（课程与教学论专业论文）从高考试卷中分析高中文科学生的空间想象能力.pdf

摘要 立体几何是高中数学教学的重要内容，无论是大纲还是标准中，立 体几何的教学重点都是帮助学生逐步形成空间想象能力。空间想象能力是数学教 学中需要培养的基本能力之一，它是空间能力所包含的一个因素，又以空间观念 为基础。高中立体几何的教学是培养学生空间想象能力的重要载体。对于希望在 人文、社会科学等方面发展的学生，通过立体几何的学习，有助于提高学生把握 空间与图形的能力，从而更好地认识和理解人类生存的空间同时几何图形的直 观形象为学生进行自主探索和空间想象提供了更为便利的条件，学生通过观察、 实验、操作、猜想等发现和提出问题，获得视觉上的愉悦，有助于发展学生的空 间想象能力、推理论证能力，培养逻辑思维能力以及运用几何语言进行表达与交 流的能力文科生是高中学生的一个特殊群体，存在自己的数学学习特点和数学 思维特点。立体几何仍然是其数学学习的一大难点。 本文首先采用文献分析法具体分析了空间能力与空间想象能力、空间观念与 空间想象能力。又运用理论探讨法对空间想象能力的概念、结构、层次进行了探 讨。空间想象能力是空间能力的主要因素和主要类型之一。空间想象能力包含三 个不同层次的成分：空间观念、建构几何表象的能力、几何表象的操作能力。空 间观念是培养空间想象能力的基础。 本文选取2 0 0 7 年高考试卷一道考查学生立体几何综合知识与能力的大题作 为测试题，在吉林省范围内随机抽取6 1 6 份文科学生的答题试卷作为样本。首先 进行试题分析和评分标准与细则的制订，而后据此对学生的解题进行评分与细致 分析。 通过对文科生解题的研究分析可见文科生空间想象能力的欠缺。其中学生的 空间观念基础薄弱，对立体图形的几何表象的建构上存在问题，对表象的操作水 平亟待提高，而空间想象能力不强直接影响着向量法解题，因为空间想象能力是 向量法解题的基础。 依据文科生特点思考培养空间想象能力的策略及立体几何的教学建议。教学 中应该重视平面几何向立体几何的迁移、立体几何教学中的直观性教学。提高学 生空间想象能力的策略有培养观察力、正确画图形、丰富蕴积表象、运用对比方 法、创造性想象训练。 ，关键词：立体几何；空间想象能力；文科学生 a b s t r a c t s o l i dg e o m e t 叮i so fg r e a ts i g i l i 6 c a i l c ei 1 11 1 i 曲s c h o o li 啪t e a c h i i l ga n d l e c r u c i a lp u r p o s eo fs o l i dg e o m e 时t e h i l l gp o i n t e db o t l li i lt h es y l l a b u sa 1 1 dt l l e s t 粕d a r d si st 0h e l ps t l l d e n t sd e v e l o pt h e i rc a p a c i 饵o fs p a t i a li n l a 酝n a t i o nw l l i c hi s o n co fm eb 嬲i cs k i l l sr e q u i r e dt ob e 锄n e di l lm a n lt e a c l l i n g g e 伽奶，t e a u c l l i n ga t s e n i o rl l i g hs c h o o li sv e r yc m c i a li nc l l l t i v 砒i n gs t u d m t s s p a t i a li m 啦a t i o n ni sv e r y h e l p 如lf o rs t u d e n t sw h oa r ei n t e r c s t c di i lh u m a n j t i e sa n ds o c i a ls c i 伽i c et 0s t i l d ys o l i d g e o m e 仃yw l l i c hc a ne m 出l e 虹l e mt 0b c t t e ru 1 1 d e r s t a 】咀m es p a c e 、) l ，：h e r eb _ u m a n - b e i n g s e x i s t i i lm em e a nt i m e ，t h ed i r e c 仃坨s so fg e o m 嘶c 田陷：p h sf 如i l i t a ：t e ss t i l d 伽t s 锄n o n 哪o u se