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硬士学挺论文 中文攘要 一类双中心平面二次系统的a b el 积分零点个数 专业： 导师： 姓名： 应用数学 赵育林 邵仪 摘要： 以a b e l 积分与第一、第二型完全椭圆积分为工具，本文 研究一类弱化的h i l b e r t 十六问题，即一类具有两个中心奇点的平面 二次系统在n 次小扰动下的a b e l 积分零点个数上界问题利用幅角 原理，此问题可以得到较小的上界估计，从而改进了文章 4 6 的结果 关键词：二次系统；a b e l 积分 硬士攀挺论文 荚文攮要 t h en u m b e ro fz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l sf o r ac l a s so fp l a n eq u a d r a t i cs y s t e mh a v i n g 譬谬0c e n t r e s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：y u l i nz h a o n a m e ：y is h a o a b s t r a c t ：w ea p p l ya b e l i a n i n t e g r a l s a n d c o m p l e t ee l l i p t i c i n t e g r a l so ft h ef i r s t ，s e c o n dk i n d st os t u d yac l a s so ft h ew e a k e n e d1 6 m h i l b e r tp r o b l e m ，t h a ti so na nu p p e rb o u n df o rt h en u m b e ro fz e r o so f a b e l i a n i n t e g r a l s w h i c ha p p e a rf r o mas m a l l d e g r e e np o l y n o m i a l p e r t u r b a t i o n f o rac l a s so ft h ep l a n e q u a d r a t i cs y s t e m sh a v i n gt w o c e n t r e s w eo b t a i na ns m a l l e ru p p e rb o u n do fz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l s b yu s i n gt h ea r g u m e n tp r i n c i p l e ，w h i c hi m p r o v e dr e s u l to ft h ep a p e r 4 6 k e yw o r d s ： a b e l i a ni n t e g r a l s ；q u a d r a t i cs y s t e m s i i 一类双中心乎瑟二次系统戆a b e l 粳分零点个数 第一节引言 本节简要介绍弱化的h i l b e r t 十六问题与a b e l 积分，以及它们与极限环的关 系，在此基础上，介绍本文所要研究的一类特殊平面二次系统在h 次小扰动下的 基本特征，并且给出了本文的主要结果 1 1 弱化的h i l b e r t 十六问题 关于极限环的研究大体上分两个方面，一个方面是关于极限环的存在性，稳 定性，个数以及它们的相对位置等问题；另一方面是关于极限环随系数中参数的 变化而产生或消失的问题关于极限环存在性问题的研究较多，唯一性问题的研 究较少，至于个数问题难度较大，已有的结果更少 著名数学家d h i l b e r t 1 于1 9 0 0 年在国际数学大会上提出了二十三个数 学难题，其中第十六问题的后一半就是：给定微分方程 一a y ：墨垒! 盟， ( 1 1 1 ) 出 q 。( 石，y ) 其中只，见是x ，y 的次数不高于n 的实系数多项式；问它最多有几个极限环以 及它们的相对位置，即对一切这样的r 1 次系统，能否估算出极限环个数的上界( 依 赖于n ) 数学家们对h i l b e r t 的其他问题兴趣很大，钻研的人很多，但是对这 个问题问津的人却很少，只有法国数学家h d u l a c 2 在1 9 2 3 年证明了对每个 这样的系统，极限环的个数是有限的另外，只对限制很强的一类极限环，即强 稳定和强不稳定极限环，s p d i l i b e r t o 3 给出了极限环个数的上界 五十年代以后，研究这个问题的人逐渐增多，我国学者已对于右端为二次多 项式方程的极限环进行了深入而有系统的研究，研究的主要问题大致有三个： 1 方程( 1 ) 当n = 2 时的极限环的相对位置 2 方程( 1 ) 当n = 