，1 ，g 且v 正上) a 则v ：u 当且 仅当v x m ，工o ，若“( 石) 口，则3 r r 使得肛0 1 t v ( r x ) 0 定理5 2 设町，v ，“三( m ) ，叩v “，则叩；”当且仅当r l ：v 且v ；“ 定理5 3 设v 1 ，v 2 ，“l ，“2 上( 肘) ，且v i ：1 , 1 1v 2 ! u 2 则v 1n v 2 ：“ln “2 定理5 4 设f ：m n 是半模同态，“上( m ) ，v ，叩三( ) 且厂 ) v 若 叩：v ，贝0 厂。( 7 7 ) ：u 定理5 8 设是广义正则的，“，v ，r l ，w e ( m ) ，r l f 3 w = 1 ，叩；“，w c ：1 ，则 1 1 0 w 互；u o v 关键词：露一半模，露一半模范畴，半加法范畴，积，余积，零对象， 等化子，余等化子，推出，拉回，昭一半模复合列，巧一半模正合列，模 糊本质子半模 i l l 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ef u z z ys e m i m o d u l e so v e raf u z z ys e m i r i n g ( t h a t i sf ：一s e m i m o d u l e s ) b yt h e c a t e g o r yt h e o r y f i r s tw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t s o t f ：一s e m i m o d u l e s a n dt h e c a t e g o r y o f f ：一s e m i m o d u l e s ( t h a t i sf i - s t o o d ) ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e ns e v e r a ls p e c i a lh o m o m o r p h i s m si n f ：一s m o d , t h e n w e g i v e s e v e r a l s p e c i a l l i m i t sa n dc o l i m i t s i n f ：一s m o d f i n a l l yw ed i s c u s st h ee x a c ts e q u e n c e so ff ：- s e m i m o d u l e sa n dt h e f u z z ye s s e n t i a ls u b s e m i m o d u l e s ，a l s ow e 百v et h ep r o p e r t i e so f t h ee x a c ts e q u e n c e so f f i - s e m i m o d u l e sa n dt h ef u z z ye s s e n t i a ls u b s e m i m o d u l e s i n c h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so ff ：一s e m i m o d u l e sa n dt h e c a t e g o r yo ff ：一s e m i m o d u l e s ( t h a t i sf ：- s m o d ) , a n d g e t t h r e e i m p o r t a n t c o n c l u s i o n s ： t h e or e m l 2t h e r ee x i s t sac o n t r a v a r i a n tf u n c t e rf r 0 1 1 1 r s m o d t o f ：一s m o d t h e o r e m l 3t h e r ee x i s t sa c o v a r i a n t f u n c t e r f i o m r - s m o d t o f ：- s m o d t h e o r e m l 4f ：一sr o o di sa ns e m i a d d i t i v ec a t e g o r y i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f i n j e c t i o n , s u 巧e c t i o n ，b i j e c t i o n ， s e c t i o n m o r p h i s m ，r e t r a c t i o nm o r p h i s m ，i s o m o r p h i s m ，m o n o m o r p h i s m ，e p i m o r p h i s m a n db i m o r p h i s mi nf ：- sm o d ，a l s ow ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m f i n a l l y w eg e tt h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tc o n c l u s i o n t h e o r e m 2 1l e t m b ea n r s e m i d u l e ，“s a ( m ) ，7 e n d ( u ，“) ，t h e n 1 ) f i s a n i n j e c t i o n “s a t i s f i e s t h e d e s e n d i n gc o n d i t i o nj f i s b i j e c t i o n ； 2 ) s t i sas u r j e c t i o na n d f i ss t e a d y , u s a t i s f i e st h ea s c e n d i n gc o n d i t i o n f i s 聊城大学硕士学位论文 i n c h a p t e rt h r e e ，w e i n t r o d u c et h ec o n c e p t so fp r o d u c t s ，c o p r o d u e t s ，z e r o o b j e c t s ，e q u a l i z e s ，c o e q u l i z e r s , p u l l b a e ka n dp u s h o u ti nf ：- sm o d ，a l s ow ed i s c u s s t h ep r o p e r t yo f t h e i re x i s t e n c e i nc h a p t e rf o u r , b yt h ed e f m i t i o n so fe x a c ts e q u e n c e s ( c o m p o s i t i o ns e q u e n c e s ) a n d t h es h o r te x a c ts e q u e n c e so f s e m i m o d u l e sg i v e n b y g o l i a n i n 1 5 】，w e i n t r o d u c e t h ed e f i n i t i o n so ft h ee x a c ts e q u e n c e s ( c o m p o s i t i o ns e q u e n c e ) a n dt h es h o r te x a c t s e q u e n c e s i n f ：一s e m i m o d u l e s ，f i n a l l y w e g e t s e v e r a l i m p o r t a n t t h e o r e m s ：f i s e m i m o d u l ef i v el e m m a , f i - s e m i m o d u l e t h r e el e m m a ，t h e o r e m 吱f i s e m i m o d t d es n a k ed i a g r a ma n dh o m f i m e t e rp r e s e r v e sl e f tc o m p o s i t i o n t h e o r e m 4 1 ( 只一s e m i m o d u l e f i v e l e m m a ) l e tt h ed i a g r a m 1 6 b e c o m m u n a t i v ea n dh a se x a c tr o w s ， 1 ) r f ，五a r es u r j e c t i o n s ，亏i s a n i n j e c t i o n ，a n d t 3 ( m 3 ) i sas u b t r a c t i v es e m i m o d u l e o f 3 ，t h e n i sa ns u j j e c t i o n ； 2 ) i f 乏，五 a r ei n j e c t i o n s ，ii sa ns u r j e c t i o n ，a n dm 3 ，ma r eb o t hc a n c e l a b l e s e m i m o d u l e s ，t h e n i sa ni n j e c t i o n ； 3 ) i f 乏，五a r eb i j e c t i o n s ，亏i sa ni n j e c t i o n ，百i sa ns u r j e e f i o n ，a n d t 3 ( m 3 ) i sa s u b t r a c t i v es e m i m o d u l eo f 3 ，m 3 ，3a r eb o t hc a n c e l a b l es e m i m o d u l e s ，t h e