（基础数学专业论文）动力系统的敏感依赖性与扩散性研究.pdf

中文摘要 本文主要包含如下三部分内容 第一部分( 第一章) ，描述了动力系统理论的产生与发展，并对动力系统复杂 性研究的背景和现状做了简要的综述 第二部分( 第二章) ，着重研究了半群作用的敏感依赖性主要结论是：对保 测映射和保测半流，证明了弱混合蕴含敏感依赖性对半群作用，讨论了m 系 统，e 系统和敏感依赖之间的关系，并给出了它是敏感依赖的两个充分条件；论 证了混合性与s p a t i o t e m p o r a l 混沌的一些联系 第三部分( 第三章) ，着重从半群作用的复杂性函数出发，研究了系统的复杂 性主要结论是：开覆盖的复杂性函数的有界性等价于系统是等度连续的证明 了拓扑弱混合蕴含着扩散，研究了2 扩散与扩散的等价问题得到了群作用是扩 散的一个判别准则；利用开覆盖沿无限网的复杂性函数的无界性刻画了群作用的 m i l d 混合和强扩散 关键词：半群作用，敏感依赖，弱混合，等度连续，扩散，m i l d 混合，强 扩散 英文摘要 t h e r ea r et h r e ep a r t si nm i 8p 印e r i nt h e6 r s tp a r t ( c h a p t e r1 ) ，w ed e s c r i b et h eo r i g i n a t i o na n dd e v e l o d m e n to ft h e h 。o r yo fd y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dg i v eab r j e fs u n r e yo ft h eb a c 蚝m u n da n dr e c e n t p r o g r e s so fc o m p l e x i t yi nd y n a m i c a ls y s t e m s i nt h es e c o n dp 矾( c h 印t e r2 ) ，w es t u d yt h es e n s i t i v ed 印e n d e n c eo f s e m i g r o u p a c t i o n s - t h em a j nr e s u l t sa r ca sf 0 1 1 0 w s ：w r c a k m i x j n gi m p l i e ss e n s i t i v ed e p e n d e n c e f o rm e a s u r e p r e s e i n g m a p sa n dm e a s u r e p r e s e r v i n gs e m 讯o w s w ed e s c r i b et h er e l a c i o n so fs e n s 主c i v ed 印e n d e n c ew i t hm s y s t e m s ，es y s t e m s ，a n dg i v et w os u m c i e n t c o n d j t i o n sf o rs e m i g m u pa c t i o n st ob es e n s i t i v ed e p e n d e n c e f i n a l l y w ee s t a b l i s ht h e c o n n e c t i o nb e t w e e nm i x i n ga n d s p a t i o “：m p o r a lc h a o s ， i nm et h i r dp a r t ( c h a p t e r3 ) ，w es t u d yt h ec o m p l e x i t yo f s e m i g m u pa c t i o n su s i n g c o m p l e x i t yf u n c t i o n so fo p e nc o v e r s ，t 1 1 em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ：t h eb o u n d e d n e s s0 fc o m p l e x i t yf u n c t i o n si se q u i v a l e n tt oe q u i c o n t i n u i t y t o p o l o g i c a lw e a k m i x i n g i m p l i e ss c a t t e r i n a n dt h ep r o b l e mw h e t h e r2s c a t t e r i n gi se q u i v a l e n