2 ，3 时的二次代数曲线环 3 研究已给的方程( 1 ) 当n = 2 时的极限环的个数与轨线结构 2黛一节g 蛮 前两个问题原来以为已经彻底解决，但由于n e t p o a c r a a f i 与j i a h i i h c 的猜想已 被证明是错误的( 见陈兰荪 4 、史松龄 5 ) ，从而第一个问题距离彻底解决还 相差很远，第三个问题仍在继续研究之中 直到现在，对于( 1 1 1 ) 的极限环个数上界问题即使对，l ：2 的情形都没有解 决，看来它是一个比较复杂的问题1 9 7 7 年，a r n o l d 6 提出了一个相似而又似 乎简单一点的问题，即弱化的h i l b e r t 十六问题( 有关这一问题与极限环个数 上界的关系问题，我们将在1 2 详细阐述) 设h ( x ，y ) ，f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 都是关于变量x ，y 的多项式，r 。是水平集 ( x ，y ) 斤2 i a ( x ，j ，) 一由，力 的闭连通分支，其中三c r 是l 存在的最大 开区间假设 = f ( x ，y ) d x + g ( x ，y ) dy ( 1 1 2 ) 是实多项式微分1 一形式，d = m a x d e gf ( x ，y ) ，d e gg ( x ，y ) a b e l 积分定义为 m ) = j ，日，2 僻。 ( 1 - 1 3 ) a b e l 积分l ( h 1 的孤立零点个数上界问题，a r n o l d 称其为弱化的h i l b e r t 十六问 题 关于弱化h il b e r t 十六问题，k h o v a n s k i “7 和v a n c h e n k o 8 已经独立地 证明了i ( h ) 1 ) c j 零点个数上界z ( d e gh ，d ) 是一个有限数，其数值仅仅依赖于多项 式h ( x ，y ) 及f ( x y ) ，g ( x ，y ) 的次数，但至今尚未得到z ( d e gh ，d ) 的明确表 达式对于二次或三次h a m i l t o n 系统h = y 2 + p ) 的情形，许多数学家都致力于 估计或给出a b e l 积分l ( h ) 的零点个数上界，见p e t r o v 9 ，1 0 ，1 1 ；r o u s s e a u 与 z o l a d e k 1 2 ；z h a o 与z h a n g 1 3 ；l i u 1 4 等h o r o z o v 与i l i e v 1 5 就三次 h a m i l t o n 系统给出了一个线性上界z ( 3 ，d ) s1 5 d + 1 5 ；n o v i k o v 与 y a k o v e n k o 1 6 构造了一个1 ( h ) 满足的微分方程，利用文章1 1 y a s h e n k o ， y a k o v e n k o 1 7 中的方法，得到了a b e l 积分l ( h ) 的一个渐近指数界等等 弱化h i l b e r t 十六问题的研究，主要包括h a m i l t o n 系统和非h a m i l t o n 系统 两个方面，有关具体内容见第- - $ 节 硕士学位论文 3 1 2a b e l 积分和极限环 我们首先考虑下面h a m i l t o n 系统的多项式扰动系统 s 是一个参数，0 cs 1 ，h x o ，y ) ，h 。( x ，y ) ，f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 都是关于 变量x ，y 的多项式，h ( x ，_ ) r ) 一h 是( 1 2 1 ) 0 的首次积分假设( 1 2 ”。至少有一个中 心，f 。是h a m i l t o n 系统( 1 2 1 ) 。的闭轨极限环分支问题的研究归结于p o i n c a r 6 返回映射，而此问题又简化为计算后继函数 d ，) 一p ，e ) - h = ，) + e 2 m 2 q ) + + e k m k ) + ( 1 2 2 ) 的零点个数，其中p ( h ，) 是取决于h 与s 的第一返回映射设m 。q ) = i ( h ) 显 然，第一个非零m e l n i k o v 函数m 。( ) ( k = 1 ，2 ) 的零点个数即为从围绕( 1 2 1 ) 0 中心的闭轨r 。分支出的系统( 1 2 1 ) 。的极限环个数上界应用文 p o n t r y a g i n 1 8 ；v e 1 9 ：z h a n ge ta 1 2 0 的结果，有下面关于全局中心分支 的p o i n c a r 6 一p o n t r j a g i n a n d r o n o v 定理 定理：( i ) 如果i ( h + ) = 0 ，0 + ) 0 ，则存在系统( 1 2 1 ) 。的一个双曲极限环 l h ，使得当一0 时，一f ，；反过来，如果存在系统( 1 2 1 ) 。