n 百i sa i n j e c t i o n ；e s p e s i a l l y , i f u t m ja n d v in ji = 1 , 2 34 5a r eb o t hf i - - m o d u l e s ，t h e nw ec a n g e t 露一m o d u l e sf i v el e m m a “0 斗“刍：- “玉f _ l “刍+ “二， 上j r 乏p p p v + 嵋：+ 嵋，+ 嵋， v 聊城大学硕士学位论文 d i g r a m l6 t h e o r e m 4 2 ( 霹一s e m i m o d u l et h r e el e m m a ) l e tt h ed i a g r a m1 7 b e e o m m u n a t i v ea n dh a se x a c tr o w s ， 1 ) i f ，五a r es i l l j e c t i o n s ，a n d t 3 ( n ) i s as u b t m c f i v es e m i m o d u l e o fn ，t h e n i i s as u r j e e t l o n ； 2 ) 乏，i a r ei n j e c t i o n s ，na n dn a r eb o t hc a n c e l a b l es e m i m o d u l e s , t h e ni sa l l i n j e c t i o n ； 3 ) 乏，ia r e b 日e c f i n s ，a n d t 3 ( n ) i sas u b t r a c t i v es e m i m o d u l eo fn ，n a n d n a r e b o t hc a n c e l a b l es e m i m o d u l e s ，t h e n 乏i sa b i j e c t i o n ； 0 斗u 厂v 斗w p 斗o i l l 1 屯i 岛l 中 0 “厶r ，嵋，0 d l a g r a m i7 c o r o l l e r y ( h o m f i m c t e rp r e s e r v e l e f t c o m p o s i t i o n ) i ft h es e q u e n c e so f f ：- h o m o m o r p h i s m s 斗二：。山“0 。屿“0 ：。斗 i sac o m p o s i t i o ns e q u e n c e ，t h e n v q r o b ( f f - s m o d ) ，t h es e q u e n c e 呻h o r n ( r r ，“i - ! 。) 墅虹五l h o m ( ，“0 ) 墅血二立呻h o m 研r ，噬。) _ i sc o m p o s i t i v ea t h o r n ( r r ，u m l ，) i nc h a p t e rf i v e ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p t so ff u z z ys e m i m o d u l e sa n df u z z y e s s e n t i a ls e m i m o d u l e s ，t h e nd i s c u s st h e i rp r o p e r t i e sa n dg e tt h ef o l l o w i n gi m p o r t a n t c o n c l u s i o n s ： t h e o r e m 5 1l e tli s g e n e r a ln o r m a l ，甜，y 三( ，) ，v a n dv 芒三( ，) 目，t h e n v ! u 铮v 工m ，工o , i f u ( x ) 口，t h e n 3 r rs u c h t h a tr x 0a n dv ( r x ) 目， v i 聊城大学硕士学位论文 t h e o r e m 5 2 l 启t r l ，v ，“三( m ) ，叩v “，t h e n l 7 ；u 铮，7 ；v a n d v ：“ t h e o r e m 5 3 l e t v l ，v 2 ，u t ，u 2 上( m ) ，a n d v l ：“l ，v 2 ：u 2 ，t h e n v l n 叱；蚝n “2 t h e o r e m 5 4m f ：m 哼n i sa l ls e m i m o d u l eh o m o m o r p h i s m ，“l ( m ) ， v , r l l ( n ) a n d f ( u ) v t h e n q ；y 厂。( 叩) ；u t h e o r e m 5 8l e t l i sg e n e r a l n o r m a l ，”，v ，7 ，w 上( 。 