（基础数学专业论文）给定势函数的非线性薛定谔方程不变环面的存在性.pdf

中文摘要i n 摘要 关于非线性偏微分方程拟周期解存在性的研究最早是分别由k u k s i n 2 1 和w a y n e 1 0 开始的。k u k s i n 在他的专著 3 1 当中表明，对于依赖于 参数盯础的势函数v = y ( z ，盯) 的，满足d i r i c h l e t 边值条件的非线 性s c h r s d i n g e r 方程，对于大多数( 在l e b e s g u e 测度意义下) 的参数盯，存 在许多不变环面。然而对于某一给定的势函数y ，不变环面还是否存 在并不清楚。到1 9 9 5 年，有了新的突破，k u k s i n 和p 5 s c h e l 在他们的文 章4 1 中证明，对于给定的势函数y ( x ) im ，其中m r 是给定的常 数，相应的s c h r 6 d i n g e r 方程有许多椭圆不变环面，承载着方程的拟周 期解。在这篇文章中，我们与论文f 1 1 1 中的想法类似并引用其中的一些 引理，证明对于给定的解析势函数y ( x ) ，不一定是常数，方程存在许多 椭圆不变环面，与文章1 4 1 不同的是，不变环面上承载的是高频的拟周期解。 关键词：k a m 理论，h a m i l t o n 系统，非线性薛定谔方程，拟周期解。 图书分类号：0 1 7 5 英文摘要 a b s t r a c t h i s t o r i c a l l y ) t h ei n v e s t i g a t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft i m e q u a s i p e r i o d i c s o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r es t a r t e di n d e p e n d e n t l yb yk u k s i n 2 a n dw a y n e i 0 i nk u k s i n st h em o n o g r a p h 3 ) a s s u m i n gv = v ( x ，们d e p e n d so nn p a r a m e t e r so - 碾“，h es h o w e dt h a tt h e s c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o np o s s e s s e sm a n yi n - v a r i a n tt o r if o r “m o s t ”( i nt h es e n s eo fl e b e s g u em e a s u r e ) p a r a m e t e r s 盯 h o w e v e r ，o n ed o e sn o tk n o wi ft h e r ei sa n yi n v a r i a n tt o r u so ft h es c h r s d i n g e r e q u a t i o nf o rag i v e np o t e n t i a lv ，s a y ，y = s i nzo rv 兰c o n s t a n tt h e r e w a sab r e a k t h r o u g hi n1 9 9 5 ：k u k s i na n dp s s c h e l 4 1s h o w e dt h a tf o rt h e s c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t hv ( x ) imt h e r ew e r em a n ye l l i p t i ci n v a r i a n tt o r i w h i c hw e r et h ec l o s u r eo fs o m eq u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，w h e r