的一个双曲极 限环t ，使得当一。时，t 一f _ ，贝l j i ( h + ) = 0 ，其中h + ( i i ) 如果i ( h + ) = ，+ ) = ，”) = = i r k - 1 ) ( + ) = 0 ，”。) 0 ，则当s 充分 小时，在附近系统( 1 2 1 ) 。最多有t 个极限环 ( i i i ) a b e l 积分t ( h ) 的孤立零点个数( 考虑到它们的重数) 是从h a m i l t o n 系统 ( 1 2 1 ) 。的闭轨分支出的系统( 1 2 1 ) 。的极限环个数上界 玑 三 帅 蚺 出一出咖一出 4第一节l 富 煮2 糍i + 晰川， 固。 象一粼懈 一。 其中嬲，嬲，地班如y ) 是关于变虱_ ) ，多项式，坼棚是 m ) 2 a m ( x ，_ ) ，) ( ，y ) d y g ( x ，y ) d x ) ( 1 - 2 - 4 ) 硬士学像 宅文5 比h a m ii t o n 系统的难度更大 在文章 3 7 ，3 8 ，3 9 中，作者分剐研究了菇有二次，三次与四次赭线静非 a m i l t o n 可积系统，绘感了a b e l 积分f ( 秘零点令数熬线挂毽诗式：文 4 0 i 硬究 了一类在无穷道点非正则的多项式h a m i l t o n 系统；文【4 1 】研究了二次非h a m i l t o n 可积系统蝣nq 4 的a b e l 积分f ( ) 零点个数；脊关二次非h a m i l t o n 可积系统在 二次扰动下戆缝果，参煲d u m o r t i e r ，l i 与z h a n g 4 2 ；g a u l l ，l i ，l i i b r e 与 z h a n g 4 3 ；i i ie v 4 4 ；z o l a d e k 4 5 ；l i ，l i ，l l i b r e 与z h a n g 4 6 锋 另努，对予二次饕h a m i l t o n 鼍积系统魏二次撬动系绞，霹 象。掣斗8 鼯2 + 删+ 壤y 2 + 彬+ 彬) 。 2 1 5 ) i d y = j i 一互1 x 2 + 2 y 2 + c t ( 1 2 x 2 + m 2 秽+ n 2 y 2 + p + q 2 _ y ) 李继彬与陈孝秋( 见 4 7 ) 得到了此系统可能存在以( i ，o ) ，( 2 ，o ) ，( 1 ，1 ) 三穰分蠢熬辍辍琢。 1 3 一类二次系统的基本特征及主要缩论 本文利用第一与第二型完会椭圆积分，就一类特殊的二次系统估算它的 a b e l 苏分零熹个数，哥瓠褥爨较小戆上赛绩诗，簌嚣羧进了e 4 6 魏缝巢 考虑以下二次系统的扰动系统 磐+ ，e f ( x ，y x ( 1 3 a 警矽2 + e g 蝴 一5 0 cs l ，f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 是关予交爨并，y 熬交裹次数为撵懿多顼式。系绕 ( 1 。3 。1 ) 。具有硒个中心a ( i ，o ) 与b ( 一1 ，0 ) ，旦具有三对无穷远点积分 ( 1 3 1 ) 。，可得中心a o ，o ) 的闭轨簇 时 的磐数方秘为( 见【4 7 】) 6第一节 i 畜 ( f ) = 1 一h ( 1 i3 2 ) 其中 ( 0 , 1 - 击2 2 ) 围绕中心b ( 一1 ，。) 的闭轨簇 r ! ) 的参数方程为 x ：o ) = _ o ) ，y 2 0 ) t y l o ) 当h = o 时，( 1 3 2 ) 变为两个孤立的中心奇点a ( 1 ，0 ) 与b ( 一l ，。) ；当h = 1 - 击2 2 时，( 1 3 2 ) 变为 工( f ) ：士， ( 1 + c o s t ) 2 y o ) 2 丽s i n t ， 即双曲线h 2 4 y 2 = 1 相图如下 。j 供终 蝴桫 7 硕士学位论文7 记 = 等8 ( 1 簪， ( 1 3 3 ) 一 r 可得( 1 3 1 ) 。的首次积分 h ，y ) = x - 4 。j 1y 2 1 4 x 2 + i 1 ) = 五， ( 1 3 4 ) 积分因子m o ，y ) = x 本文主要结果为以下定理： 定理1 设f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 为不高于n 次的多项式，撑 ，q ) ) 是系统( 1 3 1 ) ；的 a b e l 积分零点个数，如果i ( h ) 不恒等于零，则当n z 7 时，样 ，( ，1 ) ) s 1 2 n - 1 当，l = 0 时，# ( ) ) = 0 ；当月= 1 ，2 ，3 时，挣口o ) ) s 3 5 ；当n = 4 ，5 ，6 时， 样 ，) e 5 9 定理2 如果f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 为不高于n 次的多项式，若，( ) 不恒等于零， 则当n 7 时，从系统( 1 3 1 ) 0 的闭轨分支出( 1 3 1 ) 。