（应用数学专业论文）dirichletrobin型边界条件下的逆散射问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要讨论由时间调和声波产生的具有d t 疵c m e 一r d 跣佗混合边界条件下 的散射问题，即 f 缸+ 七2 u = o ，z r 2 悸 i 让= ， z s t 娶。，嚣 其中d r 2 是一个有界域，a d = rus 是光滑的，日1 2 ( s ) ，九日- 1 2 ( r ) 对这个问题的研究分为两个方面：一是正散射问题，即在给定d 及边界条件 下，解的存在与惟一性；二是逆散射问题，即由解的部分已知信息来求定解问题中 的某些未知量，如微分方程中的系数，定解问题的区域或者是某些定解条件本文 的主要目的是重构边界此逆散射问题有一点不同，是由部分边界上的信息，即r 上的信息来重构未知部分边界s 关键词：混合边界条件；逆散射问题；日e z 仇危o f t z 方程；变分公式 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt b j sp a p e r ，w ed i s c u s st h ei m r e r s es c a t t e r i n gp r o b l e mo fa na c o i l s t i ct i m 争 h 锄o n i c 诵t hd i 死c m e t r d 玩几m 恢e db o u n d a 珂c o n d i t i o n s ，i e 蚤_ 。， z r 2 西 。c s z r 7 = i z i w h e r ed r 2i sab o u n d e dd o m a i nw i t hi t sb o u n d a ua d = rusi ss u m c i e n t l y s m o o t h ，日1 2 ( s ) ，九日一1 2 ( r ) w bs e p a r a t et 、舳p a r t st or e s e a r c ht h ep r o b l e m ：o n ei st h es c a t t e r i n gp r o b l e m ，i e 西v e nda n db o u n d a i yv a l u e ，t od i s c u s st h ee ) 【i s t e n c ea du n i q u e n e s so f t h es o l u t i o n ；t h eo t h e ri st h ei 玳r e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m ，酉v e nk n o w ns o l u t i o ni n f o r - m a t i o n ，t of i n ds o m eu n l ( n 帆心q u a n t i t yo fs c a t t e r i n gp r o b l e m ，s u c h 船t h ec o e 历c i e n t o fd i h e r e n t i a le q u a t i o n ，t h es c a t t e r i n gd o m a j no rs o m ec o n d i t i o n s i nt h i sp a p e r ，w e m a i l l l yr e c 0 、厂e rt h eb o u n d a r y t h e r ei sad i 虹e r e n c ei nt h ei i i v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m i st o 丘o mt h ei n f o m a t i o no ft h ep 甜tb o u n d a r y i e t h ei n f o 珊a t i o no frt or e c o v e r t h eu n k n o w np a r t i a lb o u n d a r ys k e yw b r d s ：m 波e db o u n d a 巧c o n d i t i o r l s ；t h es c a t t e r i n gp r o b l e m ；h e l m h o l t z f h j l c t i o n ：v a r i a t i o n a lf b 衄ui a t i o n ： 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 7 刁垒亥 日期：矽了年f 月乡日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：】习叁亥 日期：加留年月乡日 导师签名：琴日敬 日期：训f 年石月3 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回亟途塞握銮厦溢卮! 