e m 豫i sag i v e nc o n s t a n t nt h ep r e s e n tp a p e r , u s i n gt h ei d e aa n d s o m e l e m m a s 打o me il | ) w es h a l ls h o wt h a tt h e r ea r em a n ye l l i p t i ci n v a r i a n tt o r i o ft h ee q u a t i o nf o rag i v e na n a l y t i cp o t e n t i a ly ( z ) w h i c hi sn o tn e c e s s a r yt o b ec o n s t a n t k e yw o r d s ：k a mt h e o r y , h a m i l t o n i a ns y s t e m ，n o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o n ，q u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n c l cn u m b e r ：0 1 7 5 第0 节引言 0引言 在这篇文章中我们考虑在有限z 一区间 o ，”】上满足d i r i c h l e t 边值条件 的非线性s c h r s d i n g e r 方程 i u t = u 。一矿( 。) u f ( 1 u 1 2 ) u ，( 1 ) “( t ，0 ) = 0 = u ( t ，7 r ) ，一。o t 0 使得只要h 0 使得只要h e o ( ，) ，方程他j ) 存在弱拟周期解 “知( z ，t ) ，它的频率向量与妒( z ，t ) 只差o ( e ) 。集甄( ) 的p 测度为j 。 定理中弱拟周期解指一个非零的连续函数，关于时间是拟周期的，是方 程( o 1 ) 的广义解。妒备( z ，t ) 是未扰动的线性方程的拟周期解，把u ；( z ，t ) 看 作对妒知( z ，t ) 的扰动，这样表述，该解的频率选取是明确的。 定理0 3 ( 1 0 】中定理2 、3 ) 若限定势函数u 属于玩中满足k 的谱为负 的子集，那么对于几乎所有的v ，在p 测度意义下j ，存在一个常数 e o ( ) 使得，如果 e o ( ) ，存在一区间a ( v ) 和子集bca ( 口) ，满足 m e a s ( b ) ( 1 一o ( 1 fl o ge f ) ) m e a s ( a ( u ) ) ，使得对每一个点q b ，方程 r 口j 存在周期解频率为q 。类似的，存在一个拥有正的_ 维l e b e s g u e 测度 的集，使得集中的每一个点q ，方程存在拟周期解频率为q 。 k u k s i n 在他的专著 3 】当中表明，对于依赖于参数盯鼢的势函数 v = y ( x ，盯) 的，满足d i r i c h l e t 边值条件的非线性s c h r s d i n g e r 方程，对于 大多数( 在l e b e s g u e 测度意义下) 的参数盯，存在许多不变环面。这里就不 详细介绍了。当时，关于非线性偏微分方程周期解的存在性已经由许多人 研究过了，使用了分岔理论、变分法等多种方法。变分法对解的周期有很强 的限制，要求周期为z 区间长度的有理数倍，这一限制是由于变分法无法处 理小分母的问题。k a m 理论方法弥补了这一不足，而且关于拟周期解的存 在性在这套方法下是自然的结果。w a y n e 和k u k s i n 的文章，正是将k a m 理论扩展到无穷维动力系统，并应用于非线性偏微分方程的典型例子。与 此同时，p s s c h e l 在文章5 1 中，给出一任意维h a m i l t o n i a n 系统中椭圆低维 不变环面的扰动理论，并指出可同样应用于非线性偏微分方程，只是还不是 很完善明确。约五年以后，也就是1 9 9 5 年，蟊6 s c h e l 在他的文章f 6 1 中完善 了5 1 中的想法，这儿较完整的介绍一下。 