（电工理论与新技术专业论文）时域有限差分法及其在开关电源电磁辐射计算中的应用.pdf

一 塑坚奎兰雯主兰垡堡茎 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n t r i b u t e dt ot h e c o m p r e h e n s i v es t u d y o ft h ef i n i t e d i 疏r e n e e t i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o da n di t s a p p l i c a t i o nt ot h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o no f r a d i a t e d e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d si ns w i t c h e dm o d ep o w e rs u p p l i e s t h ew o r ki n c l u d e s m a i n l yt h r e ep a r t s ：t h es t u d yo n t h ep e r f o r m a n c eo fp m l a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n a p p l i e dt op s e u d ol o wf r e q u e n c ye l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s ；t h ev a l i d a t i o no ft h ef d t d m e t h o dw i t hp m la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h e c o r r e s p o n d i n gc o m p u t e r s o f t w a r eb a s e do nt h en u m e r i c a ls t u d yo ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l do fa ne l e c t r i cd i p o l e a n t e n n a ，a n di t sa p p l i c a t i o nt ot h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o no fr a d i a t e de l e c t r o m a g n e t i c f i e l d si ns w i t c h e dm o d ep o w e rs u p p l i e s ；t h ed e v e l o p m e n to fa ni m p r o v e da l t e r n a t i n g d i r e c t i o ni m p l i c i tf i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i nm e t h o d i nt h es t u d yo i lt h ep e r f o r m a n c e so fp m la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h e t h e s i s i m p r o v e d ，r e s p e c t i v e l y , t h e2 da n d 3 df d t dm e t h o d sw i t hp m la b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n ，a n dc o n s t r u c t e d t h ec o r r e s p o n d i n gc o m p u t e rs o f t w a r eb ym e a n so f n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s ，t h et h e s i si n v e s t i g a t e dt h es t a b i l i t ya n dt h ea b s o r b i n gp r o p e r t y o ft h ep m la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o ni na d d i t i o n ，t h et h e s i sa l s og i v e sal o to f n u m e r i c a ir e s u l t sa n ds o m ep r a c f i c a lc o n