（基础数学专业论文）动力系统的复杂性与点串.pdf

摘要 本文从遍历理论与拓扑动力系统的平行之处出发，使用局部化( 点对或点串) 的思想 对与混沌、熵以及系统传递属性相关的系统复杂性问题进行了研究在这一过程中，我 们强调遍历理论与拓扑动力系统两者之间概念和结论的相互借鉴，以期对系统复杂性有 更为深刻的了解具体来说， 在第二章中，我们介绍了本文涉及到的一些拓扑动力系统和遍历理论的预备知识 在第三章中，我们研究了d i s t a l 、p l o x i m a l 、完全混沌和几乎d i s t a l 系统的基本属 性构造了“许多”紧度量空间其上存在完全混沌的系统，这些空间包括一些可数的紧度 量空间、康托集和任意维的连续统对非周期的传递系统，我们证明了它的渐近关系和 每个渐近类为第一纲集进而，我们证明了如果p r o x i m a l 关系在对角线上某个点的一个 邻域中稠密，则它为l i y o r k e 混沌的作为应用，我们得到了一个具有周期点的非周期 的传递系统为l i ，y o r k e 混沌的结果由此我们解决了d e v a n e y 混沌是否蕴含着l i y m k e 混沌这一长时间的公开问题我们的结果导致了这方面进一步的研究工作1 6 ，2 0 ，2 3 ，9 9 在第四章中，我们研究了测度k o l m o g o r o v 系统的拓扑对应：n 一一致正熵系统( ”2 ) 和完全一致正熵系统我们证明了测度k 系统的拓扑实现为完全一致正熵系统把m 一 致正熵的概念局部化，我们定义了拓扑”熵串和测度儿- 熵串通过证明一个关于可测 覆盖和可测剖分熵关系的定理以及使用文1 1 9 】中一个结果，我们证明了拓扑熵串的全体 恰为所有相对于不变测度的测度熵串全体的并上述结果提供了解决类似问题的一般框 架并且覆盖了十几年来相关问胚研究中的几乎所有结果使用拓扑非平凡的剖分，正密 度的插入集，属性r 以及超空间我们对_ 一致正熵系统( n 2 ) 和完全一致正熵系统进 行了刻画 我们解决了b l m l c h a r d ，h o s t ，g l a s n e r 和w e i s s 提出的几个公开问题具体地说，我们 证明对每个n 2 ，m 一致正熵系统不能蕴含+ 1 ) 一致正熵系统；存在传递的非一致 正熵的对角流；存在不具有全支撑遍历测度的一致正熵系统应用本章的方法和所得的 结果，我们能说明一致正熵系统弱不交于所有传递系统以及两个n 一致正熵系统( 或完 全一致正熵系统) 的乘积系统为n 一致正熵系统( 或完全一致正熵系统) 在第五章中，对一个比传递性强的动力学性质p ，我们引入了性质p 的对偶性质的概 念我们定义和研究了几类熟知动力学性质的对偶性质，例如弱扩散性，扩散性，强扩 散性和m i l d 一混合性等对偶性质这些对偶性质是介于三种最基本的传递属性：传递性， 弱混合性和强混合性之问的系统传递属性通过对这些对偶性质以及传递性，弱混合性 和强混合性相互关系的深入研究，我们对系统传递属性进行了更为细致的分类在这一 过程中，我们证明了2 一扩散性等价于扩散性，从而回答了 2 1 】的一个问题我们也具体 构造了扩散非弱混合的系统 使用开覆盖相应于某些自然数序列的复杂性函数，我们刻划了扩散性，强扩散性和 m i l d 一混合性更进一步地，我们刻戈i j 了这些对偶性质的回复时间集特别地，我们得到 了强扩散系统的回复时间集为p o i n c a r 6 序列，扩散系统的回复时间集为回复序列以及弱 扩散系统的回复时间集为相对于群旋转的回复序列这些集合是人们在组合数论、遍历 理论以及拓扑群中感兴趣的重要的自然数子集因而在传递系统的分类中，组合数学、遍 历理论、调和分析以及拓扑群的知识变为不可缺少的工具我们指出“扩散性与弱扩散 性是否为等价属性”这一问题与拓扑群中著名的v e e c h 猜测1 1 3 6 1 以及动力系统中w e i s s 问题1 1 4 5 1 的内在联系 在第六章中，我们对n u l l 系统和序列熵对进行了研究一个保测系统( 相应地一个 拓扑动力系统) 称为n u l l 系统，如果它相对于任一自然数序列的测度( 相应地拓扑) 序 列熵为零k u s h n i r e n k o 9 4 】说明了一个遍历的保测系统具有离散谱当且仅当它为n u l l 系 统对于极小动力系统，我们证明了上述论断在忽略掉一个几乎一对一扩充的意义下成 立这就使得我们能够说明扩散系统不交于极小n u l l 系统进一步地，我们给出了一个 传递非极小系统为n u l l 系统的一些必要条件 把序列熵的概念局部化，我们定义了拓扑序列熵对与测度序列熵对，并且证明了测度 序列熵对包含于拓扑序列熵对，然而不同于拓扑熵对与测度熵对，其逆命题并不成立，其 深刻的原因是对序列熵没有变分原理使用拓扑序列熵对和测度序列熵对的提升性质，我 们说明了每个动力系统存在最大的n u l l 因子系统和最大的m n u l l 因子系统与此同时， 把弱混合的概念局部化我们定义了弱混合对，得到了一个动力系统为弱混合系统当且仅 当不在对角线上的点对均为弱混合对当且仅当不在对角线上的点对均为序列熵对这个 结果回答了f 2 1 1 中的另一个问题 a b s t