tt os c a t t e r i n gi s s t u d i e d - w bg e tac r i t e r i o nf o rt h e s c a t t e r i n gp m p e n y ，a n dc h a r a c t e r i z em i l dm i x i n 昱a n d 8 t r o n gs c a t t e r i n gu s i n gt h ec o m p l e x i t yf u n c t i o no fa no p e nc o v e ra l o n gs o m ei n f i n i t e n e t r k e y o r d s ：s e m i g m u pa c t i o n ，s e n s i t i v ed e p e n d e n c e ，w e a k m i x j n g ，e q u j c o n t i n u o u s ，s c a t t e r i n 昌m i l dm i “n g ，s t r o n gs c a t t e r i n 吕 v 报送博士学位论文简况表 论文题目动力系统的敏感依赖性与扩散性研究 授予学位的 作者姓名阎欣华基础数学 学科、专业 作者单位河北师范大学地址 河北省石家庄市裕华东路2 6 5 号 专业技术 导师姓名何连法教授 职 务 导师单位河北师范大学 地址 河北省石家庄市裕华东路2 6 5 号 论文隶属学科分类号注1 o1 9 3 论文关键词注2半群作用，敏感依赖，弱混合，等度连续，扩散 论文摘要 本文主要包含如下三部分内容 第一部分( 第一章) 描述了动力系统理论的产生与发展，并对动力系统复杂性研究的背景和现状做 了简要的综述 第二部分( 第二章) ，着重研究了半群作用的敏感依赖性主要结论是：对保测映射和保测半流，证 明了弱混合蕴含敏感依赖性对半群作用，讨论了m 系统，e 系统和敏感依赖之间的关系，并给出了 它是敏感依赖的两个充分条件：论证了混合性与s p a t i o t e m p o r a l 混沌的一些联系 第三部分( 第三章) ，着重从半群作用的复杂性函数出发，研究了系统的复杂性主要结论是：开覆 盖的复杂性函数的有界性等价于系统是等度连续的证明了拓扑弱混合蕴含着扩散，研究了2 扩散 与扩散的等价问题得到了群作用是扩散的一个判别准则：利用开覆盖沿无限网的复杂性函数的无 界性刻画了群作用的m i l d 混合和强扩散 论文在何时以何种方式发表 获得学位日期报送日期备注 收藏单位：北京图书馆( 中国国家图书馆) 。执行部门：国内资料组。 注l ：一般应注明中国图书资料分类法的类号。 注2 ：为了文献标引工作从论文中选取出来用以表示全文主题内容信息款目的单词或术语。每篇 论文选取3 5 个词作为关键词。为了国际交流，应标注与中文对应的英文关键词。 报送博士学位论文简况表( 英文) 论文题目 t h es t u d yo fs e n s i t i v ed e p e n d e n c ea n ds c a t t e r i n gi nd y n a m i c a ls y s t e m s 授予学位的 作者姓名 y a nx i n h u a p u r em a t h e m a ti c s 学科、专业 h e b e in o r m a lu n i v e r s i t y 作者单位 h e b e in o r m a iu n i v e r s i t y 地址 s h i j i a z h u a n g0 5 0 0 1 6 专业技术 导师姓名 h el i a n f ap r o f e s s o r 职务 h e b e in o r m a lu n i v e r s i t y 导师单位 h e b e in o r m a lu n i v e r s i t y 地址 s h i j i a z h u a n g0 5 0 0 1 6 论文隶属学科分类号注lo1 9 3 s e m i g r o u pa c t i o n ， s e n s i t i v ed e p e 力d e n c e ， w e a k 旧i x i 力g ， 论文关键词注2 e q u i c o n t i n u o u s ，s c a t t e r i n g a b s t r a c t ： t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tp a r 乞( c h a p t e r1 ) ，w ed e s c r i b et h eo r i g i n a t i o na n dd e v e l o p