x p l o r a t i o na i l ds p a t i a li r n a 咖a ，t i o n s t l l d 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s ： s o l i dg e o m e t r ) r ；s p a t i a li m 孵n a t i o n ；s t u d e n t so f a r t s 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得 的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了 明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：日期：胁六s日期：二矿m 口，兰 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技 术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：自立鸳 日 期：撕s 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 一、绪论 ( 一) 研究背景 1 、几何的教育价值 几何，作为自有教育以来便有的学科内容，其教育价值随着社会的变迁及其自身的 发展不断有新的内容。最初，在古希腊，几何是哲学的近邻，因此几何的教育价值主要 在于其理性精神，当时的希腊人惊叹于欧氏几何的完美体系，醉心于逻辑演绎推理的纯 心智活动。这样延续了两千多年，直到1 9 世纪末的“培利一克莱因数学教育改革运动， 人们才对几何的教育价值有了新的认识，开始提倡重视欧氏几何以外的多种形式的几 何。在2 1 世纪的今天，图形学的兴起、计算机的应用，无疑又给几何的教育价值带来 了新的冲击，因此，我们有必要对几何的教育价值有一个新的认识。 几何是一门古老的数学分支，也是与我们的生活最接近的数学。由于人类历史上建 立的第一个公理化的演绎体系也是在初等几何中完成，这个公理化的演绎体系的系统 性、逻辑性和直观性使它成为数学教育中的不可替代的科目。因此，人们对于作为教学 的几何的认识和理解产生了极大的误区，将几何等同于演绎和逻辑的代表，于是几何教 学的目标也等同于培养形式化的、演绎的逻辑思维能力上。事实上，几何具有丰富而美 丽的内涵，它是人类文化的有机组成部分。学习几何能够让人感受到学习数学的美好、 学习数学的乐趣。对于几何的认识我们不应只停留在它是学生们所要学习的一门课程， 也不应停留在它是教学内容、教材体系得重要组成部分，而是应认识到几何是一种研究 问题和分析解决问题的思想方法、一种提高思维能力的有效手段、是一种应用广泛的工 具、是一种科学的语言、是一种观察世界与认识世界的全新观念、是一个生活中的物质 空间的数学化过程，它具有十分丰富的内涵。 2 、几何课程的发展 ( 1 ) 几何课程发展的国际趋势 全世界各个国家的几何课程的安排呈现多样化。日本，高中有平面几何选修课，高 三选修有少量的向量几何。美国，没有综合几何，但有向量、矩阵表示的变换几何。英 国，没有综合法的立体几何，是用向量方法处理线面关系。法国，少量的综合平面几何、 向量处理立体几何、图形变换及矩阵表示。德国，是非常艰深的数学，超过我国大学的 高等数学，但是只有不多的向量几何，重视变换几何。俄罗斯，是所有国家中综合几何 要求最高的国家，是六个国家标准中唯一列有“三垂线定理 的国家，还同时要求向量 几何、坐标几何、变换几何。但各个国家的几何课程都普遍重视数学建模和联系实际。 几何课程的发展是更加关注几何的丰富内涵与教育价值；更加注重揭示几何模型从现实 东北师范大学硕士学位论文 源泉中产生的过程，注重几何模型与现实之间的相互关系；立体和平面的内容交织在一 起，直观和非形式化的内容很多，这些素材均指向对空间的理解和把握；努力揭示数学 推理的多种途径，实验直观的手段和趣味性、可读性在加强，抽象严谨的公理体系和纯 粹的演绎证明被削弱，从具体情景出发，或同时从前提和具体情景出发做出的推理增多； 增加实践环节，增进对几何的理解。 ( 2 ) 我国高中数学新课程中的立体几何及其教育价值 我国的中学数学教学大纲1 9 5 3 年首次制定，之后经历了1 9 6 3 年、1 9 7 8 年、1 9 8 1 年、1 9 8 2 年、1 9 9 1 年、1 9 9 6 年、2 0 0 0 年的修订，这体现了我们对基础数学教育改革的 不断探索，中间有过一些曲折，但近年来的改革立足现实，面向2 1 世纪的需要，根据 未来社会发展的需要和学生的实际发展水平，选取数学领域中具有广泛应用价值的基础 知识，同时不断对内容结构进行调整，“对代数、几何如何能更好地融合孜孜以求 2 0 0 1 年出台了全新的全日制义务教育数学课程标准，2 0 0 3 年出台了普通高中数学课程 标准，这标志着我国数学课程改革进入了稳步、成熟发展的阶段在课程设置上，全 日制义务教育数学课程标准( 2 0 0 1 ) 注意了学生对“形 的认识这一心理发展过程，将 原高中的立体几何初步知识和思想方法渗透到小学、初中几何的教学分为3 个学段， 给出了每个学段应达到的目标：第一学段是卜3 年级，应能够对实物或模型进行辨认、 分类，描述特征，通过观察、操作等活动，获得对简单几何体和平面图形的直观经验： 第二学段是4 6 年级，使学生获得通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体 和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，通过观察物体、认识方向、制作模型、 设计图案等活动，发展学生的空间观念：第三学段是7 9 年级，使学生经历观察、操作、 推理、形象等探索过程，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公 理化思想，当然这主要就是平面几何的学习这一举措无疑推动了立体几何课程改革的 进程，或者说，这本来就是一个整体 “高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基 本的内容，是培养公民素质的基础课程”“高中数学课程应具有基础性，它包括两方面 的含义：第一，在义务教育之后，为学生适应现代生活和未来发展提供高水平的数学基 础，使他们获得更高的数学素养：第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备”新的 高中数学课程标准，规划了满足人类发展与社会进步需要的我国未来公民必要的数学素 养。首先，要使学生具有必要的数学基础知识、基本技能以及其中所体现的数学思想方 法，具有比较开阔的数学视野其次，要提高学生空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符 号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学 习新的数学知识的能力，数学地提出、分析和解决问题的新课程背景下立体几何教学研 究能力，数学表达和交流的能力：要发展学生的数学应用和创新意识，并希望这种意识 能够擅变、上升为一种数学意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式做出思考和 判断。 精简、增加、渗透，是我国基础教育课程改革中数学教育改革的基本出发点在新 课程理念中，立体几何的教育价值定位为：学生通过立体几何的学习来提高把握空间与 2 东北师范大学硕士学位论文 图形的能力，从而更好地认识和理解人类生存的空间同时，几何图形的直观形象为学 生进行自主探索和空间想象提供了更为便利的条件，学生通过观察、实验、操作、猜想 等发现和提出问题，获得视觉上的愉悦，有助于发展学生的推理论证和逻辑思维能力， 以及运用几何语言进行表达与交流的能力简言之，立体几何的教育价值定位于三大能 力的培养和发展：把握图形的能力，空间想象与几何直观的能力，逻辑推理的能力 用空间向量处理某些立体几何问题，为学生提供了新的视角在空间，特别是空间 直角坐标系中引入空间向量，为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加 一种理想的代数工具，把对空间的研究从定性推向定量的深度，从而提高学生的空间想 象能力和学习效率从“大纲 到“课标”，这是一个革命性变化 ( 二) 问题提出 空间与人类的生存和居住环境紧密相关，不论是日常生活，还是进行科学活动，都 应具备一定的空间知识。为了生活得更好，人类必须去了解、探索和把握空间，因此， 空间能力是人类进行生产劳动、发明创造所必备的基本素质。没有良好的空间能力几乎 就谈不上发明创造，因为许多发明创造都是以实物的形态出现的，设计者首先要从自己 的想象出发画出设计图，然后根据图纸做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最后 完成。这是一个充满想象力和创造力的探索过程，也是人的思维不断地在二维与三维空 间之间转换、利用直观进行思考的过程，在这个过程中空间能力起着至关重要的作用。 