的极限环个数上界是1 2 n 一1 当，l ：0 时，极限环个数是0 ；当h = 1 ，2 ，3 时，极限环个数上界是3 5 ；当 ，l = 4 ，5 ，6 时，极限环个数上界是5 9 证明过程详见3 2 8一类双中心平面二次系统鹩a b e l 秩分零点个数 第二节a b ei 积分化为完全椭圆积分 本节研究a b e l 积分的代数结构，它可以表示为几个基本积分的线性组合 然后利用系统( 1 3 1 ) 。解的基本特征与第一、第二型完全椭圆积分的性质，又可 以将a b e l 积分转化为完全椭圆积分的线性组合的形式，从而我们可以利用幅角 原理，计算a b e l 积分的零点个数 2 1a b e l 积分的代数结构 由1 2 讨论可知，系统( 1 3 1 ) 。由( 1 3 1 ) 。的闭轨分支出的极限环个数上 界，即为a b e l 积分， ) 的零点个数因为l ( h ) 的被积函数中f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 均为次数不高于n 的多项式，所以我们通过归纳递推，将a b e l 积分， ) 表示为 四个基本积分，+ 厶，。，- ，：的线性组合的形式，其中 ( i i ) 。9 i r m ( x ，y ) x y d x 为此，有下面的引理 引理1 设f ( x ，y ) ，g ( x ，y ) 为次数不高于n 的多项式，记 ，瓶) 29 i r u ( x ，y ) x i y7 d x ， i _ 一1 ，0 ，1 ，j2 0 ，1 ，2 ， j i ) = 。 i = 一1 ，0 ，1 ， 则当n 7 时，系统( 1 3 1 ) 。的a b e l 积分可表示为 晌2 南陋一砒吖m 枷呲 其中a ( h ) ，卢( ) ，r ( h ) ，6 ( ) 是关于h 的多项式， 且 硕士学位论文9 啪x d e g a ( h ) ，a c 潮，a e g 腕衄硼 字 瑚 字卜n ：- _ 兰3 的整 数部分 当n = 0 时，( ) = 口 ) j 一，d e g a ( h ) = o ；当n = 1 时，( 五) = a 0 ) j 一，+ 卢o ) j 。，d e g o ( ) = d e g 芦( ) = o ；当n = 2 ，3 时，i ( h ) = a ( h ) j 一。+ 卢( ) j 。+ r ( h ) j ， + a ( h ) j 2 ，d e g c t ( h ) = d e g f l ( h ) = d e g7 ( h ) = d e 9 6 ( h ) = 0 ；当n = 4 , 5 ，6 时，x ( h ) = j ( ) ，( ) = 口) i ，一。+ 卢( ) j o + y ( ) _ ，。+ 6 ) ，2 ，d e g ) = o ， m a x d e g 卢( ) ，d e g y ) ，d e 9 6 ( h ) 1 可见引理1 把a b e l 积分，( ) 表示成了几个基本积分的线性组合，这将给以 后我们解决问题提供了很大的便利，下面是引理的证明过程 证明 3 8 ：通过分部积分，得到 。一m ( x ，y ) x k yd y2 乎r _ x i - s y ld y 凼此，只斋考虑l i ，j ) ，i 一1 ，i + je n 以p 分曲步让明： ( 1 ) 在( 1 3 2 ) 中，由y k ( t ) ，心o ) ( k = l ，2 ) 的奇偶性，注意到当j 是偶 数时，l i , j ( i ) = o ；当j 是奇数时， 由( 1 3 4 ) 可知 一- s y 2 _ 1 2 x _ + 1 2 x - 5 x - 4 y d y ( 2 x y) d x 一0 一 11 i 两端乘以x i - 4 y ，沿r ；积分有 等弘1 1 1 1 一，= 0 , j 0 ( 2 1 1 ) 再由( 1 3 4 ) 两端乘以一。5 y ，对x 积分得 j 1 11 一，+ 。4 11 ；- 2 , _ + 8 1 i 一。，j = 五， 即 1 i - 4 , j + 2 = 2 ( ii i j + i 1b 一百1 ) ( 2 1 2 ) 杷f 212 1 代入( 21 1 ) 可得 0 堕 一 静 舛 1 0 第二节a b e l 积分化为完全椭圆积分 2 ( i + 2 j 一4 ) 五，= 丢( 6 一i j ) 1 i _ 2 0 + 1 ( i 一8 ) 一。， 令j = 1 有 2 ( i - 2 ) 五仁一j 1 ( i _ 5 ) 丘：+ ( i 一8 ) 丘。 ( 2 1 3 ) 运用归纳可知，当i 6 时， 扣南“咖川啦而地) ， 2 南，_ l ( 奶j _ l 咖1 ) ， 当i 为偶数， 当i 为奇数， 其中c f i _ 1 ( ) ，卢f 。( ) ， ) ，6 i , 2 ( ) 是关于h 的多项式，且 d e g 呸。