c l u s i o n st of a c i l i t a t et h ea p p l i c a t i o no ft h e p r o p o s e df d t d m e t h o d i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n t h et h e s i sd e m o n s t r a t e dt h er o b u s t n e s so f t h ep r o p o s e d m e t h o di nt h ec o m p u t a t i o no fr a d i a t e de l e c t r o m a g n e t i cf i e l d so fs w i t c h e dm o d ep o w e r s u p p l i e sb ym e a n so fan u m e r i c a ls t u d yo nt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s o fa ne l e c t r i c d i p o l e 2 t n t e n n at os h o wt h ea p p l i c a b i l i t yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h mf o re n g i n e e r i n g p r o b l e m s ，t h et h e s i sc o m p u t e dt h er a d i a t e de l e c t r o m a g n e t i cf i e l d o fas w i t c h e dm o d e p o w e rs u p p l y , w i t hs p e c i a la t t e n t i o no n t h ea n a l y s i so ft h ee m li nt h ee l e c t r o n i cc o n t r o l c i r c u l td i f f e r e n tn u m e r i c a lr e s u l t sa n dt w ov a l u a b l eg u i d e l i n e sa r ed r a w n t oo v e r c o m et h ed r a w b a c ko ft h ef d t dm e t h o di nc o m p u t i n gt h ep s e u d ol o w 行e q u e n c ve l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s ，i n t h ef i n a l ，b a s e do i lc o m p r e h e n s i v es t u d yo nt h e p r e s e n ta d i f d t dm e t h o d t h et h e s i sp r o p o s e d a ni m p r o v e d2 da d i f d t dm e t h o d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o di s m o r eu n c o n d i t i o n a ls t a b l ea n d c o m p u t a t i o n a l l ya c c u r a t e t h a nt h ec o n v e n f i o n na d i f d t d o n e s 觑d x 乃，：f d t d ，a d i f d t d ，p m la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ，s w i t c h e d m o d ep o w e rs u p p l y ，e m c ，e m i 一塑垩奎兰堡圭堂垡笙兰 第一章绪论 1 1 课题的背景和意义 经过二十多年的发展和完善，开关电源己逐渐进入工程实用阶段。由于具有 体积小、重量轻、效率高等优点，目前，开关电源已经广泛应用于计算机及其外 围设备、通信设备、控制装置等电子设备中。随着功率半导体器件的发展和开关 技术的进步，开关电源的开关频率与功率密度变得越来越高，然而，开关电源开 关频率的不断提高和功率密度的不断增大使得开关电源内部的电磁环境日趋复 杂，产生的电磁干扰( e l e c t r o m e g n e t i ci n t e r f e r e n c e ，简称e 加) 对电源本身及周围 电子设备的正常工作造成了日益严重的威胁。因此，降低开关电源的电磁干扰水 平已成为开关电源设计中的重要问题。 就电磁干扰的性质而言，高频开关电源产生的e m i l 与普通信号处理电路产生 的e m 没有本质的区别。