HT1”XBSJZ谈中考图形折叠问题HT_.doc

谈中考图形折叠问题 童桂恒（浙江金华市第四中学 321000） 图形折叠试题是考查学生空间想像能力和动手实践能力的一种题型.它不仅可以考查学生的素质水平，而且也为“注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现空间与图形的教育价值”起着导向和督促作用 .在近年来全国各地的中考试题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点问题.一处理图形折叠问题的思想方法 图形折叠问题实质是对称问题的应用.在处理图形折叠问题中，关键是抓住下面两点： (1)折叠前后的不变量：被折叠的图形与叠折后所得图形关于折痕所在直线成轴对称.因此，折叠前后对应的边相等，对应的角相等. (2)折叠前后的变化量：被折叠的图形与折叠后所得图形的对应顶点关于折痕所在直线对称.因此，折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分.二常见图形折叠问题的三种类型 1.三角形折叠 三角形折叠有三种形式：主要形式是沿三角形一边上的中线(或高线、角平分线等)折叠；另两种形式是沿平行于底边的一直线折叠和使两顶点重合的折叠.例1 在ABC中，已知AB2a，A30，CD是AB边上的中线，若将ABC沿CD对折起来，折叠后两个小ACD与BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC的面积的，有如下结论：AC边的长可以等于a；折叠前的ABC的面积可以等于a2；折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等.其中正确结论的个数是( ) A0个 B1个 C2个 D3个(2003年天津市中考题)分析 题中给出的三个结论，、属存在性结论，我们可采用构图法予以解决.构造图1-(1)，AC a ，A30，ADDBa，则ADCACD75.把ACD沿CD对折得图1-(2).根据折叠前后边角对应相等，在图中1-(2)中有：ADBCDB-ADC105-7530A，因此ACDB；又ACDBa，故知四边形ACDB是平行四边形，重叠部分CCDACDABC，所以结论正确.由平行四边形的性质知结论也正确.对于结论可构造图1-(3)，便知结论正确(如图1-(4). 注释：数学教学实施指南(初中卷)华中师范大学出版社2003年4月第1版第75页2.四边形折叠这类问题折叠方式有四种：沿四边形的一条对角线(或一边上高线)折叠，沿平行一边的直线(如对称轴)折叠，沿指定的直线折叠和使两顶点重合的折叠.例2 在边长为2的菱形ABCD中，B45，AE为BC边上的高，将ABE沿AE翻折后得ABE，求ABE与四边形AECD重叠部分的面积.(2001年上海市中考题)分析 如图2-(1)，在RtABE中，BEABcos45，CE2-，BEBEEC，点B在EC的延长线上(如图2-(2).设AB与CD交于点F，则ABE与四边形AECD重叠部分即为四边形AECF.ABEABE，EBBE，CBEB-EC-(2-)2-2，BB45，BAEEAB45.BAB90，即ABAB.CDAB，ABCD.CFB为等腰直角三角形，CFFBCB2-.重叠部分AEB-CFBABE CFB()2-(2-)22-2.例3 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN(如图3-(1)；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得RtABE(如图3-(2)；第三步：沿EB线折叠得折痕EF(如图3-(3).利用展开图3-(4)探究：(1)AEF是什么三角形?证明你的结论；(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由. (2003年山西省中考题)分析(1)由具体的折叠操作过程知：12360，4530，690-30-3030，EAF60.AEF是正三角形.(2)不一定，由上面的分析可知：当矩形的长恰好等于等边AEF的边AF时，即矩形的宽：长ABAFsin6032时正好能折出.如果设矩形的长为a，宽为b，可知当b32a时，按此法一定能折出等边三角形；当32abAB，O为对角线的交点，过O作直线分别交BC、AD于M、N.(1)求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积.(2)如图(2)，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能