，q ) 闭，d e g & o ( o 闭i - 6 ，d e g 托，两闭，d e g 伽) 吲 当i = 3 ，4 ，5 时， j 3 = 三( 寻j - 1 + ) ，j 4 = 1 一( 一2 j 。+ l ，：) ，= 一三o 2 h 2 h8 h 在( 2 1 3 ) 中用i 一4 代i 得 j j = 面1 【8 ( i + 2 ) ij i + 4 + 2 ( i 一1 ) ，m 】 这意味着，；( i ) ，当i 一2 时， ，。= 屈。( i ) 厶， 当i 为偶数， ，。= 口；一。( i ) l ，一。+ n ，( i ) j 。， 当i 为奇数， 其帆颤， 芋卜滕褂托- 两 芋 ( 2 ) 又从( 2 1 i ) ，有 “i ) = 一i 七( 一心卜：+ 丢小：) 如渠i 一1 0 男l v z , i + 2 i 一4 = 0 当目仅当( i ，j ) 为( 4 ，0 ) ，( 2 ，1 ) ，( 0 ，4 ) 硕士学位论文1 1 因为j 是奇数，故当i 一1 ，j 3 时，1 m ) 可表示为 ，) 2c i ，t j m 由于i + js ，l ，is n 一1 ，所以 砸产弃“幻一面两l 邯两厶竹面怕两 由第( 1 ) 步及( 1 3 ”。的首次积分与积分因子的表达式，弓i 理得证 2 2 完全椭圆积分 椭圆积分首先在j a k o bb e r n o u l l i 和j o h a n nb e r n o u l l ，g c f a n g n a n od e i t o s c h i ，l e u l e r 以及a l e g e n d r e 关于求椭圆及其他二次曲线弧长的工作中 出现例如，设椭圆的参数方程为 z 暑口s i n 口， 【y2 b c o s o 利用弧长公式，容易求得椭圆周长 l = 4 ar 2 1 一k 2s i n 2 0 d o = a e ( k ) 3 0 对于部分椭圆弧长，如对应的角度为0 ，利用类似的方法可得部分弧长公式 s = 啊以一七2 s i n 2 日加= n e ( 妒，尼) 后来它和椭圆函数( 一个在有限复平面上是亚纯的双周期函数) 一起，在分析学， 几何学和物理学的各种问题中有许多重要的应用 椭圆积分即为形如 j ：r p w ) d f ( 2 - 2 1 的积分，其中r ，们是变量f 和w 的有理函数这些变量由方程 w 2 = f ( o 篁a o z - 4 + 口，+ 口，2 + a 3 z + n 4 ( 2 2 2 ) 相联系，其中，p ) 是没有重根的三次或四次多项式通常认为积分( 2 2 1 ) 不 第二节a b e l 积分化为究全椭圆积分 能莰嗣一令裙等函数来表示。 方程( 2 ，2 2 ) 对应于一个亏格g ；1 ，与环面同胚的双叶紧r i e m a n n 面f ， 在f 上r ( t ，w ) 被看成是f 的点的函数是单值的积分( 2 + 2 1 ) 韪由f 上a b e l 微分甜= r ，w ) a 芎游菜令蜀求长路径l 豹积分五甜绦密豹一般逮说，指定路径 l 鲍始点z 。期终点麓劳不能完全确定椭圆撰分( 2 2 1 ) 的壤：换富之，( 2 ，2 1 ) 是z 。和气的多值函数 经过适当变换，任何椭圆积分可化为口a y - - 种形式之一： f 而i 蓊d t 示秀，j f y1 1 - f f e f r 2 a rj 而i 丽j y1 。( 1 + l v 2 ) 4 0 一七0 2 ) ( 1 一f 2 ) _ = = = = = = = = = = = 一， 其中k 与l 都是常数若记f ；s i n 0 ，它们又依次变为 l 志，c 湎d e 。 j ：万：i i 丽 j 叫1 8 8 1 n 口d 目 r d o j ( 1 + ，s i n 2 日) 打虿面万+ 这三种标准形式分别称为l e g e n d r e 形式的第一类，第二类，第三类椭圆积分， 其中0 c k 2c 1 ，k 称为模，疗称为幅对第一类与第二类椭圆积分采用记号 f ( 妒，七) 。j ：志与e ( 妒，i ) = j ：气二j i 丽p 特别地， - ，( = f 志 ( 2 z 3 ) = e ( 吾问；f 正丙蔬臼， ( 2 2 4 又分别称为第一型与第二型完全椭圆积分 有关椭圆积分方面的详细知识及公式见b y i dp f 与f r i e d m a nm d 4 8 硕+ 学位论文 2 3a b e l 积分化为完全椭圆积分证明 因为应用完全椭圆积分的一些性质与幅角原理，可以降低a b e l 积分零点个 数上界，所以本小节将a b e l 积分表示为第一、第二型完全椭圆积分的线性组合， 形式为下述引理 引理2对于系统( 1 3 1 ) 。的a b e l 积分可表示为以下形式： 当n3 l ，2 ，3 时， ，( ) = r ) 2 r 2 2 ) k ( 七) + r 2 ) e ) 】+ r ( k 2 ) ， ( 2 一k 2 ) 2 。 