r a c t o u rb a s i co b e j e c t i v ei nt h i s p a p e ri s t o s t u d ys o l u ec o m p l e x i t yt l r o b l e m so fd y n a n f i c a l s y s t e n l sr e l a t e dt oc h a o s ，e n t r u p ya i mt r a l l s i t i v et ) r o p e r t i e su n d e rt h ei d e a so f l o c a l i z a ! i o n ( p a i r so r t u p l e s ) ，w i t ht i l ep o i n t v i e w o ft i l ep a r a l l e l i s mi ) e t w e e ne r g o d i ct h e o r ya n d t o p o l o g i c a ld y n a l n i c a l s y s t e m i no l + d e rt om o r ed e e p l yu n d e r s t a n dt i l ec o m p l e x i t yo fs y s t e m s ，w ee m p h a s i st i l en n l t u a l i n f l u e n c eo fn o t i o n sa n dc o n c l u s i o n si l lb o t ht h d ) r i e s m o r ep r e c i s e l y ， i nc h a p t e r2 ，s o m ep r e l i u f i n a r yk o w n l e d g e si nt o p o l o g i c a l l yd y n a u f i c a ls y s t e l na n de r g o d i c t h e o r y ，w h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r ，a r er e v i e w e d h h 斜叶3 ，t h eb a s i cp r o p e r t i e so fd i s t a ls y s t e m s ，1 ) 1 o x i m a ls y s t e m s ，c m n p l e t e l yc l i a o t i c s y s t e m sa n da l m o s td i s t a ls y s t e m sa r es t u d i e d i ti ss h o w nt h e r ea r e “m a n y ”c o m p a c t a a d m i t t i n g c o m p e l e t l yc h a o t i cs y s t e m s ，w h i c hi n c h l d e s o l n ec o u n t a b l e c o l n p a c t a ，t i l ec a n t o rs e ta l n lc o n t i n u a o fa r b i t r a r yd i m e n s i o n f o ran o n p e r i o d i ct r a n s i t i v ed y n a n f i c a ls y s t e m i ti s p r o v e nt h a te a c h a s y m p t o t i c c l a s si so ff i r s tc a t e g o r ya l l ds oi st l l ea s y n q ) t o t i cr e l a t i o n m o r e o v e r ，i tc a l lb e p r o v e n t h a ti fi t sp r o x i m a lr e l a t i o ni sd e n s ei na n e i g h b o u r h o o d o fs o m ep o i n ti nt i l ed i a g o n a lt h e ni t i s c h a o t i ci l lt h es e n s eo fl i - y o r k e a sa na p p l i c a t i o ni t i ss h o w nt h a ti fan o n - p e r i o d i ct r a n s i t i v e d y n a i n i c a ls y s t e mc o n t a i n s8p e r i o d i cp o i n t ，t h e ni t i sc h a o t i ci l lt h es e n s eo fl i - y o r k e t h u s ， t h el o n gp r o b l e mw h e t h e rc