m e n to ft h et h e o r y o fd y n a m i c 8 1s y s t e m s ， a n dg i v eab r i e fs u r v e yo ft b eb a c k g r o u 门da n dr e c e n tp r o g r e s so f c o m p l e x i t yi nd y n a m i c a ls y s t e m s i nt h es e c o n dp a r t ( c h a p t e r2 ) ，w es t u d yt h es e n s i t i v ed e p e n d e n c eo fs e m i g r o u pa c t i o n s t h e 口a i nr e s u l t sa r ea sf 0 1l o w s ：w e a k m i x i n gi m p l i e ss e n s i t i v ed e p e n d e n c ef o rm e a s u r e p r e s e r v i n gm a p s8 n dm e a s u r e p r e s e r v i n gs e m i f l o w s w ed e s c r i b et h er e l a t i o n so fs e n s i t i v e d e p e n d e n c ew i t hms y s t e m s ， es y s t e m s ， a n dg i v et w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rs e m i g r o u p a c t i o n st ob es e n s i t j v ed e p e n d e n c ef i n a l l y ，w ee s t a b l i s ht h ec o n n e c t i o nb e t w e e nm i x i n g a n ds p a t i o t e m p o r a lc h a o s i nt h et h i r dp a r t ( c h a p t e r3 ) ，w es t u d yt h ec o m p l e x i t yo fs e m i g r o u pa c t i o n su s i n gc o m p l e x i t y f u n c t i o n so fo p e nc o v e r s t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ：t h eb o u n d e d n e s so fc o m p l e x i t y f u n c t i o n sise q u i v a l e n tt oe q u i c o n t i n u i t y t o p o l o g i c a lw e a k m i x i n gi m p l i e ss c a t t e r i n g ，a n d t h ep r o b l e mw h e t h e r2s c a t t e r i n gi se q u i v a l e n tt os c a t t e r i n gi ss t u d i e d w eg e tac r i t e r i o n f o rt h es c a t t e r i n gp r o p e r t y ，a n dc h a r a c t e r i z em i l dm i x i n ga n ds t r o n gs c a t t e r i n gu s i n gt h e c o m p l e x i t yf u n c t i o no fa no p e nc o v e ra l o n gs o m ei n f i n i t en e t s 论文在何时以何种方式发表 获得学位日期 报送日期备注 收藏单位：北京图书馆( 中国国家图书馆) 。执行部门：国内资料组。 注l ：一般应注明中国图书资料分类法的类号。 注2 ：为了文献标引工作从论文中选取出来用以表示全文主题内容信息款目的单词或术语。每篇 论文选取3 5 个词作为关键词。为了国际交流，应标注与中文对应的英文关键词。 