旦主生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：) 习硷霞 日期：纠咿年月乡日 导师始l 司她 日期：1 砷3 年占月3 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s is 第一节引言 报等( 【1 2 】，【4 】) 逆散射问题一个重要方面是研究重构物体形状，通常用远场模 法或牛顿迭代法( 【6 】，【8 9 】，【1 9 】) 方程边值问题的研究是很深入的，得到的结果也是比较充分的但对于一般边界 继军对重构洞穴进行了很好的应用( 【1 4 】) 本文就是在【1 3 】，【1 4 】的思想上，在r 2 j ， ；：，七2 乱= 。 三茎妻、万 ，、 1 祟+ 枞t | ： ， z r j 7 【熙( 蕃一讹) = o ， r = 阱 本论文考虑入射波为平面波的情形在时间调和情形下，入射波可以简单的表 示为( z ) = e 池d ( 其中z r 2 ，七为波数，d 为入射方向且d q ，q 为r 2 中的单位 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 圆面) ，那么这里的整场u ( z ) 就为入射场 ) 和散射场t ( z ) 的叠加，且其中散 熙( 等一溉) = o ， r = 可简单归纳为两类：第一类为外问题：令，日1 2 ( s ) ，九日一1 2 ( r ) ，找一个 函数u 跣( r 2 面) ，使得： i u + 后2 u = o ， z r 2 西 i u ：， z t 襄麓她嚣 第二类为内问题：令，日1 2 ( s ) ， 日一1 2 ( r ) ，找仳日1 ( d ) ，使得： i 缸+ 七2 仳= o ， z r 2 一 【象似a 让乩z r 而研究( 1 1 ) 正散射问题解的存在与惟一性对最终解决逆散射问题是有很大帮 助的，于是我们在第二节详细讨论了( 1 1 ) 解的性质并得到一个重要结论( 具体证 明见第二节) ： 定理2 3 假设d r 2 是光滑的有界区域，a d = rus ，日1 2 ( s ) ， 日一1 2 ( r ) ，( 1 1 ) 存在唯一解乱殴( r 2 万) 相应逆问题是通过已知解让和边界条件重构a d ( 其中r 己知) 采用的方 法是牛顿迭代法( 具体计算步骤见第三节) 在重构a d 的过程中，我们不可避免 的用到了算子的n e c e t 导数( 一般区域导数的定义见【1 2 】) 于是研究算子的 f r e 觇e t 导数对解决我们的逆问题尤其重要，在第三节我们就着重研究了算子的 f r e c 危e t 导数，并得到了一个重要结论( 详细证明见第三节) ： 2 定理3 1 设咖是( 1 1 ) 在r 2 _ o 中的解，佗是岛的单位法向量，则有 f ，( 岛；o ) = y i r ，其中y ) 三( r 2 _ 0 ) 是下面外混合边值问题的弱解： 爨m ，荸 全文共分为三个部分：第一部分是引言，首先介绍散射问题的一些研究成果及 我们要讨论的问题：第二部分主要是证明( 1 1 ) 正散射问题解的存在与惟一性第 三部分中，我们讨论，三0 ， 0 时( 1 1 ) 的逆散射问题在此，逆散射问题有一点 不同，是由部分边界上的信息，即解在r 上的信息来重构未知边界s 我们用近场 数据来重构边界在重构的过程中用到了算子的f r e 眈e 导数，在此我们着重讨论 了算子的性质且给出了n e 眈髓导数值采用的方法是牛顿迭代法，并给出了迭代 的基本步骤 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第二节正散射问题解的存在与惟一性 2 1单双层位势的跳跃条件 声波单层位势定义为：u ( z ) = j a d 妒( 秒) 圣( z ，y ) d s ( y ) 双层位势定姚出) = 岛岫) 帮d s ( n 其中妒为密度函数 我们知道日e f m d f 钯方程的解可以由基本解： 圣：= 丢硪d ( 七i z 一秒i ) 表示出来，其中毹1 是零次第一类日o n 七e f 函数由格林公式知道，日e 2 m 九d l t z 方 程的解可以表示成单、双层位势的结合一般情况下，应用位势理论将问题转化为 边界积分方程，然后由f r e d 甜m 选择定理可以得到正散射问题解的存在与惟一 性在下面的讨论中我们会用到单、双层位势在边界的跳跃关系，即： 引理2 1 单层位势u ( z ) = 圣( z ，秒) 妒( 可) 如( 秒) ，z r 2 a d 它的法句导数 j 8 d 在边界满足如下条件： 鬻= 厶帮删s 干扣艇姐 引理2 2 双层位势t ，( z ) = z 。