第0 节引言 3 在1 6 中，考虑对下面的正规形表示的无穷维动力系统的小扰动 = “。( ) 协+ ；吩( ) ( 嵋+ 亏) 1 j nj l 正规形是建立在相空间 p 。9 = 叽“粤。p 孽。p 弓( z ，y ，u ， ) 上，其中p 。，p 是由所有复序列叫= ( w 1 ， 2 ，) 组成的h i l b e r t 空间，范数为 仙= 蚓2 j 2 9 e 2 叮 o 。 j 1 频率u = ( u 1 ，u 。) 和q = ( q 1 ，玩，) 依赖于n 维参数i ic 融，n 是具有正l e b e s g u e 测度的有界闭子集。 h a m i l t o n i a n 函数n 对应的运动方程为 圣= u ( ) ，雪= o ，吐= q ( ) ，o = 一q 健) u 这里，( q u ) ，= q f u ，。对每一个i i 存在一n 维不变环面7 = t “ f o ，o ，o ，此环面的频率为u ( f ) ，其上附着的u u 一空间拥有一椭圆不动 点，频率为q ( f ) ，从而即是线性稳定的。作者在文章中表明，在小扰动 h = n + p 下，大部分线性稳定的旋转环面仍然保持。引入假设， i ，非退化性。映射一u ( ) 是l i p s c h i t z 连续同胚。而且对于所有的整 向量( k ，f ) 驴z 。o ，其中1 2 ， ：( k ，u ( ) ) + ( f ，q ( ) ) = o ) i = 0 而且在上 ( f ，n ( o ) 0 其中i i 表示集的l e b e s g u e 测度，= ，吲，( ，) 为通常内积。 i i ，谱渐进。存在d 1 和6 p d21 为了介绍清楚，还要加入一些说明。引入复7 一邻域 d ( s ，r ) ：1 9 z i s ，i y l r 2 ，b + 。，p r ， 并给出范数为，w = ( x ，y u ，y ) ， i 彬i ，= i b = x l + 三j y l + ! lj u l l o , f + ! l l y l i 。，f ， 假设对某些正数s ，r ，b 在d ( s ，r ) 关于参数一致实解析，具有有限范数 i 昂i n d ( v ) = s u p d ( ”i f x p l ，和l i p s c h i t z 半范数 刚；= 翟糌，f cl 一与i 其中能x e = 昂( ，) 一坼( - ，( ) 。进一步假设 l u l 矗+ j q i 兰6 ，sm 0 0 ，i u 一1 j ( n ) l ( 3 0 ， 这里l i p s c h i t z 半范数的定义和i x p 降类似。另外 ( f ) d = m a x ( 1 ，l j 4 姒a = 1 + ， 其中7 _ n + 1 ，记z = ( 七，1 ) 0 ，2 ) cz “z o 。 定理o 4 ( 6 中定理a ) 假设h = n + p 满足假设t 皿删和 e = i x j n 。( 。，) + 面“l x p i r 一, 。，) 7 血， 其中0 1 为另一参数，7 为依赖于n ，7 - 和s 的参数。那么存在一个 c a n t o r 集i i 。cf i ，三印s c i 钯连续嵌入中： r i 。_ p 4 ，f 和l i p s c h i t z i g ：续 第0 节引言 5 映射u + ：。一对，使得对1 2 。中每一个参数，映射西限制在t ) 上 即为一实解析嵌入，得到频率为u + ( ) 的h a m i l t o n i a n 函数的旋转环面。 每个嵌入在l g z l i 上是实解析的，而且在这一区域和上一致有 l 西一西。i ，+ 品f 垂一乎 _ c e q ， h u l + 云k u 雌饪， 其中西。为平凡的嵌入映射俨一胃，c ，y 一1 与7 依赖于同样参数 的常数。而且，存在l i p s c h i t z 映射u 。和q ，在r i 上对0 满足0 2 0 = u ， q o = q ， b u i + 岳一u i c e ， 吼一a l a + 蔷陋一q 巴 c e 这样使得1 1 。cu 冗( a ) ，其中 冗纵a ) ：怔州球) ) 删，q 球圳 n 等) 这里集合的并指在所有0 和对所有1 满足k 0 2 ”1 的 ( ，1 ) z 上，硒之1 是依赖于n 和7 _ 的常数。 