h a o si l lt h es e n s eo fd e v a n e yi s s t r o n g e rt h a nt h a to fl i y o r k ei s a n s w e r e dp o s i t i v e l y t h e s er e s u l t sl e a dt os o m ef a r t h e rr e s e a r c ho nt h et o p i c 6 ，2 0 ，2 3 ，9 9 | i nt h en e x t c h p a t e r ，c h a p t e r4 ，t o p o l o g i c a la n a l o g u eo fk o h n o g o r o vs y s t e mi ne r g o d i c t h e o r y , n a l u e l yu n i f o r mp o s i t i v ee n t r o p y ( u p e ) o fo r d e rnm 2 ) o ru n i f o r mp o s i t i v ee n t r o p y o fa l lo r d e r s ，a r es t u d i e d i n t e n s i v e l y i tt u r n so u tt h a ti fat o p o l o g i c a ls y s t e ma d m i t sa ni n v a a i a n t k - m e a s u r ew i t hf u l ls u p p o r t ，t h e ni ti su p eo fa l lo r d e r s l o c a l i z i n gt h en o t i o no f u p e o fo r d e r ，l ，o n ed e f i n e st o p o l o g i c a le n t r o p yn - t u p l e s ，a n de n t r o p yn t u p l e sf o ra l li n v a r i a n tm e a s u r e b y p r o v i n gat h e o r e mo nt h ei n t e r r e l a t i o no ft h ee n t r o p yo fm e a s u r a b l ec o v e r sa n dp a r t i t i o n s ，a l , d u s i n gar c s u l ti n 1 9 1 ，i ti ss h o w nt h a tf o re a c hn 2t h es e to fa l lt o p o l o g i c a le n t r o p yt i - - t u p l e s i st i l eu n i o no ft i l es e to fe n t l o p yn - t u p l e sf o ra ni n v a r i a n tm e a s u r e o v e ra l li n v a r i a n ti n e a s u r e s t i l ea b o v er e s u l t sg e n e r a l i z ep r e v i o u so n e s b ym a n ya u t h o r s c h a r a c t e r i z a t i o n so fu p e o fo r d e r o r u p eo fa l lo r d e r sc o n n e c t i n gw i t ht o p o l o g i c a l l yn o n - t r i v i , f lp a r t i t i o no ri n t e r p o l a t i n gs e to f p o s i t i v ed e n s i t yo rp r o p e r t yp no rh y p e r s p a c ea r eg i v e n i tc o u l db ea n s w e r e ds e v e r a lo p e nq u e s t i o n sb yb l a n c h a r d ，h o s t ，g l a s n e ra n dw e i s sc o l l c e r n i n gt i l en a t u r a l o f u p - e a n dc p e n a l n e l y ，u p e o fo r d e rnd o e sn o ti m p l yu p e o fo r d e r n + 1f o re a c hn 2 ，t h e r ei sat r a n s i t i v ed i a g o n a ls y s t e mw h i c hd o e sn o th a v eu p e f o fo r d e r 2 ) ，a n dt h e r ei sau p e ( o fo