帮妒( 可) d s ( n z r 2 a 。它在边界满 足如下条件： 嘶) = 厶哿删s 士扣艇组 注：啦分别表示口( z ) 从d 外部和内部逼近a d 时的值 引理2 1 和引理2 2 的证明可以参见 1 】，【2 】，【3 】 4 项士学位论文 m a s t e r st i l e s i s 2 2 解的存在及惟一性 首先介绍本文中涉及到的几个空i 司 令r o a d 是部分边界如果日1 ( d ) ，日( r 2 西) 表示一般的s d 6 d f e 口空 间，日1 2 ( a d ) 记成一般的迹空间定义： 日1 2 ( r o ) ：= _ 【让i r o ：乱日1 2 ( a d ) 】 膏1 2 ( r o ) ：= 乱日1 2 ( a d ) ：s 弘觥r ) 日一1 2 ( r o ) ：= ( 豆1 2 ( r o ) ) 表示厅1 2 ( r o ) 的对偶空间 膏一1 2 ( r 0 ) ：= ( 日1 2 ( r o ) ) 表示日1 2 ( r o ) 的对偶空间 在无界区域r 2 面上考虑声波正散射问题解的存在与惟一性，通常的方法是 先考虑解在圆q ( 甜2cr 2 万) 内的性质，再利用解析性和r e 讹c 引理可解决解 在无界区域内的性质 引理2 3 俾e 拖c 引理) ：设d 是一个有界域，札俨( r 2 _ ) 是日e f m 危d 沈z 方程懈，满足恕名扩( 刮2 出0 则在r 2 - 中有仳_ 0 证明见 2 】 由引言，我们知道外混合边界条件下问题( 1 1 ) 的解定义在l 鲥：= u 硪( r 2 万) ：在分布意义下，t ，+ 七2 口= o 且满足辐射条件) 上相应的变分公 式即为：找一个函数让职( r 2 西) ，训s = ，使得对任意有紧支集的函数 钞日1 ( r 2 面) ，且u i s = 0 有： 一后2 j 。一砒+ 一v 缸眺= 一( ，移i r ) + t 七a ( 让，t ，) r ， ，r 2 西r 2 、万 ( 2 1 ) 其中( ，) 表示日一1 2 ( r ) 与百1 2 ( r ) 的内积，( ，) 表示l z ( r ) 中内积，而且辐射条 件可以表示为： 恕l l 袅砘帕- o 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 内混合边界条件下问题( 1 2 ) 的解定义在l t n t ：= 【口日1 ( d ) ：在分布意义下 + 尼2 t ，= o ) 上相应的变分公式可写为：找一个函数让日1 ( d ) ，让i s = ，使得 对任意的函数 日1 ( d ) ，且 i s = o 有： 一胪上础+ 上v 缸v 讹= ( 帅i r ) 以冰，办 为了证明后面的定理2 3 ，我们先证明下面两个定理 定理2 1 外混合边值问题( 1 1 ) 在l 比t 中至多有一解 证明：令，三0 ， 三0 令u 是( 1 1 ) 的解，则在r 2 西中应用格林公式得到： 一七2 厶、_ m 2 出+ 上：、_ i v 让1 2 出= z 。关谢s 利用齐次边界条件得到： 一舻上。、一m 2 出+ 上。、西i v 牡1 2 出= i 尼入z m 2 d s ( 2 2 ) 由七与a 是实数及( 2 2 ) 右端得到让i r = o ，u 日1 2 ( r ) 故在日一1 2 ( r ) 中有 兰l r 三o 设如是一个圆，冗 o 且dcb 兄定义：在( r 2 万) n 如中 = u ；在 d 中 = 0 则对试探函数妒卵( 6 晴) 及口的每个域使用格林第二定理得到：u 是 日e z m 九o f 亡z 方程在如中的弱解因此 是方程在b r 中的古典解【1 6 】，从而在 中实解析，故在如中u 三o 由引理2 3 知，在r 2 万中缸三o 下面我们证明( 1 1 ) 存在一个解 定理2 2 外混合边值问题( 1 1 ) 在l 硎中有一个解 证明：由格林表达公式可以得到弱解表达式为： 缸= 5 爰一d u ( 2 3 ) 有界算子s ：日一1 2 ( a d ) 一日1 ( r 2 - ) ，d ：日1 2 ( a d ) 一日1 ( r 2 ) 定义为： s 妒( z ) ：= 妒( ! ，) 圣( z ，夕) d s ，z 譬a d j 8 d 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 。蝌= 厶她) 掣屯，z 铲姐 由引理2 1 和引理2 2 ，得到在a d 上： u = k 让+ s 嘉 ( 2 4 ) 毫= 一孔一囊 ( 2 5 ) 其中s ，k ，k 7 ，t 是四个基本积分算子，分别定义为： 剐小_ 2 厶她舭s v ，训咖= 2 z 。蜘) 掣啤 j 8 d j 8 nu t h m ：= 2 厶灿) 掣嘞，狮) ：= 2 毫z 。