第一章引言 动力系统是一门有关系统演化规律的数学学科它着重于对系统在长时间后 的性态进行大范围的分析与研究因此，动力系统又称为大范围分析动力系统 的研究起始于1 9 世纪8 0 年代p o i n c a r e 开创的微分方程定性理论经过一个多世 纪的研究与发展，目前动力系统已形成为包含内容极其丰富的理论体系，这可从 著名动力系统专家k a t o k 等最近编纂出版的h a n d b o o ko f d y n a m i c a ls y s t e m s 系列丛书中看到，然而从动力系统所研究的状态空间结构以及保持空间结构的作 用来看，它大致可分为如下三个方面 拓扑动力系统，它研究的是拓扑空间上的半群( 群) 作用主要是从拓扑的 角度出发，研究和观察系统的动力行为和不变集合的结构2 0 世纪2 0 年代， b i r k h o f f 【8 】出版了d y n a m i c a ls y s c e m s 专著，这标志着动力系统的正式诞生 之后，n e m i s k i i 和s t e p a n o v 5 5 】对连续流做了系统的论述，对动力系统的研究与 发展起到了极大的推动作用1 9 5 5 年，g o t t s c h a l k 等人 3 6 】对一般群作用下的 动力性质进行了研究，并给出了系统的总结为拓扑动力系统成为动力系统的一 个重要分支奠定了基石 遍历论它研究的是概率空间上的保测半群( 群) 作用主要是从统计学角 度来研究保侧系统在长时间下的演化性质2 0 世纪3 0 年代，b i r k h o f 所给出 的逐点遍历定理以及v o nn e u m a n 所给出的遍历定理是遍历论研究的开始特别 地，1 9 5 8 年k 0 1 m o g o r o v 【4 4 对保测映射所引入的共轭不变量一测度熵，在遍 历论中产生了广泛而深刻的影响，极大的推动了遍历论的研究与发展目前，有 关一般群作用的遍历论【5 6 】以及微分动力系统遍历论【5 4 】和随机动力系统遍历 论 4 3 ，5 0 】也已形成了系统的理论 2 河北师范大学博士学位论文 微分动力系统它研究的通常是微分流形上的微分同胚或可微流主要研究 可微系统在扰动下的不变性质2 0 世纪3 0 年代，a n d r o n o v 等人首先论证了平 面圆盘上可微流的结构稳定性的充要条件1 9 5 9 1 9 6 2 年，p e i x o t o 5 9 ，6 0 】将这 一结果推广到了定向二维流形上，并获得了“开稠性定理”，成为微分动力系统发 展的划时代的里程碑在p e i x o t o 工作的启示下，s m a l e 【6 5 对高维系统提出了 著名的结构稳定性猜想和q 一稳定性猜想此后人们围绕这两个猜想做了艰苦的 努力现在对c | 1 系统，两猜想已获得解决但对( r 2 ) 系统这两个猜想仍 是公开的目前，微分动力系统中一个重要的研究课题就是p a l i s 所提出的“开稠 性猜测”在对一致双曲系统的研究取得了较为完整的体系的同时，自2 0 世纪8 0 年代，人们对非一致双曲系统的动力性质也开展了大量研究，并且成为当前微分 动力系统的热点领域 在动力系统的研究进程中，其复杂性问题始终伴随在其中虽然在动力系统 中“复杂性”一语的正式提出较晚，但对系统的复杂行为的描述贯穿在整个动力 系统发展之中，例如：拓扑传递性，极小性，混合性，熵等等都是复杂性的阐释， 2 0 世纪7 0 年代，随着刻画系统复杂性的混沌理论的诞生，人们对动力系统复杂 性问题的研究引起了极大的兴趣特别是2 0 0 0 午，b 1 a n c h a r d 等人 1 0 】对拓扑 复杂性的研究成果产生了重要的影响，接踵而至的成果不断涌现，例如【3 9 ，7 3 】 其原因就在于复杂性问题不仅是是动力系统研究的重要课题之一，而且也是自然 科学研究的热点内容 5 1 1 动力系统的混沌性质 混沌现象的发现可追溯到1 9 世纪末p o i n c a r e 对三体问题的研究2 0 世纪 初，p o i n c a r e 在科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想他把动力系统和拓 动力系统的敏感依校性与扩散性研究 3 扑学两大领域结合起来，指出了“混沌”存在的可能性1 9 6 3 年著名气象学家 l o r e n z 发现了一个新现象：在一特定的方程组中，小小误差即可引起灾难性的后 果，即系统对初值条件具有敏感依赖性 1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 4 7 】在p e r i o d t h r e ei m p l i e sc h a o s 一文中，给出 了混沌的第一个数学定义随后，混沌的研究得到了飞速的发展，且在物理学， 化学，生物学，气象学，经济学等许多学科中得到了广泛的应用在现代科学技 术中产生了广泛而深刻的影响正如混沌的倡导者之一s h l e s i n g e r 所说，“2 0 世 纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论，量子力学与混沌” 所谓混沌是指系统具有高度复杂的，对误差极其敏感的性态目前，关于一 个系统是混沌的数学定义已有多种，例如：“一y o r k e 混沌【4 7 ，d e v e n e y 混沌【1 7 ， a u s l a n d e 卜y o r k e 混沌【6 】，熵意义下的混沌，u 混沌，分布混沌等【4 8 ，6 4 混沌定 义的多样性恰恰表明了这一概念的不寻常的魅力这里，我们给出人们常用的两 种混沌的定义 l i y o r k e 混沌 设x 是度量为d 的度量空间，7 是x 上的连续映射，如果存在不可数集合 s c x ，满足 1 ) 1 1 ms u pd ( 丁“( z ) ，丁“( ) ) 0 ，妇，可s ，且z 0 。 2 ) l i mj 礼厂d ( 丁”( z ) ，丁“( ) ) = 0 ，v t ，掣s ， n 。 我们称系统( x ，丁) 是l i y o r k e 混沌的 d e v a n e y 混沌 设x 是度量为d 的度量空间，丁是x 上的连续映射，如果系统( x ，7 1 ) 满足 下述三个条件： 4 塑! ! 堑墨垄堂堡主堂垒笙圭 1 ) ( x ，丁) 是拓扑传递的，即存在。x 使得 p ， = x ， 2 ) 7 1 的周期点在x 中稠， 3 ) ，丁) 具有初值敏感性，即存在d 0 ，使得对任意z y 及z 的任意邻 域以，存在营乩和n o ，使得d ( t “( 茁) ，丁”( 9 ) ) d ， 我们称系统( x ，t ) 是d e v a n e y 混沌的 目前，有关混沌研究成果一方面是论述系统在何条件下出现何种混沌另一 方面是研究各种混沌之间的关系对这后一课题，黄等人【3 8 】证明了d e v a n e y 混 沌蕴含l i y 0 r k c 混沌，解决了这一较长时期的公开问题进而，b 1 a n c h a r d 等人 【9 利用遍历论的方法证明了正熵蕴含l i 1 内r k e 混沌此外、还有其它一些研究 成果这可参见【5 1 ，5 2 ，7 0 ，1 5 】 对照混沌的各种定义，人们看到，虽然这些定义在形式上有所差异，但在揭 示混沌的实质属性一不可预测性这一点上则是统一的，而敏感依赖性正是这 属性的数学描述因此，寻求一个系统在什么条件下具有敏感依赖性就成为混沌 动力学研究的重要内容1 9 9 2 年b a n k 等人【7 】证明了d e v a n e y 混沌定义中的条 件1 ) 和2 ) 蕴含条件3 ) 随后，1 9 9 3 午g l a s n e r 等人【3 5 ，3 】得到了更强的结论：传 递非极小的几乎周期点稠的系统是敏感依赖的进而得到传递非极小，且存在不 变测度p 满足s 2 卿肛= x 的系统是敏感依赖的2 0 0 2 年a b r a h a m i 】从遍历论 角度对敏感依赖性进行了研究，给出了保测映射是敏感依赖的一些充分条件还 有一些与敏感依赖性有关的结果，可参见【1 4 ，1 3 ，l8 ，7 0 ，4 0 ，4 i 】 1 2 动力系统的复杂行为 复杂性是世界的本质属性，它是众多因素相互作用的一种状态的表征复杂 性研究的目的是要为各种复杂行为提供统一的方法和工具复杂性研究不仅是 动力系统的敏感依赖性与扩散性研究 5 自然科学的热点领域，而且也是工程技术，社会科学，人文学科等学科的热点领 域从“复杂性”的直译而盲，它是一个相对性的术语，其本身与所要探讨的事 物的背景特征和预期达到的目标相比有关因此，复杂性的定义自然呈现出多样 化期望对“复杂性”给出一个严格的数学定义似乎是很难实现的，而且也未必 是必要的 历史上出现较早的复杂性是计算复杂性，它源于2 0 世纪3 0 年代用数学 方法研究使用数位计算机解决各种算法问题的困难度理论1 9 3 8 年h e l d u n d 和 m o r s e 【3 7 】对符号动力系统引入了符号序列( 或语法) 的复杂性这种复杂性是通 过符号序列所含允许块的个数p ( n ) 来刻画的2 0 世纪6 0 年代，k 0 1 m o g o n o v 等 人【1 6 ，4 5 ，6 6 】用产生特定符号序列的最短程序的长度定义了一种序列复杂性。 