r d e r2 ) s y s t e mw h i c hd o e sn o th a v ea l l ye r g o d i cm e a s u r ew i t l lf u l l s u p p o r t a p p l y i n gt l l e m e t h o d sa n dr e s u l t so b t a i n e di nt h ep a p e r ，i ti ss h o w nt h a tu p e f o f o r d e r2 ) s y s t e mi s w e a k l yd i s j o i n tf r o ma l lt r a n s i t i v es y s t e m s ，t i l ep r o d u c to fu p e o fo r d e ri i , 动力系统的复杂性与点串 ( r e s p u p eo f a l lo r d e r s ) s y s t e m si sa g a i n u p e o fe ld e r ( r e s p t o p o l o g i c a lu p eo fa l lo r d e r s ) i l lc h a p t e r5 ，f o ra d y n a m i c a lp r o p e r l yp ，s t r o n g e rt h a nt r a n s i t w i t y ，t h en o t i o no ft h ed u a l p r o p e r t yo f p i si n t r o d u c e d d u a l p r o p e r t i t i e sw i t hs o l n ( ? k n o w nd y n a m i c a lp r o p e r t i e sa r ed e t i n c d a n d i n v e s t i g a t e d ，f o re x a m p l e sw e a ks c a t t e r i n g ，s c a t t e r i n g ，s t r o n gs c a t t e r i n ga n d m i l d m i x i n g c t c t h e s ed u a lp r o p e r t i e sa r et i l et r a n s i t i v ep r o p e r t yo fs y s t e m sw h i c hc a nb ei n t e r p o l a t e da l n o n g t r a n s i t i v i t y ，w e a kn l i x i n ga n ds t r o n gm i x i n g b yd e e pa n a l y s i n gt h er e l a t i o na i n o n gt h e s ed u a l p r o p e r t i t i e s ，a n dt r a n s i t i v i t y , w e a kn l i x i n ga n ds t r o n gm i x i n g ，n l o r ed e t a i l e dc l a s s i f i c a t i o no n t h et r m l s i t i v ep r o p e r t i e so fs y s t e m sa r eo b t a i n e d i nt h ep r o c e s s ，i ti ss h o w nt h a t2 - s c a t t e z i n g i se q u i v a l e n tt os c a t t e r i n g ，a l s oae x p l i c i ts c a t t e r i n g ，n o n - w e k l ym i x i n gs y s t e mi sc o n s t r u c t e d u s i n gt h ec o n l p l e x i t yf u n c t i o no fa i lo p e nc o v e ra l o n gs e i n es e q u e n c e so fn a t u r a ln u m b e r s m i l d m i x i n g ，s t r o n gs c a t t e r i n ga n ds c a t t e r i n g a r ec h a r a c t e r i z e d m o r e o v e r ，t h er e t u r nt i m es e to f t h e s ed u a lp r o p e r t ya r ee h a r a c t e r i z e e d i ti ss h o w nt h a tt h er e t u r ut i m es e to f s t r o n gs c a t t e r i n g i sp o i n c a