炖) 掣峨 对f s i l 2 ，s 、和丁都是有界算子且有以下映射性质： s ：日一1 2 如( a d ) 一日1 2 + 口p d ) ， k ：日1 2 如( a d ) _ 日1 2 + 8 ( a d ) ( 2 6 ) ：日一1 2 扣( a d ) _ 日一1 2 如( a d ) ， t ：日1 2 + 5 ( a d ) _ 日一1 2 扣( a d ) ( 2 7 ) 单双层位势s ，刃及以上的边界算子在不光滑边界的映射性质见 1 5 】注意在此情 况下算子k 是连续的但是不紧 由( 2 4 ) ，( 2 5 ) 得到： ( 是+ t 七a 札) = 一孔一爰+ t 七a k u + i 七入s 关 ( 2 8 ) 记厂日1 2 ( a d ) ，元日一l 2 ( a d ) 是边界值厂， 在整个边界a d 上的有界延拓 ( 【1 6 】) 且令咖i s 三0 ，妒s l r 兰o ，则惦豆1 2 ( r ) ，惦青一1 2 ( s ) ，且 u i a d = 咖+ z ( 关+ i 七地) i a d = 惦+ 元 ( 2 9 ) 或者 爱i a d = 拈一讯a 枷+ 元一i 从芦 ( 2 1 0 ) 把( 2 4 ) 限制在r 上，( 2 8 ) 限制在s 上，则由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 得到方程组： a f ，哆、邓 咖 7 ( 2 1 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s l s 其中 a = ( 溉枞2 踯r 怎燕沪砰r ) 仁埘 ( ，一k ，+ i 尼入s ，一s ) s 夕2k ( 元+ t 厂一z 七a k ，+ 元一i 七a 厂一i 七a 蛎一七2 a 2 s 乃r 夕 则函数，妒s 是c 口让眈可问题( 2 1 1 ) 的解其中算子研s 是密度函数妒在s 上 取值，函数值限定在r 上；算子风s ，踟，踯r ，珞r ，群s ，所r ，群r 和砰r 有类 似定义 由( 2 6 ) ，( 2 7 ) 得到： 风s ：豆一1 2 ( s ) _ 日1 2 ( s ) ，并r ：豆一1 2 ( r ) _ 日1 2 ( r ) 踯s ：雷一1 2 ( s ) 一日1 2 ( r ) ，踟：膏1 2 ( r ) _ 日1 2 ( r ) 群s ：豆一1 2 ( s ) _ 日一1 2 ( r ) ，群r ：厅一1 2 ( r ) _ 日一1 2 ( r ) $ r ：厅一1 2 ( r ) _ 日1 2 ( s ) ，砰r ：豆1 2 ( r ) 一日一1 2 ( r ) k s r ：雷1 2 ( 1 1 ) 一日1 2 ( s ) 因此算子a 膏一1 2 ( s ) 詹1 2 ( r ) 一日1 2 ( s ) 日一1 2 ( r ) 是一个连续映射 显然，( 2 1 1 ) 等价于原外混合边值问题( 【16 】) 如果从( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 可以确定 c n u c 切问题的解，则( 2 3 ) 式确定( 1 1 ) 的弱解 由定理2 1 及下面的重要引理2 4 可得( 2 1 1 ) 解的存在性 下面我们详细证明定理2 2 中用到的那个重要引理，即： 引理2 4 日= 豆一1 2 ( s ) 豆1 2 ( r ) ，其对偶算子日= 日1 2 ( s ) 日一1 2 ( r ) 则 由( 2 1 2 ) 给出的算子a ：日_ 日+ 是有零指标的n e 砒川m 算子且七e r n a = o ) 证明：由【1 5 】算子s ，一t 是正的且对于一个紧的扰动是下有界的，也即存在 紧算子 l s ：日一1 2 ( a d ) 一日1 2 ( a d ) ，l t ：日1 2 ( a d ) _ h 一1 2 ( a d ) 使得： r e ( ( s + l s ) 妒，万) c li 妒ll 备一。( 肋) ， 妒日- 1 7 2 ( a d ) r e ( 一( t + 幻) 砂，万) c il 妒il 备- 。( a d ) ， 矽日1 7 2 ( a d ) 其中( ) 表示日一1 7 2 ( a d ) 与日1 2 ( a d ) 的内积 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 定义岛：= s + l s ，：= 一( t + l 丁) 则岛和蜀是正的且下有界的设 砂= ( 惦，咖) 日，其中蟊日一1 2 ( a d ) ，珏日1 2 ( a d ) 是妒s 和咖在a d 上的 零延拓我们定义 删= 。响柑硬鼎勰静芝嚣缎。啪r 州) ( 2 1 5 ) 圳= ( 。