但就电磁干扰发生的机理和分布的特征来看，高频开关 电源产生的e m i l 有其自身的特点，主要表现为： 1 、高频开关电源作为工作于开关状态的电能处理装置，与作为信号处理的数 字电路相比，其电压、电流的变化率都很高，产生的电磁干扰强度较大； 2 、由于开关频率不高( 几十赫兹到数兆赫兹) ，开关电源产生的电磁干扰的 以传导干扰和近场干扰为主： 3 、开关电源中的电磁干扰源主要集中在功率开关器件以及与之相连的散热器 和高频变压器上，相对于数字电路其电磁干扰源的分布较为清晰； 4 、在印刷线路板( p c b ) 的设计方面，与信号处理电路较规则的布线不同， 开关电源的线路板布线具有较大的随意性，由此增加了e m l 分析中p c b 的分布参 数提取的难度； 5 、与信号处理电路中线路阻抗匹配的情况不同，开关电源的干扰源阻抗与网 络阻抗不仅不匹配，而且随工况变化，这无疑给e m i 滤波器的设计带来了一定的 困难。同时e m i 滤波器中的l 、c 元件还必须承受很大的无功功率，因而降低了 开关电源的整体效率，增大了开关电源的体积。 从上面的比较中可以看出，一方面开关电源高功率密度与高电流电压变化率 的特点导致其e m i 问题特别严重；另一方面开关器件、线路相对集中的特点也形 成了其干扰源分布比较明显的特点。因此对高频开关电源e m i 问题的研究工作既 有其存在的必要性和紧迫性，又有一定的可行性和代表性，其研究成果可以推广 塑望奎兰堡主兰篁笙壅 应用到其他电力电子线路以及数字信号处理电路的电磁兼容( e l e c t r o m a g n e t i c c o m p a t i b i l i t y ，简称e m c ) 设计中，具有广泛的工程应用价值。 1 2 国内外研究现状 高频开关电源作为一种典型的噪声源，人们对其电磁干扰的治理工作已经开 展了很长一段时间，并取得了一定的成效1 1 。5 1 ，尤其是近十年来，在功率因数校正 技术、软开关技术等领域取得了令人瞩目的成绩。但是对射频范围内干扰的抑制 的研究工作目前还处在初级阶段，仅有为数不多的有关电磁辐射干扰的建模、仿 真等方面的工作发表在一些相应的期刊和国际会议上【6 ”。此外，在博士学位论文 ”叫中，作者详细地分析了高频开关电源的辐射电磁干扰的特点，用电偶极子近似 模拟的方法建立了差模电流和共模电流的辐射模型，并运用解析法建立了高频电 流环的辐射模型。由于论文中的辐射模型都是运用解析法建立的，它无法模拟印 刷电路板上印刷电路的影响，以及各类散热片、屏蔽的影响。然而，印刷电路、 散热片以及屏蔽直接影响到高频开关电源中的电磁场分布，它们的影响必须考虑。 因此高频开关电源结构和性能的复杂性决定了只能用数值计算方法分析计算其产 生的辐射电磁干扰。 经过3 0 多年的发展和完善，时域有限差分法( f i n i t e 。d i f f e r e n c et i m e d o m a i n m e t h o d ，简称f d t d ) 已经成为时域电磁场数值计算的主要方法之，并广泛应用 于各类实际工程电磁场问题。时域有限差分法是由ksy e e 于1 9 6 6 年提出的【”。 在2 0 世纪8 0 年代中期以前该方法主要运用于电磁散射问题【9 1 ，到8 0 年代中期该 方法成功地应用于生物电磁计量学的计算和电磁热疗系统的计算机模拟 1 0 , n j 。8 0 年代后期时域有限差分法开始应用于微波电路的时域分析1 1 2 , 1 3 1 。进入9 0 年代后又 成功地解决了天线辐射特性的计算和光路的时域分析 1 4 - 1 7 l 。近年来，数位学者尝 试运用时域有限差分法分析p c b 板上的辐射电磁干扰1 8 - 2 0 】，并取得了满意的成果。 因此运用时域有限差分法分析高频开关电源中的辐射电磁干扰有其理论上的基 础。 时域有限差分法与其它电磁场数值计算方法相比具有许多突出的特点，其主 要特点简要归纳如下5 3 j ： 1 、直接时域计算。f d t d 直接把含时间变量的m a x w e l l 旋度方程在y e e 氏网 格空间中转化为差分方程。在这种差分格式中，每个网格点上的电场( 或磁场) 分量 的大小仅与其相邻的磁场( 或电场) 分量的大小及上一个时间步该点的电场( 或磁场) 分量的大小有关。通过计算每一时间步时网格空间中各点的电场和磁场，就能直 浙江大学硕士学位论文 接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。时域有限差分法把各类问题都 作为初值问题来处理，因此能直接反映电磁波的时域特性。如果需要频域信息， 只需对时域信息进行f o u r i e r 变换。如果需要宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲 激励下进行一次计算。 2 、适用面广。f d t d 的差分格式中被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格 给出的，因此，只需设定相应空间点的适当参数，就可模拟各种复杂的电磁结构。 媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等均能很容易地进行精确模拟。 