r 6s e t ，t i l er e t u r nt i m es e to f s c a t t e r i n gi sr e c u r r e n ts e tm i dt h er e t u r nt i m e s e to fw e a k s c a t t e r i n gi sr e c u r r e n ts e tf o rg r o u p r o t a t i o nt h e s es e t sa r ei n t e r e s t i n gs u b s e t so fn a t u r a ln u n l b e r i nc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y , e r g o d i ct h e o r ya n dt o p o l o g i c a lg r o u p h e n c ec o m b i n a t o r i a l m a t h e i n a t i c s ，e r g o d i ct h e o r y ，h a r m o n i ca n a l y s i sa n dt o p o l o g i c a lg r o u p a r ei n d i s p e n s a b l et o o l si n t h ec l a s s i f i c a t i o no nt h et r a n s i t i v ep r o p e r t i e so f s y s t e m s t h e n ，t i l er e l e t i o nb e t w e e nt i l ep r o b l e m w h e t h e rs c a t t e r i n gi se q u i v a l e n tt ow e a ks c a t t e r i n ga n dw v e e c h sc o n j e c t u r e 1 3 6 b w e i s s s q u e s t i o n 1 4 5 a r ed i s c u s s e d ， i nc h a p t e r6 ，n u l ls y s t e ma n d s e q u e n c ee n t r o p yp a i r sa r ei n v e s t i g a t e d al n e 拍u r e - p r e s e r v i n g t r a n s f o ) m a t i o n ( r e s p at o p o l o g i c a ls y s t e m ) i sn u l l i ft h em e t r i c ( r e s p t o p o l o g i c a l ) s e q u e n c e e n t r o p yi s z e r of o ra l l ys e q u e n c e k u s h n i r e n k o 9 4 】s h o w e dt h a ta ne r g o d i cm e a s u r e - p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o nh a sd i s c r e t es p e c t r u mi fa n d o n l yi fi ti sn u l l i tc a l lb ep r o v e nt h a tf o ram i n i m a l s y s t e mt h ea b e v es t a t e m e n tr e m a i n st r u em o d u l oa l la h n o s to n e t o - o n ee x t e n s i o n i ta l l o w su s t os h o wt h a tas c a t t e r i n gs y s t e mi s d i s j o i n tf r o ma n yn u l lm i n i u l a ls y s t e m m o r ( w v e r ，s o l n e n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rat r a n s i t i v en o n - m i n i m a ls y s t e n lt ob en u l la r eo b t a i n e d l o c a l i z i n gt h en o t i o no fs e q u e n c ee n t r o p y , s e q u e n c ee n t r o p yp a i r sa n ds e q u e n c ee n t r o p y p a i r sf o ram e a s u r ea r ed e f i n e d i ti ss h o w nt h a tt h es e to fs e q