定理o 5 ( 【6 】中系c ) 如果在上一定理中，1 由更小的常数彳曼- y 2 l m 代 替，那么 i n n 。lsi u n ；i ( d ) i 一0 ，当q 一0 、 特别，当d 0 ，可以取彳= 丽云眄。 在 6 的帮助下，k u k s i n 和p s s c h e l 在文章 4 中，紧接着p s s c h e l 在 文章 7 1 中，分别解决了非线性薛定谔方程和非线性波方程，当势函数 y ( z ) = m ，m 为常数时拟周期解的存在问题。我们把 4 的结论引述下， 符号含义与本文相同。 定理o 6 ( 4 中定理1 ) 假设方程非线性项，为实解析的且非退化的a 那 么对所有的m r ，1 9 , n 和所有的j = j l j 。) cn ，存在一 c a n t o r 流形乃，它是由l i p s c h i t z 连续嵌入皿：乃 c 一乃给出的方程俐 第0 节引言6 的实解析的线性稳定的d i o p h a n t i n e 扎维环面组成的。其中皿是包含映射 o ：e j p 限制在乃 c 上的高阶扰动。另外，c a n t o r 集c 在原点附近是 稠密的，因此易在原点有一切空间为马。 最近，袁小平老师通过对s t u r m l i o u v i l l e 问题特征值和特征函数的渐 进估计，在文章 1 1 】中证明，满足d i r i c h l e t 边值条件的非线性波方程 u t t = u 。一y ( z ) 乱一，) ，( 0 2 ) u ( t ，0 ) = 0 = “( ，7 r ) ，一。 t 1 为一绝对常数，咒1 ，厄2 为依赖于k 而与n 无关的足够大的常 数。假设非线性项，具有形式，( u ) = n 乱3 + r 5 u ，o 0 。那么存在一 c a n t o r 集ccp o ，及c 上的d 一维环面族 ( c ) = u 玩( 可) ce n d y e c 还有l i p s c h i t z 连续嵌入 圣：7 玑( c ) c + 月0 ( o ，7 r 】) l 2 ( o ，” ) = w 为包含映射：局一w 限制在7 砒( c ) 上的高阶扰动。使得圣限制在每 个? k ( ) 上得到方程阳剀的一个d 一维不变环面。 我们与论文 1 1 】中的想法类似并引用其中的一些引理，证明对于给定 的解析势函数y ( x ) ，不一定是常数，方程存在许多椭圆不变环面，与文章 4 不同的是，不变环面上承载的是高频的拟周期解。 第1 节主要结果7 1主要结果 和 4 】一样，我们通过把方程看作s o b o l e v 空间p = 日j ( o ，” ) 上的 h a m i l t o n i a n 方程来研究。记内积 ( “， ) = 觑u g d x ， 0 和哈密顿函数 日= 趣u ) + 并州i 出， ( 4 ) 其中a = - d 2 d x 2 + y ( 。) ，g = f d z ，方程( 1 ) 可以表示为 吐= i v h ( u 1 其中心表示对时间的微商。 我们的目的就是要构造大量小振幅的拟周期解，这样的周期解可以写 为 u ( t ，z ) = u ( u l t ，t ，o ) ， 其中u 1 ，为有理独立的实数，u 的基本频率，u 为连续函数，关于前 礼项是2 7 r 周期的。我们通过构造u 为n _ 维环面t n 到相空间p 的嵌入 u ：t p ，口一u ( e ，) ， 来实现我们的目标，嵌入将环面上的环绕z u + 岛映为方程( 1 ) 的解。 既然，我们要构造的拟周期解是小振幅的，方程( 1 ) 可以看作在线性 方程i u t = 。一y ( z ) u 上加非线性小扰动f ( 1 u 1 2 ) u 。记如和奶( 。) 0 = 1 ，2 ，) 分别为此线性方程满足d i r i c h l e t 边值条件的特征值和特征函数， 则此线性方程的解可以表示为各特征函数空间上振动的叠加， 乱( t ，茁) = 卿( t ) 奶( z ) j 1 q j ( t ) = 鳄e n 一 其中的系数即表示周期的运动，整体即为有限维或无限维环面上的拟周期 运动，依赖于特征空间数量的选取。 