幻兰羹蹴鳓r ) 仁 使得a = a o + l 算子l a ：日_ 日是紧的，且a o ：日一日定义一个双线性 形式： ( 妒，万) 甘口= ( 岛氟，瓦) 肋+ 七2 入2 ( 岛诉，珏) a d i 从( 岛磊，蟊) 加 + i 尼a ( s b 妒s ，砂r ) a d + ( 踟矽r ，妒s ) s 一( 砰s 惦，枷) r + i 从( ( 蜥+ 群r ) 如，如) r + ( 惦，咖) 加( 2 1 7 ) 其中对r 0 a d ，( u ， ) r 。：= 涮s 是l 2 ( r o ) 中的内积 ，r o 取( 2 1 7 ) 式的实部，由( 2 1 3 ) ，s 赢s 和贸印珏冬r 得到： 觑【( 岛蟊，瓦) a d + 七2 入2 ( 岛届，珏) a d t 七a ( 岛珏，瓦) a d + i 从( 岛氟，珏) a d l = m ( 岛( 蟊一t 七a 珏) ，( 氟一i a 珏) ) a d c | l 惦一 七入咖幢- l ：( 删 = c ( 慨喙。2 ( s ) + 七2 卅：( r ) ) ( 2 1 8 ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由k 和是伴随的知： 且 冗e 【( 踟妒r ，妒s ) s 一( k ；s ，惦) r 】= r e 【( k j r 忻，砂s ) s 一( 妒s ，k 矗) s 】 = r e 【( 风r 矽r ，砂s ) s 一( 聪r 惦，惦) s 】 = 0 冗e 扛七入( ( 所r + 群r ) 妒r ，惦) r 】= 一尼a ，m 【( 所r 诉，妒r ) r + 百百i 丽) r 】 = 0 ( 2 1 9 ) 由( 2 1 4 ) 可推出： r e ( 死珏，珏) 加c | | 珏嗜。：( a 。) = c li 惦幢。：( r ) ( 2 2 0 ) 从( 2 1 8 ) 到( 2 2 0 ) 知： 觑( ( a + l a ) 妒，万) 凰日c il 妒il 备， 妒膏一1 2 ( s ) 齑1 2 ( r ) 利用( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 得到l a 是紧的，故a 是具有零指标的f 7 e 砒d z m 算子( f 1 6 】) 下面证明七e r a = o ) 令妒= ( 忆，诉) 詹一1 2 ( s ) 膏1 2 ( r ) 是a 矽= o 的 解，诟日一1 2 ( a d ) ，珏日1 2 ( a d ) 是它们的零延拓定义位势： t ，= 5 惦一t 七入s 伽一口惦， ( 2 2 1 ) 它是日e z m 九d f 切方程的弱解，即 厶彬钞l 硎因此对( 2 2 1 ) 取法向导数且从 内部逼近到边界a d ，我们得到： 2 钞i a d = 枷+ s 惦+ k 蜥一i 七入s 诉 2 ( 笔+ l 七加) i a d = 蟊一瓦+ t 七a s 蟊+ 七2 入2 s 磊+ i 七入( + k ) 珏一t 珏 由a 移= 0 ，得到： ( s 惦+ k 诉一i 忌a s 诉) i s = o ( 一k 瓦+ i 七a s 蟊+ 后2 a 2 s 磊+ i 七a ( k + k ) 珏一? 再) i r = o 】0 又珏i s 兰o ，瓦l r 三o ，推出： 山三o ，( 嘉似m r 三o 故( 2 2 1 ) 是齐次外混合边值问题的一个弱解由定理2 1 可知，在r 2 万中 三o 从外部逼近边界知道( 2 2 1 ) 也是齐次内混合边值问题的一个弱解由定理2 2 知，在万中t ，三0 因此在a d 上 磊= 矿一口一= o ，五一i 七入珏= 筹一筹= o ( 2 2 2 ) 其中士分别表示相应的内外区域由( 2 2 2 ) 得到：作为日中的函数，妒= ( 妒s ，诉) 三o 口 根据上面的讨论，我们得到下面的重要定理，即： 定理2 3 假设d r 2 是光滑的有界区域，a d = rus ，日1 2 ( s ) ，危 日一1 2 ( r ) ，( 1 1 ) 存在惟一解u 圾( r 2 万) 证明：由定理2 1 和定理2 2 直接得到定理的结论 口 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st 髓s 1 s 第三节d i r i c h l e t r o b i n 型边界条件的逆散射问题 3 1算子f 的n e c h e t 导数 下面讨论当，三o ，九o 时( 1 1 ) 的逆散射问题，其中r 已知我们确定物体 d 的形状，只需确定s 即可 由定理2 3 知道，( 1 1 ) 的正散射问题的解是存在且惟一的，下面我们的方法是 用边界条件和已知的r 以及牛顿迭代法来重构s ，在重构过程中不可避免的用到 了算子的n e c e t 导数，于是在( 3 2 ) 中定义了算子的f r e c 尼e 导数 我们把( 2 1 ) 记为： 日( 钆，u ) = 。；v 缸v 可d z 一七2 ! 。一呖d z i 后a 融= 一( ， ) l r ( 3 1 ) ，r 2 百，r 2 西，r 、 首先介绍扰动平面足。