称之为算法复杂性1 9 8 3 年，b r u d n o 1 2 】把算法复杂性应用到一般拓扑动力 系统，给出了轨道复杂性的定义通过描述单个轨道所含的信息数量来度量系统 的复杂程度获得了一个很漂亮的结果：对遍历的拓扑动力系统，几乎所有点的 轨道复杂性均为系统的测度熵近年来，有关符号复杂性以及轨道复杂性涌现出 不少成果详细可见f e r e n c z i 的综述论文【2 4 】以及【3 l ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，7 1 1 9 9 7 年， f e r e n c z i 【2 3 】从遍历论出发，对遍历系统引入了测度复杂函数的概念，并得到： 复杂性函数有界等价于系统同构于紧群的极小旋转 众所周知，拓扑熵不仅是动力系统的一个共轭不变量，而且也是系统复杂程 度的一个定量描述由b o w e n 【ll ，7 2 】所给出的拓扑熵等价形式可以看到，拓扑熵 是通过系统正向轨道个数的指数增长率来描述系统的复杂程度拓扑熵大于零， 人们认为系统是复杂混乱的，然而拓扑熵等于零时，相对来说系统是“简单”了 一些，但从理论和应用两方面来看，它仍然可能具有相对复杂与混乱的行为。从 这一思考出发，并结合文【2 3 】中测度复杂函数的思想2 0 0 0 年b l a n c h a r d 等人 【1 0 】对紧度量空间x 上的连续映射丁定义了复杂性函数设c 是x 的开覆盖， 6 河北师范大学博士学位论文 加细= v o 丁一g 的子覆盖元素的下确界c ( e ，n ) 定义为映射丁关于覆盖g 的复杂性函数b l a n c h a r d 等人用c ( g 礼) 的有界性刻画了等度连续性，并借用 c ( c ，n ) ，在拓扑弱混合与拓扑传递之间定义了一种复杂性的概念一扩散性，进而 对扩散性的特征进行了研究这一成果引起了人们的广泛关注例如，杨【7 3 】利 用序列复杂性函数给出族一致刚性等拓扑性质的特征，并讨论了族混合和族扩散 的关系最近，黄【3 9 】研究了开覆盖的复杂性函数，回复时间集，弱不交之间的 相互关系，进而对复杂层次做了更细的分类 1 3 一般群作用的研究概述 从动力系统理论的第一本专著 8 】问世以来的一百年中，一般群( 半群) 作用 的动力行为的研究一直在动力系统研究中占据着重要的地位近几十年中，对连 续映射( 同胚) 及连续流( 半流) 的研究成果已相当丰富与此同时，一般群作用 的研究成果几乎也在同步的向前发展着这不仅是理论要求的必然，而且从应用 角度来看，对一般群( 半群) 作用的研究也具有十分重要的价值，例如，可数群作 用就在组合论，数论中有着很重要的应用( 见【2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】) ，并且形成为一个重 要的研究方向通常来说，由于一般群( 半群) 作用具有更强的抽象性和多样性的 特点，研究中必然会出现有别于连续映射或连续流的新的现象和困难因此，所 采用的思想和技术通常是与连续映射和连续流完全不同的故而，这项研究具有 更大的挑战性 1 9 5 5 年，g o t t s c h a l k 和h e d l u n d 在r r b p o l o g i c a l d y n a m i c s 一书中，对一 般群作用的研究成果进行了全面系统的论述，引起了众多学者的关注特别应当 指出的是，2 0 世纪5 0 年代末，e 1 l i s 将代数工具引入进来，定义了e l l i s 半群( 亦 称包络半群) ，为研究提供了一个有力的工具，并由此获得一系列好的成果一个 动力系统的敏感依赖性与扩散性研究 7 系统的结构研究是拓扑动力系统中的中心课题在解决了等度连续流的结构以 及极小等度连续流的特征问题的基础上，f u r s t e n b e 喀【2 5 】进一步考虑了d i s t a l 系 统的结构证明了极小d i s t a 】系统可以通过平凡系统经过若干次的等度连续扩充 而得到即d i s t a l 系统可由等度连续系统“逼近”此后，e 1 1 i s ，g l a s n e r ，v e e c h 等 人 1 9 ，2 0 ，2 l ，6 8 ，5 】进一步得到一般极小系统的结构定理，即一个极小系统可 视为由平凡系统出发，经过等度连续扩充和邻近扩充的交替进行若干次，最后再 经过弱混合扩充予以实现成为群作用中极其重要的成果，并大大促进了拓扑动 力系统的发展与此同时，z i m m e “7 5 ，7 6 】对一般群作用的遍历系统也获得了 相对应的结构定理近年，v r i e s 【6 9 】在其出版的专著e l e m e n t so ft o p o l o g i c a l d y n a m i c s 一书中，用大量篇幅对群作用一般理论再次进行了详尽的论述著名 动力学专家k a t o k 近十年来一直致力于群作用的研究，并在2 0 0 5 年于黄山举行的 国际动力系统学术讨论会上，做了题目为“h o m o g e n e o u sa n do t h e ra l g e b r a i c d y n a m i c a ls y s c e m sa n dg r o u pa c t i o n s ”的报告【4 2 ，受到了专家们的高度重视 与群作用下的拓扑动力性质的研究同步，群作用的遍历论也取得了与保测映 