具体地说，对任意几个特征子空间的选择 j = j 1 j 2 0f o r1 n ) 为r “中正象限， t s ( i ) = u = 9 1 咖。+ + q n 九。：i 劬1 2 = 2 i jf o r1 j 礼 而且，每个这样的环面都是线性稳定的，所有的解具有零l y a p u n o v 指数。 当加入扰动，以后，由于频率之间的共振和，对大振幅的强扰动，不 变流形毋不会继续保持。然而，我们要表明在原点充分小的邻域内，大量 的n 维环面仍然保持，它们只有一个小的变形。也就是说，存在一个c a n t o r 集cc p n ，和c 上一族n 维环面 乃 c 】= u 乃( ) c e j i e c l i p s c h i t z 连续嵌入 ：乃 c 】一_ p 限制在乃( ，) 上，即得到扰动后非线性方程的一个n 维环面。我们称乃 c 】 在嵌入作用下的象乃为n 维环面构成的c a n t o r 流形。 定理1 假设v ( x ) 是在复带域l g z i o 上的解析函数， 矿：2 击( y ，( o ) 一y 协) + 上v 2 ( 茁) d z ) o ， 并假设非线性项f 是非退化的解析函数。那么，对于所有的n n ，我们 可以找到指标集j = j 1 j n ) ，其中j 1 足够大1 使得，存在一个 c a n t o r 流形乃，它是由l i p s c h i t z 连续嵌入皿：乃 c 】一。给出的方程p ， 的实解析的线性稳定的d i o p h a n t i n e 几维环面组成的。其中皿是包含映射 o ：正0 一p 限制在乃 c 上的高阶扰动。另外，c a n t o r 集c 在原点附近是 稠密的，因此e j 在原点有一切空间为e j ，而且此d i o p h a n t i n en 维环面上 承载的是高频率的拟周期解。 1 在文章1 4 中j l 足够大并不是必须的 第2 节s t u r m - l i o u v i l l e 问题的谱 9 2 s t u r m l i o u v i l l e 问题的谱 f 一暴州咖劬，( 5 ) l( o ) ：y ( ”) ：o 一 假设矿( z ) 是在复带域f 9 z f 0 上的解析函数，此s l 问题拥有无 a 1 a 2 - 4 矿1 2 使得 ， 1 1 ) 、。l 叩，( 1 1 ) 除非o ，j ) = k ，f ) 。其中m = m a x ( r + ) 2 ，( 、警+ ) 2 ) ，如果需要还可 调大，是一个与礼有关的以后确定的常数。常数叩依赖于q o ，q 1 和， 珈泰群九一a p q 12 黠讹+ i 2 一2 一f 2 i ：+ i 2 一舻一f 2 o 卜 证明如果i k 且j l ，则九 九且如九，我们仅考虑九 沁且 a j = 凡的情形。若i r ，从而i 2 兄2 1 6 7 ，我们有 t i ：= l 九+ 一a 一九l = a 。一a k = i 2 一k 2 + 矿( 丢一西1 ) + 。( 嘉) 卸。埘) ( 1 一羔) + o ( 吉) r ( 1 - 去) + 。( 去) 1 若i r ，令 珈5 啪( r 瓦群a 。一a 炒o ， 从而得到l t i 叩o 。 接下来我们只需要考虑j ，一掣 一：= ； 如果i 2 + j 2 = 七2 + f 2 ，令i 2 一f 2 = k 2 一j 2 ：= p 1 和f 2 一向2 = q 0 。 我们用下面的渐进公式代替t 中的k ， 得到 z x n = r t 2 - 5 矛v + 万c 3 + 万c 4 + c 5 + 杀+ 。( 嘉) t ( i i i 一击一壶+ m = 3 坠矿r 三i m 十嘉一刍一知+ o ( 嘉) = 矿( 嘉一而1 一( 寿未一志，+ 塞害( 赤一南一c 如果令 ( j 2 + p + 口) 等( j 2 + p + p + g ) 罟，) ) = 志一赤+ 塞害( 赤一再蒜) ) ) 0 找1 门有 f ( o ) 一，0 + q ) ，( 0 ) 一，( p ) = g ( p ) g ( 1 ) = 丽纛两+ m 壹= 3 导( 赤+ 南一而每) - 这样我们有 i t i = 限，( 0 ) 一m + q ) ) + 。