f ) ，r r 、w = l o ，叩e 三；“， w c ；v , t h e n 叩o w ；卯o v k e y w o r d s lf ：一s e m i m o d u l e s ，f ：一s e m i m o d u l ec a t e g o r y , s e m i a d d i t i v e c a t e g o r y , p r o d u c t s ，c o p r o d u c t s ，z e r oo b j e c t s ，e q u a l i s e r s ，c o e q u a l i s e r s ，p u l l - b a c k p u s h o u t ，c o m p u s i t i o ns e q u e n c e s o f f ：一s e m i m o d u l e s ，e x a c t s e q u e n c eo ff ；一s e m i m o d u l e s ，s h o r te x a c ts e q u e n c e so ff ：一s e m i m o d - u l e s ，f u z z ye s s e n t i a ls u b s e m i m o d u l e s 聊城大学硕士学位论文 刖吾 自1 9 6 5 年美国加利福尼亚大学z a d e h 教授在文 1 】当中首次提出模糊集的概 念以来，在世界各国模糊数学工作者的共同努力下，模糊数学这一新兴领域在理 论研究及应用两方面都取得了长足进展，模糊代数作为模糊数学的重要研究分支 是由r o s e n f e l d 提出1 9 7 1 年r o s e n f e l d 在文 2 冲首次将模糊集的概念引入代数 学中并提出了模糊群的概念，从而开创了模糊代数学研究的先河至今，模糊代数 已形成模糊群、模糊环、模糊模、昭一模、模糊半群、模糊半环、模糊代数、 模糊g a l i o s 理论、模糊线性空间等许多模糊代数分支，其中m o r d e s o n 的专著 3 ，g o l a n 的专著 4 】及以及许多学者的论文 5 1 4 系统地总结了这方面的工作，但 与这些丰硕的理论成果相比，模糊半模，特别是模糊半环上的模糊半模理论成果 却相对逊色很多，而且关于模糊半模的研究并未与模糊半环结合起来，进而也就 无法从外部刻划模糊半环，当然失去了模糊半模最重要的研究价值，这使得模糊 半环上的模糊半模成为模糊代数领域的研究空白，这并不是模糊半环上的模糊半 模的研究不重要，主要是因为半模与半环的特殊结构使得其被研究起来要比模论 复杂得多事实上半模的基础结构是含幺交换半群，而它的“系数”部分是半环，而 交换半群与半环不具备交换群与环的许多漂亮性质，所以模论的研究方法无法在 半模当中实现，更何况将模糊半环与模糊半模结合在一起，这就会给模糊半环上 的模糊半模的研究带来诸多困难我认为随着半环与半模理论在分析学、拓扑 学、图论、语言和自动机等领域的广泛应用，模糊半环上的模糊半模理论的研究 不仅具有重要的理论意义，也必将在应用方面大显身手 本文主要从范畴角度研究模糊半环上的模糊半模( 即露一半模) 首先提出 露一半模范畴的定义( 即日一s m o d ) ，讨论了该范畴中若干特殊态射之间的关 系，并给出该范畴中几种特殊极限与余极限，其次给出了啄一半模正和列的定 义并讨论了它的一些性质，最后研究了一般模糊半模的模糊本质子半模 本论文进一步拓宽了模糊代数学的研究领域，具有重要的理论价值和研究意 义 聊城大学硕士学位论文 1 露一半模范畴 定义1 1 设r 为含幺半环，称映射a ：r 一【0 ，1 是r 上的模糊半环，若a 满 足： v ，l ，_ r ，有 1 ) 4 ( ，1 + r 2 ) a ( r 1 ) a 一( ，2 ) ； 2 ) a ( r t r 2 ) 爿( ) 爿( r 2 ) ； 3 ) a ( 0 r ) = 1 定义1 2 设m 是一个r 一半模，称映射“：m 哼 o ，1 】是m 上的一个模糊左 a 一半模或f ：一左半模，若“满足：峙x ，y m ，v r r ， 1 ) u ( x + y ) ( 工) u c y ) ； 2 ) u ( r x ) “( 彳( ，) ； 3 ) u ( o ) = 1 以下用“。或( m ，“) 表示“为m 上的日一左半模，在m 已明确的情况下，有 时也将“。简记为“类似地可得霹一右半模的定义，若“既是露一左半模又是 露一右半模，则称为露双半模，但在本文当中我们只研究露一左半模，并且在 不引起混淆的情况下仍称之为昭一半模，以下用s a ( m ) 表示m 上的全体砰一 半模之集，用s ( 吖) 表示时上的全体模糊集之集，用足( 肘) 表示膨上的全体模糊 半群之集 定义1 3 设m 是一个r 一半模，令1 0 与1 。分别为： k 心，= 髌饶老帆 1 w ( x ) = 1 ，v x m 聊城大学硕士学位论文 则易见1 0 ，1 。