射相对应的一系列成果，例如，遍历定理，测度熵，同构定理等然而类比保测映 射的遍历定理所揭示的时间平均和空间平均的关系我们看到，由于一般群( 半 群) 中的元素之间不存在象整数加群的序关系因而，如何对群作用言及“时间 平均”并不是简易可行的因此这方面的成果通常是对a m e n 曲1 e 群作用所得到 的( 见【4 9 ，5 8 ，5 7 ，5 6 ，6 9 ，6 7 ，6 3 】) 所以，群( 半群) 作用的遍历论的研究还有许多 工作要做 1 4 本文主要结果 本文主要包含如下两部分内容 8 河北师范大学博士学位论文 第一部分( 第二章) ，着重研究了半群作用的敏感依赖性对保测映射证明了 定理a 若t 是弱混台的，则丁是敏感依赖的 此结论对保测半流也是成立的( 见定理b ) ，其次讨论了一般半群作用下的m 系统，e 系统和敏感依赖之间的关系，证明了： 定理d 设( x ，丁) 为非极小的e 系统，丁可换且不含真理想，则( x ，丁) 是 敏感依赖的 最后，论证了半群作用的混合性和s p a t i o t e m p o r a l 混沌的一些联系，以及群 作用的弱混合，测度熵和对称敏感依赖的关系( 见定理e ，f g ) 第二部分( 第三章) ，着重从半群作用的复杂性函数出发研究了系统的复杂 性证明了 定理h ( x ，丁) 是等度连续的当且仅当x 的任意开覆盖n 的复杂性函数 r ( 丁，o ，) 有界 其后，我们给出了系统是等度连续的另一特征( 见定理l ，j ) 证明了拓扑弱混 合蕴含着扩散，研究了2 扩散与扩散的等价问题( 见定理k ，l ) 得到了群作用是 扩散的一个判别准则，即 定理m 设( x ，丁) 是动力系统，丁是满足第二可数性公理的交换拓扑群， f x ，丁) 是扩散的当且仅当( 一，丁) 与任意的紧极小系统( 1 j7 1 ) 是弱不交的 并用沿无限网的复杂性函数的无界性刻画了群作用的m i i d 混合和强扩散( 见 定理n ，o ) 第二章敏感依赖性 混沌揭示的是系统的不可预测性和复杂性当前，关于一个系统是混沌的定 义已有多种，这些定义虽然在形式上有所差异，但在揭示混沌的实质属性一不可 预测性这一点上是统一的，而敏感依赖性正是这一属性的数学描述因此，寻求 一个系统在什么条件下具有敏感依赖性是混沌动力学研究的重要内容b a n k 等 人 7 】证明如果连续映射是拓扑传递的以及周期点稠，那么它是敏感依赖的随 后，g l a s n e r 等人【3 5 】从敏感依赖性与其它动力性质的联系上，对敏感依赖性进 行了研究 本章主要研究半动力系统的敏感依赖性在第一节，对度量空间上的保测映 射以及保测半流，证明了弱混合蕴含敏感依赖性从而改进了文中的结果 在第二节，对半群作用，讨论了m 系统，e 系统和敏感依赖之间的关系，并给 出了它是敏感依赖的两个充分条件在第三节，对半群作用证明了拓扑弱混合蕴 含s p a t i o t e m p o r a l 混沌在第四节，用弱混合和遍历测度对某分划的测度熵为正 给出了群作用是对称敏感的两个充分条件 5 2 1 弱混合蕴含敏感依赖性 迄今为止，在有关一个系统何时具有敏感依赖的文献中，多数是从拓扑动力 性质出发给出其判定条件( 例如， 7 ，3 5 3 4 l 】等) 如何从遍历性质入手来说明 系统是敏感依赖的文献相对较少最近，文【l 】对保测映射研究了其弱混合性与 敏感依赖的关系，证明了如下命题： 命题设丁是弱混合的，且满足 9 0河北师范大学博士学位论文 性质( p ) ：对每个非空开集ucx ，存在具有正上密度的数列 n k 使得 u n ( n = o t 一“u ) d ， 则7 是敏感依赖的 本节的目的是试图说明此命题可通过k h i n t c h i n e 【6 1 】定理予以改进，并且对 保测半流使用k h i n t c h i n e 定理【5 5 】可得到完全相似的结论 5 2 1 1 相关定义和主要结果 设( x ，d ) 是度量为c f 的度量空间记z + = o ，1 ，2 ) 以及r + = 【o ，十。c ) b ( x ) 表示x 上的b o r e l 口- 代数，p 是( x ，日) 上的概率测度本节恒设丁是 ( x ，8 ，p ) 上的保测映射，即对任意b 8 有卢( b ) = “( t _ 1 b ) ；妒是( x ，8 ，f z ) 上的 保测半流，即妒是x 上的半流，且对任意b 8 以及f 兄+ 有肛( b ) = p ( 妒i 1 曰) ； s u p p p = x 定义2 1 1 若对任意 b 嚣，有 撒；跏邶h 一 印熙z a n b ) 一彬) 朋) 胁= o ) ， 则称丁( r e s p 妒) 是弱混合的 定义2 1 2 若存在d o ，使得对任意z 工以及。