由于在网格空间中的电场和磁场是被交叉放置的，而且计算中用差分代替了微商， 使得介质交界面上的边界条件能自然满足，这就为应用该方法模拟复杂物理结构 的电磁场提供了极大的方便。 3 、较少的存储空间和较短的计算时间。在时域有限差分法中必须存储每个 网格点上电场和磁场的六个分量的上一时间步的值以及描述各网格电磁性质的参 数。它们一般与空间网格总数成正比。由于每个网格的电磁场都按同样的差分 格式计算，所以，所需的计算时间与成正比。而用矩量法进行计算时所需的存 储空间与( 3 加2 成正比，所需的c p u 时间与( 3 。2 ( 3 ) 3 成正比。两者的差别是很明 显的。 4 、计算格式简单，物理过程描述直观。由于时域有限差分法直接从m a x w e l l 方程组出发，不需要任何导出方程，这就避免了使用更多的数学工具，使得它成 为所有电磁场计算方法中最简单的一种。其次，由于它能直接在时域中模拟电磁 波的传播及其与物体作用的物理过程，所以它又是一种非常直观的方法。因此， 这一方法能够很容易地推广到不同的工程领域。 5 、适合并行计算。当今计算机的发展方向是运用并行处理技术，以进一步提 高计算速度，时域有限差分法特别适合于并行计算。以直角坐标系中的立方体网 格空间为例，若每个坐标方向的网格数为腔，则计算网格空间的网格总数n = n 3 。 若用n x n 6 个处理器，则每一处理器只需记忆和处理一行中一个场分量的有关信 息，月”行同时处理，这样，对于一个确定的时间步，全部运行时间就正比于完成 一行处理所需的时间，这时间又正比于一行中一个场分量的个数脾，即“3 。由此 看出，施行并行计算可以使得时域有限差分法所需的存储空间和计算时间减少到 与1 ”成正比。这就更加提高了f d t d 法解决实际复杂问题的能力。 综上所述，本文应用时域有限差分法分析开关电源中的辐射电磁干扰，不仅 有现实的工程意义，而且有一定的理论基础。 浙江大学硕士学位论文 1 3 本文的主要研究工作 本文以现有的有关应用时域有限差分法分析p c b 辐射电磁干扰的工作为基 础，结合时域有限差分法的稳定性条件，将高频开关电源中的辐射干扰问题归为 伪低频电磁场问题( 为了方便叙述，在本文中，将在应用时域有限差分法分析电 磁场问题时，选取的最小空间步长远小于电磁波波源的最大波长，从而导致巨大 的时间步数的电磁场问题称为伪低频电磁场问题，并简称伪低频问题) 。由于现有 的有关运用时域有限差分法分析伪低频电磁场问题的工作还很少，本文在第二章 概述时域有限差分法基本原理的基础上，第三章对计算伪低频电磁场问题时，时 域有限差分法的完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r , 简称p m l ) 吸收边界条件 的性能进行了系统、深入地研究，得到了大量的数值计算结果，和些有价值的 结论。然后，在第四章中，针对高频开关电源的特点，运用时域有限差分法详细 分析了其中的辐射电磁干扰，并对存在散热片、屏蔽情况下的辐射干扰分别进行 了比较研究，给出了相应的数值计算结果和可供实用参照的结论。最后在第五章 中，针对现有时域有限差分法应用于伪低频问题的不足之处，系统地研究一种新 的时域有限差分方法一交替方向隐格式时域有限差分法，本文对该方法进行了合 理的改进，数值验证结果表明，本文所构造的二维改进的交替方向隐格式时域有 限差分法具有令人满意的数值计算精度，满足工程计算需要。 4 浙江大学硕士学位论文 第二章时域有限差分法的基本原理 2 1 微商的中心差商近似与m a x w e l l 方程组 2 1 1 中心差商近似 有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似代替连续变 量的微分方程。因此，构造合理的差分格式，使它的解能保持原问题的主要性质， 并且具有相当高的精确度，是有限差分法的首要任务。建立差分方程的基本步骤 是把变量按某种方式离散化，然后用差商近似替代微分方程中的微商。为了表明 用差商代替微商的精确程度，下面以一元函数为例来说明。设行) 为x 的连续函数， 若在z 轴上每隔h 长度取一个点，其中任点用x i 表示，则在x i + - 点上的函数值 f ( x i + 1 ) 以及在孙l 点上的函数值鹏一1 ) 可以分别通过t a y l o r 级数表示为 由此可 m m h ，掣卜等等l + 等等l 弛。h 瓴，告掣卜等等l 。一等等l 得灭x ) 在x i 点的前向差商、后向差商和中心差商分别为 丝! ! 匕丝2 ：o f ( x ) + 鱼鱼盟十笙丝掣l l 。2 l & 2 ( 。：。 31 彘3 l ， ：掣 + d ) ， 孤l ，。 必h = 剖。刍刽+ 等等l彘l 。i 2 1 出2 一3 i 反3 。， ：掣i + d o ) ， a x ，。 必2 h = 刮。婶+ 等掣o - xl + 等刮良i 。 31 3 r = 。 5 i 敏l + + + ( 21 3 ) ( 214 ) ：掣i + o ( h ：) ， 江l # 显然就差商对微商逼近的精度而言，上面三种差商形式中，中心差商的精度 最高。