u e n c ee n t r o p yp a i r sf o ran l e a s u l e i sc o n t a i n e di nt i l es e to fs e q u e n c ee n t r o p yp a i r st i l er e c i p r o c a li sn o tt r u e u s i n gt h el i f t i n g p r o p e r t yo fs e q u e n c ee n t r o p yp a i ra n ds e q u e n c ee n t r o p yp a i rf o ram e a s u r e ，i ti ss h o w nt h a t f o re a c hs y s t e mt h e r ea r eam a x i m a ln u l lf a c t o rs y s t e ma n dam a x i m a lm - n u l lf a c t o rs y s t e m m e a n w h i l e ，al o c a lv e r s i o no ft h en o t i o no fw e a km i x i n gn a m e l y , aw e a k l ym i x i n gp a i ri si n t r o - d u c c d i tt b r n so u tt h a tas y s t e mi sw e a k bm i x i n gi fa n d o n l yi fa n yp a i rn o ti nt h ed i a g o n a l i sas e q u e n c ee n t r o p yp a i ri fa n do n l yi ft h es a n l eh o l d sf o raw e a km i x i n gp a i r ，a n s w e r i n ga q u e s t i o ni n 【2 1 致谢 本文是在我的导师叶向东教授的悉心指导下完成的自本科 以来，导师在学习和生活上给予我极大的关怀和帮助，从论文的选 题到最后成文他都投入了大量的心血五年多来，叶老师系统的讲 授了有关拓扑动力系统和遍历理论多门课程，指导我阅读了大量的 相关文献，指引我进入动力系统研究的前沿领域一直以来，我都 得益于h f 老师严谨的治学、谦虚的为人和对问题敏锐的洞察力同 时，感谢系里的各位老师对我的关心和鼓励感谢师兄弟以及拓扑 动力系统和遍历理论讨论班各位同学富有成效的讨论，特别感谢邵 松师弟对我的论文提出了许多建设性的意见以及平时在学习和生 活上给予的大力帮助感谢我的同班同学伴我渡过这漫长的九年大 学及研究生生活 最后，感谢我的父母及家人，特别是爱人刘晓华多年来对我的 关心和支持正是他们的关心和支持，我才得以顺利完成了我的学 、峨 2 0 0 3 年4 月 第一章引言 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学，牛顿的运动三大定律以及万有引力定律给 予了系统动力学研究最初的推动力在牛顿的理论中，一个系统的运动规律完全由一簇 以时间为参数的微分方程所决定在牛顿的“p r i n c i p i a ”出版后的两个世纪里，系统动力 学的研究是作为微分方程理论的一部分去发展的其中，最具挑战性的问题是将牛顿的 理论应用到行星运动，或决定n 个质点在相互万有引力作用下运动规律的n 体问题中 对十八，十九世纪的分析学家，从e u l e r 到j o c o b i 而言，解决这一问题最为自然的方法是 通过对特定的微分方程作分析处理以获取尽可能多的信息人们甚至希望能够像牛顿处 理两体问题一样显示地求出这些微分方程的积分然而，这一希望完全破灭了，所有的 分析工具对行星运动中的许多基本问题都束手无策 在十九世纪八十年代，p o i n c a r d 1 1 8 打破这一僵局开创了微分方程定性理论的研究， 使人们在系统动力学研究观念上发生了根本性的转变这一转变的关键点在于：将系统 的参数向量所有”可能的值”收集起来形成一个状态空间，着重对状态空间的几何结构 进行分析人们的注意力就从单个解曲线转移到所有可能的解曲线构成的集合以及它们 的相互关系上微分方程定性理论不借助于对微分方程求解，而是通过对状态空间的分 析来推断解的性质或具有某种属性解的存在性及稳定性例如：使用对状态空间拓扑分 析的方法，p o i n c a r d 说明了在特定条件下系统存在周期解；使用对状态空间测度分析的 方法，p o i n c a r d 证明了对有界的h a m i i t o n i a n 系统，“许多”解曲线在p o s s i o n 意义下是 稳定的 作为p o i n c a r d 定性理沦发展的结果，在动力学理论中人们研究的焦点就集中到由一 个状态空间及其上的变换群或半群构成的动力系统上具体来说，把一个系统所有的状 态构成一个状态空间x ，系统的演化用变换t ：x - x 表示，这里t 。