的任意邻域i ；，存在 n z + ( r e s p f 兄+ ) 满足 s u p d ( t ”z ，t “剪) ：可、一二 6 ( r e s p s u p d ( 妒z ，妒可) ：可i 占) ， 则称丁( r e s p 妒) 是敏感依赖的 动力系统的敏感依赖性与扩散性研究 定义2 1 | 3 子集scz + ( r e s p s ( r 。) 称为是相对稠的，若存在z + ( r e s p l r + ) 使得对任意z + ( r e s p r + ) 有 s n f 女，七+ 1 ，。，+ 一1 ) d ( r e s p 5 f n ( f 。f + ) 0 ) 定义2 1 4 子集scz + ( r e s pl e b e s q u e 可测集scr + ) 称为具有正上密 度，若 舰唧南c r 删 o 7 ：j s ) o ( r e s p 熙s 卸f ( s nm ) o ) 这里f ( s ) 是s 的l e b e s q u e 测度 本节的主要结果是如下两个定理 定理a 若7 是弱混合的，则丁是敏感依赖的 定理b 若# 是弱混合的，则妒是敏感依赖的 5 2 1 2 定理a 的证明 定理a 的证明需要以下两个引理 引理21 1 ( k h i n t c h i n e 定理 6 l 】) 对任意b 日，若“( b ) o ，则对任意 e o ，集合 z ：p ( bn 丁b ) 肛( b ) 2 一e 在z + 中相对稠 引理21 2 若丁不是敏感依赖的，则存在非空开集，1 7cx 使得n i 。= 0 且集合s = 女z + ：丁。vnu = 0 ) 具有正上密度 证明取d o 使得对任意z x ，存在x 满足d ( z ，) 4 6 因丁不是 2 河北师范大学博士学位论文 敏感依赖的，故存在z x 以及z 的邻域k 使得 d z o 门口( t “l ) = s u p d ( 丁“r ，t “矿) ：z 7 ，l 二) 墨2 6 ( v 孔o ) 取o e o 由此得到 恕泖；釜i ，n 丁切一州m ( 洲 2 j i 嫂三e o r d o 茎七佗一1 ：知s ) “( r ) 弘( u ) o n _ 。n 一。、。 这与r 的弱混合性矛盾， 口 5 2 1 3 定理b 的证明 为证定理b ，我们先给出两个必要的引理如下 引理2 】3 ( k h i n t c h j n e 定理f 5 5 】) 若对8 廖。有芦( b ) o ，则数集 晟+ ： 卢( b n 妒_ 1 b ) 土( 昂) 2 ) o 使得对任意z x ，存在y y 满足d ( r ，可) 8 d 因为妒不 是敏感依赖的，故存在0 口 6 和上y 使得d i a m ( 孰( 日( z ，盯) ) d ( v ! 0 ) 取0 0 使得对任意r + 有 s 1n ( ，f + l ) o 现对任意s l ，因为1 n 妒v 0 ，且d i a m ( 慨( y ) ) 帅而2 丽 o 一 定理b 的证明 若不然，由引理2 1 t 4 知，存在开集u ，l cx 使得数集s ：= f r + vn 妒i l u = 0 ) 具有正上密度又因s u p p 肛= x ，故p ( v ) p ( u ) o 从而 。蛾搿n u ) 叫跏( 洲d s - 。 p ( v ) p ( u ) f 旦5 “p 2 ( s n 删) o 这与妒的弱混合性相矛盾 口 5 2 2 半群作用是敏感依赣的两个充分条件 文【3 5 】对连续映射的敏感依赖性进行了研究证明了非极小的e 系统是敏 感依赖的由于m 系统是e 系统，这就用遍历论的方法证明了非极小的m 系统 动力系统的敏感依赖性与扩散性研究 1 5 是敏感依赖的文 3 】从拓扑动力系统角度证明了非极小的m 系统是敏感依赖 的本节对一般半群作用的敏感依赖性做相对应的研究 本节中设( x 丁) 为半动力系统，其中x 为紧度量空间，丁为拓扑半群，用 召( x ) 表示x 上的b o r e l 口代数“为( x ，8 ( x ) ) 上关于丁不变的概率测度用 s u 即p 表示p 的支集 2 2 1 相关定义和主要结果 定义2 2 1 设x 是拓扑空间，丁是拓扑半群，若映射 满足 ( z f ) s = z ( t s ) ，v z x ，v ，5 丁， 则称7 r 是丁在工上的右作用；若丁含有单位元时，则还要求z e = z ( v z x ) ； 如果x 为紧度量空间，且丌是丁在x 上的连续右作用，则称( x ，丁7 r ) 为半动 力系统，简记为( x ，丁) 定义2 2 2 若存在z x 使得万= x ( 其中z t = z lt t ) ) ，则称( x ，丁) 是拓扑传递的；若对任意? 一都有j 亍= 。y ，则称( 丁) 是极小的；对z 一， 如果存在极小集】7 使得z 】，则称z 为( 工丁)