电动力学复习要点习题选解(2012级).pdf

1 / 12 玉林师院物本玉林师院物本 2012 级级 电动力学电动力学复习要点复习要点 习题选解习题选解 第一章第一章 电磁现象的普遍规律电磁现象的普遍规律 7. 有一内外半径分别为 1 r和 2 r的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止 自由电荷 f ，求 （1）空间各点的电场； （2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：解： （1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。 由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。 当 1 rr 时，0 1= D， 0 1= E。 当 21 rrr时， f rrDr)( 3 4 4 3 1 3 23 2 = 2 3 1 3 2 3 3 )( r rr D f = 2 0 3 1 3 2 3 3 )( r rr E f = 向量式为 rE 3 0 3 1 3 2 3 3 )( r rr f = （2）当 21 rrr时， )()( 2 0 2202 DDEDP = p f )1 ()1 ( 0 2 0 =D 当 1 rr =时， 0)1 ()()( 1 2 0 2 0 212 = =rr p DDDnPPn 当 2 rr =时， f rr p r rr 2 2 3 1 3 20 2 0 2 3 )1 ()1 ( 2 = = DPn 8. 内外半径分别为 1 r和 2 r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 f J，导 2 / 12 体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。 解： （解： （1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径 为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 1 rr 时，由安培环路定理得：0,0 11 =BH 当 21 rrr 时，)(2 2 1 2 23 rrJrH f = 所以 r rrJ H f 2 )( 2 1 2 2 3 = ， f J r rr B 2 )( 2 1 2 20 3 = 向量式为 rJeB = = ff r rr J r rr 2 2 1 2 20 2 1 2 20 3 2 )( 2 )( （2）当 21 rrr+ = )( )(/cos/ )(cos 00 0 23 0000000 RR RRRRERRRE （2）设球体待定电势为 0 ，同理可得 + = )( )(/cos/ )(cos 00 0 23 0000000 RR RRRRERRRE 当 0 RR 时，由题意，金属球带电量Q ddsin)cos2cos(d 2 00 0 00 000 0 RE R ES n Q RR + += = = )(4 0000 =R 所以 0000 4/)(RQ= + + = )(4/ )(cos)/(4/cos 000 0 23 00000 RRRQ RRRRERQRE 9. 接地的空心导体球的内外半径为 1 R和 2 R，在球内离球心为 a 处(a 1 R)置一点电荷Q。 用电象法求电势。 导体球上的感应电荷有多少？分 布在内表面还是外表面？ 解：假设可以用球外一个假想电荷Q代替球内表 面上感应电荷对空间电场的作用， 空心导体球接 地，球外表面电量为零，由对称性，Q应在球 心与Q的连线上。 考虑球内表面上任一点 P，边界条件要求： 0/ /=+RQRQ (1) 式 R 为 Q 到 P 的距离，R为Q到 P 的距离，因此，对球面上任一点，应有 =QQRR/ / 常数 (2) 只要选择Q的位置，使OPQPOQ，则 =aRRR/ 1 常数 (3) 设Q距球心为 b，则aRRb/ 11 =，即aRb/ 2 1 = (4) 由（2） （3）两式得: aQRQ/ 1 = /cos2/ / cos2 4 1 2 1 24 1 2 1 22 0aRRaRR aQR RaaR Q + + = O QQ 1 R R R P 5 / 12 导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为Q，分布于内表面。 由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，0= 外 。 10. 上题的导体球壳不接地，而是带总电荷 0 Q，或使具有确定电势 0 ，试求这两种情况的 电势。又问 0 与 0 Q是何种关系时，两情况的解是相等的？ 解：由上题可知，导体球壳不接地时，球内电荷Q和球的内表面感应电荷Q的总效果是 使球壳电势为零。 为使球壳总电量为 0 Q， 只需满足球外表面电量为 0 Q+Q即可。 因此， 导体球不接地而使球带总电荷 0 Q时，可将空间电势看作两部分的迭加，一是Q与内表 面的Q产生的电势 1 ，二是外表面 0 Q+Q产生的电势 2 。 /cos2/ / cos2 4 1 2 1 24 1 2 1 22 0 1 aRRaRR aQR RaaR Q + + = 内 ，)( 1 RR + + + zy bzayxxbzayxx 第第三三章章 静磁场静磁场 7. 半径为 a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上， 试解矢势A的微分方程。 设导体的磁导率为 0 ，导体外的磁导率为。 解：矢势所满足的方程为： = = = )(,0 )(,0 02 2 01 2 RR RR m m （1） 自然边界条件： 0 1 =R m 为有限；cos 02 RH R m = = 。 衔接条件：在0=R处满足 21mm = 及 RR mm =/ 201 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为： = = 0 1 )(cos n n n nm PRa； = + += 0 )1( 02 )(coscos n n n nm PRdRH 由两个衔接条件，有： = + = += 0 )1( 0 0 )(coscos)(cos n n n n n n n n PRdRHPRa = + = += 0 )2( 000 0 1 )(cos) 1(cos)(cos n n n n n n n n PRdnHPnRa 比较)(cos n P的系数，解得：)2/(3 0001 +=Ha； )2/()( 0 3 0001 +=RHd； 0= nn da，) 1( n 即：)2/(cos3 0001 +=RH m ，（ 0 RR ） )2/(3 00011 +=HH m )( 3 2 )( 3 0 5 03 0 0 0 022 RR R m HRRH HH + += + += =Hz103 . 3 10 1c 当m=1，n=0时, =Hz101 . 2 10 2c 当m=0，n=1时, =Hz105 . 