= z + e 口( z ) ：z s ) ，e o ，o 扛) 俨( s ，r 2 ) ，o l r = o 且o i s n r = o 显然，如果i i oj i ：= m o z i o ) i ，z s 很小，则是口俨是s 的扰 动 记ur 是r 2 瓦。的边界，设( 1 1 ) 在r 2 瓦口中的解为让盼由定理2 3 得 到，( 1 1 ) 定义了一个非线性映射： f ：是。一让e 。i r 日1 2 ( r ) 记r 2 - o = r 2 万，s o = s f 在边界岛上沿着方向。的n e c e t 导数定义为： ，( 跏) ：= 粤华 注：以下所有的试探函数和( 2 1 ) 中的t ，定义相同 ( 3 2 ) 于是由( 3 1 ) 得到： 。，v 咖v 可出一后2f 一咖丽如一i 七a 咖_ d = 一( 危，t ，) f r 、( 3 3 ) ，r 2 - o，r 2 乃j ，r 。“ 、 f 一v t 上v - 如一七2f ，一。萨如一i 七a 强砜= 一( 危， 8 ) l r ( 3 4 ) ，r 2 玩。，r 2 西。 ，r 、。、 奠中t ，和t 严都是试探函数 1 2 于等曼三黧嚣孑微；篙慧高篇面善蒜 为矿的，o 跣q 礼矩阵，矿是矿的逆，且矿静t ，口c d 觇a n 祀p 竽刀j 咖”贝。同纷 估计： d e t 以= l + v 口+ 2 d e t 以 函。= 了1 。妒= ，一e 尻+ d ( e 2 i l 。l l 苔) 驰) = = 雹掣掣 = 如叫嚣+ 甏) + d ( 叫| 0 l m 钳“，2 。五 其中如是k 7 帆e c 七e r 系数 音引理3 1 定义的微分同胚可以将( 3 4 ) 在噼中的积分转化为r 2 谭。中 的积分，即： 上：佩。吼一小孵( 们妒舻上慨地如炉 m ! ， = 鼬毫吃掣掣卅砒( - 彤) ) d 矗删矗 其中蚝定义如( 3 5 ) 对于区域噼慢口中的试探函数t ，根据变换，对于区域 玉函数伊。矿是试探函数 砚口( z ) ：= u s 口( 矿( z ) ) 定义： 州u ：= 厶、- 。c 喜吃畿嚣以2 阑妣乃如“从上佃瓠 厌i 为t h 和让。为具有相同入射波的散射问题的解，再由( 3 1 ) 和上面定义知， ( 3 3 ) ，( 3 4 ) 可以表示成： 日( 咖， ) = 一( ，钞) 日5 ( - k ，u ) = 一( 九，t ，) 1 3 ( 3 6 ) 由引理3 1 可知： 日( 砚口一u o ，口) = 阻( 磁。，口) + ( ，口) 】 = - 【日5 ( 砚d ， ) 一日( 砭d ，口) 】 一上哂【毛( 屹抛乃一如) 鼍考“2 ( d e z 乃- 1 飚- 】如 一上。慨喜( 如v 心口) 一( 差+ 甏) + 昨2 ) 鬻考如 + ( 尼2 v ( n ) + o ( e 2 l 苔。) ) 砚。可出 ，r 2 d o ( 3 7 ) 由以上对变分等式的分析，下面我们得到关于f 的f 7 e c e 亡导数值的一个重 要结论，即： 定理3 1 设锄是( 1 1 ) 在r 2 面。中的解，礼是岛的单位法向量，则有 ，( 岛；o ) = y i r ，其中y ) 上如( r 2 _ 0 ) 是下面外混合边值问题的弱解： t 鏊瑚， l y + 胪y = o ， z r 2 _ 0 z 岛 ( 3 8 ) z r r = i z l 证明：固定口的方向，由( 3 7 ) 得到： 日c 坠竽m = 上哂喜c c 筹+ 甏卜v 口+ 。c 勘鼍考如 + ( 七2 v - o + o ( e ) ) 砚口础( 3 9 ) ，r 2 瓦 在r 2 _ 0 中，由变分公式的适定性可得：在砚( r 2 _ 0 ) 中，当e o 时，砚口( z ) 一u o ( z ) ( 【17 】) 又砚口是( 3 6 ) 的解，且当s o 时，吃一，如t 乃= _ 1 1 4 在( 3 9 ) 中令e 一0 有： 日f l i m 、e 0 u e a u 0 ，t ，) =1 ，r 2 _ 玩 2 c 嚣+ 甏一v 叫罄骞出+ 上。、- 。七2 咖可v 。如 = 【v 可( 以+ 刀一( v o ) ，) v 让o + 忌2 札。可v 0 】出 ，r 2 瓦 因此在职( r 2 _ o ) 中，当_ o 时， 令u ：= l i m e 0 a 一咖 t 正e d u o e 是收敛的 则( 3 1 0 ) 即为： 日( t ，) = 夕( q ，咖；口) 其中夕( o ，咖；口) = 【v 可( 五+ 刀一( v o ) ，) v 钆o + 尼2 u o 可v n 】妇 ，r 2 _ o 由散度计算公式知： ( 3 1 0 ) v 可( 五+ j 孑一( v n ) j ) v u o = v 【( n v u o ) v 西+ ( n v 可) v 咖一( v 面v 札o ) o 】 于是由( 3 1 1 ) 推出： 一( 0 v 咖) 可一( 口珊) 咖 夕( n ，咖；仃) = 【七2 札。