取为零时刻的状态 z 在系统演化下l 时刻所处的状态如果我们想了解系统随时间的连续演化过程，我们 可以考虑x 到自身的单数映射簇 矶：t 鸥当决定系统行为的法则不随时间变化时， 自然的可以假设正+ c = 瓦t t ，因此 巩：t 畸为r 在x 的一个群作用一个单独的可 逆变换t ：x 一x 也可以决定一个群作用，即z 在x 上的作用如果t 不可逆，则它 可以决定一个半群作用，即z + 在x 上的作用一般地，可以考虑任意群或半群在x 上 的作用在本文中我们主要涉及到由单个变换诱导的z 或z + 作用 为获得有意义的理论，我们必级赋予状态空间x 一定的结构和对变换t 作一些必 要限制以下两种择取方式是十分富有成效的 第一种择取方式是；取x 为紧度量( 或紧h a u s d o r f f ) 空间，t ：x _ x 为同胚( 或连续满 射) 1 9 2 7 年b i r k h o f ff 1 5 首先研究了这类系统，证明了这类系统必存在p o s s i o n 意义下的 稳定点k r y l o v 、b o g o l i o u b o v 、g o t t s c h a l k 和h e d l u n d 9 3 ，5 8 1 随后的贡献使得这类系 统成为一个系统的，独立的研究对象我们将这类系统称为动力系统，对其性质研究的 理论称为拓扑动力系统拓扑动力系统的研究中有两个基本的工具，即e l l i s 半群以及将 中国科学技术大学博士学位论文 要介绍的遍历理论上世纪五十年代末期，r e l l i s 将代数的工具引入到拓扑动力系统中 来，对一个动力系统定义了e l l i s 半群，e l l i s 半群今天已经成为拓扑动力系统中的一个强 有力的工具这是一件非常令人吃惊的事：由许多通常是不连续的变换构成的一般来说 是非度鼍e l l i s 半群却能作勾研究度量动力系统的一个强有力的工具e l l i s 、g i a s n e r 、 t r s t e n b e r g 、s h a p i r o 和v e e e h 等人【3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 8 、3 9 ，1 0 2 ，1 3 7 ，1 3 8 建立了一系列的结构 定理则是拓扑动力系统发展中的另一个高峰 第二种方式是：取x 为测度空间，t ：x _ x 为保测映射我们将如此的x 和t 构成的系 统( x ，t ) 称为保测系统，将研究保测系统的定性理论称为遍历理论遍历理论是研究拓扑 动力系统的一个重要工具，这是因为任一拓扑动力系统上都存在不变测度遍历一词足由 b o l t z m a n 引入的在统计力学中b o l t z m a n 做了著名的“遍历假设”：即系统的时间平均等 于空间平均然而在通常情形下这一假设足错误的，人们习惯上把满足时问平均等于空间 平均的系统称为遍历系统在数学上，遍历理论的起点是p o i n e m f i 回复定理，b i r k h 0 1 i ：1 1 6 1 逐点遍历定理以及v o nn e m n a n n 1 3 9 】平均遍历定理随后，k h i n t d l i n e 8 6 】、h o p t 6 2 】、 k a k u t a n i 和y o s i d a 7 7 】对逐点遍历定理以及平均遍历定理做了更为清晰的阐述；h o p i l 6 3 ， 6 4 1 ；h u r e w i c z 7 3 ；c h a c o n 和o r n s t e i n 2 6 证明了一些新的遍历定理；a m b r o s e 、h a h u o s 、 k a k u t a n i 和r o h l i n 7 ，7 6 ，5 9 ，6 0 ，1 1 9 ，1 2 0 】对保测系统的分解及表示作了深入的研究这 些研究与系统回复属性和系统分类等问题的研究一起促使遍历理论成为一个独立并且深 刻影响其它学科的研究领域 在遍历理论中，一个重要的内在问题是保测系统的分类问题分类问题第一个重要 的结果是h a l m o s 和v o nn e u m a n 1 4 0 ，6 1 关于具有离散谱的遍历保测变换的分类定理他 们证明了l e b e s g u e 概率空问上两个具有离散谱的遍历保测变换是同构的当且仅当它们其 有相同的特征值集合在这以后的相当长的一段时期内分类问题的进展非常缓慢，直到 1 9 5 8 年k o l m o g o r o v 8 7 】借鉴s h a n n o r t 的信息论 1 3 0 在遍历论中引入了熵的概念情况才有 所改观借助于熵，k o h n o g o r o v 解决了一个著名的问题：是否存在两个不是测度同构的 具有连续谱的谱等价的保测系统? 