许多数学家和科学家都认为空间思维是几何学的基础，在教学和研究中应对其重要 性给予更多的重视。然而在我国，传统几何教学往往更注重演绎和推理论证，追求逻辑 推理的严密性，讲究体系，忽视空间知识的教学，空间技能的培养，在教学实施的过程 中没有凸现空间想象的应有的地位。很多学生由于空间想象能力的缺乏，几何学习令人 担忧。虽然教学研究和改革不断深入，教学方法也在不断地改进，但我们仍然能看到相 当数量的学生对几何学习感到困难重重，久而久之就产生了畏惧心理以至失去学习的兴 趣和信心。因此，研究学生的空间想象能力对于我们提高数学教学方法和策略有极其重 要的指导意义。 培养学生的空间想象能力是高中立体几何的教学重点。 先看大纲与标准中对立体几何的定位，大纲中立体几何定位于通过空 间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证 唯物主义观点。标准中立体几何定位于认识空间图形，培养和发展学生的空间想象 能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。再从标准 中相对大纲所增加的内容来看，主要有：利用实物模型、计算机软件观察大量空间 图形；画出简单图形的三视图及由三视图识别出所表示的立体模型；用平行投影与中心 投影画视图与直观图；实习作业；台体的表面积及体积。旨在为学生理解图形的几何性 质提供形象的支持，提高学生的几何直观能力，为形成空间想象能力奠定基础。可见， 无论是大纲还是标准中，立体几何的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能 力。 3 东北师范大学硕士学位论文 通过笔者实际教学的体会和访谈，发现高中文科生的空间想象能力不强。笔者选取 2 0 0 7 年高考试卷一道考查学生立体几何综合知识与能力的大题作为测试题，在吉林省范 围内随机抽取6 1 6 份文科学生的答题试卷作为样本。首先进行试题分析和评分标准与细 则的制订，而后据此对试卷进行评分与细致分析。 4 东北师范大学硕士学位论文 二、空间想象能力的研究与分析 ( 一) 空间能力与空间想象能力 心理学上关于空间能力的研究由来己久。首先空间能力是智力的一个重要的相对独 立的成分( 瑟斯顿l l t 1 1 _ u r s t o n e ，吉尔福特j p g l l i f o r d ) ，它不同于一般的形象思维和抽 象思维能力。一般认为广义的空间能力指非言语信息加工中的个体差异，狭义的空间能 力指在完成空间测验中的个体差异。 关于空间能力的含义，杨孟萍和石德澄( 1 9 9 0 ) 提出，空间能力是一种认知图形， 并运用图形在头脑中进行图形操作的能力，它的主要内容就是在解决任务的过程中运用 图形表象，它的操作单位不是词，而是能表现客体的空间特征和关系的表象，如构成客 体的各种因素的形状、大小、相互位置，以及客体的各种构成因素在平面上、三维空间 上相对于特定位置的排列次序。李洪玉( 1 9 9 9 ) 在归纳总结他人对空间能力的概念界定 的基础上指出：空间认知能力是指人们对客体或空间图形( 任意维度) 在头脑中进行识 别、编码、储存、表征、分解与组合和抽象与概括的能力。它主要包括空间观察能力、 空间记忆能力、空间想象能力和空间思维能力等因素。 对于空间能力的构成主要有两种意见。m s l n i t h 认为空间能力是单一的因素，而 m i c h a e l 、g m i l f o r d 、f m c h t e r 和z i 删 n 蝴( 1 9 5 7 年) 则持相反意见。瑟斯顿( l l t h l l r s t o n e ) 把空间能力分为三个部分：当对象从不同的角度呈现时能认出对象的能力；能想象外形 运动或想象其各部分之间的转换能力；对观察者本人与所处的空间的关系的分析能力。 m c g e e ( 1 9 7 9 ) 继承了m i c l m l 的方法，总结出了两种类型的空间能力：( 1 ) 空间想象 能力( s p a t i a l s u a l i z 撕o n ，简称v z ) 。( 2 ) 空间定向能力( s p a t i a lo r i 钮t a t i o n ，简称s o ) 。 m c g e e 认为空间想象能力包括在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力。而 空间定向能力则是包括了对视觉刺激模式中各种元素排列的识别，以及当方向改变时仍 保持对元素排列的认知能力。