髟( 吖) ，称1 0 ) 与1 ，为m 上的平凡砑一半模 定义1 4 设m 是一个r 一半模，n m ，u s a ( m ) ，v 仨s a ( ) ，若v n n ，都 有v ( h ) s “( n ) ，则称v 是“的可一子半模，记为v s u 定义1 5 半环尺上的半模范畴( 记为r s m o d ) 定义为 1 ) 对象集为全体r 一半模，记为o b ( r s m o d ) ； 2 ) v m ，n o b ( r s m o d ) ，态射h o m ( m ，) = 厂i ，是从m 到的半模同 态 ； 3 ) v f h o m ( m ，) ，g h o m ( n ，p ) ，态射合成g 。厂( 或驴) 即为映射的合成 定义1 6 设m ，n o b ( r - s m o d ) ，“s a ( m ) ，v s a ( ) ，厂h o m ( m ，) ， 规 定：v y n ，若y f ( m ) ，则( “) ( y ) = v 恤( 力i ，( x ) = y , x m ) ；若y 萑，( m ) ，则 厂( “) ( y ) = 0 v x m ，f 。1 ( v ) ( x ) = v ( 厂( x ) ) 命题1 1 设m ，n o b ( r s m o d ) ，“s “( m ) ，v s a ( ) ，厂h o m ( m ，) ， 贝0 厂_ 1 ( v ) s a ( w ) ，厂( “) s , t ( ) ，k f ( u ) v ，u s f 叫( v ) 定义1 7 设m ，n o b ( r s m o d ) ，u s ( m ) ，v s ( ) ，f h o m ( m ，n ) ， 若，( “) s v ，则称7 ：“_ v 为爵一半模同态 定义1 8 设m ，n o b ( r s m o d ) ，“s a ( m ) ，v e s a ( ) ，设，：m - - 9 , m 与 0 ：m 斗n 分别表示恒等态射与零态射，即：v m m ，l ( m ) = m ，o ( m ) = 0 。，则易见 7 ：“。斗“。与石：“。斗v 。都是硝一半模同态称7 与石分别为恒等态射与零 态射 定义1 9f 2 一半模范畴( 记为巧一s m o d ) 定义为： 1 ) 对象集为全体巧一半模； 2 ) v u s a ( m ) ，v v s a ( ) ，；涨h o m ( u ，v ) = 咿1 7 ：“斗v 是砑一半模同 聊城大学硕士学位论文 态 ； 3 ) 设“( m ) ，v s a ( ) ，w e 以( p ) ，7 h o m ( u ，y ) ，营h o r n ( v , w ) ，规定 ) = g ( 厂( “) ) 定理1 ，1 设m 是一个r 半模，则s a ( m ) 关于如下序关系构成一个完备格 v u ，v s 一( ，) ，“v 车，v x m ，“( 互) v ( x ) 证明设 u ii i ，) s ( 肘) ，v x m ， 令 念如， ( 曲2 2 伽r “) ) ；芒 “小工) 2 全p o ) j 占e 咒( 朋) ，雌s 占) 则易证台“ 与兰他) 分别是伽， n ，在吼( ) 中的下确界与上确界 7 m 的平凡巧一子半模l 。与1 。分别是s a ( 肼) 中的最小元与最大元，所以 s 。( m ) 是完备格 注：在完备格s ( m ) 中，定义y ) 为： 昌伽 ( 工) 2 善 “，( 功) 但在以( 肘) 中，这种定义方法不合适例如：令r = z + ，m = z + ( 这里z + 表示正整 数集合) ，则m 是r 上的半模令 v r z + ，彳( ，) = 0 蜥啦= 暑妻瑟 坛啦v c 功= f 。鬻嚣； 则“，v e ( m ) 若我们定义y 为：b _ m ，( x ) = h ( x ) v v ( x ) ，则 0 = ，( 3 + 2 ) - u 。所以存在自然数f ，使得当i h 时，有毪= “，从而材，= m ，所以m 满足 降链条件 同理可证升链情形 1 4 聊城大学硕士学位论文 定理2 1 设m 是一个尺一半模，“s a ( m ) ，7 e n d ( u ，“) ，则 1 ) f 是单同态，满足降链条件j7 是双同态； 2 ) 7 是满同态且厂为稳定的，“满足升链条件j 夕是双同态 证明1 ) 由定义2 _ 2 得厂是单同态，根据引理m 满足降链条件又由文 1 5 】命 题1 3 4 5 ，厂是满同态，所以，是双同念，因此厂是双同态 2 ) 同理根据定义2 2 ，引理，文【1 5 】命题1 3 4 5 可证2 ) 聊城大学硕士学位论文 3 曙一半模范畴中几个极限与余极限 引理3 1 1 ) 设z ：m ，_ n ，i ，为一族r 一半模同态，峨s a ( m ，) ，则存在 最小的上的露一半模v ，使得对每个f ，z ：( m ，“；) 斗( ，v ) 为露一半模同 态 2 ) 设g ，：m 斗n i ，i ，为一族r 一半模同态，u 邑( n i ) ，则存在最大的m 上的霹一半模u ，使得对每个i ，亘：( m ，“) 一( f ，u ) 为露一半模同态 证明令 v = v z ；) l i d = 卢i 卢s 。