为此，k o h n o g o r o v 首先说明了1 熵是保测系统的同 构不变量；2 b e r n o u l l i 系统的熵是容易计算的；3 b e r n o u l l i 系统具有可数l e b s g u e 谱，然 后k o h n o g o , o v 使用两个具有不同熵的b e r , m u l l i 系统成功解决了上面的著名问题在随后 的一段时间里，遍历理论在r o h l i n 1 2 1 ，1 2 2 ，1 2 3 】和s i n a i 1 3 2 ，1 3 3 ，1 3 4 ，1 3 5 1 手中取得了巨 大的成就今天在遍历理论中可能最具有深远影响的成就是o r n s t e i n 1 0 7 的同构定理：熵 是b e r n o u l l i 系统在同构意义下的全系不变量o r n s t e i u 引入的方法和思想超越了证明本 身例如，各种“b e r n o u l l i c i t y ”准则在判定一个保测系统是否为b e r n o u l l i 系统这一过程中 是极端重要的( 例如参见o r n s t e i n 和w e i s s 1 1 1 ，1 0 9 ) 使用这些方法人们能够证明许多来 自于诸如l i e 群理论，数论和数学物理中的系统是b e r n o u l l i 系统o r n s t e i n 本人证明了强 混合的m a r k o v 系统是b e r n o u l l i 系统对于另一类重要的保测系统：k o l m o g o r o v 系统，人 们也自然的猜测：熵是k o l m o g o r o v 系统在同构意义下的全系不变量，o r n s t e i n 1 0 8 首先 构造了一个没有平方根的k o l m o g r o v 系统否定了这一猜测随后，o r n s t e i n 和s h i l e d s 1 1 0 动力系统的复杂性与点串 说明了存在不可数个互不同构的等熵k o h n o g o r o v 系统 赋予状态空间更好的结构或考虑状态空间上更广泛的一类群作用的遍历理论是当前 遍历理论研究的热点，例如：光滑遍历理论，齐性空间上的遍历理论以及a m e n a b l e 群作 用下的遍历理论等今天，遍历理论已经被使用在许多数学分支中，例如：s i n a i 等人将 其应用到数学物理中，i r s t e n b e r g 、k a t z n e l s o n 、m a r g u l i s 和w e i s s 等人将其应用到数 论中 由于拓扑动力系统和遍历理论有着共同的起源，今天使用在这两个领域的术语有着 相当的一致性例如：在两个领域中，人们均可以谈论传递性、遍历性、弱混合性、强混 合性、d i s t a l 性质和刚性等性质另外在这两个领域中的一些定理也有着惊人的类似之 处例如，在拓扑动力系统中极小d i s t a l 系统的f u r s t e n b e r g 结构定理 3 9 1 与遍历理论中 遍历的测度d i s t a l 系统的z i m m e r 结构定理 1 5 5 ，1 5 6 在表述上十分类似，这两类d i s t a l 系 统都能视为( 拓扑的或测度的) 等距扩充的“逆极限”尽管如此，既使在遍历理论和拓扑 动力系统平行之处，两者所使用的方法和技巧却是大相径庭的拓扑动力系统侧重于使 用点集拓扑和拓扑群的知识，遍历理论一方面通过各种p 空间的表示与泛函分析和谱理 论有着紧密的联系，另一方面在熵的研究中与组合数学有着密切的关系 从遍历理论与拓扑动力系统的平行之处出发，使用局部化( 点对或点串) 、序列化和 簇化的思想对与混沌、熵以及系统传递属性有关的系统复杂性问题进行研究是本文的主 要目的在这一过程中我们强调遍历理论与拓扑动力系统两者之间的概念和结论的相互 借鉴，以期对系统复杂性有更为深刻的了解以下我们将介绍这三方面的研究进展以及 我们所做的相关工作以进一步解释我们的观点在本文中，我们的研究对象是由紧度量 空间x 及其上的同胚( 或连续满射) t 构成的动力系统( x ，t ) 、与混沌相关的问题 二十世纪六十年代以前，确定论是科学研究的主导思想人们认为只要有精确的数 学模型和初值，我们便可预知未来，反演过去但是随着气象学、生态学、天体力学等自 然学科中许多现象，特别是l o r e n z 现象的发现，人们才认识到随机性和不可确定性的重 要 1 9 7 5 年李天岩和y o r k e 给出了混沌的第一个数学定义 9 7 1 ，这也是首次赋予混沌这 个词以严格的科学意义l o r e n z 现象的发现以及李天岩和约克的工作激发了众多领域的 科学家对混沌现象的研究今天，混沌的研究已经成为非线性科学的主要课题之一 在此，我们首先给出l i y o r k e 意义下混沌在数学上的严格定义设( x ，t ) 为具有度量 d 的动力系统我们称空闻x 的点对( ，y ) 为l i y o r k e 对，如果| i m l n f d ( t “z ，t “y ) = 0 且 l i ms u p d ( t “z ，t “y ) 0 x 的子集s 称为混沌集，如果对任意。y s ，( ，y ) 为l i y o r k e n 斗+ 0 0 对如果( x ，t ) 具有不可数混沌集，则称( x ，t ) 为l i y o r k e 混沌一个自然地问题是： 一个动力系统的混沌集能“大”到何种程度? 李天岩和y o r k e 9 7 1 证明如果区间【o ，l 】上 的连续自映射具有三周期点，则它为l i - y o r k e 混沌的；m i s i r u r e w i c z 1