f l e i s h m 锄和d r l i s e k ( 1 9 7 1 ) 的研究也发现，在对空间因素有 显著影响的因素负荷量中，空间想象能力和空间定位能力的( 方差) 贡献量位居前两位。 国内相关问题的研究中，杨孟萍、石德澄( 1 9 9 0 ) 等在有关空间能力结构的测验研究中， 发现空间能力有一个g 因素和一个s 因素。g 因素是共同因素，指图形识别和表象运动 能力，s 因素是图形表象在二维和三维空间中的旋转和方位定向能力。 对空间能力的界定和结构分析，心理学界一直没有定论。n l u r s t o n ( 1 9 3 8 ) 将空间能力 定义为“在空间或视觉表象方面的才能”，其进行的相关测验是“保持心理表象并在心 理上使表象扭曲、转动或旋转到不同位置，以及能将移动了的表象和结果相匹配”，后来 他( 1 9 4 1 ) 通过大规模测验总结出：空间能力涉及到二维中的表象运动，可分为s 1 、s 2 两个因素，s 1 指“想象一个物体结构被移动到不同位置时的能力”，多见于图片、卡片 5 东北师范大学硕士学位论文 测验；s 2 是“想象结构间存在运动，一结构取代另一结构的能力”，多见于表面推导， 迷津测验。f r e n c h ( 1 9 5 1 ) 在回顾了有关文献后，总结道：至少有三个独立的空间因素： 第一是空间：精确地觉察空间模式并作相互比较的能力；第二是定向：保持不被空间模 式以不同方向呈现而弄糊涂的能力；第三是想象：理解表象的三维运动或操作想象中的 物体的能力。m a c c o b y 和j a c k l i i l ( 1 9 7 4 ) 将空间能力分为两大类：分析型( 加l a l y t i c ) 和非分 析型( n o 彻n a l 如c ) 。l i 皿和p e t c r s e n ( 1 9 8 5 ) 将空间能力定义为一种涉及表征( r 印代s e n t i i l 曲、 转换( m t a lr 0 t a t i o n ) 、生成( g e n e r a t i n g ) 和提取( r e c a l l 蝴符号、非言语信息的技能。基 于对以往空间研究的因素分析，他们在1 9 8 6 年提出空间能力包含三个因素：空间知觉 ( s p a t i a l p e r c 印t i o n ) ；心理旋转( m e n t a l r 0 t a t i o n ) ；空间想象( s p a t i a l 吼l a l i z a t i o n ) 。 h 却e n 1 9 9 2 ) 认为空间能力至少包括四种因素：空间想象( s p 撕a 1 s u a l i z a t i o n ) ；空间知 觉( s p a t i a lp e r c 印t i o n ) ；心理旋转( m e i l _ t a l r o t 撕o n ) 和瞬时空间判断( s p a t i o t e m p o r a l j u 趣口e n t ) 。到目前为止，有关空间能力的界定及结构范围尚未探讨清楚。每种测 量方法仅仅测量了空间能力的某一部分，而且不同的分类方法，显示出不同的结果，这 些都说明空间能力是一种结构非常复杂的能力。 ( 二) 空间观念与空间想象能力 如前所述，对空间能力的因素分析以及所包含的类型分析的结果表明，空间想象力 是其主要因素和主要的类型之一。m c g e e ( 1 9 7 9 ) 在分析空间能力的两种类型时认为，空 间想象能力这种基础的( 潜在的) 能力似乎包含一个对图形进行保持、再认和回忆的过 程，在这个过程中该图形的内在部分之间存在着运动，或者是对一个客体在三维空间中 进行操作，或者是折叠一个平面图形或展开一个立体图形。在f l e i s h m n 和d u s e k 的空 间因素的测验中利用折纸展开图进行空间想象力的测试，并将空间想象力定义为“把一 个空间模式的表象转换成另外一种视觉排列形式的能力”。空间想象能力不仅受到国外 心理学家对空间能力分析中的肯定，也受到国内的心理学家和数学教育专家重视。在 1 9 6 3 年的中学数学教学大纲中就明确提出了培养学生空间想象力的教学目标。关于空间 想象力的含义，林崇德( 1 9 9 1 ) 指出，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几 何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间 想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概 念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换 ( 平移、旋转以及分割、割补和叠合等) 上，以及对抽象的数学式子( 算式或代数式等) 给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。