( 嘉) i 万袈两( + 。( 南) ) + 。( 扣 我们可以调整r 足够大使得i 。面知) l j 1 ，既然j 耐。 情形2 ：j 3 i + 1 3 m + 1 l k i + m i + i l + 1 因此l t l 1 。 情形3 ：j 2 m + 1 l 入t + i 如i + 1 ； 若i f = 1 ，我们仍然有九一凡 i + f i 1 j h i + j 码l + 1 ，从而j t i 1 。 情形4 ：j 旷丽2 1 v l - i i 旷= 叩1 一丽i f 再 旷i 2 i 最后，若+ i 2 一k 2 一j 2 = 0 ，那么， 卅i l 芸一丢一善删却 秘梁 如果令q = m i n 两蜉矛，铂，警，i ) ，我们即得到了想要的结果。 口 第3 节h a m i l t o n i a n 函数1 3 3h a m i l t o n i a n 函数 我们所考虑的非线性s c h r s d i n g e r 方程对应的h a m i l t o n i a n 函数为 日= 孔u ) + 圻州砰 其中a = 一d 2 如2 + y ( 茁) ，g = 厶f d z 。通过坐标变换 u = s q = 劬奶， ( 1 2 ) 1 其中咖为前面提到的s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数，我们可以将此 h a m i l t o n i a n 函数用无穷维坐标来表示。坐标空间为由复值序列q = ( q 1 ，q 2 ，) 构成的h i l b e r t 空间。一，其上的范数为 撒，= 蚶j 2 9 e 巧。 0 ，p j 1 为以后确定的常数。这样我们得到空间“9 上的 h a m i l t o n i a n 函数 日= a + g = ；沁j 劬j 2 + ；z ”9 ( j s 。j 2 ) d z (13)j11 uu 取辛结构为 e jd q jad 西，此h a m i l t o n i a n 函数对应的运动方程为 西划筹舵1 ( 1 4 ) 引理3 1 令a 0 ，p 0 。如果曲线，一。r ，t g ( t ) 是方程( 1 4 ) 的一个 解析解，那么 “( t ，z ) = 劬( t ) 奶( z ) 为方程n ，的一个解，而且在， 0 ，丌 上是解析的。 证明此引理的证明可以在 4 】中找到。 为了表明g 对应向量域x g 的正则性，我们需要下面的两个引理，它 们的证明可以在 4 中找到，这儿我们首先需要给出一些说明。令瑶和l 2 第3 节h a m i l t o n i a n 函数1 4 分别为由复值平方可求和的双无穷序列构成的h i l b e r t 空间和 7 r ，州上平 方可积的复值函数构成的空间。令 f ：壤一l 2 ，g 一殉2 孑嘉q j e f 而。 为可逆离散f o u r i e r 变换，它定义了这两个空间之间的向构。令a 芝0 且 p 0 ，记r 为由双无穷序列构成的予空间，具有范数 l l q l l ：一；i q o i 2 + i 1 2 j 印e 2 8 ， j 从而瑶9c 露。然后通过将芦限制在瑶9 上，定义了子空间h 即cl 2 ，它 范数由 i j ，_ 9 ，= 蚓b 确定。对于o 0 ，空间h a , p 为由在复带域i g z i i 1 ，空问g ：9 引入序列的卷积运算后，构成一 h i l b e r t 代数，并且 l l q + 酬。h i q l l 。，忖忆， 其中常数h 依赖于p 。从而h a , p 关于函数的乘法构成一h i l b e r t 代数。 引理3 3 假设。芝0 和p ；，f i a m i l z o n i a n 向量域x g 作为从俨，p 中原点 的某个邻域到z a ，的映射是实解析的，并且 i i x o t l 。，= o ( 1 q , 3 。) 考虑非线性项2 u 。我们有 g 。五1 小硎= ；磊g 咖岫弧 其中 g o 州= 咖 咖西k 眵i d z 特别的，由引理2 3 ，我们有 蚝2 勺2 g 奸玎= 礴碍瞬( z ) 鳄( z ) 如 = 矿1 + d ( 嘉) + 。