面v a 一( o v 咖) 可一( o 玩) u 0 】如 r 2 _ o 【( n v 咖) v 可+ v 可) v 咖一( v 可v 咖) 凸】礼d s j 8 d o ( 3 1 1 ) 由满足日e z m 危d f z z 方程，对u 应用格林公式和n ( z ) 满足的条件得到： ， 9 ( o ，咖；u ) = 【尼2 让。可v 凸+ 后2 咖( o - v 可) ，r 2 d o ，i + v 面v ( 口v 咖) 】出一9 0 ( o ，咖) v 础 ，s b 其中夕o ( o ，咖) ( z ) = ( v 咖死) 口一( 口佗) v 咖 又七2 咖可v - o + 七2 咖( 口v 可) = 七2 【v ( 咖可口) 一万( o v 让o ) 】再次利用g o u s s 定理和 口( z ) 满足的条件及咖i s = o 得到： 9 ( o ，蛳可) = 【珊v ( n v 仳o ) 一七2 可( o v 咖) 】如一卯( n ，u o ) 珊出 1 5 渊 令y = v 一口v 咖由口i r = o 得到： 又o ( z ) i r = o ，于是： 日( 州一厶9 0 ( 0 ，让坍弧 刈一v 酬r 卅r = 觋掣 1 ：札e 。l r u o l r = 1 1 m 二一 一0e = 一( s ；o ) 由文献【1 4 】知： 厶卯( q ，u 。) v 础= 厶【v 咖。礼) 。一( 。n ) v u 。】v 虿出 = 厶【鬻一亿，鬻叫要刊s 故( 3 1 2 ) 即为： = 0 上：、_ 。v y v 讹一上。、- 。七2 y 可如一z 后az 骱胁= 。- ，r 2 】- o，r 2 面b ，r 当z s 时， ( 砚a 一伽) i s = 缸。d i & 。一t 正o i s ：o = 0 y ) ：l i 碑兰竺二竺一o v 咖：一n v 咖：一q 尝n 、 一0 。 o帆 于是定理得到证明 为了确定定理3 1 中的y ，我们先要解下列d i r i 眈j e t 问题来确定 t 萎耘龇m ，嚣 f + 忌2 = o ， z r 2 一0 ( 3 1 2 ) 口 再根据变换w = y + ，由i r = 0 知道w 满足： 罐游未。，嚣 1w ( z ) = o ， z 5 i d f w + 尼2 w = o ， z r 2 一o 由定理2 3 知：存在惟一的w 砚( r 2 - 0 ) 且彬l 岛= o ，使得日( 彬u ) = 一( 芸，t ，) l ：( r ) 从而得到( 3 8 ) 的解y ，即，( 岛；q ) 的值对于f r e c 九酣导数 ( 磊jo ) = y l r ，现在我们证明在弱意义下，对于o ( z ) 是一一的，即： 证明：由定理3 1 知道散射波y ( z ) 满足下面的边值问题： f y + 七2 y ：o ， z r 2 _ 0 甄罄 竺 埘 【量( 警“咖。，州 令优是相对于眠i ：1 2 在f 3 1 3 1 中的解则矿：k k 满足： y + 克2 y = 0 ， 霹) = 一鬻( n 1 z r 2 _ o 一0 2 ) n ， z s o z r r = h 因为，( 岛；口1 ) = ，( 岛；0 2 ) ，即矿i r = i r k l r = o ，我们得到： 知刊州m i r - o ( 3 1 4 ) 由日d 2 m 夕r e n 惟一性结果及强惟一连续性定理( 【1 8 】) 知：在日( r 2 _ o ) 中，y ( z ) = 0 1 7 n = 、l ， y 仉 访 = 一 一yy一驴一w一加 勰 敢 删 一加：萤一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 又由【3 】的推论8 1 8 得到，对于区域r 2 _ 0 且a 风俨，l | 跣( r ：_ o ) 等价于 范数 ( 1 2 。( 如。) + ii v 钆嵫( 溉) ) 1 2 然而，从证明过程知此结论对a 玩是分段c 2 的也成立于是我们得到i i y i i 工。( 溉) = o 因为尝在任意非空开集岛内都不为零，故由( 3 1 4 ) ，在l 2 ( 岛) 中有 ( 口1 一q 2 ) 钆= o 再由( a 1 一q 2 ) 佗在s o 中的连续性可以完成证明 u 此结果是线性方程，( 岛；o ) = y i r 的弱惟一性，因为我们的扰动函数o ( z ) 是 任意的然而，对于大多数的扰动情形，我们能立即得到惟一性即： 推论3 2 设在岛中，对某个函数r ( z ) ，o ( z ) 有表达式0 0 ) = 7 ( z ) n r 2 如 果，( 岛；n 1 ) = f ，( 岛；0 2 ) ，则在岛中，0 1 = 0 2 证明：此推论可由( 0 1 一0 2 ) n = r 1 ( z ) 一7 2 ( z ) = o 直接得到 口 