曹才翰提出，空间想象能力就是以现实世 界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。在王焕勋主编的实用教 育大辞典中指出，心理学把人对头脑中已有表象进行改造，创造出新形象的过程称作 想象。在中小学数学学科中，空间想象力指的是人们对客观事物的空间形式( 包括二维 空间、三维空间) 进行想象的能力。孙敦甲( 1 9 9 2 ) 曾开展过中学生空间想象能力发展 的研究，结果发现：( 1 ) 中学生空间想象能力的发展过程是从对基本几何形的初步想象 到对平面几何图形的深入想象，再到对立体基本几何形的深入想象。( 2 ) 在空间能力想 6 东北师范大学硕士学位论文 象方面，从初二开始，学生的空间想象能力迅速发展，到高二时空间想象能力进入成熟 期。 n c t m ( 全美数学教师理事会，1 9 8 9 ) 指出，空间观念是对一个人周围环境和实物 的直接感知：对于 弓维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图 形的效果是空间观念的重要方面。曹才翰指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求 太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。空间观念至少反映 了如下的5 个方面的要求：( 1 ) 由形状简单的实物抽取出空间图形；( 2 ) 由空间图形反 映出实物；( 3 ) 由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；( 4 ) 由基本的图形中寻找出 基本元素及其关系；( 5 ) 由文字或符号作出或画出图形。在王焕勋主编的实用教育大 辞典中也指出，在空间知觉的基础上形成的关于物体的形状、大小及其相互位置关系 ( 方位、距离) 的表象。小学数学的几何初步知识教学中，让学生感知实物、模型、图 形，学生也就形成了空间观念，即获得线、角和简单平面图形和立体图形的形象，能对 不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计，能从复杂的图形中区分出基本图 形。由此可见，空间想象力是在空间观念的基础上形成和发展的。 ( 三) 空间想象能力 1 、空间想象能力的研究综述 空间想象能力是数学教学中需要培养的基本能力之一，其重要性我们可借用前苏联 著名数学家a n 柯尔莫戈罗夫的一段话说明：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正 在研究的问题从几何上视觉化，几何想象，或如同平常人们所说的几何直觉，对于 几乎所有数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作，有着重大的意义。”事实上， 数学的研究对象就是客观世界的数量关系及空间形式。研究空间形式，从数学的角度讲， 就是研究几何图形的性质，即图形的形状、结构、图形中基本元素的相互位置关系，这 就必须运用空间想象能力。教学实践表明，空间想象能力也是理解抽象的数学概念及原 理所必需的能力。如向量的模、导数等概念及微分中值定理等。因此，探求空间想象能 力的结构及其培养策略具有重要意义。 十三院校协编的中学数学教材教法中，将空间想象能力解释为：“人们对客观事 物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力，主要包括四个方面的要求：( 1 ) 对基本的几 何图形必须非常熟悉，能正确画图。能在头脑中分析出基本图形的基本元素间的度量关 系和位置关系。( 2 ) 能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。( 3 ) 能借 助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。( 4 ) 有熟练的识图能 力，即从复杂的图形区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的关系。” 这是一种较为全面具体的阐释。