( 嘉) + 。( 志)= 五7 r 十i 6 灯+ o ( 乒) + o ( 严) + o ( 虿丽) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 第4 节部分b i r k h o r f f 正规形 1 5 4 部分b i r k h o r f f 正规形 引理4 1 对于h a m i l t o n i a n 函数h = a + g ，其中非线性项为门剀，由引 理2 4 ，选择合适的m ，n ，在胆p 中原点的某个邻域内，存在一个实解析的 辛坐标变换r ，将此h a m i l t o n i a n 函数变换直到四阶的b i 兆 o 疗部分正规 日。r a + 0 + 0 + k ， 其中x o ，x 0 ，x k 空间。，p 中原点的某个邻域上的实解析向量域。 g = ；芝二 。订i 吼1 2 i 劬1 2 ， 其中系数g 玎= g 玎莳，i j 和g 越= 警是唯一确定的， 同= o ( ：。) ，1 k 1 = o ( 1 l q l l ：护) ，口= ( q 一，q m - 1 ) q n + ，q n + 2 】) f _ ；磊枷尚蚴 喝炉f 书氛靴f o r ( i , 似j f ) 叭m m = ( i ，j ，七，1 ) n 4 ： i ，j ，f ) 之一属于 m ，m + 1 ，一， 而cm 为满足 i ，j ) = ，1 ) 的子集。令x 警为h a m i l t o n i a n 向量域x f 对应的单参数变换群，取时间t = 1 ，我们得到一个辛坐标变换r = x i 。l 。 由引理2 4 ，后面将证明x f 是俨，p 上在原点的三阶实解析向量域。从而r 至少在。，一的原点的一个邻域内是实解析的辛坐标变换。 第4 节部分b i r k h o r f f 正规形1 6 运用t = 0 处的t a y l o r 公式，在原点的邻域内我们有 日。r = ho x # l = h + 日，f ) + ( 1 一t ) “日，f ) ，f ) 。x t d t = a + g + a ，f ) + ( g ，f + ( 1 一 ) “日，f ) ，f ) o x ) d t ， 其中 日，f ) 表示函数日和f 的p o i s s o n 括号。在上面的方程中，最后一行 由关于坐标q 六次或更高阶的项组成，我们用k 来代表。在倒数第二行中， a ，f ) = 一；( 九+ 一九一凡) 最吼磊西， 因此， g + a ，f = + ；埘q i q f l k 厅h = g + 舀， ( i , j ，k ，1 ) ( 1 ，j ，k ，0 ) g m 其中， g = ；g 删靠面= ； g i j l q , 2 蚶 ( t j ，k ，f ) “i , j 之属于 m ，m + i ，n ) 系数0 巧与g 巧埘的关系为 岛= g i j “，i j ，a n dg i i = 宰 最后，由引理4 3 证明的x f 的解析性，知x o 、x o 和x k 也都是解析 的。口 下面证明x f 的解析性，前面提到过 g 2 z 也咖饥咖出= n i w n j - l - n k t n l = o n 。p ， 其中我们用了毋d z ) 的f o u r i e r 级数展开， 也( z ) = o ? e 厅，n z 第4 节部分b i r k h o r f f 正规形1 7 如果y ( z ) 在带域i - g x l 0 上是解析的( r 禹- 7s o b o l e v 空间h s ) ， 那么s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数在带域 9 z i 0 上也是解析的 ( 相应的，属于s o b o l e v 空间h 3 + 2 ) ，并且分别有下面的估计( 参考 1 ) n 引 ce 一帅t p ，；a “i 叫 c ( 1 + i i m j ) 一( 5 十2 引理4 2 ( 1 】) 如果a p 十1 ，有下面的不等式 e 叫”i “sc l e “i j z e 1 1 + j 礼一j 1 ) 一4 dj ， c 2 圳， ，z 4 乓, e ec l 依赖于r a ，。