时域有限差分法正是利用中心差商代替微商，由含时间变量的m a x w e l l 方 程建立差分方程的数值计算方法。 浙江大学硕士学位论文 2 1 2 m a x w e l l 方程组 m a x w e l l 方程组概括了宏观电磁场的基本规律，它有积分和微分两种不同的 表达形式。如果电磁场量以及它们对时间和空间的一阶导数连续，则m a x w e l l 方 程组的积分形式与微分形式是等价的。m a x w e l l 方程组的微分形式可以表示为 v 疗= 詈+ l 7 ( 2 1 6 a ) v 。豆：一塑 a v b = 0 vd = d ( 2 1 6 b ) ( 216 c 、 ( 216 d ) 其中d 为电位移，为电场强度，后为磁感应强度，疗为磁场强度，7 为电流 密度，p 为电荷密度，参数s ，盼别为媒质的介电常数、磁导率和电导率。电 磁场量之间的本构关系可表示为 d = e ef 216 e 1 b = 朋( 2 l6 f ) 了= o - e f 21 6 9 ) 在现代电磁理论中常引入磁荷、磁流的概念，这样m a x w e l l 方程组便具有完 全对称的形式，从而使许多电磁场问题的计算大大简化。在人为引入磁荷和磁流 之后，m a x w e l l 方程组的微分形式为 v x 厅：孚+ 歹( 2 1 7 a ) a ， 。 v 屉一等乜 ( 217 b ) a ” 。 vb = p 。 ( 2 1 7 c ) v d = p( 217 d ) 7 = o ( 2 1 7 e ) 7 。= 仃+ e ( 2 1 7 f ) 坐至型堂堡兰 其中l 为磁流密度，p m 为磁荷密度，矿为等效磁阻率，它对应于磁场损耗。 在直角坐标秀寺t 令e = e x a ；+ e y ay + e ：a ：，两= h 。a x + h 乒y + h ：a ：a x ? 西y 和五= 分别为r ，y 和：三个坐标方向上的单位矢量) ，则m a x w e l l 方程组中的 旋度方程( 217 a ) ，( 21 7 b ) 在直角坐标系中可以表示成如下六个标量方程： 警一警= + s 秘 眨瑚。， 百一言2 妙+ 8 面) ( 218 a ) 警一警如+ s ( 2 1 8 b ， i 百2 哆托万) 劬 ) 警一警却+ s 犯m 。， i 一百5 归+ 5 万) 也 ( 218 c ) 警一警如茜灿( 2 1 8 d ) 警一警却导) 缈 ( 2 ，s 。) 0 x。2d l 、 娑o y 一警如珈 ( 2m f ) ( 镟 o t 。 2 2y e e 氏算法与数值稳定性条件 2 2 1y e e 氏网格 为建立差分方程，首先要在变量空间将连续变量离散化。通常处理方法是用 定形式的网格来划分变量空间，且只取网格点上的未知量作为计算对象。这样， 连续变量变成离散变量，且只在有限个点上计算未知量。当在每个离散点上用差 商来代替微商后，在一定空间上求解微分方程的问题即转化为解有限个差分方程 组成的代数方程组问题。一个合理的差分方程格式不仅要保持较高的逼近精度， 而且还必须保持原问题的基本物理性质。 一般情况下，在时域计算电磁场要在包括时间在内的四维空间进行。如果采 用有限差分法，首先就要建立合适的网格体系。ksy e e 于1 9 6 6 年提出了个合 理的网格体系，从含有时间变量的m a x w e l l 旋度方程出发，创立了时域有限差分 法。在直角坐标系中的y e e 氏网格示于图2l 。这个网格体系的特点是，电场和 磁场分量在空间交叉放置，使得在每个坐标平面上每个电场分量被磁场环绕，同 7 塑坚奎兰婴主堂堡堡茎 时每个磁场分量也被电场环绕。这种电磁场的空i d 结构符合电磁场w , j 基本规 律一一f a r a d a y 电磁感应定律和a m p e r e 环路定律，即满足m a x w e l l 方程的基本要 求。 图21y e e 氏网格 由于电磁场的分布与计算空间媒质的电磁性质有密切的关系，因此在网格空 问中除了规定电磁场量的离散点外，还必须同时给出每个离散点上相应媒质的电 磁参数。这样通过赋予空间点电磁参数可以在网格空间中模拟各种媒质空间以及 各种电磁结构。 2 2 2 y e e 氏差分格式 ksy e e 于1 9 6 6 年首先采用图21 所示的y e e 氏网格，导出了m a x w e l l 旋度 方程( 217 a ) 年1 1 ( 2 1 7 b ) f f z j 有限差分方程。设缸，缈，止与4 ，分别表示在r ，j ? ，z 坐 标方向的网格空间步长和时间步长，i ，j ，k 和”分别表示在x ，y ，z 坐标方向的 空间步长个数和时间步长个数，用 f ”( ，j ，k ) = f ( 7 6 x ，j ，k & z ，n a t ) 浙江大学硕士学位论文 表示任意一个时变参量。在离散m a x w e l l 旋度方程时，y e e 氏采用了具有二阶精度 的中心差商。在y e e 氏网格中由于场量之间相距为半个空间步长，因而，”( ，j ，) 在x 方向的中心差商可由式( 215 ) 得到，即 娑盟：丛型堕也竺堑必+ o ( a x ：)( 221 ) 以舡 同理，对时间微商的中心差商近似为 a f n 也 ，k 、 u ：! ! 