但是，笔者认为要求中缺少对“想象 的强调，过多地 依赖、借助图形的帮助，缺少依据“表象 进行认知操作的要求。尽管其中也有这方面 的要求，但仅是对基本图形的表象操作，深度不够；另一方面没有建立( 根据条件) 表象的 要求，也没有根据表象作图的要求，而这些恰是空间想象的重要内容。 钟善基、丁尔升、曹才翰先生在其中学数学教材教法中作了进一步补充说明： 7 东北师范大学硕士学位论文 所谓空间想象能力，不仅在于把立体形象的事物抽象成几何图形并把这图画出，以及能 就立体的图形观察并想象出它所反映的实际形象，而且还要能把语言表达的立体图形想 象清楚并把图画出来。 曹才翰、蔡金法先生在其数学教育学概论中将空间想象能力解释为：以现实世界 为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。而表象则是在知觉基础上头 脑内所形成的感性形象。这个解释中，注重了对几何表象的操作，强调了表象，不再过 多借助、依赖图形直观作用，即偏重了“想象 。中国中学教学百科全书数学卷做 了同样解释：空间想象能力是空间知觉、空间观察和想象力的一种独特的结合。考虑到想 象是对头脑中已有的表象进行加工、改造和创新的思维过程，空间想象能力可进一步解 释为对几何表象进行加工、改造和创新的能力。我觉得这又过分强调了“想象力 ，数 学中要培养的空间想象力好像不仅仅只是对表象的加工，还应包括对图形的认识操作。 数学中复杂的几何图形是很难仅靠表象操作、改造加工的，必须借助图形直观，在已有 表象的基础上进一步对新表象加工改造。在曹才翰先生的另一部中学数学教学概论 中，进一步指出这种数学能力的特点在于：善于在头脑中构成研究对象的空间形状和简明 的结构，并能将对实物所进行的一些操作，在头脑中进行相应的思考。这里的“实物 我们该怎样理解? 是图形的还是现实的空间物体? 1 9 6 3 年，根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改 为“计算能力、逻辑推理能力和空间想象力( 所谓传统的三大能力) 。其中，对空间想 象力的说明是：“空间想象力指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的 能力。它含有如下的四项要求：( 1 ) 熟悉平面与立体几何的基本图形，能正确地画出它 们的图；能在头脑中分析出它们的基本元素间的位置关系和度量关系。( 2 ) 能借助图形来 反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。( 3 ) 能借助图形来反映并思考用语言或式 子所表达的空间形状及位置关系。( 4 ) 能熟练地从复杂的图形中区分出基本图形，并能 分析其中的基本元素之间的关系。” 2 、空间想象能力结构探讨 ( 1 ) 空间想象能力的概念 首先，空间想象能力既是一种数学能力，即具有数学特征的能力，又是一种特殊的 想象力。其特殊性就在于想象的素材是数学化了的抽象的空间形式结构。其次，空间想 象能力涉及的是三维空间，从有记忆、感知起，映入大脑的就是三维表象。更多维的空 间形状是难以想象的，如四维空间中的封闭图形的形状。作为三维空间的子空间一二维 平面上的想象是很容易的，这种想象可以看成图象记忆或再现，如说“三角形 ，头脑 里马上就有一般形状的三角形“ 出现。其中更具体的一些特征就不属于想象的任务 了，如三角形( 三边长分别是3 ，4 ，5 ) 的最大角是多少? 这角的平分线分对边成两段之比为 多少? 若没有学习过直角三角形的性质，仅靠想象是永远想不出的。所以空间想象能力 主要是指三维空间的想象力。 当然，数学中也有其它的一些想象，如著名的“鸡兔同笼 问题，波利亚妙解( 想 8 东北师范大学硕士学位论文 象兔子抬起前两脚，鸡是“金鸡独立”，这时脚数与头数的差是兔数) 所需的想象力并不 在我们所讲的空间想象力之列。 综上所述，空间想象力是数学地处理空间形式、探明其关系、结构特征而需要的一 种想象能力，是一种对几何结构的表象及其对表象的加工操作能力。 ( 2 ) 空间想象能力的结构 心理学认为，表象是感性反映的高级形式，是人们过去已经感知过，但在当时并不 直接感知的那些事物的感性映象，是人们过去对事物的反映在头脑中所留下的痕迹。现 代认知心理学研究表明，表象即心象( 有一种总的倾向认为心象包含头脑中的图象，只 是心象比图象精确性较小而抽象性较大，此处我们不加区别) ，就是在没有任何外部刺 激的情况下，人对视觉信息、空间信息等的内部加工过程。表象过程类似于知觉过程， 其区别在于想象一个对象和看到一个对象。 对表象可以进行操作、转化。