当n = 4 ，5 ，6 时，西) = 丁( t ) = 1 【恐( 七2 ) k ) + r 2 ) e ( t ) + r ( k 2 ) ， 当n 7 时。 2 r 2 2 i ：嘉【r 2 ( k 2 ) k ( k ) + r t ( k 2 ) e ( k ) + 尺。2 ， ( 2 一七2 ) 2 ( 七2 1 ) “ 其中k 2 = 2 ( 2 h h 2 ) ，k 2 e ( o ，1 ) ，恐 2 ) ，r 1 ( t 2 ) 是关于2 的多项式，r ( k 2 ) 是关 w 的分式，n _ 字 ，徘( 七) 分别是第一第二型完全椭圆积分，b 口 k 让) 2j j 志2 f 了霾靠， 聃= 叠正瓦而口= 圳l f f i 。- 一k 2 v 2 d r 证明：( 1 ) 首先我们证明n 7 的情形因女2 = 2 ( 2 h - h 2 ) ，则 ；。杀等= 嘉，= ( 半) 2 慨s ，肛百西矿一砸i 了1 。”一r2j ”“ 由引理1 ，其a b e l 积分为 嫡= ( 篙产， 其中 j f h ) ：a f 、j ，伪1 + f l ( h ) ，。m 1 + y ( ) i ，( ) + 6 ( ) j 2 ( ) 】， ( 2 3 2 ) 第f ：= 二节a b e l 积分健为完垒椭豳獠分 这里a ( ) ，卢( ) ，y ( ) ，6 ( ) 是关于元的多项式，即为关于芒安芒寺的多项 式；并且 ，。) 。死m 似，_ ) ，) y d x2 f r o m ( x ，y ) x i 1 y 2 疵 = j 二：r f o o + 石) ，y ( s + 玎) 扛m o + 石) y 2 0 + 丌) d ， i = 一1 ，0 ，1 ，2 ( 2 3 3 ) 记 2 h h 2 p 。i 而r 则( 1 3 2 ) 与积分因子m ( x ，y ) 分别为 z ( s + 石) 2 丽1 ，y ( s + 玎) = 一丽p 而s i n s 而， ( 2 3 4 ) ! m ( x ( s + 玎) ，_ ) ，0 + 石) ) = x ( s + 石) 5 = 0 一p t o s s ) 2 ( 2 3 5 ) 由( 2 3 2 ) 及( 2 3 3 ) ，记 a ( p ) = 【a ( h ) j - 1 ) + 卢) j o ) + r ( h ) j 1 ) + 6 q ) j ： ) 】 = a ( p ) j - 1 + 卢( p ) j o + r ( p ) j 。+ 6 ( p ) j 2 = j 二( 1 一p c o s $ ) i ，0 0 0 + 石) ，y o + 石) ) 出， ( 2 3 6 ) 这里口( p ) ，f l ( p ) ，y ( p ) ，6 ( p ) 均为关于j 鲁的多项式，显然 l ( x ( s + 硝) ，y ( s + 玎) ) = 口( p ) y 2 + 卢( p ) x y 2 + y ( p ) x 2 y 2 + 6 ( p ) x 3 y 2 ( 2 3 7 ) 注意到g ( p ) 的被积函数是关于变量s 的偶函数，于是有 。 a ( p ) = r ( 1 一p c o s $ ) 2 ，o ( 工0 + 石) ，y o + 石) ) 出 j 一 2 j ：o 2 ( 1 一p c o s s ) j ，0 ( s + 石) ，) ，( s + 石) ) 凼 2r 即c o s s 汹+ 5 0 器， ( 2 3 8 ) 其中p ( p s s ) 是关于p c o s s 的有理式， ( p c o s ) 是关于p c o s s 的多项式 事实e ，对于( 2 3 8 ) 第一部分可写为 硕士学位论文 1 5 f p ( p c 。s s ) d s = f 02 ( 1 一p c o s s ) ； f l ( p ) x y 2 + 3 ( p ) x 3 y 2 协 = r 2 卢p ) ( 1 一p c 。s s ) j 5 叫2 出+ f o2 6 ( p ) ( 1 - p c o s s ) i x 3 y 2 出 把( 2 3 4 ) 代入，通过计算，可以得到 r 2 卢( p ) ( 1 一p c o s s ) ；砂2 凼= 三p 2 f l ( p ) ， r 2 d ( p ) ( 1 一删渺5y 2 出5 三6 ( p ) ( 厢+ 1 ) 由p = 而2 h - h z 腴- l , 2 3 1 ) ，可知p = j ，故 f op ( pc o s 蚺2 三邪( 卅三m ) ( 而+ 1 ) =盟4(2-k2)24(2k + 型2f 雩2k + ， i一2 j 2 意爵弘4 f l ( k 2 ) + 2 p 确职) 【2 瓜+ ( 2 搿) 】) ( 2 3 9 ) 结合引理1 及( 2 3 2 ) ，可知卢( 旷) 瑚 2 ) 是关于旷的有理式口为关于苫刍寿 的多项式对于( 2 3 8 ) 第二部分，记 叩2 r 器， 即 ，7 = 口( p ) j 一。