塑z ! 1 2 二： a t ( 222 ) 用式( 22i ) i 9 1 ( 222 ) 的中心差商近似代替m a x w e l l 旋度方程中的微商，就可以 获得y e e 氏所给出的差分方程。例如，根据方程( 218 a ) ，在n + l 2 时间步对空间 点( ，+ 1 2 ，的上的电场分量e x 利用中心差商可近似为 e ，”“( ，+ i 2 ，k ) 一e ”( ，+ 1 2 ， ) 1 a t s ( j + 1 2 ，j ，妁 i 爿= “+ “2 ( j + 1 2 ，j + 1 2 ，) 一日：”+ “2 ( j + 1 2 ，一1 2 ，膏) l 缈( 223 ) h 、”+ 17 2 ( ，+ 1 2 ，k + 1 2 ) h 。n + l 2 ( + 1 2 ，j ，膏一l 2 ) 扯 1 一盯( ，+ 1 2 ，膏) e n + l 2 ( ，+ 1 2 ，j ，) j 在式( 2 2 2 ) 中将e 。剃7 2 ( j + 1 2 ，j ，a ) 近似取为 x n + l 。| 2 ( ，+ 1 2 。女) ：；k “( h 1 2 ， ) + 乓”( h 1 2 ，女) ( 224 ) 经整理可得e 、得差分计算格式为 1 一型型圣! ：! 堂 刚，) 2 歪2 亚e ( i + 巫l 2 , j , k ) 2 s ( + 1 2 ，j ，) 一尘l 一土一 。f ( ，+ l 2 ， ) 1 + 型! ! 堑! 鲨 ( 225 ) 2 9 ( i + 1 2 ，j ，k ) 望i ：竺坠! ! ! ：! ! ! ：1 2 二堡：3 1 ! 垒二! ! ! ! 盟 l 缈 ”“2 ( f + 1 ，2 ，女+ l 2 ) 一日y ”2 ( f + l 2 ，j ，女一1 2 ) 一 血i 其他电磁场分量日，z ，风，日，总的差分计算格式可用完全类似的方法得到。 一塑坚奎兰婴三堂焦堡苎 2 2 3 数值稳定性条件 在运行时域有限差分算法时，保证算法的稳定性是一个很重要的问题。数值 解是否稳定主要取决于时间步长，与空间步长( r ， 3 ：) 之间的关系。 为方便描述，现考虑无损耗空间( 。= 0 ，。+ = ( ) ) ，取磁场矢量的规化值 ( 占厅，百) ，则可将麦克斯韦尔方程写为： v 疗：三竽 ( 2 26 。) v 亏一l 一0 t 4 ( 2 2 6 b ) co t 舯，仁朊礤肚肌口埔( 2 2 6 a ) 引226 b ) 钟得 j v x 旷= ! c 旦o t 旷 ( 227 ) 考虑下列本征值问题 a 一一 v = 2 v 甜 弘v v = 2 v 将式( 228 a ) 对时间的偏导数写成差分式，得 型! ：二型! ：旯矿。 ， ( 228 a ) ( 228 b ) ( 229 ) 定义叮= 矿n + l 2 矿”为解的增长因子，代入( 229 ) 解得 g 瑚a 2 t 一+ j 1 + ( 五等) 2 ( 22l o ) 为保证方程( 229 ) 解的稳定性，必须有蚓1 。稳定条件蚓1 等价于 由于任意波模都可以展开为平面波谱，故仍然讨论平面波本征模的稳定性。 2 一出 一 卸 d h ，叭 一 r 2 一出 望奎兰堡主堂垡堡茎 假定平面波本征模取如下形式 旷( ，”) = 吮e x p u ( k ，l a x 十。m a y + k ：7 7 血) ( 221 2 ) 将( 2212 ) 代入( 228 b ) 整理得 一2csin(jk厂xy2)屹+三!学：五pj 1 ， z ， 。 ，2 cs i n ( k ：k z 2 ) y 十2 c s i n ( k x a x 2 ) 旷= 2 v a z 缸 。 ， 2cs i n ( k x a x 2 ) 矿+ 2 cs i n ( k y a y 2 ) 血 ， v 比= 2 1 7 其中，以，f j 是v 在直角坐标系下的分量。 对于比， j ，f ，二的齐次线形方程组( 2 213 ) ，非零解存在的充要条件是其系数 行列式等于0 ，由此可以得到 丑2 = 一。c 2 ( 皇学+ s i n 2 ( 五k 厂y a y 2 ) + 皇学) ( z 2 。) x 2 v2：2 7 对于所有可能的k x , k 。和t ：应该有 r e ( a ) = 0 ( 221 5 a ) h n ( 旯) f 2 c 联立式( 221 1 ) 可得到时域有限差分算法的稳定性条件 c m a x ，( 击+ 古+ 古) 一( 2 2 1 6 ) 其中，c 。为工作模的最大传播速度。在实际计算中，为了确保算法在较长时间计 算时的稳定性，一般选取 ，- 竺! ! ! 竺业些j ：竺业! ( 221 7 ) 2 c m a x 2 3 吸收边界条件 应用h 寸域有1 3 t i ) k 分法求解电磁场问题时假定问题空间是无限大的，h p 所谓的 “开放”系统。于是，对于像辐射、散射等开放问题，所需要的网格空间将为无 工s 浙江大学硕士学位论文 限大。但是，任何计算机的存储空间总是有限的，不可能在无限大的网格空间中 进行计算，因此必然要把计算网格在某处截断，使之成为有限空间。