( ) ，一 ，) p ，i 毋； 叩= 塘i 1 ( v 1 ) f i d ， 则结论易证 引理3 2 1 ) 设 工：( m f ，“f ) 呻( b ，) l i j 及 辱：( m j ，“f ) 斗( c ，v g f ( 坼) ) l i d 为两族砖一半模同态，若存在h h o m ( c ，b ) 使得h g ，= 工，i ，则 i ：( c ，v g ，( “，) 斗( b ，) ) 为露一半模同态，且话= z 2 ) 设成：( 曰，) _ ( m ，甜f ) l i 毋及 磊：( c ， g i l ( “，) ) 斗( m i ，“i ) i i 毋为两 族露一半模同态，若存在h h o m ( b ，c ) 使得& h = z ，贝, j f i ：( 曰，卢) 一( c ， g i l ；) ) 为可一半模同态，且辱。h = z 证明1 ) 只需证明 ( y 毋( “，) ) 卢 事实上， ( 兰毋( “，) ) 2 品( 蛔，) ( “r ) 2 , j x u , ) ，而z ：( 肘r ，嘶) 斗( 曰，卢) 是露一半 模同态，所以v z ( 吩) - - - p ，即i ( 昌g ，( “1 ) ) ，所以i ：( c ，v g ，( 蛳) ) 斗( 曰，) 是曙一 半模同态，且磕= z 类似可证2 ) 定义3 1 设 ( m ；，“圳i ，) 是f 一sm o d中一族对象，称二元组 聊城大学硕士学位论文 ( ( m ，“) ，阮乙) 为 ( m ；，吩) ) 。的积，若它满足 1 ) ( m ，u ) o h ( f ；一s m o d ) ； 2 ) w ，髟h o m ( ( m ，“) ，( m ，“瑚； 3 ) 若二元组( ( ，v ) ，磺) 。) 满足( ，v ) o b ( 砖一s m o d ) 且 z h o m ( ( n ，v ) ，( m ，“，) ) ，i ，则存在唯一的露一半模态射7 ：( ，d 斗( m ，“) ，使 得图i 可换 ( m ，u ) 丁7 ( n ， 星- ( m i , u i ) 定义3 2 设 ( m f ，“1 ) 目是f r a sm o d中一族对象，称二元组 ( i ) 。，( m ，“) ) 为 ( m ，吩) ) 。的余积，若它满足： 2 ) v j ，0 h o m ( ( m ，u ，) ，( m ，“) ； 3 ) 若二元组( 成) 。，( j v ，) 满足( ，v ) o h ( 爿一s m o d ) 且 z h o m ( ( m ，“a ( ，v ) ) ，则存在唯一的砑一半模态射7 ：( m ，“) 斗( ，v ) 使得 ( m i “) | _ l ( m i , u i ) | r 7 命题3 1 可一s m o d 有积和余积 证明设 ( 吖i ，峨) 。是霹一s r o o d 中任意一族对象，则可得 m ，) 。，在 聊城大学硕士学位论文 r - s m o d 中的积和余积( ( 兀m ，k i 。，) 和( ) 。，u m ，) 令兀“，二会厅i 1 ，) ，则根据引理3 2 ( 2 ) ，“兀m ，兀咋) ，诧l ；，) 是 ( m ，嘶) b 在瑶一s m o d 中的积 令u “，= 善“，) = 耖i ，) y ，y s a ( i i m ，) ) ，则根据引理 3 2 ( 1 ) ，( 。，( 1 1 m ，l i “；) ) 是 ( m ，吩) 。在霹一s m o d 中的余积 满足 定义3 3 设季，7 h o m ( u 。，) ，称二元对国。，亭) 为7 与季的一个等化子，若它 1 ) f h o m ( q ，”肼) 2 ) fo e = g o e 3 ) v 叩：，o b ( 砑一s m o d ) ，v 石h o m ( r ；r ，“。) ，若7 。矿= 季。矿，则存在唯一 露一半模同态亭：叩：，_ 叩。使得苔享= 矿即图3 可交换 叩争气 l e 矿 “”j 0 v 糠， 图3 定义3 4 设营，7 h o m ( u 。，) ，称二元对( 亭，) 为7 与季的一个余等化子， 若它满足 1 ) 石h o m ( v u ，w e ) 2 ) f 。f = f o 季 3 ) v 嵋o b ( 露一s m o d ) ，v f h o m ( v ，w ) ，若 ，。7 = i 。季，则存在唯一 露一态射孑：w p 专w ；，使得若。f = ，即图4 可交换 聊城大学硕士学位论文 w e ； ； | 丝“_ i i ， m 名一 图4 命题3 2 露一j m o d 有等化子和余等化子 证明 设u m o v 。是日一s m o d 中任意两个态射，令 e ：伽i f ( m ) ：g ( 川) ，m e m ，= “k ，e ：e - - m 为嵌入映射，则( ，亭) 是7 与季 的等化子 事实上，易见e o b ( r s r o o d ) ，叩e s a ( e ) v 町：o h ( 露一s r o o d ) 及 f e h o m ( r ：，“。) ，若弦= 髟，贝1 f e = g e ，所以8 7 ( e ) e 令虿：e 寸e ；x hp “) ，v x e ，则百h o m ( e ，e ) 且e g = e 又 v x e ，虿一1 ( 叩) ( ) = 叩( 虿( 曲) = 柙( ( x ) ) = ( 一( 工) ) 叩( x ) 所以g - 1 铆) r ，即 孑h 巾f ) ，从而琵= f ，吾的唯一性易证，因此( ，苔) 是7 与季等化子 令p = ，其中尸表示中含有( ，) ，g ) ) ( 枷e m ) 的最小同余关系再 令v n 。