2 10 3c 所以此波可以以 TE10 和 TE01 两种波模在其中传播。 第第五五章章 电磁波的辐射电磁波的辐射 1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写 出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。 解：真空中的麦克斯韦方程组为 t =/BE， （1） 0 /= E， （2） 9 / 12 t +=/ 000 EJB， （3） 0= B （4） 如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场， 并分别用角标L和 T表示， 则：由于0= B，所以B本身就是无散场，没有纵场分量，即 0= L B， T BB =； TL EEE+=，0= L E，0= T E； TL JJJ+=，0= L J，0= T J； 由（1）得：t TTTL =+/)(BEEE （5） 由（2）得： 0 /)(=+ LTL EEE （6） 由（3）得：t LLTLT +=/ )()( 000 EEJJB )/()/( 000000 tt TTLL +=EJEJ （7） 由电荷守恒定律t =/J得：)/(/ 0 tt LL =EJ 又因为 )/(0 0 t LL =EJ，所以 t LL =/ 0 EJ，即 0/ 0 =+t LL EJ （8） （7）式简化为t TTT +=/ 000 EJB （9） 所以麦克斯韦方程租的新表示方法为： =+ = = += = 0/ 0 / / / 0 0 000 t t t LL L L TTT TT EJ B E EJB BE （10） 由0= L E引入标势，= L E，代入 0 /= L E得， 0 2 /= 上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以 L E对应静止电荷产生的库仑场。 5. 设A和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （1）引入一矢量函数),(txZ（赫兹矢量） ，若令Z=，证明 tc = Z A 2 1 。 （2）若令P=，证明),(txZ满足方程P Z Z 0 2 2 2 2 2 1 c tc = ，写出在真 空中的推迟解。 （3）证明E和B可通过 Z 用下列公式表出： PZE 0 2 )(c=，ZB = tc2 1 。 （1）证明：A和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有 （1） 将Z=代入（1）得： 0 1 2 = +）（ZA tc （2） 0 1 2 = + tc A 10 / 12 即：）（ tc = Z A 2 1 ，所以， tc = Z A 2 1 （3） （2）证明：因为标势在洛伦兹规范下有方程： 0 2 2 2 2 1 = tc 将Z=代入，得： 0 2 2 2 2 )( 1 )( = tc Z Z （4） 令P=，则上式化为 P Z Z= 0 2 2 2 2 1 )( 1 )( tc ，即 PP Z Z 0 2 0 2 2 2 2 11 c tc = （5） 与方程J A A 0 2 2 2 2 1 = tc 的推迟解 =d )/, ( 4 ),( 0 V r crt t xJ xA 类比， 得方程（5）在真空中的推迟解为 =d )/, ( 4 ),( 0 2 V r crtc t xP xZ （6） （3）将Z=， tc = Z A 2 1 代入t =/AE及AB=，得： PZE 0 2 )(c=， ZB = tc2 1 第第六六章章 狭义相对论狭义相对论 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率 v 相对于某 一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得系相对于 1 的速度大小是 )/1/(2 22 cvvv+= （1） 在系中测量 2 系中静长为0 l的尺子的长度为 22 0 /1cvll= （2） 将（1）代入（2）即得： )/1/()/1 ( 2222 0 cvcvll+= （3） 此即是在 1 系中观测到的相对于 2 静止的尺子的长度。 3. 静止长度为 l0的车厢，以速度 v 相对于地面 S 运行，车厢的后壁以速度 u0向前推出一个 小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：根据题意取地面为参考系S，车厢为参考系S，于是相对于地面参考系S，车长为 22 0 /1cvll=， （1） 2 1 11 / 12 车速为v，球速为 )/1/()( 2 00 cvuvuu+= （2） 所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁 ltvtu+= 所以 )/(vult= （3） 将（1）（2）代入（3）得： 22 0 2 00 /1 )/1 ( cvu cvul t + = （4） 6. 在坐标系中，有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动，在系看来，它们一直保持距离 l 不变，今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解： 根据题意， 取固着于观察者上的参考系为系,又取固着于A B两物体的参考系为系. 在中,A B以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l；在系中,A B静止相距为l 0，有： 22 0 /1cull= 22 0 /1cu l l = 又系相对于以速度v 沿 x 轴运动，系相对于系以速度u沿x轴运动， 由速度合成公式系相对于系以速度 2 /1 cuv vu v = 沿轴运动，所以，在系中看到两物体相距 17. 静止质量为 0 m的粒子衰变为两个粒子 1 m和 2 m，求粒子 1 m的动量和能量. 解：设衰变后的两个粒子的动量为 12 pp 和，则两粒子的能量分别为 22242224 111222 , W Wp cm cp cm c=+=+ 由能量守恒和动量守恒，得 22224 0122 12 0 m cWp cm c pp =+ =+ 解得 () 2 222 1012 0 2 c Wmmm m =+ 2222 1012012 0 ()() 2 c pmmmmmm m =+ 18. 已知某一粒子 m 衰变成质量为 m1和 m2，动量为 p1和 p2（两者方向间夹角为） ，求该 粒子的质量 m. 解：由动量守恒 12 ppp=+ 得 x 2 22 22 0 /1 /1 /1 cuv cvl cvll = 12 / 12 222 1212 2cospppp p=+ (1) 由能量守恒: 222422242224 1122 p cm cp cm cp cm c+=+ (2) 将（1）代入（2） ，整理得： ()() 222222222 12112212 2 2 cosmmmpm cpm cp p c =+ 21电荷量为 e、静止质量为 0