网格截断后， 如果不进行合理的处理，必然会在截断处引起非物理电磁波的反射，这将与实际 问题不符，造成计算误差。另一方面，由时域有限差分法的差分格式可知，对于 中心差商形式的时域有限差分法由于需要截断边界外场的信息用于边界网格点上 场的计算，因此也需要适用于截断边界网格点处计算的算法。 为了使有限的计算空间与实际无限的物理空间等效，必须对有限空间周围边 界做特殊处理，使得向边界面行进的电磁波在边界处保持“外向行进”特征，即 在边界处无明显的反射现象。具有这种功能的边界条件，被称为吸收边界条件或 辐射边界条件。由于吸收边界条件性能将直接影响计算的精度，在时域有限差分 法的发展过程中，探求高性能的吸收边界条件一直是时域有限差分法中最重要、 最活跃的研究课题之一。2 0 世纪8 0 年代后，众多学者曾提出过多种有效的吸收边 界条件，其中得到较为广泛应用的有：m u r 吸收边界条件1 2 ”，h i g d o no p e r a t o r 吸收边界条件2 2 0 ”，l i a oe x t r a p o l a t i o n 吸收边界条件【2 4 3 ”，m e i f a n g 超吸收边界 条件1 、以及近几年提出的p m l 吸收边界条件 2 7 - 3 1 】。 浙江大学硕士学位论文 第三章伪低频电磁场数值计算中的p m l 吸收边界条件 在应用f d t d 方法计算开关电源产生的辐射噪声时，为了获得足够高的计算 精度，p c b 板剖分后的空间步长应该满足：m i n a x ，缈，a z 吸收边界条件来处理开域的伪低频电 磁场问题。该吸收边界条件是b e r e n g e r 于1 9 9 4 年提出的o ”，它通过在截断边界之 外放置虚拟的吸收媒质来吸收外行波，从而有效地减少了电磁波在截断边界处的 反射，而且该方法具有良好的数值稳定性。本章首先阐述完全匹配层p m l ) 吸收 边界条件的基本原理，然后在此基础上系统地研究了应用时域有限差分法分析伪 低频电磁场问题时p m l 吸收边界条件的稳定性和吸收性能。 3 1 元全地目已层( p m l ) 吸收边昴采仟棼卒脲埋 为方便叙述，以二维空间中的t e 波为例来说明p m l 的基本原理。二维t e 波的旋度方程为： a e x + o - e 。= 等 b 的 民鲁+ 柏，一警 e ， 地警矗也= 鲁一鲁 c ， 望奎兰堡圭兰篁堡苎 其中，c r 与盯+ 分别为媒质的电导率和磁阻率。如果盯与o r * 满足下式 仃盯 2 i ( 3 l 1 d ) 占oo 、 则有损耗媒质和自由空间的波阻抗相匹配。 有损耗媒质后，在交界面处将不发生反射。 两个分量玩x 和见，则式( 311 ) 变形为 此时，电磁波从自由空间垂直入射到 下面根据文献 2 7 ，将岛分量分裂为 民鲁+ 巨= a eyo ( h 。+ h 0 音+ re y 一纛型 胁警+ 比= 一鲁 风警岬秒= 考 p m l ( j ，1 ，j n0 y 0 。 p m l ( 口o x 1 ， o 一d s oz o 旦：旦 占o o ，2 ，o - r 2 ) ( j ，2 , 0 - ，2 ，0 ，0 ) 完纯导体 图31 二维f d t d 计算区域及相应的p m l 吸收边界 1 4 ( 3 1 2 a ) ( 312 b ) ( 3 i2 c ) ( 3 1 2 d ) ( 3 、l2 e 、 f 31 2 0 塑奎堂堡主兰垡堡塞 p m l 吸收边界层的结构以及其中的参数设置如图3i 所示。p m l 吸收层由完 纯导体包围、且p m l 吸收层与完纯导体交界面上电场强度的切向分量为零，因此， 在应用f d t d 法计算实际电磁场分布时，外边界处的电场强度值设为零。由于在 p m l 吸收层中，电磁波衰减很快，如果仍应用标准的y e e 氏差分格式进行计算将 导致很大的计算误差。为此，在计算中常采用指数时间步差分格式。 下面以式( 3 i 2 a ) 为例导出指数时间步差分格式。由微分方程理论可知，e x 的 解由通解和特解两部分组成。b 的通解为 巨( r ) = c e q “岛( 3 l 3 a ) 与上式对应的时间步长的离散形式为 e “= e - o - y l 6 0 e( 3 1 3 b ) e 。的特解为 删：一型唼型曲+ k 声。 哕 。 3 c 、 ：土! ! 生生! + 尬，i r e 0 7 o 。a ) t 未知系数k 可由。的初始条件确定，即： 巨( ，= o ) = o = 土璺璺掣+ _ 十k = 一上璺望掣 由此可得 e 。( ，) 旦骘皇型轧。1 ，“) 相应的迭代计算式为 吼矿i 1 塾”e 1 。) 由式( 3 1 3 c ) 和式( 3 1 3 e ) 有 。l ，n + + j l 。- t t ( i ) a t l g or。i。n；，-!-：筹 。 。l 毒，毛+ 月w i 毒，毛一h ，i 弯， - h v l 葛， 瑚 锄 0 0 j 堑坚苎兰型兰焦堡塞 同理 。j ：? ：；2e 一口y 。) f 如z 。j ? ，+ ；一警 片，j 乏，+ ；+ h 。乏，+ ；一。