2 依赖于a p 一1 。 证明若a 1 f 、8 一卜n r + 。川 fe ( 一j 卜n + o n - j 二j z j z 2 e 叫州e 扯1 h = i = o 兰竺：cle咖11一e 日一r 1 ( 1 + i n j 1 ) 一4 i j l 9 2 一e ( 1 + l 礼一舻a ( i n j l ，+ 坩) j z z 群蒜 薹群 引理4 3 x f 是”上在原点的三阶实解析向量域。 证明由引理2 4 再i 下c i j k l ( 1 8 ) 口 唑严 皿 扩+ 南 触， “ h 妒 眈 第4 节部分b i r k h o r f f 正规形 1 8 运用f 1 中的方法，我们有 吲f p e k = ；乃刎她缸一。 一j i , j ，旌川 冬；i 埘 i q t l l q j l i c l k 1 嘭。去1 g 珊2 i q d l q 3 1 口k 1 9 沙 i , j ， mt ，j ， = 去i o ，n n j n 。剐吼剐9 e k t ， kn i - l - n j - - ? l k + n l = o 曼去 川吲俐n 俐i 吼i l q j l l o k l 9 沙 。时q 辅：o 丢 ( 1 + 卜聊j ) 一半叫“f 悟i i 例j 如 。n ，+ n j + i , j n , k k + “l = 0 。 t ，j ，k 豸i , j , k n i + n j + n k i p e a l n i + n j + n k l ：。h 。，。) i 。：。i i q z i 在上面的方程的最后一行中，我们用了下面的不等式，对于固定的i ，舟，j ，c p + 1 且n i ) 我们有 i f 口, lz 叫n 等坩坩m 副蚓挑忡“i 蝌。擀一z 1 7 ( 1 + z 一佗：j ) 一字e - l z - n i 乳j z e i ，j ， ) 4 c 4 3 - p d( 1 + f 一吼f ) 一学埘小h 酬弛 n ，+ n i j , 4 + - j n , 5 k ：；k z 。5 4 j t k ) ：! ：! ! ! ! ! ! i ! ：；：! i 堡i q 。ll i l ，。i i l j l ，e n b i i 吼l l k l ，e 。l m l 警 广 + q，阱 也 协 第5 节c a n t o r 流形定理1 9 引入双无穷序列p ，鼽= 川中e 。忆通过上面的计算 州。 h 1 p 1 f p j p k = h i ( p4 p ；p ) 再由文章 4 中的附录a 中的引理 l 岛= i 刚。怯 h l l l p + p p 怯h z 2 2 。 从而由x f 各组分的解析性得到了它的解析性。 5c a n t o r 流形定理 口 在这篇文章当中，我们要用到k u k s i n 和p s s c h e l 的文章4 当中的 c a n t o r 流形定理，为了读者的方便，现在将它们翻译在这里。 在俨，p 中的某个邻域内，我们考虑h a m i l t o n i a n 函数h = a + q + r ， 其中r 表示可积正规形a + q 上的扰动。关于可积部分，存在一族线性稳 定的由拟周期解构成的n 维不变环面。维数1 礼 p f o rd = 1 ， 其中，a ( p , p ，俨，5 ) 表示所有将。，p 中原点的某个邻域映射到8 ，f 的映射，而 且关于复坐标q 的实部虚部是实解析的。 由正则性假设，b = ( j e 幻) 1 9 。c 的系数对1 i 礼一致满足估计 b i j = 0 ( j 9 4 ) 。从而对d = 1 ，存在一个最大的正常数k 使得 孚孚：1 + 。( j 一一) ，i j ， z 一， 对有界的，一致成立。当d 1 时，令k = 。o 。 定理2 ( c a n t o r 流形定理) 假设h a m i l t o n i a n 函数h = a + q + r 满足假设 a 、b 和g 且 i r i = o ( i l q l l ：，) + o ( ：，) 其中 夕 4 + 4 - a ，：m i n ( 声一p