+ y ( p ) j 。，它是椭圆积分，能够写成第一与第二型椭圆积分 k ) ，e ) 的线性组合的形式 我们用半角c o s $ = 2 c 0 s 2 薹一1 ，f = c 。s 盖，可以 得到 叩= r 等 ：占，；垒呈丝：三塑批 ( 2 3 1 0 ) l + p j o 【1 2 p ( 1 + j d ) 1 f 2 】( 1 一f 2 ) 定义椭圆积分的模 第二繁a b e l 积分仡为究全椭圆骥分 记 k = 七( p ) = v = 厄i 丽f 孬 结合( 2 3 4 ) ，把上两式代入( 2 3 1 0 ) 可得 叩= 廊2 p 2j 0 7 垫韭等避z 2 而2 p 21 j i ? 。学排j ： 陋) 2 1 ) + r ( p ) k 4 用b y r d 和f r i e d m a n 4 8 ，l li 0 6 等式： f 争r = t k ( k ) - e ( k ) ， 虮_ 掣挲 打 ( 2 3 1 2 ) ，乌。(_k2+2)k(k)-2(k2+1)e(k)， (2313)j ov 3 k 4 。 f 争r = 冬笋f 争r 一三5 k 2j r l o 乌v f ，( 2 3 1 4 ， 把( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 3 ) ，( 2 3 1 4 ) 代入( 2 3 1 1 ) 直接计算得到 叩= 蔫p 坐生垒1 噤5 k 必删 1 + 4 + 蔫p 型型垫1 磐5 k 螋鼢1 + 4 。 将p = 再k 2 代入，进一步整理可得 2 + 1 5 ( 2 一k2 ) 2 1 5 ( 2 一k 2 ) z ( 一4 + 3 k 2 2 ) a ( k 2 ) + l o ( k 2 1 ) r ( k 2 ) 】k ( k ) 【( 1 0 k 4 + 6 t 2 + 2 ) a ( k 2 ) + 5 ( 1 2 k 2 ) y 2 ) 】e ( k ) ，( 2 3 1 5 ) 其中a ( t 2 ) ，y 2 ) 是关于女2 的有理式，即关于苫刍寿的多项式 辱 硕十学位论文 1 7 结合( 2 3 8 ) 与( 2 3 9 ) 可得 g ( p ) = 琏( 七2 ) k ( 七) + q ( 女2 ) e ( k ) + 磁 2 ) ， ( 2 3 1 6 ) 其中 啄确= 二【( 掣+ 3 七：- 2 ) a z ) + 1 。( 七z 一1 ) 雕z ) 】，( 2 3 1 7 ) 1 5 ( 2 一七2 、2 碍( 确：二 ( 1 0 k 4 + 6 k 2 + 2 ) 邮：) + 5 ( 1 2 k ：) y ：) 】，( 2 3 1 8 ) 1 5 ( 2 一k 2 1 2 咏婶z ) - 老爵卢 2 ) + 2 ( 2 - k 2 以确【2 再+ ( 2 瑁m ( 2 3 1 9 ) 再由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 及n = 【字 有 腼，= ( 等卜， 即 晒m 舻( 喾小踯) + 州埘固“z s z o ) 注意到( 2 3 9 ) ，( 2 3 1 5 ) 中，a ( k 2 ) ，f l ( k 2 ) ，y ( k 2 ) ，6 ( 旷) 都是关于丢尝丢【_ 的多项式，结合引理1 结论可知， 【2 ( 2 一2 ) 2 】a ( k 2 ) ，【2 ( 2 一七2 ) 2 rp ( k 2 ) ， 【2 ( 2 一k 2 ) 2 】r ( k 2 ) ，【2 ( 2 一k2 ) 2 】6 2 ) 是关于k 2 的最高次为2 n 的多项式 为了方便，我们约定以下带有下标的大写字母均表示关于k 2 的最高次为相应下 标的多项式 1 ( h ) = t ) = 1 最。+ ：( 七2 ) k ( ) + q j v + ： 2 ) e ( t ) 】 + 两靠可：+ 瓜】( 2 3 2 1 ) 特别地，由引理1 与( 2 3 2 0 ) ，对于，l 一0 ，r l 6 的情形亦然可证下述结果 1 8 第二节a b e l 辍分仡为究全椭圆积分 或 当n = 1 时，t ( k ) = ! ( 2 一七2 ) z 最 2 ) k 作) + q 2 ( k 2 ) e ) 】 + 击v 2 ( k 2 )+ 衙 当n = 2 ，3 时，t ( k ) = ! ( 2 - k 2 ) 2 芝( 2 ) k ) + q 2 ( k 2 ) e ) 】 ( 2 3 2 2 ) + 南陬确+ 瓜宣】；( 2 3 2 3 ) 当n = 4 ，5 ，6 时，t ( k ) = + ( 2 一k 2 ) ： 2 1 ) ( 2 一k 2 ) 2 2 1 ) 只( k2 ) k ( 七) + 0 4 ( | 2 ) e ( 七) 】 【f 4 2 ) + 瓜丘 z ) 】，( 2 3 2 4 ) t ( k ) = 等w 哪) + q 2 驯 + 志 f 2 ( k 2 ) + 再矗 2 ) 】 ( 2 3 2 5 ) 由上述4 式及( 2 3 2 1 ) ，引理2 证毕 类双中心平面二次系统的a b e l 积分零点个数1 9 第三节a b el 积分零点个数计算 这一节在前面预备知识与引理的基础上证明本文的主要结论定理l ，即估算 系统( 1 3 1 ) 。