l ：乏，+ ： ( 3 1 4 b ) h 髭一玎出“珈地。j 文 一篆券帆e 一讹坩一 1 。4 。 一了百砑i 扎，+ ；讹，l + ；f h 蜒n + l 一玎叫硝) a l t a o , h z y 睫! 一案等似, 2 + 1 - - e x ll l ， 。14 由 ( + ) 缈+ 屿，f j 2 二雅t m l 吸收迈界条件皮利厦的差分格式 在直角坐标系下，三维p m l 吸收边界层内，每个方向上电场强度e 和磁场 强度爿都按一定的规律分裂为两个分量，如，e 分裂成e x 。和e ：。由此可进一步 得到三维p m l 吸收边界层内旋度方程按分量的展开式为5 】 鲁乜= 一掣 。z ，。， 氏等+ 吒吃一掣 ： 民等怛= 掣 。z 氏鲁+ 吒一掣 z 氏等+ 吒k = 掣 。z 埘 1 6 1，j ； 、 o ，了 0 h一 一 塑鋈查堂堡主堂垡堡奎 民鲁+ 吩一学 风警+ 贰一学 风警+ 盯：也： _ u 。昔+ 0 ：h z 2a 幢。+ e 0 0 z 风等+ 帆= 一掣 心警+ 盯5 h - 掣 ( 321 n ( 322 a ) r 322 b 1 f 322 c 1 f 322 d 1 “等+ 讽= 一掣 zz e ， 胁等q 妒掣 z ：。 利用与二维相类似的推导方法，可导出如下的三维p m l 层中e 、爿的时域 有限差分计算格式。 e。，n，+；l，。=e一口(，)jf旬-e，i：；，。-等 飘。+ 如魄厂比殴，。- h 引 耖+ 2 爿( 3 2 3 a f l l 】 ) e “7 弓+ 1 肚嘎“：+ 零，一那。， h ，l 套m + ；+ h ，晦肚弓一h 。晖肚丢- h 训一 + 2 。 扣玎叫岫吼岩 + h 。c 乏n ；+ h n i j 。+ ；一h w i ：卜；一z i i ：。一；j 3 c ) rl i。一】 l 1 ( 3 2 塑坚奎堂堡主兰焦笙塞 e 以。 f 1 1 i = rf j 毫，+ ；。+ hf n + ：i ，+ ；。 ( 323 d ) 蹦j 1 。+ 叫) 蹦船；+ 等筹 f ，。i ：；d k + ；+ 一y z i n + t ；一1 - - h j ，l 乏，。+ ；- hf ：乏，。+ ；_ 3 23 。 e，n。+l。+；=ed)岛e。li，。+；+筹 r 】 l 。 l 11 ( 3 2 3 f ) h i ri ：j ，。+ ；1 p ，x ：! ：j ；，。+ ；- h i ：乏。+ ；一日z ! ：乏。+ ； e 五扣。# 乏f 嚣限纠。， 川n ；+ h n l 2 咆匕+ ；一。+ 1 月 j 4 4 一m l “h = i 毒；一专拳。， e ”i i ，+ ：，。+ 。+ e 归i i ，+ ；。卅一e ，l t h , j + l , k e f 已+ ：。) 、l， 女 ； p ，一：。， 习 h 缸，匿： 期 比 盯 一 塑望奎兰婴主兰垡笙塞 h ，：l ：l ，。+ ；= e 一口；( t + ；) ，p b ，：l 乏，。 h 此! “+ ! _ 矿：( 从圭) 位b 24 。) ei n i 。9 - e 叫n 。h 一岛b m 也乜肚 h 蝣哇一蠢。纠。， k - 舢；+ 易l n i 一乞b 毛一岛l t h “赴。i 出哇驯“峨鱼厂考。， o 知+ 毛h 扩f i h j + lk 晦k 0 陵k i 咄p 扣脚 吼扣扎。+ 吼争扎。e + i ：，ei ”专m ) 3 3 p m l 吸收边界层中参数的确定 r 324 f ) 当电磁波由自由空间入射到p m l 吸收层后，在p m l 吸收层中距离交界面为 p 处的电磁场量可以表示成 y ( p ) = y ( o ) e 一( o - c o s 8 f e o c 加 式中，臼为电磁波波在自由空间和p m ：l 吸收层交界面的入射角。 设p i v l 吸收层的厚度为占，则p m l 吸收层中波的反射系数为 尺( 秒) ：8 - 2 ( c o s 0 e o c ) 肛9 和 ( 332 ) 嚣 一 t i + j ， 秒 h 浙江大学硕士学位论文 本文中，p m l 吸收层中电导率的分布采用下式计算： 口( p ) = 口。( 詈) ” ( 删，1 ，2 )33 ) 将式( 333 ) 代入式( 332 ) ，有 2c o s 8 旦业兰 月( 乡) = p 舻“矿( 334 ) 由0 = 0 ，口= a 可得 盯。= ( n + _ 1 ) e f o c l n 2 ( 0 ) ( 3 3 5 一)盯。2 = 了l jj ) 在此基础上，可进一步确定电导率在不同方向上的分布。如，x 方向上的电 - 9 率o - ，( ，) 可按下式计算。 = 志c 譬c 扣 ，。， = 矗茜而扣，+ 争删，一 式中，万= ”? 爿，7 为p m l 吸收层的层数。 同理，j ，、：方向上的电导率c r y ( j ) 和口：( 女) 可以采用类似的计算式。 3 4 伪低频电磁场计算中的p m l 吸收边界条件性能研究 3 4 1二维伪低频电磁场计算中的p m l 吸收边界条件 数值稳定性 为研究二维伪低频电磁场分析计算中p m l 吸收边界条件的数值稳定性，采