p ，w p ( 【n p ) = v v ( 力1 y 【” p ，y ，则w e s a ( p ) 令c ：n 斗p 为自 然映射，则( 雌，石) 是7 与季的余等化子 事实上，设w ；，昭一s m o d ，f h o m ( v 。，哆) ，且孑= f 菖n c f = c 宫，即v me m 都有( ( ) ，g 似) ) k e r c ，所以p c _ k e r c 令石：一p ，； h 】，hc o ) - 则由 pc k e r c ，知石可定义易证石h 。m ( ，p ) 且- c 2 c 又 _ _ 1 ( 嵋) ( 【n 】，) = w p ，( a f t n 】，) = w ；，( c7 ( n ) ) v ( n7 ) ，其中”i n ，所以 一( 嵋) ( h ，) v v ( ”7 ) h m ， = 州 】，) ，所以c h o m ( w v ，嵋，) ，且琵= f ，c 的唯一性易证，因此，( w p ，石) 是7 与季的余等化子 定义3 5 设u m 碍一s m o d ， 聊城大学硕士学位论文 1 ) 若对任意v 露一s m o d ，存在唯一7 h o m ( u m ，h ) ，则称“。为 露- s m o d 中的初始对象 2 ) 若任意对v 露一s r o o d ，存在唯一7 h o m ( v 。，) ，则称为 砑- s m o d 中的终对象 3 ) 若即为初始对象又是终对象，则称其为昭一s m o d 命题3 3 露- s m o d 中有零对象1 。 定义3 6 露一s m o d 中交换图5 称为拉回图，若对霹一s m o d 中任意交换图 6 ，都存6 ，都存在唯一的i h o m ( 嵋，坼) ，使得季：i = g 。2 ，蟊i = 茸，此时称喜：为z 沿五的拉回，蟊为元沿z 的拉回 图5 嵋r苗 -h f扩 五 - 图6 2 ) 霹一s t o o d 中交换图7 称为推出图，若对霹一s m o d 中的任意交换图8 都 存在唯一i h o m ( w r ，嵋，) ，使得礴= 茸，磕= 爱，此时称蔹为z 沿五的推出，誊。 为z 沿z 的推出 “” v 扣上蟊 “坼 “m - v 肛 p 饰“嵋- 图7 图8 v 定义3 6 若- s t o o d 中任意同态图山都可以扩充成拉回图，则 叩p 手“ 扩讪 l上孙 里! 垫查兰堡主兰堡堡壅 称碍一sr n o a 制2 n ；f f 霹- s m o d 中任意同态图上 都可以扩成推出图，则 刁p 称露一s r o o d 有推出 命题3 4 露一s r o o d 有拉回 证明见图9 ，任取7 h o m ( v n , u m ) 及营h o r e ( r e , u m ) ，设( v ，舔，砟) 为 与在露一s m o d 中的积，设( 尾，笞) 为( 编，季砟) 在露一s m o d 中的等化子 设i h o m ( w r ，孙) ，瓦h o m ( w r ，v n ) ，且拜= 氟由积的定义 3 1 h h o m ( w r ，“”v p ) 使得瓦i = 瓦，砟石= i ，于是，撬i = 藏：弭：亭砟万，即 ( 赫) i = ( 季砟) 石，又( 尾，苔) 是( 编，亭石，) 的等化子，所以j l h 。m ( m ，以) 使 得藩= i ，所以，砟磊= 砟i = ，碌磊= 虱i = 焉，即j l f h 伽( m ，尾) 使得 ( 舔苔) = ，( 磊虿) i = 瓦，所以芽，亭是7 沿季的拉回，虱苔是茸沿歹的拉回证毕 图9 命题3 5 昭一s m o d 中有推出 “_ ；l f j -h 图10 i，llffl，亨 叩 聊城大学硕士学位论文 证明见图1 0 ，任取歹b o m ( u 。，v 。) 及喜h o m ( u 。，孙) ，设菇，喙x r ，) 是 v n 与孙在巧一s m o d ，设$ ，皮) 为瓴7 ，季) 在爵一s m o d 中的余等化 子设h o m ( r ，坼) ，焉h o m ( v ，坼) ，使得季= i 7 则由余积的定义，存在唯 一的石h o r n ( v 。r e , 坼) ，使得i 瓦= 焉，石= ，所以，石瓦7 = 瓦7 = 季= 石己季， 即h ( 1 n f ) ：h q ，g ) ，再根据余等化子的定义，3 1 k e h o m ( f l c ，峙) 使得忍= i ，所以 k f l u = i 瓦：焉，彪= 1 e = i ，所以苔瓦是量沿7 的推出，虿是7 沿季的推出， 证毕 命题3 61 ) 设图5 与图6 均为霹一s m o d 中的拉回国，则崎兰嵋。 2 ) 设图7 与图8 均为昭一s m o d 中的拉回图，则w r 兰嵋， 命题3 71 ) 若图5 是拉回图，则图1 1 是r s m o d 中的拉回国反之不真 2 ) 若图7 是推出图