的a b e l 积分零点个数上界 3 i 预备定理 为了利用幅角原理来估算系统( 1 3 1 ) 。的a b e l 积分零点个数，首先给出几个 预备引理，引理3 证明见【4 3 】 引理3 设u ( x ) ，v ( x ) 分别是n 次与m 次实系数多项式，七( 一1 ，1 ) ， 则函数p ) = “ 坶( 七) + v ( 七) e ) 的零点个数( 重根按重数计算) 上界是 珂+ m + 2 ，并且p ( k ) ( i ) 对于任意的k i ( 一1 ，1 ) ，i = l2 n + 川+ 1 ，g 在u ( x ) 与p o ) ，使得当 i = 1 ，2 ，n + m + 1 时，p ) 不恒等于0 且p ) = 0 ( i i ) 如果，l ，m 都为偶数，则存在n ，m 的值，使得n + m + 2 是函数p ( k ) 零点个数的上确界 ( i i i ) 如果n m + 2 ，r n + m 是一个奇数，则存在，l ，m 的值，使得n + m + 1 是函数p ) 零点个数的上界 引理4 4 8 ，f o r m u l a ，1 1 8 0 2 7 1 0 o o 椭圆积分k ( 七) 和e ( k ) 满足下面的 p ic a r d f u e h s 方程 d k e ) 一( 1 一k 2 ) k ) d k k ( 1 一k 2 ) d e e ( t ) - k ) 磊1 一 第三节a b e l 积分零点个羲计算 3 2 估算a b e l 积分零点个数 本小节在前面几节预备知识的基础上，估算系统( 1 3 1 ) 。的a b e l 积分零点个 数上界( 极限环个数) 以下是本文主要结论定理1 的详细证明过程 定理1 证明：( 1 ) 首先证明n 苫7 的情形 由( 2 3 2 1 ) 记 d = f 2 ，+ ： ：) + i i ：。+ 。 z ) 】，u ；三；生 u 结合引理2 可知， 尺( k2 ) 2 两掭觯2 ) + 再】 ! 盟：墨芝：2 垡：2 丝堡! 垡：2 垡：2 里! 塑+ 1 r ( k 2 ) ( 2 一k 2 ) 2 ( 七2 1 ) ”r ( k 2 ) = u 芝。+ ：( t 2 ) k ( k ) + q 2 + ： 2 ) e ( k ) d - 1 利用引理4 ， 2 u z i ( ( 1 【) + q 2 + 2 ( 确聃】) 其中 2 卜船 c ，卜一华一学肛 + u 胁啪p 2 u + 2 ( k 。2 ，) + k q ，k 2 、+ 学胪 2 卜舭wu 学卅妒m q 2 j v + 3 ( k , ) - k 2 卜z ， 硕士学位论文 2 1 p z ”+ z ( 七2 ) = k 2b 。 2 ) 一只，+ ： 2 ) 一巨b + ： 2 ) q 2 + ，( 七2 ) = 最。+ ：( t 2 ) + k 2 ( 1 一女2 ) q ：。+ ， 2 ) + ( 1 一k2 ) q 2 + ： 2 ) 通过直接计算 昨( 字) 其中 - k 巫呼一 ，( s z z ， $ 2 n + 2 2 ) = 丘。+ ：( 七2 ) + ( 2 一k 2 ) 最，+ ， 2 ) s 2 u + z ( 七2 ) = ( 1 一2 ) 【f ：一+ l ( k 2 ) + ，z 一仲2 ) 】一( 2 - k 2 ) f 2 n + - 2 ) 把( 3 2 2 ) 代入( 3 2 1 ) ，舍去一个负号，细致计算得到 ( 黔逆意器学冰， 令 + 篮尘垫塑塑盟如掣尘业龇盟耶) ( 3 2 3 ) 七r 1 一k 2 ) 4 2 一k 2u 由k2 ( o ，1 ) 可知，0 t 2 1 记 从而 1 一女2 ；t 2 0 2 + 2 0 2 ) = u = 【f 2 + 2 ( t 2 ) tf 2 , v + l ( t 2 ) 】， ( 3 2 4 ) r = 而丽u 刁 把( 3 2 4 ) 代入( 3 2 3 ) 得 一生。：；生：! 一0 2 + 1 ) 2 ( 一f ) ：鲨等鬻箸幽， ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 第三节a b e l 积分零点个数诗算 k + 。0 2 ) = i s 2 n 4 0 2 ) + f s ： r + s ( f 2 ) 】b 。+ ：( f 2 ) 干0 2 + ：0 2 ) 昱。+ 。0 2 ) ， v 4 u + 。p 2 ) 2 i s 2 n + 4 0 2 ) + t sz ”+ ：( f 2 ) 】q j 。+ ：0 2 ) t - 0 2 。+ ：0 2 ) q 2 j v + 2 0 2 ) 由于1 一t 2 = k 2