说明：推论中给出的扰动情形是非常普遍的，即岛上的每一点的扰动可认为 是沿着法向方向只有某些非常特殊情况不能满足这个条件也就是对于大多数的 扰动，此线性方程有惟一解 3 2牛顿迭代法的基本步骤 在此我们要讨论的逆散射问题是从让i r 上的值重构s 首先我们给出这个逆问 题惟一的一个条件，并给于证明；然后再利用得到的f 7 e 如e 亡导数值，利用牛顿迭 代法重构s ，并给出基本迭代步骤 定理3 2 设讹( z ) 是( 1 1 ) 在r 2 瓦中的解，a b = ru 最，i = 1 ，2 如果对所 有波数后在某个开区间内，有u 1 ( z ) i r = 让2 ( z ) i r 成立，则岛= 岛 证明：假设& 岛则( r 2 万，) ( ( r 2 面一) n ( r 2 - 2 ) ) 或( r 2 万) ( ( r 2 面- ) n ( r z _ 2 ) ) 是非空的不妨设( r 2 面。) ( ( r 2 万。) n ( r 2 面z ) ) d ，且m e n ( ( r 2 万。) ( ( r 2 万1 ) n ( r 2 _ 2 ) ) ) o 记a ( ( r 2 万1 ) ( ( r 2 _ 1 ) n ( 瞅_ 2 ) ) ) 为4 8 1ua 岛且 a 鼠c & ，t = 1 ，2 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因为( u 。一u 。) i r = o ，由边界条件得到掣i r = o 由惟一连续性知：在 ( r 2 万1 ) n ( 噼万2 ) 中，让1 一乱2 = 0 特别地在a b 2ca 忱上有u 1 一u 2 = o 因为 在a 岛上让2 = 0 ，从而在a 邑上u l = 0 在此对于让1 得到： ，砒1 _ 0 ， z ( r 2 嘲( ( r 2 厕n ( 噼嘞) ( 3 1 5 ) z a b lua 岛 因为在( r 2 万1 ) ( ( r 2 万1 ) n ( r 2 2 ) ) 中，一的眈死c m e t 特征值是退化的，所 以存在某个j 不是d i n c m e t 特征值于是从( 3 1 5 ) 知：对这个，在 ( r 2 万，) ( ( r 2 西- ) n ( r 2 _ 2 ) ) 中有让，= o 再次利用惟一连续性得到：在孵万- 中有u 1 = 0 ，这与 0 矛盾 口 完成以上证明，下面我们用得到的f 的f 7 e c 九e 导数，采用牛顿迭代方法重 构边界s 依据上面f 7 e 眈觇导数的惟一性，我们知道非线性方程 f ( z ) = t 正i r ， z s 有惟一解现在我们考虑由让l r 去重构边界s 的迭代步骤具体的迭代步骤如下： 第一步：假设已知，从 f ( 夕) + ，( ) = 矿i r( 3 1 6 ) 中计算扰动，其中矿i r 是测得的让i r 的噪音数据 第二步：计算+ 1 = + 于是我们得到逼近序列毋：= 【】假设在s 上的扰动0 0 ) 能表示为沿着s 上每一点的法向方向，则由推论3 2 知，( 3 1 6 ) 有惟一解并且当我们迭代的次数越 多，在m n z n 1 1 0 2 i i i i i i i ，) 器。充分小的情况下，若 s j ) 器。是收敛的，那 么迭代法具有有效性本文给出 昂】罂n 收敛的一个条件，即：若算子，( ) 是严 格强制的，则 岛】罂。是收敛的结合( 3 1 6 ) ，该结论的证明方法见【2 0 】我们对于 使序列f 最) 凳n 收敛的研究没有深入展开，在此本论文不详细加以讨论了于是我 们解决了前面提出的逆散射问题 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 参考文献 【1 】d c o l t o n ，r k r e s s i n t e g r a le q u a t i o n m e t h o d si n s c a t t e r i n gt h e o r y n e w y 0 r k ：w i l e y i n t e r s c i e n c ep u b l i c a t i o n 1 9 8 3 【2 】d c 0 1 t o n ，r k r e s s i n v e r s ea u c o u s t i ca i l d e l e c t r o m a g i l e t i cs c a t t e r i n gt h e o r y s p r i n g e r v b r l a g b e r l i n n e wy b r k 1 9 9 9 【3 】r k r e s s l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s p r i n 分v b r l a g 1 9 9 2 4 】d c o l t o n ，j c o y l e ，p e t e