著名的心理旋转研究表明，人们可以在头脑或视觉的 一个三维空间内旋转对象，这种心理旋转过程总是类似于一种实物旋转。也有论据表明， 这种类似物也必定是抽象类似物。 通过上述分析，我们初步清楚了数学的想象的不同任务：建构自然界、现实世界中实 物的数学意义下的空间形式或几何体的表象，进而作出表象的外显图形；根据数学语言的 指导，构建新表象以及在二维纸面上实现这种表象；对表象的空间操作或对视觉下的基本 图形的遗觉表象的空间操作以及操作的最后结果的外显。值得注意的是，尽管将表象在 二维平面具体化的工作不属于想象的任务，但没有这个工作，就没法进行想象，而且， 在有一定的作图技能的情况下，对表象进行二维具体化与想象是分不开的，它确实能反 映空间想象的成果，也是对空间想象的一种评价依据。所以，我们把表象的二维实现作 为想象的任务，这个任务可以看成是空间想象能力与作图技能的结合。 ( 3 ) 空间想象能力的层次 空间想象能力的三个不同层次的成分：空间观念 建构几何表象的能力 几何表象的 操作能力。下面分别加以阐释。 空间观念的第一层意思就是空间感，即能在大脑中建立三维映象，能将二维平面图 形三维视觉化。如根据锥体的平面图形，在头脑中建立起一个锥体的形象。空间观念的 第二层意思就是实物的几何化。我们知道，严格意义下的数学空间想象的对象不是现实 世界中的实物的形象，而是数学化了的几何图形。几何图形是从实际物体经过归纳、概 括和抽象而得到的。然而，几何图形反映什么样的实物是不指明的，也是无法全然指明 的。因此，通过几何图形来研究实物一空间形式，或运用几何图形的性质于实际时，都 必须正确地分析、归纳，即将实物几何化，即由形状相对规则、简单的实物想象出几何 图形，这也是数学上想象的特殊性。空间观念的第三层意思是空间几何结构的二维表示 及其由二维图形表示想象出基本元素的空间结构关系。这是最高层次的属于纯几何范畴 的空间观念成分，要求有对空间各种常见元素位置关系的初步理解及表征能力、基本几 何图形的认知与再现能力等。 建构几何表象的能力，是指在语言文字刺激、指导下构想( 在大脑中想象) 几何形状 q 东北师范大学硕士学位论文 的能力。其特点是建立表象的过程是以一般空间观念为基础的，建立的表象仅是语言文 字所描绘的真实几何体的模糊而抽象的类似物，具有整体性，较少有表象的操作成分。 几何表象的操作能力是指对大脑中建立的表象进行加工或操作以便建构新表象的 能力。这里的表象可以是语言文字指导下建立的内部表象，也可以是直观图形刺激下的 遗觉表象，抑或是遗觉表象与直观几何图形的有机结合体。这是由于主体在进行表象活 动时，复杂内部表象的操作是较难的( 想象没有图形清晰、稳定) ，主体往往是将复杂的 表象外显，绘出图来作为进一步表象操作的基础，这时被操作的表象属于遗觉表象，它 可能仅是原复杂的表象的一部分元素。常进行的操作有空间的平移、旋转、翻折、折叠、 拆取与分解等。 上述三种成分显然是不同层次的，空间观念较为基础，而表象操作较难，又以建构 表象为基础。没有空间观念作基础，是很难建构起任何表象的，没有空间观念，更高层 次的空间想象能力是难以培养的。 l o 东北师范大学硕士学位论文 三、高中文科学生的数学学习特点分析 ( 一) 文科学生的类型及学习心理 前苏联教育心理学家克鲁捷茨基对中小学生学习数学的能力问题进行了长达十多 年的跟踪实践及研究，他的主要观点是：学生在学习数学的能力上有差异，但他们也具 有各自不同的潜能，教师的任务就是帮助学生去挖掘这种潜能，“使每个学生的全部能 力都得到最大限度的发展。”我赞同这个观点。首先，我们来分析一下高中文科学生的 类型及学习心理。 一类：思维活跃，文理兼优，出于对文科的热爱和今后职业的选择，选择了文科。 他们表现出喜爱数学且能力强，属数学的“尖子生”。 二类：勤奋、踏实、文科成绩好，理解成绩一般或稍差，为在高考竞争中获得好成 绩，进入理想中的大学，他们努力学习数学，但付出与收获总是不成正比，虽花了较多 的时间，但总成绩平平或很不稳定，试题稍难即败，因而，在教学学习中形成较大的心 理障碍。 三类：基础较差，各科成绩都不太好，对自己信心不足，感到前途不大，虽天天交 作业，但缺乏独立思考，东抄西问，对数学的恐惧心理胜于其他学科。 四类：有绘画、文艺特长，文化课不够好，他们给自己定位是“考艺术类”，由于 大多数初中数学就不好或者不学数学，所以自己对自己的要求不高，有的甚至放弃数学。 五类：不爱读书，出于家长、老师要求及纪律约束，不得不坐在教室，不施予压力 便不会学。 ( 二) 文科学生在数学学习中的常见表现 一是乐于模仿解题缺少自己决定解题方向和策略的习惯；二是习惯听老师讲题和 看书上的解答，不